2018年新课标II卷高考数学试题理有答案-最新版下载_中学教育-高考.pdf

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1、1 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。1 1 2i1 2iA 4 3i5 5B 4 3i5 5C 3 4i5 5D 3 4i5 52已知集合 2 23 A x y x y x y Z Z，则 A 中元素的个数为 A 9 B 8 C 5 D 4 3函数 2e ex xf xx的图像大致为 4已知向量 a，

2、b 满足|1 a，1 a b，则(2)a a bA 4 B 3 C 2 D 0 5双曲线 2 22 21(0,0)x ya ba b的离心率为 3，则其渐近线方程为 A 2 y x B 3 y x C 22y x D 32y x6在 ABC 中，5cos2 5C，1 BC，5 AC，则 ABA 4 2B 30C 29 D 2 52 7为计算 1 1 1 1 112 3 4 99 100S，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入 A 1 i iB 2 i iC 3 i iD 4 i i8我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个

3、素数的和”，如30 7 23在不超过 30 的素数中，随机选取两个 不同的数，其和等于 30 的概率是 A 112B 114C 115D 1189在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D中，1 AB BC，13 AA，则异面直线 1AD与 1DB所成角的余弦值 为 A 15B 56C 55D 2210 若()cos sin f x x x 在,a a 是减函数，则 a的最大值是 A 4B 2C 3 4D 11 已知()f x是定义域为(,)的奇函数，满足(1)(1)f x f x若(1)2 f，则(1)(2)(3)(50)f f f f A 50 B 0 C 2 D 50 12 已知

4、1F，2F是椭圆 2 22 21(0)x yC a ba b：的左，右焦点，A 是 C的左顶点，点 P 在过 A 且斜 率 为 36的直线上，1 2PF F 为等腰三角形，1 2120 F F P，则 C的离心率为 A 23B 12C 13D 14二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13 曲线 2ln(1)y x 在点(0,0)处的切线方程为 _ 开始 0,0 N TS N TS 输出 1 i100 i1N Ni11T Ti结束 是 否 时将答案写在答题卡上写在本试卷及草稿纸上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回一选择题本题共小题每小题分共分在每小题给出的四个选项中只

5、有一项是符合题目要求的已知集合则中元素的个数为函数的图像大致为已知向 家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是每个大于的偶数可以表示为两个素数的和如在不超过的素数中随机选取两个不同的数其和等于的概率是在长方体中则异面直线与所成角的余弦值为若在是减函 等腰三角形则的离心率为二填空题本题共小题每小题分共分曲线在点处的切线方程为始输出结束是否若满足约束条件则的最大值为已知则已知圆锥的顶点为母线所成角的余弦值为与圆锥底面所成角为若的面积为则该圆锥的侧面积为3 14 若,x y满足约束条件 2 5 02 3 05 0 x yx yx，则 z x y的最大值为 _ 15 已知 si

6、n cos 1，cos sin 0，则 sin()_ 16 已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 所成角的余弦值为 78，SA 与圆锥底面所成角为 45，若 SAB 的面积为 5 15，则该圆锥的侧面积为 _ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 21 题为必考题，每个 试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）记 nS为等差数列 na的前 n 项和，已知 17 a，315 S（1）求 na的通项公式；（2）求 nS，并求 nS的最小值 18（12 分）下图是某地区 2000 年至 201

7、6 年环境基础设施投资额 y（单位：亿元）的折线图 为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 y与时间变量 t的两个线性回归模型根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量 t的值依次为 1 2 17，）建立模型：?30.4 13.5 y t；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量 t的值依次为 1 2 7，）建立模型：?99 17.5 y t（1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由 19（12 分）设抛物线 24 C y x：的焦点为 F，过 F 且斜率为(0)k k

8、的直线 l 与 C 交于 A，B两点，|8 AB 时将答案写在答题卡上写在本试卷及草稿纸上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回一选择题本题共小题每小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的已知集合则中元素的个数为函数的图像大致为已知向 家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是每个大于的偶数可以表示为两个素数的和如在不超过的素数中随机选取两个不同的数其和等于的概率是在长方体中则异面直线与所成角的余弦值为若在是减函 等腰三角形则的离心率为二填空题本题共小题每小题分共分曲线在点处的切线方程为始输出结束是否若满足约束条件则的最大值为已知则已知圆锥的顶点为母线所

9、成角的余弦值为与圆锥底面所成角为若的面积为则该圆锥的侧面积为4（1）求 l 的方程；（2）求过点 A，B且与 C 的准线相切的圆的方程 20（12 分）如图，在三棱锥 P ABC 中，2 2 AB BC，4 PA PB PC AC，O 为 AC 的中点（1）证明：PO 平面 ABC；（2）若点 M 在棱 BC 上，且二面角 M PA C 为 30，求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值 PAOCBM21（12 分）已知函数 2()exf x ax（1）若 1 a，证明：当 0 x 时，()1 f x；（2）若()f x 在(0,)只有一个零点，求 a（二）选考题：共 10 分。请考生在第 2

10、2、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计 分。22 选修 4 4：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系 xOy中，曲线 C 的参数方程为 2cos4sinx y，（为参数），直线 l 的参数方程为 1 cos2 sinx t y t，（t为参数）（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）若曲线 C截直线 l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率23 选修 4 5：不等式选讲（10 分）设函数()5|2|f x x a x（1）当1 a时，求不等式()0 f x 的解集；（2）若()1 f x，求 a 的取值范围时将答案写在答题卡上写在本试卷及草稿纸上无效考试结束后将本

11、试卷和答题卡一并交回一选择题本题共小题每小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的已知集合则中元素的个数为函数的图像大致为已知向 家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是每个大于的偶数可以表示为两个素数的和如在不超过的素数中随机选取两个不同的数其和等于的概率是在长方体中则异面直线与所成角的余弦值为若在是减函 等腰三角形则的离心率为二填空题本题共小题每小题分共分曲线在点处的切线方程为始输出结束是否若满足约束条件则的最大值为已知则已知圆锥的顶点为母线所成角的余弦值为与圆锥底面所成角为若的面积为则该圆锥的侧面积为5 参考答案:一、选择题 1.D 2.A 3.B

12、 4.B 5.A 6.A 7.B 8.C 9.C 10.A 11.C 12.D 二、填空题 13.2 y x14.9 15.1216.40 2 三、解答题 17.(12 分)解：（1）设 na的公差为 d，由题意得 13 3 15 a d.由 17 a得 d=2.所以 na的通项公式为 2 9na n.（2）由（1）得 2 28(4)16nS n n n.所以当 n=4 时,nS取得最小值,最小值为-16.18.(12 分)解：（1）利用模型,该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为?30.4 13.5 19 226.1 y(亿元).利用模型,该地区 2018 年的环境基础设施投资额

13、的预测值为?99 17.5 9 256.5 y(亿元).（2）利用模型得到的预测值更可靠.理由如下：（）从折线图可以看出,2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 30.4 13.5 y t上下.这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额 的变化趋势.2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应 的点位于一条直线的附近，这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型?99 17.5 y t可以

14、较好地描述 2010 年以后的环境基 础设施投资额的变化趋势,因此利用模型得到的预测值更可靠.（）从计算结果看,相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元,由模型得到的预测值 226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型得到的预测值 时将答案写在答题卡上写在本试卷及草稿纸上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回一选择题本题共小题每小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的已知集合则中元素的个数为函数的图像大致为已知向 家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是每个大于的偶数可以表示为两个素数的和如在不超过的素

15、数中随机选取两个不同的数其和等于的概率是在长方体中则异面直线与所成角的余弦值为若在是减函 等腰三角形则的离心率为二填空题本题共小题每小题分共分曲线在点处的切线方程为始输出结束是否若满足约束条件则的最大值为已知则已知圆锥的顶点为母线所成角的余弦值为与圆锥底面所成角为若的面积为则该圆锥的侧面积为6 更可靠.以上给出了 2 种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.19.(12 分)解：（1）由题意得(1,0)F，l的方程为(1)(0)y k x k.设 1 2 2 1(,),(,)A y x y x B，由 2(1),4y k xy x得 2 2 2 2(2 4)0 k x k x k.

16、216 16 0 k，故 1 2222 4kxkx.所以 1 2224 4|(1)(1)xkAB AF BFkx.由题设知 224 48kk，解得 1 k（舍去），1 k.因此 l 的方程为1 y x.（2）由（1）得 AB的中点坐标为(3,2)，所以 AB的垂直平分线方程为2(3)y x，即5 y x.设所求圆的圆心坐标为0 0(,)x y，则0 0220 005,(1)(1)16.2y xy xx解得003,2xy或0011,6.xy因此所求圆的方程为2 2(3)(2)16 x y或2 2(11)(6)144 x y.20.(12 分)解：（1）因为4 AP CP AC，O为AC的中点，所

17、以OP AC，且2 3 OP.连结OB.因为22AB BC AC，所以ABC 为等腰直角三角形，且OB AC，122OB AC.由2 2 2OP OB PB知PO OB.由,OP OB OP AC知PO平面ABC.（2）如图，以O为坐标原点，OBuu u r的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz.时将答案写在答题卡上写在本试卷及草稿纸上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回一选择题本题共小题每小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的已知集合则中元素的个数为函数的图像大致为已知向 家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是每个大于的偶数可以表示为

18、两个素数的和如在不超过的素数中随机选取两个不同的数其和等于的概率是在长方体中则异面直线与所成角的余弦值为若在是减函 等腰三角形则的离心率为二填空题本题共小题每小题分共分曲线在点处的切线方程为始输出结束是否若满足约束条件则的最大值为已知则已知圆锥的顶点为母线所成角的余弦值为与圆锥底面所成角为若的面积为则该圆锥的侧面积为7 由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(0,0,2 3),(0,2,2 3),O B A C P APuuu r取平面PAC的法向量(2,0,0)OBuuu r.设(,2,0)(0 2)M a a a，则(,4,0)AM a auuur.设平面

19、PAM的法向量为(,)x y z n.由0,0 AP AMuu u r uuurn n得2 2 3 0(4)0y zax a y，可取(3(4),3,)a a a n，所以2 2 22 3(4)cos,2 3(4)3aOBa a auuu rn.由已知得3|cos,|2OBuu u rn.所以2 2 22 3|4|3=22 3(4)3aa a a.解得4 a（舍去），43a.所以8 3 4 3 4(,)3 3 3n.又(0,2,2 3)PCuuu r，所以3cos,4PCuuu rn.所以PC与平面PAM所成角的正弦值为34.21（12 分）【解析】（1）当 1 a 时，()1 f x等价于2

20、(1)e 1 0 xx设函数2()(1)e 1xg x x，则2 2()(2 1)e(1)ex xgx x x x当1 x时，()0 gx，所以()g x在(0,)单调递减而(0)0 g，故当0 x时，()0 g x，即()1 f x（2）设函数2()1 exh x ax()f x在(0,)只有一个零点当且仅当()h x在(0,)只有一个零点（i）当0 a时，()0 h x，()h x没有零点；（ii）当0 a时，()(2)exh x ax x当(0,2)x时，()0 hx；当(2,)x时，()0 hx所以()h x在(0,2)单调递减，在(2,)单调递增时将答案写在答题卡上写在本试卷及草稿纸

21、上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回一选择题本题共小题每小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的已知集合则中元素的个数为函数的图像大致为已知向 家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是每个大于的偶数可以表示为两个素数的和如在不超过的素数中随机选取两个不同的数其和等于的概率是在长方体中则异面直线与所成角的余弦值为若在是减函 等腰三角形则的离心率为二填空题本题共小题每小题分共分曲线在点处的切线方程为始输出结束是否若满足约束条件则的最大值为已知则已知圆锥的顶点为母线所成角的余弦值为与圆锥底面所成角为若的面积为则该圆锥的侧面积为8 故 24(2)1eah是

22、()h x在 0,)的最小值 若(2)0 h，即 2e4a，()h x在(0,)没有零点；若(2)0 h，即 2e4a，()h x在(0,)只有一个零点；若(2)0 h，即 2e4a，由于(0)1 h，所以()h x在(0,2)有一个零点，由（1）知，当 0 x时，2exx，所以 3 3 34 2 2 416 16 16 1(4)1 1 1 1 0e(e)(2)a aa a ah aa a 故()h x在(2,4)a有一个零点，因此()h x在(0,)有两个零点 综上，()f x在(0,)只有一个零点时，2e4a 22 选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）【解析】（1）曲线 C 的直角坐

23、标方程为2 214 16x y当cos 0时，l的直角坐标方程为tan 2 tan y x，当cos 0时，l的直角坐标方程为1 x（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程2 2(1 3cos)4(2cos sin)8 0 t t因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以有两个解，设为1t，2t，则1 20 t t又由得1 224(2cos sin)1 3cost t，故2cos sin 0，于是直线l的斜率tan 2 k23 选修 4-5：不等式选讲（10 分）【解析】（1）当1 a时，2 4,1,()2,1 2,2 6,2.x xf x xx x可得()0

24、f x的解集为|2 3 x x（2）()1 f x等价于|2|4 x a x而|2|2|x a x a，且当2 x时等号成立故()1 f x等价于|2|4 a由|2|4 a可得6 a或2 a，所以a的取值范围是(,6 2,)U时将答案写在答题卡上写在本试卷及草稿纸上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回一选择题本题共小题每小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的已知集合则中元素的个数为函数的图像大致为已知向 家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是每个大于的偶数可以表示为两个素数的和如在不超过的素数中随机选取两个不同的数其和等于的概率是在长方体中则异面直线与所成角的余弦值为若在是减函 等腰三角形则的离心率为二填空题本题共小题每小题分共分曲线在点处的切线方程为始输出结束是否若满足约束条件则的最大值为已知则已知圆锥的顶点为母线所成角的余弦值为与圆锥底面所成角为若的面积为则该圆锥的侧面积为