函数的周期性、对称性（解析版）.pdf

《函数的周期性、对称性（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数的周期性、对称性（解析版）.pdf（23页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、函 数 的 周 期 性、对 称 性 一、单 选 题 1.（2023全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 函 数/=工 一 5+i n-,若/（岛）+/（嬴）+-/c Ju NU/U/U/U+f（）+/（翳）=义 罗*9+6），其 中。，则 击+苧 的 最 小 值 为（）4UNU 4U 4 U 4/|Q|。A.总 B.C.V2 D当【答 案】A【解 析】因 为/(x)=x-+%,所 以/(s)+f(e-x)=x-+In+(e-x)-|-+In 雪 一&n e x z e(e x)=I n-+=In(工)=Ine?=2,e-x x e-x x/令 s 扇）+/（巍）+/（翳）+/（霸）则 2s=

2、3 扇）+/（黯）+（，（豳）+/（翳）+（/（黯）+/（鬲）=2 X2019 所 以 S=2019901Q，所 以-(a+b)=2019，所 以 a+b=2,其 中 匕(),则 a=2 b.当 Q()时 J _+M=J _+2z=J_+A _1=M+2.).2|a|b 2Q 丁 b 2a b 1 2a b)(a+6)1=/售+/+与)T g 4+2低 萼)-1=44当 且 仅 当 备=*即。=字 匕=年 时 等 号 成 立;血+增 当 a V 0 时=，+n=，+=，+2a b 2Q h 2Q b=/(生+下)(a+b)+l=i(V+4+-2ab+1当 且 仅 当 _-=二,即 a=-2,b

3、=4 时 等 号 成 立;一/Q 0因 为 福 V号，所 以 的 最 小 值 为 巧.故 选：A.2.（2023春 重 庆 高 三 统 考 阶 段 练 习）已 知 函 数/（%）=ln（Q T T c）+1,正 实 数 a,b满 足/（2a）+/（b 4）=2,则 芈+。八.的 最 小 值 为（）a 2ab+bA.1 B.2 C.4 Df【答 案】B【解 析】f(x)+/(x)=ln(V x2+1 x)+1+ln(Vx2+1+c)+1=2,故 函 数/(s)关 于(0,1)对 称，又/Q)在 R 上 严 格 递 增；/(2a)+f(b-4)=2,2a+b 4=0 即 2a+6=4.4 b l

4、a=4b a=助 a 2/电 旦=2a 2ab+b2 a b(2a+b)a 46 V a 46当 且 仅 当 a=b=时 取 得.故 选：B.3.(2023全 国 方 三 专 题 练 习)已 知 函 数/Q)的 定 义 域 为 R,/(2 z+2)为 偶 函 数，/设+1)为 奇 函 数,：I且 当 x 0,1时，/(工)=a x+b.若/=1,则 Z f(i+卷)=()=i A.占 B.0 C.y-D.-1【答 案】C【解 析】因 为/(2工+2)为 偶 函 数，所 以/(一 2工+2)=f(2 x+2),用 会+9 代 替。得：/(一/+1)=/3+3),因 为/(工+1)为 奇 函 数，

5、所 以/(z+1)=-f(x+1),故/(立+3)=-f(x+1)，用 0；+2 代 替 z 得：/(4+5)=/(a;+3)，由 得：f(x+5)=f(c+l),所 以 函 数/O)的 周 期 7=4,所 以/(4)=/(0)=1,即。=1,因 为/(一。+1)=一/(/+1),令/=0得：/(1)=一/(1),故/(1)=0,/(l)=a+b=0,解 得：a=-1,所 以 工 0,1 Bt,f(x)=-x+1,因 为/(-/+1)=-/(c+1),金 人=,得 吗)=T(孰 其 中/信)=-+1=专,所 以/(得)=，因 为/(24+2)=/(2工+2),令%=得(-2 x：+2)=/(2

6、 x 卷+2),即 艰)=/(*)=一 因 为 T=4,所 以,闺=呜-4)=d),因 为/(-+1)=-f(x+1),令 叶 I 得；/(+)=-/倍)=/故/信)=方，X/(i+y)=/(y)+./-(y)+/(y)=_y-y+y=-y-=1故 选:c4.(2023四 川 资 阳.统 考 模 拟 fl(测)已 知 函 数/的 定 义 域 为/?,/(6一 2)为 偶 函 数，/(c 2)+13/(T)=0,当 8 6-2,-1 时,/(x)=QZ 4(Q 0且 a/1),且/(2)=4.则(fc)|=()a Ar=lA.16 B.20 C.24 D.28【答 案】C【解 析】因 为/(一

7、2)是 偶 函 数，所 以/(一 1-2)=/(一 2),所 以/(x)=f(-x-4),所 以 函 数/(土)关 于 直 线 2=-2 对 称，又 因 为/(出 一 2)+/(=0,所 以 一 2)=/(-T),所 以/3)=/(一 2),所 以/(关 于 点(一 1,0)中 心 对 称，由/(力)=/(一 一 4)及/=-f(-x-2)得/(-n-4)=-/(-x-2)所 以/(一 1-4)=一 于-x-2)=/(-x)所 以 函 数/(的 周 期 为 4,因 为 当 a 6-2,-1 时 J Q)=QN 4(a0 且 aH 1),且/(2)=4,a所 以 4=+2Q 4,解 得：a=2

8、或 Q=-4,因 为 a0 且 Q#1,所 以 a=2.a所 以 当 cW 2,1 时，/()=(/y-2a:-4,所 以(一 2)=4,/(-1)=0,f(-3)=/(-1)=0,/(0)=-/(-2)=-4,/(1)=/(1-4)=/(-3)=0,/(2)=/(-2)=4,/(3)=/(-1)=0,/(4)=/(0)=4,所 以+|/(2)|+|/(3)|+|/(4)|=8,所 以|=|/|+3X8=24,fc=l故 选：C.5.(2023-全 国 高 三 专 题 练 习)已 知 函 数/(工),g(0的 定 义 域 均 为 R,且/+g(2-工)=5,g3)-/(x224)=7.若 夕=

9、9(力)的 图 像 关 于 直 线=2对 称，g(2)=4,则 Z/(k)=()k=lA.-21 B.-22 C.-23 D.-24【答 案】D【解 析】因 为 U=g(a)的 图 像 关 于 直 线 i=2对 称，所 以 g(2-z)=g(x+2),因 为 g(x)-f(x-4)=7,所 以 g(rr+2)/(工 一 2)=7,即 g(z+2)=7+f(x-2),因 为/(x)+g(2)=5,所 以 f(x)+g(+2)=5,代 入 得/(+7+f 3-2)=5,即 f(x)+f(x-2)=-2,所 以 3)+/(5)+-+/(21)=(-2)X5=-10,f(4)+/(6)+/(22)=(

10、-2)X5=-1().因 为 f(x)+g(2=5,所 以/(0)+g=5,即/(0)=1,所 以/(2)=-2-/(0)=-3.因 为 g(x)-f(x-4)=7,所 以 g(+4)/(z)=7,又 因 为 f(x)+g(2-x)=5,联 立 得，g(2-6)+g(6+4)=12,所 以 y=g(c)的 图 像 关 于 点(3,6)中 心 对 称，因 为 函 数 g(z)的 定 义 域 为 R,所 以 g(3)=6因 为/3)+9(/+2)=5,所 以/(1)=5 9(3)=-1.22所 以 Z f(k)=/(1)+/(2)+/(3)+/(5)+-+/(21)+/(4)+/(6)+/(22)

11、=-1-3-10-k=10=-24.故 选:1)6.(2023-全 国 高 三+题 练 习)设 函 数/Q)=/+ax2+bi+2(a,b R)，若 f(2+x)+/(2 n)=8,则 下 列 不 等 式 正 确 的 是()A./(e)+/(1)8 B./(e)+/(2-V3)8C./(In7)+/(2+V3)8 D./(In5)+/(31n2)/?。(2a+b+3=0(o=9,所 以/(力=x3 6x2+9x+2,进 而/(=3x2 12x+9=3(%1)(x 3),据 此,人)在(-8,1),(3,+oo)上 单 调 递 增，/3)在(1,3)上 单 调 递 减，因 为/(2+M+/(2

12、0=8,即/3)+/(4 0=8.对 于 4 由 e)+_f(4-e)=8,又 lV4-e/(9),即/(e)+/(3)8,故 4 错 误；对 于 B,/(2 V3)=(2 V3)3 6(2 V3)2+9(2 V3)+2=4,因 为 l V 2 f(e),而 f(2)=23 6 X 22+9 X 2+2=4,所 以/(e)+/(2 通)/(2)=4,所 以/(ln7)+/(2+J 5)8,故。正 确;对 于 D,由 f(ln5)+/(4 ln5)=8,因 为 1V 31n2 4 ln5/(4-ln5),所 以/(E 5)+/(3In2)8,故 D 错 误.故 选：C.7.(2023-全 国 高

13、 三 分 题 练 习)定 义 在 R 上 的 奇 函 数/Q)满 足 2)=/(0，且 在 0,1)上 单 调 递 减,若 方 程/(=T 在 0,1)上 有 实 数 根,则 方 程/Q)=1在 区 间-1,11 上 所 有 实 根 之 和 是()A.30 B.14 C.12 D.6【答 案】A【解 析】由/(2 a;)=/(x)知 函 数/(z)的 图 象 关 于 直 线 刀=1对 称，,.7(2 一=f Q)J Q)是 R 上 的 奇 函 数,：.f(-x)=y(+2)=-y(rr),“(3；+4)=/3),.-./()的 周 期 为 4,考 虑/3)的 一 个 周 期，例 如 1,3,由

14、 六 工)在 0,1)上 是 减 函 数 知/(工)在(1,2 上 是 增 函 数，/(x)在(-1,0 上 是 减 函 数,/(H)在 2,3)上 是 增 函 数,对 于 奇 函 数/(功 有 0)=(),/(2)=2-2)=/(0)=0,故 当。(0,1)时 J Q)V/(0)=(),当 h C(1,2)时 J 3)V/(2)=0,当 工 e(-1,0)时,/(0)=0,当 z(2,3)时，/Q)/(2)=0,方 程/(立)=-1在 0,1)上 有 实 数 根，则 这 实 数 根 是 唯 一 的，因 为 工)在(0,1)上 是 单 调 函 数，则 由 于 f(2-X)=7 3),故 方 程

15、 人 工)=-1 在(1,2)上 有 唯 一 实 数，在(一 1,0)和(2,3)上/(句 0,则 方 程/(c)=1在(1,0)和(2,3)上 没 有 实 数 根，从 而 方 程/Q)=-1 在 一 个 周 期 内 有 且 仅 有 两 个 实 数 根，当 工 C-1,3,方 程/(h)=1的 两 实 数 根 之 和 为 x+2 x=2,当 a;-1,11,方 程/(工)=-1 的 所 有 6 个 实 数 根 之 和 为 x+2-x+4+x+4+2-x+x+8+2-+8=2+8+2+8+2+8=30.故 选：A8.(2023 全 国 高 三 专 题 练 习)对 于 三 次 函 数/(工)=2

16、3+谒+,+或 0#0),给 出 定 义：设/3)是 函数 y=/(i)的 导 数，/(%)是 r(N)的 导 数，若 方 程/(%)=0 有 实 数 解),则 称 点(x0tf(x0)为 函 数 y=/(力)的“拐 点”.经 过 探 究 发 现:任 何 一 个 三 次 函 数 都 有“拐 点”;任 何 一 个 三 次 函 数 都 有 对 称 中 心，且“拐 点”就 是 对 称 中 心.设 函 数 9(C)=1/一 呆？+3,必 则 g(康)+g(端)+,。(/22001189)一/()xA.2016 B.2017 C.2018 D.2019【答 案】C 解 析 函 数 g(c)=4/一 _1

17、工 2+3工 一 合，函 数 的 导 数 gQ)=为 一 6+3,gf(x)=2z 1,由 g，Q()=0 得 2X()-1=0,解 得 叫=十，而 g居)=1,故 函 数 ff(x)关 于 点(方,1)对 称,ff(x)+ff(l-x)=2,故 段 g(2019)+9(2血)+g(2019)=%则.。(t 2西 01W8+,。/(2西 01V7+,+,秋(Ww=m,两 式 相 加 得 2 X 2018=2 m，则 m=2018,故 选 C.9.(2023春 云 南 曲 靖 高 三 曲 靖 一 中 校 考 阶 段 练 习)定 义 在;?上 的 函 数/满 足/(F)+/(X)=0,/(;)=f

18、(2-X)，且 当 比 e 0,1 时,/(x)=X2.则 函 数 y=7f(re)-z+2 的 所 有 零 点 之 和 为(jA.7 B.14 C.21 D.28【答 案】B【解 析】依 题 意，f(z)是 奇 函 数.又 由.f(z)=/(2-知，/Q)的 图 像 关 于 工=1 对 称.f(x+4)=/(1+(x+3)=/(1-(x+3)=/(-2-a;)=-f(2+a;)=-/(2-(-)=-f(-x)=/(x),所 以/()是 周 期 为 4 的 周 期 函 数.7(2+x)=f(l 4-(1+)=,f(l-(l+s)=/(-x)=-7(x)=-/(2-x),所 以/(工)关 于 点

19、(2,0)对 称.由 于？Z=7/(c)立+2=。0/(0；)=x 2从 而 函 数 y=7，Q)x+2 的 所 有 零 点 之 和 即 为 函 数/(c)与 9(工)=卬 的 图 像 的 交 点 的 横 坐 标 之 和.而 函 数 g(c)=与 2 的 图 像 也 关 于 点(2,0)对 称.画 出 y=f(x),g(H)=-的 图 象 如 图 所 示.由 图 可 知，共 有 7 个 交 点，所 以 函 数 y=7/()x+2所 有 零 点 和 为 7X2=14.10.(2023-全 国 方 三 专 题 练 习)已 知 定 义 在 R 上 的 可 导 函 数/(切 的 导 函 数 为/(%)

20、,满 足/(%)f(x)且/(x+3)为 偶 函 数,人 工+1)为 奇 函 数，若/(9)+/(8)=1,则 不 等 式/(工)B.(l,+oo)C.(0,+o)D.(6,+8)【答 案】C【解 析】因 为/(工+3)为 偶 函 数，/(c+1)为 奇 函 数，所 以/(/+3)=f(-x+3),f(x+1)+/(-+1)=0.所 以/(c)=f(-x+6),f(x)+f(x+2)=0,所 以/(一 立+6)+y(-+2)=0.令 t=-z+2,则/(t+4)+t)=0.令 上 式 中 力 取 力-4,则-4)=0,所 以 f(t+4)=f(t 4).令 力 取 力+4,则/)=/+8),所

21、 以=/(./+8).所 以/(为 周 期 为 8 的 周 期 函 数.因 为 73+1)为 奇 函 数，所 以/(工+1)+y(-T+1)=0,令 2=0,得：/(1)+/(1)=0,所 以*1)=0,所 以/(9)+/(8)=1,即 为/(1)+/(0)=1,所 以 f(0)=L/、f(x).yz(x)f(x)记 g(T)=-，所 以 g(土)=-f(x因 为 r(c)V/3),所 以 g(c)V0,所 以 g(rr)=在 A 上 单 调 递 减.不 等 式.f(c)Ve，可 化 为 J VI,即 为 g(o;)e所 以 rr 0.故 选:C11.(2023全 国 高 三 专 题 练 习)

22、设 函 数/Q)的 定 义 域 为 R,/Q+l)为 奇 函 数,/3+2)为 偶 函 数，当，e 1,2时,/3)=a/+b.若/()+/=6,则/(1)=()AA 一 19 BR.-彳 3 Cr.7 D n-y5【答 案】D【解 析】方 法 一:因 为/(/+1)是 奇 函 数，所 以/(一 6+1)=-3(/+1)；因 为+2)是 偶 函 数，所 以/Q+2)=/(一 7+2).令 x=1,由 得:/(0)=-/(2)=-(4a+b),由 得:7(3)=/(1)=a+b,因 为/(0)4-/(3)=6,所 以(4a+b)+a+b 6=a=2,令 c=0,由 得：/(l)=/(1)=/(1

23、)=0=匕=2,所 以 思 路 一：从 定 义 入 手.K f)=/(t+2)=/(-f+2)=/(-1)/(，)=/(-y+1)=-/怎+1)=-/(y)-/(T)=-/(I+2)=-/(-1+2)=-A f)所 以/(?)=-/(|)=.方 法 二:因 为/(c+1)是 奇 函 数，所 以/(一 花+1)=-f(x+1)；因 为 f(x+2)是 偶 函 教，所 以/3+2)=f(-x+2).令。=1,由 得:/(0)=-/(2)=-(4a+b),由 得:/(3)=/(1)=a+b,因 为/(0)4-/(3)=6,所 以 一(4a+b)+a+6=6na=-2,令 工=(),由 得：/=一/n

24、/=0=b=2,所 以/(z)=-2x2+2.思 路 二：从 周 期 性 入 手 由 两 个 对 称 性 可 知，函 数/(工)的 周 期 T=4.所 以/患)=/4)=-/(9)=.故 选：D.二、多 选 题 12.(2023叁 云 南 商 三 云 南 拜 大 酹 中 校 考 阶 盘 练 习)己 知 定 义 域 为 R 的 函 数/(在(-1,0 上 单 调 递 增，/(2+为=/(2 立)，且 图 象 关 于(3,0)对 称，则 f(工)()A.周 期 T=4 B.在(0,2 单 调 递 减 C.满 足 了(2021)/(2022)/(2023)D.在 0,2023 上 可 能 有 101

25、2 个 零 点【答 案】48。【解 析】力 选 项：由/(2+f)=/(2-x)知/()的 对 称 轴 为 工=2,且/(4+=/(一 工)，又 图 象 关 于(3,0)对 称，即/(3 4-a;)=-/(3-x),故/(6+工)=-f(-x)，所 以-/(4+x)=/(6+z),即-/(1)=/(2+rc),所 以/(=/(。+4),/3)的 周 期 为 4,正 确；6 选 项：因 为/(力 在(-1,0 上 单 调 递 增，7=4,所 以/(工)在(3,4 上 单 调 递 增，又 图 象 关 于(3,0)对 称，所 以/(工)在(2,3 上 单 调 递 增，因 为 关 于 1=2 对 称，

26、所 以/(工)在(1,2 上 单 调 递 减,/(1)=/(3)=0,故 73)在(0,2 单 调 递 减，B 正 确;C 选 项：根 据 周 期 性,f(2O21)=/(1),/(2022)=/(2),/(2023)=/(3),因 为/()关 于/=2 对 称，所 以/(1)=/(3)=0,/(2)/(1),故 42022)f(2021)=/(2023),错 误；。选 项：在 0,4)上，/=/(3)=0,f(x)有 2 个 零 点，所 以,f(c)在 0,2020)上 有 101()个 零 点，在 2020,2023 上 有 2 个 零 点，故/(在 0,2023 上 可 能 有 1012

27、个 零 点，正 确，故 选：ABD.13.(2023春 广 东 广 州 高 三 统 才 阶 段 练 习)已 知 函 数/(z)、g Q)的 定 义 域 均 为 R,/(2)为 偶 函 数，且 f(x)+g(2 x)=1,g(x)f(x 4)=3,下 列 说 法 正 确 的 有()A.函 数 g(z)的 图 象 关 于=1对 称 B.函 数/Q)的 图 象 关 于(一 1,一 1)对 称 C.函 数/(/)是 以 I为 周 期 的 周 期 函 数 D.函 数 g(,)是 以 6为 周 期 的 周 期 函 数【答 案】【解 析】对 于 力 选 项，因 为/(工)为 偶 函 数，所 以/(工)=/(

28、x).由/(工)+g(2 7)=1,可 得/(一 工)+g(2+立)=1,可 得 g(2+工)=g(2-x),所 以，函 数 g(c)的 图 象 关 于 直 线 立=2 对 称，4 错；对 于 B 选 项,因 为 g(x)-f(x-4)=3,则 g(2-x)-f(-2-x)=3,又 因 为 f+g(2-工)=1,可 得/+f(-2-x)=-2,所 以，函 数/(工)的 图 象 关 于 点(一 1,-1)对 称，B 对；对 于。选 项，因 为 函 数/(c)为 偶 函 数，且/()+/(-2 a;)=2,则/()+/(*+2)=-2,从 而/(+2)+/(a;+4)=-2,J 8 i f(x+4

29、)=f(x),所 以，函 数/(H)是 以 4 为 周 期 的 周 期 函 数，。对；对 于。选 项，因 为 g(2)一/3-4)=3,且/3)=f(x-4),：.g(x)-/(re)=3,又 因 为 f(c)+g(2 a?)=1,所 以,g(x)+g(2-x)=4,又 因 为 g(2 c)=g(2+*),则 g(*)+gQ+2)=4,所 以，g Q+2)+g(a;+4)=4,故 g(:r+4)=ff(x),因 此,函 数 g(c)是 周 期 为 4 的 周 期 函 数，D 错.故 选：BC.14.(2023春 湖 南 长 沙 方 三 次 群 中 学 校 考 阶 段 练 习)设 定 义 在 R

30、 上 的 函 数/3)与 g(X)的 导 函 数 分 别 为 f 和 g，(rr),若/(c+2)g(l x)2,/z(x)g(x+1),且 g(c+1)为 奇 函 数,则 下 列 说 法 中 一 定 正 确 的 是()A.g(l)=0 B.函 数 g，(立)的 图 象 关 于 4=2 对 称 2()21 2()22C.E/(/cW)=0 D.fg(%)=0k=fe=l【答 案】A C【解 析】因 为 g(a:+l)为 奇 函 数，所 以 9(工+1)=-g(c+1)，取 r=()可 得 g(l)=0,A 对，因 为/(c+2)g(l-z)=2,所 以/(工+2)+gz(la;)=0;所 以/

31、3)+g(3-a:)=0,又/=g(a;+l),g(a:+l)+)(3 a;)=0,故 g(2+工)+g(2 一)=0,所 以 函 数 g3)的 图 象 关 于 点(2,0)对 称,B 错,因 为/(工)=g(c+l),所 以/(工)-g(c+1)=0,所 以/(c)-g(x+l)=c,c 为 常 数,因 为/(z+2)9(1一 比)=2,所 以/(立)-g(3 一 7)=2,所 以 g(6+1)g(3 x)=2 c,取 4=1 可 得 c=2,所 以 gQ+1)=g(3 x),又 g(c+1)=-g(-x+1),所 以 g(3 c)=-g(-x+1),所 以 g(rc)=-g(x-2),所

32、以 g(rr+4)=-g(土+2)=g(z),故 函 数 g(c)为 周 期 为 4 的 函 数，因 为 g(a；+2)=-gQ),所 以 g(3)=-7(1)=0,g(4)=-g(2),所 以 g(l)+g(2)+g(3)+g(4)=0,2022所 以 g(k)=g+g+g(3)+/4)+g(5)+g+g+g+f c=J+g(2017)+g(2018)+g(2019)+g(2020)+g(2021)4-g(2022),2022所 以 Xp(fe)=505 x 0+9(2021)+9(2022)=g+g=g,k=l2022由 已 知 无 法 确 定 g(2)的 值，故 Zg(A;)的 值 不

33、一 定 为 0,0错；fc=l因 为/(H+2)9(1一 工)=2,所 以/(入+2)=2 9(4+1),/(2+6)=2-g(x+5),所 以/(+2)=/(工+6),故 函 数/(力 为 周 期 为 4 的 函 数，/(2+4)g(sc+4)=f(x)g(x)所 以 函 数/(i)g(t)为 周 期 为 4 的 函 数，又/=2-5(0),/(2)=2-g(l)=2,/(3)=2-g=2+g(0),/(4)=2-g=2,所 以/(l)g(l)+/(2)5(2)+/(3)5(3)+f(4)g(4)=0+2g+2g=0,2021所 以 Z.f(k)9(k)=505.f(l)g(l)+/(2)g

34、(2)+/(3)g(3)+/(4)g(4)+f(2021)g)21)k=l2021Zf(k)g(卜)=f(i)g(D=o，。对，k=l故 选：4C.15.(2Q23全 国 高 三 寺 题 练 习)设 函 数 y=/(x)的 定 义 域 为 R,且 满 足/=/(2-,T),f(-x)=-/(x-2),当/(1,1 时，fx)=一/+1,则 下 列 说 法 正 确 的 是()A./(2022)=1 B.当/4,6时，/(工)的 取 值 范 围 为-1,0C.y=f(x+3)为 奇 函 数 D.方 程/(立)=lg(x+1)仅 有 5个 不 同 实 数 解【答 案 1 BCD【解 析】依 题 意，

35、当 一 时，0，(工)1,当 O&z W l 时，0&/(z)&1,函 数 y=/(a)的 定 义 域 为 凡 有/(0=/(2 立)，又/(一 期)=-f(x-2),即/(x)=-f-x-2),因 此 有/(2-s)=-/(-X-2),即 f(x+4)=-/(x),于 是 有/(+8)=-/3+4)=/(0；),从 而 得 函 数/(3；)的 周 期 T=8,对 于，,f(2022)=/(252 X8+6)=/(6)=/(-2)=-/(0)=-L,A 不 正 确;对 于 当 4 工 5 时，0 4 Z 一 41,有 0 一 4)4 1,则/(x)=1f(x 4)1,0,当 540；&6 时，

36、-4W2-a;&-3,04(2 2)+441,有 0W/(2 立)+4&1,/(a:)=/(2-x)=-/(2-x)+4e-1,0，当 c C 4,6时 J Q)的 取 值 范 围 为-1,0,B 正 确；对 于 C,f(x+3)=-f(x 4-3)+4=-f(x-l)=-/2-(x-l)=-f(-x+3),函 数 y=/(工+3)为 奇 函 数，。正 确；对 于。，在 同 一 坐 标 平 面 内 作 出 函 数 y=/(2)、y=lg(:r+1)的 部 分 图 象,如 图：方 程/(4)=旭 3+1)的 实 根，即 是 函 数 1=力 与 夕=lg(a;+1)的 图 象 交 点 的 横 坐

37、标,观 察 图 象 知，函 数？=/(工)与 y=lg(a;+1)的 图 象 有 5个 交 点，因 此 方 程/(工)=lg(i+1)仅 有 5 个 不 同 实 数 解，。正 确.故 选：BCD16.(2023全 国 高 三 专 题 练 习)已 知 定 义 在 R 上 的 单 调 递 增 的 函 数/Q)满 足:任 意/C R,有/(1一 立)+/(1+乃=2,/(2+2)+/(2 2)=4,则()A.当/Z 时，/(f)=a:B.任 意 x G R,/(x)=一/(c)C.存 在 非 零 实 数 T,使 得 任 意 xER,f(x+T)=/(x)D.存 在 非 零 实 数 c,使 得 任 意

38、 zCH,|/(工)一。引 41【答 案】ABD【解 析】对 于 4 令 4=1 t,则/(t)+/(2T)=2,即/(c)+/(2-2)=2,又*2+x)+f(2-x)=4,/.y(+2)=4-J(2-=4-(2-/(x)=/(s)+2;令 x=0 得:1)+/(1)=2,/(2)+/(2)=4,.-./(1)=1,/=2,则 由/(立+2)=f()+2 可 知：当 z C Z 时，/(宓)=x,A 正 确;对 于 令 4=1+力，则 t)+f(2+1)=2,即/(-r r)+/(2+z)=2,(一 工)=2-/(2+S)=2-(4-/(2-x)=/(2-x)-2,由 A 的 推 导 过 程

39、 知:/(2-7)=2-/(),”(一 工)=2-f(c)-2=-f(x),3 正 确；对 于。，.(为 为 R 上 的 增 函 数，当 T 0 时，：r+T x,f(x+T)/(x);当 TVO 时，c+T V*,则 f(x+T)一 工+1),令 工 得:*)=/(一 1+1)=/(一 等),f(x-1)为 奇 函 数，故/3-1)=-/I-1),令 立=/得：/(一 方)=-/居-1)=一/(得)，其 中 A_y)=T+1=，所 以/回=/(-|-)=-A-y)=-T,A 正 确；因 为/(一 1)为 奇 函 数，所 以/(%)关 于(1,0)对 称，又/Q+1)为 偶 函 数，则/()关

40、 于 z=l 对 称，所 以/()周 期 为 4 x 2=8,故/(立+7)=/(1),所 以/(-x+7)=f(-x-1)=一 于-1)=J(x-1+8)=-/3+7),从 而/(力+7)为 奇 函 数，B 正 确;f(x)=-d+1在 I W(-1,0)上 单 调 递 增，又 f(x)关 于(-1,0)对 称，所 以/(在(-2,0)上 单 调 递 增，且 73)周 期 为 8,故 人 出)在(6,8)上 单 调 递 增，。错 误；根 据 题 目 条 件 画 出 f(x)与 g=-1 g/的 函 数 图 象，如 图 所 示：其 中 V=Tg单 调 递 减 且 一 lgl2-1,所 以 两

41、函 数 有 6 个 交 点，故 方 程/(c)+lgz=O 仅 有 6 个 实 数 解，。正 确.故 选：ABD18.(2023.全 国 方 三 专 题 练 习)已 知.f(z)是 定 义 域 为(-00,4-00)的 奇 函 数，/(1+1)是 偶 函 数，且 当 工(0,1时,f3)=一 火 工-2),则()A./()是 周 期 为 2 的 函 数 B./(2019)+7(2020)=-1C.f(x)的 值 域 为-1,1 D.y=/(x)在 0,27c上 有 4个 零 点【答 案】【解 析】对 于 4 J Q+1)为 偶 函 数，其 图 像 关 于 轴 对 称，把/Q+1)的 图 像 向

42、 右 平 移 1个 单 位 得 到/(x)的 图 像，所 以/(图 象 关 于 力=1对 称，即 f(1+工)=1(1 一 工),所 以)(2+x)=f(-x),/(工)为 H 上 的 奇 函 数，所 以/(-X)=-/3),所 以/(2+=-/(X),用 2 替 换 上 式 中 的 x 得，/(4+s)=-f(x+2),所 以，.f(4+)=/3),则/()是 周 期 为 4 的 周 期 函 数.故 A 错 误.对 于 B,7(工)定 义 域 为 R 的 奇 函 数，则/(0)=(),/(x)是 周 期 为 4 的 周 期 函 数,则 f(2020)=/(0)=0;当 2 C(0,1 时,/

43、()=x(x 2),则/(I)=-1 x(1 2)=1,则/(2019)=/(-1+2020)=/(-1)=一/=-1,则/(2019)+/(2020)=1.故 B 正 确.对 于 C,当 c W(0,1时,f Q)=-x(x-2),此 时 有 0 f(x)V 1,又 由/(,)为 凡 上 的 奇 函 数，则 工 e 1,0)时,-lf(x)0,/(0)=0,函 数 关 于 工=1 对 称，所 以 函 数/(工)的 值 域 1,1.故 C 正 确.对 于，.()=0,且(0,1时,/(立)=-0；(2-2),x E Q4,/(sc)=x(x 2),x 1,2,2-xE 0,1,/(x)=/(2

44、 x)=x(x 2).cC 0,2时，/(0=一 工 3 2),此 时 函 数 的 零 点 为 0,2;/(x)是 奇 函 数，工 e 2,0,/(x)=x(x+2),(2)A s(2,4时，()的 周 期 为 4,.力-46 2,0,f(x)=f(x-4)=(x-2)(x 4),此 时 函 数 零 点 为 4;(3)/.x G(4,6时，x-4 G 0,2,/(a?)=/(x 4)=(x 4)Q 6),此 时 函 数 零 点 为 6;.x(6,2兀 时，；.一 4(2,4,f(x)=/(x 4)=Q 6)(2 8),此 时 函 数 无 零 点；综 合 以 上 有，在(0,2兀)上 有 4 个

45、 零 点.故。正 确；故 选：BCD19.(2023春 广 东 广 州 高 三 广 州 市 昌 山 商 级 中 学 校 考 阶 段 练 习)已 知 人 乃 是 定 义 域 为(一 8,+8)的 奇 函 数，/(4+1)是 偶 函 数,且 当 立 e(0,1时,f(x)=xx-2),则()A./(工)是 周 期 为 2的 函 数 B./(2019)4-7(2020)=-1C./(re)的 值 域 为 一 1,1D./(立)的 图 象 与 曲 线 沙=c o s/在(0,2兀)上 有 4个 交 点【答 案】BCD【解 析】根 据 题 意，对 于 4/(工)为 R.上 的 奇 函 数，/(/+1)为

46、 偶 函 数，所 以/()图 象 关 于(=1对 称,/(2+x)=f(-x)=-f(x)即 f(x+4)=-f(x+2)=f(x)则/(c)是 周 期 为 4 的 周 期 函 数，4 错 误；对 于 B J Q)定 义 域 为 H 的 奇 函 数，则/(0)=0,f(x)是 周 期 为 4 的 周 期 函 数，则/(2020)=/(0)=0;当 rc(0,1 时,f Q)=一 田(土 一 2),则/(1)=-1 x(1-2)=1,则 7(2019)=/(-1+2020)=/(-1)=-f(l)=-1,则/(2019)+/(2020)=1;故 6 正 确.对 于。，当 rr e(0,1 8j-

47、,f(x)=x(x 2)，此 时 有 0 f(x)&1,又 由/Q)为 H 上 的 奇 函 数，则 工 1,0)时,-l f(x)0,f(0)=0,函 数 关 于 工=1对 称，所 以 函 数/(立)的 值 域 1,1.故。正 确.对 于。，./()=0,且 2 6(0,1 a t,f(x)=-x(x-2),x G 0,1,/(x)=-x x 2),：.x E 1,2,2 x G 0,1,f(x)=/(2 x)=x(x 2),x E 0,2,f(x)=-x x 2),是 奇 函 数，-2,0,f(x)=x(x+2),./(x)的 周 期 为 4,；.c e 2,4,/(x)=(x 2)(x 4

48、),x 6 4,6,f(x)=(.r 4)(a?6),x C 6,2 T T,f(x)=(s 6)(s 8),设 9(工)=/(工)cosx,当 c C 0,2,g(x)x2+2x C O S T,g(JC)=2x+2+sin,设 九(1)=gr(x),hr(x)=-2+COST V 0 在 0,2 恒 成 立，-c)在 0,2 单 调 递 减，即 g，Q)在 0,2 单 调 递 减,且 g(1)=sinl 0,g(2)=-2+sin20,gQ)单 调 递 增，x W(血,2)O V0,g(z)单 调 递 减,g(0)=1 cosl 0,g(g)g(l)0,g(2)=cos2 0,所 以 g(

49、c)在(0,网)有 唯 一 零 点，在(厮 2)没 有 零 点，即 化(0,2,/(x)的 图 象 与 曲 线 g=cosi有 1个 交 点，当 z 2,4 时，g(z)=f(x)cosrr=x26x+8 cosrc,则 g(力)=2i 6+sin/,=g，(x)=2c 6+sinc,则-3)=2+cosrr0,所 以 gQ)在 2,4 上 单 调 递 增，且 g(3)=sin30,pr(2)=-2+sin2 0,所 以 存 在 唯 一 的 2,3 U 2,4,使 得 g，Q)=0,所 以 年 以(2,1),gQ)0,g(x)在(电,4)单 调 递 增，又 g(3)=1 cos3 0,所 以

50、gQi)Vg(3)0,g(4)=cos4 0,所 以 g(z)在(2,刈)上 有 一 个 唯 一 的 零 点，在(xi,4)上 有 唯 一 的 零 点，所 以 当 iG 2,4 时，/(i)的 图 象 与 曲 线 y=cosc有 2 个 交 点 一 当。G 4,6 时，同 G 0,2,f 3)的 图 象 与 曲 线 沙=85 力 有 1个 交 点，当 力 G 6,2兀,/(2)=(4 6)(%8)V 0,y=cosx0,/(x)的 图 象 与 曲 线 g=cos力 没 有 交 点，所 以/(1)的 图 象 与 曲 线 U=COSN在(0,2兀)上 有 4 个 交 点，故。正 确；故 选：8CD