北京市七年级数学下学期期末三年（2020-2022）试题-07平行线的判定与性质（解答题中档题）.pdf

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1、北 京 市 七 年 级 数 学 下 学 期 期 末 三 年（2020-2022）试 题 知 识 点 分 类 汇 编-07平 行 线 的 判 定 与 性 质（解 答 题 中 档 题）1.（2022春 昌 平 区 期 末）如 图 1.直 线 与 直 线 48、C D 分 别 交 于 点 E、M、F,Z1+Z2=180.（1）请 直 接 写 出 直 线 AB 与 CZ）的 位 置 关 系.（2）如 图 2,动 点 P 在 直 线 48,8 之 间，且 在 直 线 左 侧.连 接 EP,F P,探 究/AEP,NEPF.NP 尸 C 之 间 的 数 量 关 系.小 明 经 过 分 析 证 明 的 过

2、程 如 下：过 点 P 作 PH/AB.：.Z A E P=（两 直 线 平 行，内 错 角 相 等）.：AB/CD（已 知）.J.CD/PH（平 行 于 同 一 条 直 线 的 两 条 直 线 2F平 行）.尸（两 直 线 平 行.内 错 角 相 等）.NEP F=ZEPII+ZHPF,（等 量 代 换）.请 你 补 全 上 述 的 证 明 过 程.（3）小 明 进 一 步 探 究，分 别 作 出 NPE8和/PFZ）的 角 平 分 线，若 两 条 角 平 分 线 交 于 点 Q,如 图 3.若 NEP尸=90.则 N E Q F=.探 究 N E P F 与 N E Q F 的 数 量 关

3、 系，小 明 思 路 如 下：设 NEPF=a,进 一 步 可 知 NPEB+N尸 F）=.（用 含 a 的 式 子 表 示）.设/E。/=0,用 等 式 表 示 a 与 0 的 数 量 关 系.2.（2021春 北 京 期 末）如 图，A D 1 B C,垂 足 为。，EF BC,垂 足 为 点 尸，Z E=Z 3,求 证：是 N8AC的 平 分 线.请 将 下 面 的 证 明 过 程 补 充 完 整.证 明：ADLBC,E F Y B C,（已 知）.N 4=N 5=90,（垂 直 定 义）C.AD/EF,（）.-.Z=Z 2,（两 直 线 平 行，同 位 角 相 等）/3=.（）,（已

4、知）/.，（等 量 代 换）.,AQ是 NBAC的 平 分 线.（角 平 分 线 定 义）E3.（2021 春 怀 柔 区 期 末）已 知：如 图，AELBC,FGLBC,Z1=Z 2,求 证：AB/CD.4.(2021春 怀 柔 区 期 末)探 究 题 学 习 完 平 行 线 的 性 质 与 判 定 之 后，我 们 发 现 借 助 构 造 平 行 线 的 方 法 可 以 帮 我 们 解 决 许 多 问 题.(1)小 明 遇 到 了 下 面 的 问 题：如 图 1,人/2，点 P 在/1、/2内 部，探 究/A，ZAPB,的 关 系.小 明 过 点 P 作 的 平 行 线，可 证/APB,Z

5、A,之 间 的 数 量 关 系 是：N A P B=.(2)如 图 2,若 AC BD,点 P 在 AC、8。外 部，NA,NB,N4PB 的 数 量 关 系 是 否 发 生 变 化？请 你 补 全 下 面 的 证 明 过 程.过 点 P 作 PE/AC.:.ZA=_9：AC/BD：./N B=_N B%=NBPE-AEPA(3)随 着 以 后 的 学 习 你 还 会 发 现 平 行 线 的 许 多 用 途.试 构 造 平 行 线 解 决 以 下 问 题：己 知：如 图 3,三 角 形 ABC,求 证：N 4+N B+N C=5.(2021春 海 淀 区 校 级 期 末)已 知，如 图 1,射

6、 线 P E 分 别 与 直 线 A8,C。相 交 于 E、F两 点，/PF Q 的 平 分 线 与 直 线 A8 相 交 于 点 M,射 线 交 C。于 点 N,设 NPFM=a,Z EMFP且 V80-2 a+|p 40|o（1）a=,p=；直 线 AB 与 C）的 位 置 关 系 是；（2）若 点 G、H 分 别 在 直 线 M A 和 射 线 F M 上，且 N M G H=N P N F,试 找 出/F M N 与/G H F 之 间 存 在 的 数 量 关 系，并 证 明 你 的 结 论；（3）若 将 图 1 中 的 射 线 P M 绕 着 端 点 P 顺 时 针 方 向 旋 转（

7、如 图 2）,分 别 与 AB、C O 相 交 于 点 M 和 点 M 时，作 的 角 平 分 线 MiQ与 射 线 相 交 于 点 Q,在 旋 转 的 过 程 中：若 PM1 QF,则/F P M 的 大 小 为.6.（2021春 平 谷 区 期 末）完 成 下 面 的 证 明：己 知：如 图，AB/CD,A O 和 B C 交 于 点。，E 为 0 4 上 一 点，作 交 A B 于 点 F.求 证：ZEFA AC.证 明：*/ZAEF=ZAOB,：./（）.：.ZEFA=ZB.AB/CD,：.N B=N C.:.N E F A=/C.7.（2021春 东 城 区 校 级 期 末）如 图，

8、已 知/l+N2=180,Z 3=Z B,则。E 8C,下 面 是 王 华 同 学 的 推 导 过 程，请 你 帮 他 在 括 号 内 填 上 推 导 依 据 或 内 容.证 明：VZ1+Z2=18O（已 知），Z1=Z4（）,/.Z 2+=180.J.EH/AB（）.A Z B=NEHC（）.V Z 3=Z B（已 知）：.Z 3=Z E H C（）.J.DE/BC（）.8.（2021春 海 淀 区 校 级 期 末）填 空（请 补 全 下 列 证 明 过 程 及 括 号 内 的 依 据）已 知：如 图，Z1=Z2,N B=N C.求 证：Z B+Z B F C=180证 明：N1=N2（已

9、知），且 N1=NCG(),：.N2=4CGD(),J.CE/BF(),A Z=/C().又,：2 B=4 C（己 知）/.Z=Z B(等 量 代 换)，：.AB/CD(),A ZB+ZBFC=180().9.（2021春 海 淀 区 校 级 期 末）已 知，如 图，BCE、AFE是 直 线，AB/CD,Z1=Z2,Z3=Z 4,求 证：A D/BE.10.(2021春 西 城 区 校 级 期 末)完 成 证 明 并 写 出 推 理 根 据：已 知，如 图，Z l=132,NACB=48,Z 2=Z 3,FHLAB 于 H,求 证：CD1AB.证 明：；N1=132,ZACB=48,/.Zl+

10、ZACB=180：.DE/BC：.Z 2=Z D C B()又；N 2=/3：.N 3=/D C B：.HF/DC():./C D B=N F H B.()又，NFHB=90():.N C D B=.：.C D L A B.()11.（2021春 石 景 山 区 校 级 期 末）完 成 下 面 的 证 明:(1)已 知：如 图 1,AB/CD.求 证：N1+/3=18O.证 明：.AB/CD(已 知)，./1+/2=180(),又：/2=/3(),.*.Zl+Z3=180(),(2)已 知：如 图 2,AM/EF,Z1=ZB.求 证：Z2=ZC.证 明：=(已 知)，J.EF/BC(),JAM

11、/EF(已 知)，：.AM/BC(),A Z 2=Z C().12.(2020春 海 淀 区 校 级 期 末)完 成 下 面 推 理 过 程：如 图，已 知 N1=N2,N B=/C,可 推 得 AB CD 理 由 如 下:VZ1=Z2()且 N1=/CG(),N 2=N C G D()J.CE/BF().A Z=N C().又/N C()Z=Z B()J.AB/CD().13.(2020春 东 城 区 校 级 期 末)完 成 下 面 的 证 明：已 知：如 图，A B/D E,求 证：Z D+Z B C D-Z B=180,证 明：过 点 C 作 C尸 A8.,JAB/CF(己 知)，A Z

12、 B=().：AB/DE,CF/AB(已 知)，J.CF/DE()A Z 2+=180()；N 2=N BC D-Z L.ZD+ZBCD-ZB=180().14.（2020春 西 城 区 校 级 期 末）如 图，点。在 直 线 A B 上，OCLOD,NEQ。与 N 1 互 余,O尸 平 分/C O。交 D E于 点 F.（1）补 全 图 形；（2）若 NOFD=7Q。，补 全 如 下 求 N 1 度 数 的 过 程.解：OCOD,：.ZCOD=9Q,直 线 AB,：.ZBOD=SO-Z1-Z C O D=90-Z l.NE。与 N1 互 余，：.Z E D O=Z B O D（依 据：）,：

13、.ED/AB（依 据：）.V Z O F D=70,=Z O F D=7 0.；OF 平 分/C O O,：.A C O F=45,/1=ZFOA-N C O F=.15.（2020春 海 淀 区 校 级 期 末）如 图，已 知 A O 1.8C于 点。，EG_LBC于 点 G,/E=/3,则 是 N 8A C的 平 分 线 吗？若 是，请 说 明 理 由.E16.（2020春 东 城 区 期 末）阅 读 下 面 材 料：彤 彤 遇 到 这 样 一 个 问 题：已 知：如 图 甲，AB/CD,E 为 AB,C C之 间 一 点，连 接 BE,D E,得 到 N B ED求 证：N B E D=

14、N B+N D.彤 彤 是 这 样 做 的：过 点 E 作 EF/AB,则 有 JAB/CD,：.EF/CD.：.ZFED=ZD.：.Z BEF+Z FED=N B+N D.即 NB）=NB+N.请 你 参 考 彤 彤 思 考 问 题 的 方 法，解 决 问 题：如 图 乙.已 知：直 线 a 6,点 A,8 在 直 线。上，点 C,。在 直 线 6 上，连 接 AD,BC,B E 平 分 ZABC,O E 平 分 N A Q C,且 BE,O E 所 在 的 直 线 交 于 点 E.（1）如 图 1,当 点 8 在 点 A 的 左 侧 时，若 NABC=60,Z A D C=70,求 NBE

15、）的 度 数；B（2）如 图 2,当 点 B 在 点 A 的 右 侧 时，设 乙 数（用 含 有 a,p 的 式 子 表 示）.R BC D D图 甲 17.（2020春 西 城 区 期 末）如 图，在 ABC中,C,点，在 B C 边 上，且/1+/2=180请 将 下 面 的 证 明 过 程 补 充 完 整：证 明：CEF/DC,A Z 2+Z _=180.（理 由：_:V Z l+Z2=180,A Z 1=Z _._/_.（理 由：_）Z A=Z B D H.4BC=a,Z A D C=p,直 接 写 出 的 度 T-a _1?C b D C1 图 2图 乙 点 O,E 在 A B 边

16、上，点 F 在 A C 边 上，EF.求 证：N A=NBDH.）H参 考 答 案 与 试 题 解 析 1.【解 析】解：（1）AB C Q,理 由 如 下：；N B E F=N 1,Z D F E=Z 2,N l+/2=1 8 0 A Z BEF+Z D F E Z 1+Z 2=180,:.AB C D；（2）过 点 P 作 P”AB./A E P=N E P/7（两 直 线 平 行，内 错 角 相 等）.,JA B/C D（已 知）.：.C D/P H（平 行 于 同 一 条 直 线 的 两 条 直 线 2尸 平 行）.N P F C=N H P F（两 直 线 平 行.内 错 角 相 等

17、）.,/NE PF=ZEPH+ZH PF,：.NE PF=ZAEP+NPFC（等 量 代 换）.【答 案】NEPH；ZE P F=ZAEP+ZPFC；（3）由（2）得：ZE P F=ZA E P+Z P F C,；NEPF=90,/.Z A E P+ZP F C 90,V Z P E B=180-ZAE P,Z P F D=180-N P F C,：.ZP E B+ZP F D=360-（ZA E P+ZP F C）=270,/EQ 平 分 ZPEB,FQ 平 分/P F D,NPEQ=L/PEB,NPFQ=L NPFD,2 2：.Z P E Q+Z P F Q=1（NPEB+NPFD）=13

18、5,./E Q F=3 6 0-ZE P F-（NPEQ+NPFQ）=135；【答 案】135；设 N E P F=a,由 可 得：NPEB+NPFD=360-a,设/E Q F=0,由 得：8=3 6 0-a 卷（3 6 0-a）=180【答 案】360-a,180-W.22.【解 析】证 明：X O L B C,E F 1 8 C,（已 知）A Z 4=Z 5=9 0,（垂 直 定 义）J.A D/E F,（同 位 角 相 等，两 直 线 平 行）:.N E=N 2,（两 直 线 平 行，同 位 角 相 等）Z3=Z 1.（两 直 线 平 行，内 错 角 相 等）V Z E=Z 3,（已

19、知）A Z 1=Z 2,（等 量 代 换）.A0 是 N B 4C的 平 分 线.（角 平 分 线 定 义）【答 案】同 位 角 相 等，两 直 线 平 行；Z 1；两 直 线 平 行，内 错 角 相 等；Z E=Z 3；Z l=Z2.3.【解 析】证 明：.,AE_LBC,FGBC,：.Z A M B Z G W=90,：.AE/FG,Z A=Z 1；又 4=/2,4.【解 析】解:(1)如 图，过 P 作 PE A，：l/h，：.P E/l/h，：.Z A P E=Z A,Z B P E=Z B,：.NAPB=NAPE+NBPE=ZA+ZB,【答 案】ZA+ZB.（2）如 图 2,过 点

20、P 作 PE AC.Z A=Z 1,9：AC/BDf：.PE/BD,：.NB=NEPB,V ZAPB=ZBPE-4EPA,：.Z A P B=Z B-Z l；【答 案】Z l,PE,BD,/E P B,Z A P B=Z B-Z l；(3)证 明：如 图 3,过 点 A作 MN BC,N B=N 1,Z C=Z 2,VZBAC+Z1+Z2=18O,A ZBAC+ZB+ZC=180.5.【解 析】解：(1)5-8 0-2 1+1 0-40|=0,A 8 0-2 a=0,p-40=0,.,.a=40,0=40,/FM是 ZP FD的 角 平 分 线，NMFE=NMFN=ZEMF=40,J.AB/C

21、D,【答 案】40,40,AB/CD,(2)NFMN+/G4F=180 或 N F M N=/G H F,证 明 如 下:当 G点 在 M点 左 侧 时,Y A B/C D,:./P M A=/P N F,:N M G H=N PN F,：.N P M A=N M G H,:GH PN,：/GHM=NFM N,：ZG H M+ZG H F=SOQ,A ZFM7V+ZGHF=180；当 G 点 在 M 点 右 侧 时，:/P M A=Z P N F,.,ZM G H=NPNF,：.Z P M A=Z M G H,:.G H PN,：./F M N=/G H F；综 上，N 尸 M N 与 N G

22、/之 间 存 在 的 数 量 关 系 为/bM N+N G”/=180或 N F M N=/GHF；(3)；PMi QF,：./F P N i=/P F Q,由(1)知 N尸 网 2=40,：.Z F P N=40,【答 案】400；如 图 2,作 的 角 平 分 线 交 Mi。于 R,o图 2,JAB/CD,：.ZPEB=ZPFD,:ER 平 分 4PEB,FQ 平 分 NPFD,NPER=L NPEB,NPFQ=L NPFD,2 2：.ZPER=ZPFQ,：.ER/FQ,:.N Q=N ER M i，：NREB=NRM1E+/ERM1,/P E B=ZPMiE+ZMPE,又 平 分 NPM

23、iE,：.Z R M E Z P M E,2NREB=L NPEB,2.,.A Z PB=A Z PMI+A Z MIPE,2 2 2即 NERMI=J LNMIPE,2:.N Q=L/F P N 1,2【答 案】2.6.【解 析】证 明：NAEF=NAOB,J.EF/OB（同 位 角 相 等，两 直 线 平 行）,:E F A=4 B.,:AB CD,；.NB=NC（两 直 线 平 行，内 错 角 相 等）.：.ZEFA=Z C（等 量 代 换）.【答 案】EF/OB,同 位 角 相 等，两 直 线 平 行，两 直 线 平 行，内 错 角 相 等，等 量 代 换.7.【解 析】证 明：/1+

24、/2=1 8 0（已 知），Z1=Z 4（对 顶 角 相 等），二/2+/4=1 8 0.EH/AB（同 旁 内 角 互 补，两 直 线 平 行）.N B=N E”C（两 直 线 平 行，同 位 角 相 等）.V Z 3=Z B（已 知）.N 3=N E H C（等 量 代 换）.（内 错 角 相 等，两 直 线 平 行）.【答 案】对 顶 角 相 等；Z 4；同 旁 内 角 互 补，两 直 线 平 行；两 直 线 平 行，同 位 角 相 等；等 量 代 换；内 错 角 相 等，两 直 线 平 行.8.【解 析】证 明：=（已 知），且/1=/C G。（对 顶 角 相 等），：.Z 2=Z C

25、 G D（等 量 代 换），.CE BF（同 位 角 相 等，两 直 线 平 行），.N BF=N C（两 直 线 平 行，同 位 角 相 等），又（己 知）:.N B F D=N B（等 量 代 换），.AB CD（内 错 角 相 等，两 直 线 平 行），A Z B+Z B F C=180（两 直 线 平 行，同 旁 内 角 互 补）.【答 案】对 顶 角 相 等；等 量 代 换；同 位 角 相 等，两 直 线 平 行；BFD-,两 直 线 平 行，同 位 角 相 等；BFD；内 错 角 相 等，两 直 线 平 行；两 直 线 平 行，同 旁 内 角 互 补.9.【解 析】证 明：.AB/

26、CD,：.N4=NBAE.；/3=/4,：.Z3=ZBAE.V Z 1=Z 2,：.Z1+ZCAE=Z2+ZCAE 即:.AD BE.10.【解 析】证 明：VZ1=132,NACB=48,.,.Zl+ZACB=180J.DE/BC：.N 2=N D C B（两 直 线 平 行 内 错 角 相 等）又；Z2=Z3：.Z 3=Z D C B：.HF/DC（同 位 角 相 等 两 直 线 平 行）.NCO8=/FHb（两 直 线 平 行 同 位 角 相 等）又:.NFHB=90（垂 直 的 定 义）:.NCDB=90.CZ_LA&（垂 直 的 定 义）【答 案】两 直 线 平 行 内 错 角 相

27、等；同 位 角 相 等 两 直 线 平 行；两 直 线 平 行 同 位 角 相 等；垂 直 的 定 义；90；垂 直 的 定 义.11.【解 析】（1）证 明：.AB CZ）（已 知），./1+/2=180（两 直 线 平 行，同 旁 内 角 互 补），又/2=/3（对 顶 角 相 等），.,.Zl+Z3=180（等 量 代 换），（2）证 明:VZ1=ZB（已 知）,.EF BC（同 位 角 相 等，两 直 线 平 行），,JAM/EF（已 知），：.AM/BC（如 果 两 条 直 线 都 和 第 三 条 直 线 平 行，那 么 这 两 条 直 线 也 互 相 平 行），N 2=/C（两 直

28、 线 平 行，内 错 角 相 等）.【答 案】两 直 线 平 行，同 旁 内 角 互 补；对 顶 角 相 等；等 量 代 换；同 位 角 相 等，两 直 线 平 行；两 直 线 平 行，内 错 角 相 等.12.【解 析】解：N1=N2（已 知），且 N1=NCG（对 顶 角 相 等）,：.Z 2=Z C G D（等 量 代 换），.CE BF（同 位 角 相 等，两 直 线 平 行）.（两 直 线 平 行，同 位 角 相 等）.又（已 知）,:.N B F D=N B（等 量 代 换），.AB CQ（内 错 角 相 等，两 直 线 平 行）.【答 案】已 知，对 顶 角 相 等，等 量 代

29、换，同 位 角 相 等，两 直 线 平 行，B F D,两 直 线 平 行,同 位 角 相 等，已 知，B F D,等 量 代 换，内 错 角 相 等，两 直 线 平 行.13.【解 析】证 明：过 点 C 作 C尸 AB,JAB/CF（已 知），.N B=N 1（两 直 线 平 行，内 错 角 相 等），ABZ/DE,CF/AB（已 知），J.CF/DE（平 行 于 同 一 条 直 线 的 两 条 直 线 平 行），/.Z 2+Z Z）=1 8 0o（两 直 线 平 行，同 旁 内 角 互 补），V Z 2=Z B C D-Z 1,：.ZD+ZBCD-Z B=180（等 量 代 换），【答

30、案】Z 1,两 直 线 平 行，内 错 角 相 等，平 行 于 同 一 条 直 线 的 两 条 直 线 平 行，Z D,两 直 线 平 行，同 旁 内 角 互 补，等 量 代 换.14.【解 析】解：（1）如 图 所 示，O F 平 分 N C O D 交 D E 于 点 F,：.ZCOD=90,.直 线 AB,./8 0。=180-Z1-ZCOD=90-Z 1.,:N E D O 与 N 1 互 余，.NEO=NB。（依 据：同 角 的 余 角 相 等），J.ED/AB（依 据：内 错 角 相 等，两 直 线 平 行）.V Z=70,A ZAOF=ZOFD=10.-O F 平 分/C O。，

31、ZCOF=AZDOC=45,2，/1=ZFOA-NCOF=25.【答 案】同 角 的 余 角 相 等；内 错 角 相 等，两 直 线 平 行；ZAOF；IZ D O C；25.215.【解 析】解：是，理 由 如 下：VAD1BC,EG1BC,.N 4=N 5=90,J.AD/EG,Z 1=Z,N 2=N 3,V Z E=Z 3,；.N l=/2,平 分 N8AC.16.【解 析】解：（1）如 图 1,过 点 E 作 E尸 AB,有 NBEF=NEBA.：AB/CD,J.EF/CD.：.ZFED=A EDC.：.NBEF+NFED=ZEBA+ZEDC.即/B E D=ZEBA+ZEDC,BE平

32、 分 NA8C,OE平 分/ADC,.NEBA=NABC=30。，/EC=_1/AOC=35,2 2A ZBED=ZEBA+ZEDC=65.答：NBEO的 度 数 为 65：(2)如 图 2,过 点 E 作 EF AB,有 NBEF+NEBAnlSO。.,.ZB F=18O-N E B A,:A B/C D,J.EF/C D.：.NFED=NEDC.：.ZBE F+ZFED=180-ZEBA+ZED C.即 NBED=1800-ZEBA+ZED C,平 分 N 48C,OE 平 分/A D C,Z E B A=Z A B C=1-a，Z D C=A Z ADC=J-R,2 2 2 2 PZ B D=1800-ZEB A+ZED C=180-工 a+1 B.2 2 P答:NBE 的 度 数 为 180-Aa+R.2 2 P17.【解 析】证 明：尸 DC,.,.Z 2+Z F C D=I8 0（两 直 线 平 行，同 旁 内 角 互 补），V Z l+Z 2=1 8 0,；.N 1=NFCD,.OH AC（内 错 角 相 等，两 直 线 平 行），N A=N B D H,【答 案】F C C,两 直 线 平 行，同 旁 内 角 互 补，FCD,DH,A C,内 错 角 相 等，两 直 线 平 行.