第三章 解线性方程组的直接方法的matlab程序_高等教育-微积分.pdf

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1、 在科技、工程、医学和经济等各个领域中，经常遇到求解包含n个未知数、由m个方程构成的线性方程组 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 （3.1）的问题.线性方程组（3.1）的解法一般有直接法和迭代法.迭代法是求解大型稀疏矩阵方程组，尤其是由微分方程离散后得到的大型方程组的重要方法.在这章中我们要学习线性方程组的直接法，特别是适合用数学软件在计算机上求解的方法.3.1 方程组的逆矩阵解法及其 MATLAB 程序 3.1.1 逆矩阵、行列式及其MATLAB命令 当矩阵A为方阵时，A的行列式通常表示为)det(A或A.当0)det(A

2、时，A可逆，且可以用表 3-1中的 MATLAB 命令求A的逆矩阵和行列式.表 3-1 命 令 功 能 NA=inv(A)输入矩阵A，运行后输出A的逆矩阵1A；HA=det(A)输入矩阵A，运行后输出A的行列式)det(A的值.3.1.2 方程组的逆矩阵解法及其MATLAB程序 在 MATLAB 中引进了矩阵除法的概念，它包括左除和右除.设两矩阵BA,为n阶方阵，且A，B皆可逆，则矩阵方程CAX，DYB,FAZB 的解都可以用表 3-2中的命令求出.表 3-2 命 令 相同功能的命令 功 能 X=AC X=inv(A)*C 输入矩阵A和C，运行后输出矩阵方程CAX 的解CAX1 Y=D/B Y

3、=D*inv(B)输入矩阵B和D，运行后输出矩阵方程DYB 的解1DBY Z=A F/B Z=inv(A)*F*inv(B)输入矩阵A，B和F，运行后输出矩阵方程FAZB 的解11FBAZ 3.1.3 线性方程组有解的判定条件及其 MATLAB 程序 解非齐次线性方程组，将其增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解.判定线性方程组AnmbX 是否有解的 MATLAB 程序 第三章 解线性方程组的直接方法 输入的量：系数矩阵A和常数向量b；输出的量：RA和 RB 分别是系数矩阵A和增广矩阵B的秩,n 是方程组中未知量的个数，另外还输出有关方程组解的信息

4、.说明：(1)求矩阵A的秩用 MATLAB 命令：RA=rank(A).(2)如果有唯一解，则用表 3-2方法求解;如果有无穷多解，则将其增广矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解.根据线性方程组有解的判定条件，现提供判定线性方程组是否有解的 MATLAB 程序 function RA,RB,n=jiepb(A,b)B=A b;n=length(b);RA=rank(A);RB=rank(B);zhica=RB-RA;if zhica0,disp(请注意：因为RA=RB，所以此方程组无解.)return end if RA=RB if RA=n disp(请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组

5、有唯一解.)else disp(请注意：因为RA=RB A=2 3-1 5;3 1 2-7;4 1-3 6;1-2 4-7;b=0;0;0;0;RA,RB,n=jiepb(A,b)运行后输出结果为 请注意：因为 RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.RA=4,RB=4,n=4 在 MATLAB 工作窗口输入 X=Ab,运行后输出结果为 X=(0 0 0 0).(2)在 MATLAB 工作窗口输入程序 A=3 4-5 7;2-3 3-2;4 11-13 16;7-2 1 3;b=0;0;0;0;RA,RB,n=jiepb(A,b)运行后输出结果 请注意：因为 RA=RB A=4 2-1;3-1

6、2;11 3 0;b=2;10;8;RA,RB,n=jiepb(A,B)运行后输出结果 请注意：因为 RA=RB，所以此方程组无解.RA=2,RB=3,n=3(4)在 MATLAB 工作窗口输入程序 线性方程组的问题线性方程组的解法一般有直接法和迭代法迭代法是求解大型稀疏矩阵方程组尤其是由微分方程离散后得到的大型方程组的重要方法在这章中我们要学习线性方程组的直接法特别是适合用数学软件在计算机上求解的命令求的逆矩阵和行列式或当时可表命令功能输入矩阵运行后输出的逆矩阵输入矩阵运行后输出的行列式的值方程组的逆矩阵解法及其程序在中引进了矩阵除法的概念它包括左除和右除设矩阵为阶方阵且皆可逆则矩阵方程的解

7、都可方程的解输入矩阵和运行后输出矩阵方程的解线性方程组有解的判定条件及其程序解非齐次线性方程组将其增广矩阵化成行阶梯形矩阵便可判断其是否有解若有解化成行最简形矩阵便可写出其通解判定线性方程组是否有解的程序输 A=2 1-1 1;4 2-2 1;2 1-1-1;b=1;2;1;RA,RB,n=jiepb(A,b)运行后输出结果 请注意：因为 RA=RB0,disp(请注意：因为RA=RB，所以此方程组无解.)return end if RA=RB if RA=n disp(请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.)X=zeros(n,1);X(n)=b(n)/A(n,n);for k=

8、n-1:-1:1 X(k)=(b(k)-sum(A(k,k+1:n)*X(k+1:n)/A(k,k);end else disp(请注意：因为RA=RBA=5-1 2 3;0-2 7-4;0 0 6 5;0 0 0 3;b=20;-7;4;6;RA,RB,n,X=shangsan(A,b)运行后输出结果 请注意：因为 RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.RA=RB=4,4,n=4,X=2.4 -4.0 -1.0 2.0 3.3 高斯（Gauss）消元法和列主元消元法及其 MATLAB 程序 线性方程组的问题线性方程组的解法一般有直接法和迭代法迭代法是求解大型稀疏矩阵方程组尤其是由微分方程离散

9、后得到的大型方程组的重要方法在这章中我们要学习线性方程组的直接法特别是适合用数学软件在计算机上求解的命令求的逆矩阵和行列式或当时可表命令功能输入矩阵运行后输出的逆矩阵输入矩阵运行后输出的行列式的值方程组的逆矩阵解法及其程序在中引进了矩阵除法的概念它包括左除和右除设矩阵为阶方阵且皆可逆则矩阵方程的解都可方程的解输入矩阵和运行后输出矩阵方程的解线性方程组有解的判定条件及其程序解非齐次线性方程组将其增广矩阵化成行阶梯形矩阵便可判断其是否有解若有解化成行最简形矩阵便可写出其通解判定线性方程组是否有解的程序输 3.3.1 高斯消元法及其 MATLAB 程序 现提供的 MATLAB 程序是利用高斯消元法解

10、线性方程组bAX 的 MATLAB 程序.用高斯消元法解线性方程组bAX 的 MATLAB 程序 输入的量：系数矩阵A和常系数向量b；输出的量：系数矩阵A和增广矩阵B的秩RA,RB,方程组中未知量的个数n和有关方程组解X及其解的信息.function RA,RB,n,X=gaus(A,b)B=A b;n=length(b);RA=rank(A);RB=rank(B);zhica=RB-RA;if zhica0,disp(请注意：因为RA=RB，所以此方程组无解.)return end if RA=RB if RA=n disp(请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.)X=zeros

11、(n,1);C=zeros(1,n+1);for p=1:n-1 for k=p+1:n m=B(k,p)/B(p,p);B(k,p:n+1)=B(k,p:n+1)-m*B(p,p:n+1);end end b=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n);X(n)=b(n)/A(n,n);for q=n-1:-1:1 X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)/A(q,q);end else disp(请注意：因为RA=RB A=1-1 1-3;0-1-1 1;2-2-4 6;1-2-4 1;b=1;0;-1;-1;RA,RB,n,X=gaus(A,b)运行后输出

12、结果 请注意：因为 RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.RA=4 RB=4 n=4 3.3.2 列主元消元法及其 MATLAB 程序 X=0 -0.5000 0.5000 0 线性方程组的问题线性方程组的解法一般有直接法和迭代法迭代法是求解大型稀疏矩阵方程组尤其是由微分方程离散后得到的大型方程组的重要方法在这章中我们要学习线性方程组的直接法特别是适合用数学软件在计算机上求解的命令求的逆矩阵和行列式或当时可表命令功能输入矩阵运行后输出的逆矩阵输入矩阵运行后输出的行列式的值方程组的逆矩阵解法及其程序在中引进了矩阵除法的概念它包括左除和右除设矩阵为阶方阵且皆可逆则矩阵方程的解都可方程的解输入矩阵和

13、运行后输出矩阵方程的解线性方程组有解的判定条件及其程序解非齐次线性方程组将其增广矩阵化成行阶梯形矩阵便可判断其是否有解若有解化成行最简形矩阵便可写出其通解判定线性方程组是否有解的程序输 现提供的 MATLAB程序是利用回代法解上三角形线性方程组.关于解下三角形线性方程组的程序与之类似.用列主元消元法解线性方程组bAX 的 MATLAB 程序 输入的量：系数矩阵A和常系数向量b；输出的量：系数矩阵A和增广矩阵B的秩RA,RB,方程组中未知量的个数n和有关方程组解X及其解的信息.function RA,RB,n,X=liezhu(A,b)B=A b;n=length(b);RA=rank(A);R

14、B=rank(B);zhica=RB-RA;if zhica0,disp(请注意：因为RA=RB，所以此方程组无解.)return end if RA=RB if RA=n disp(请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.)X=zeros(n,1);C=zeros(1,n+1);for p=1:n-1 Y,j=max(abs(B(p:n,p);C=B(p,:);B(p,:)=B(j+p-1,:);B(j+p-1,:)=C;for k=p+1:n m=B(k,p)/B(p,p);B(k,p:n+1)=B(k,p:n+1)-m*B(p,p:n+1);end end b=B(1:n,n+

15、1);A=B(1:n,1:n);X(n)=b(n)/A(n,n);for q=n-1:-1:1 X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)/A(q,q);end else disp(请注意：因为RA=RB A=0-1-1 1;1-1 1-3;2-2-4 6;1-2-4 1;b=0;1;-1;-1;RA,RB,n,X=liezhu(A,b)运行后输出结果 请注意：因为 RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.RA=4，RB=4，n=4，X=0-0.5 0.5 0 3.4 LU分解法及其 MATLAB 程序 3.4.1 判断矩阵 LU 分解的充要条件及其 MATLAB 程序

16、 根据定理 3.5 和（3.16）式，现提供 MATLAB 程序如下：判断矩阵A能否进行 LU 分解的 MATLAB 程序 输入的量：系数矩阵A；运行后输出的量：矩阵A的秩 RA和各阶顺序主子式Adet(r）),2,1(nr的值 hl及其相关信息，A能否进行 LU 分解的信息.function hl=pdLUfj(A)n n=size(A);RA=rank(A);if RA=n 线性方程组的问题线性方程组的解法一般有直接法和迭代法迭代法是求解大型稀疏矩阵方程组尤其是由微分方程离散后得到的大型方程组的重要方法在这章中我们要学习线性方程组的直接法特别是适合用数学软件在计算机上求解的命令求的逆矩阵和

17、行列式或当时可表命令功能输入矩阵运行后输出的逆矩阵输入矩阵运行后输出的行列式的值方程组的逆矩阵解法及其程序在中引进了矩阵除法的概念它包括左除和右除设矩阵为阶方阵且皆可逆则矩阵方程的解都可方程的解输入矩阵和运行后输出矩阵方程的解线性方程组有解的判定条件及其程序解非齐次线性方程组将其增广矩阵化成行阶梯形矩阵便可判断其是否有解若有解化成行最简形矩阵便可写出其通解判定线性方程组是否有解的程序输disp(请注意：因为A的n阶行列式hl等于零，所以A不能进行LU分解.A的秩RA如下：),RA,hl=det(A);return end if RA=n for p=1:n,h(p)=det(A(1:p,1:p

18、);,end hl=h(1:n);for i=1:n if h(1,i)=0 disp(请注意：因为A的r阶主子式等于零，所以A不能进行LU分解.A的秩RA和各阶顺序主子式值hl依次如下：),hl;RA,return end end if h(1,i)=0 disp(请注意：因为A的各阶主子式都不等于零，所以A能进行LU分解.A的秩RA和各阶顺序主子式值hl依次如下：)hl;RA end end 例3.4.1 判断下列矩阵能否进行LU分解，并求矩阵的秩.（1）6547121321；（2）654721321；（3）654321321.解 （1）在MATLAB工作窗口输入程序 A=1 2 3;1

19、12 7;4 5 6;hl=pdLUfj(A)运行后输出结果为 请注意：因为A的各阶主子式都不等于零，所以A能进行LU分解.A的秩RA和各阶顺序主子式值hl依次如下：RA=3，hl=1 10 -48（2）在MATLAB工作窗口输入程序 A=1 2 3;1 2 7;4 5 6;hl=pdLUfj(A)运行后输出结果为 请注意：因为A的r阶主子式等于零，所以A不能进行LU分解.A的秩RA和各阶顺序主子式值hl依次如下：RA=3，hl=1 0 12（3）在MATLAB工作窗口输入程序 A=1 2 3;1 2 3;4 5 6;hl=pdLUfj(A)运行后输出结果为 请注意：因为A的n阶行列式hl等于

20、零，所以A不能进行LU分解.A的秩RA如下 RA=2，hl=0 3.4.2 直接 LU分解法及其 MATLAB 程序 根据定理 3.5 和（3.16）式，现提供 MATLAB 程序如下：将矩阵A进行直接 LU 分解的 MATLAB 程序 输入的量：系数矩阵A；输出的量：矩阵A的秩 RA和各阶顺序主子式Adet(r）),2,1(nr的值 hl及其相关信息，A能否进行 LU 分解的信息.如果A能进行 LU 分解，则输出L和U.function hl=zhjLU(A)n n=size(A);RA=rank(A);if RA=n disp(请注意：因为A的n阶行列式hl等于零，所以A不能进行LU分解.

21、A的秩RA如下),RA,hl=det(A);return 线性方程组的问题线性方程组的解法一般有直接法和迭代法迭代法是求解大型稀疏矩阵方程组尤其是由微分方程离散后得到的大型方程组的重要方法在这章中我们要学习线性方程组的直接法特别是适合用数学软件在计算机上求解的命令求的逆矩阵和行列式或当时可表命令功能输入矩阵运行后输出的逆矩阵输入矩阵运行后输出的行列式的值方程组的逆矩阵解法及其程序在中引进了矩阵除法的概念它包括左除和右除设矩阵为阶方阵且皆可逆则矩阵方程的解都可方程的解输入矩阵和运行后输出矩阵方程的解线性方程组有解的判定条件及其程序解非齐次线性方程组将其增广矩阵化成行阶梯形矩阵便可判断其是否有解若

22、有解化成行最简形矩阵便可写出其通解判定线性方程组是否有解的程序输end if RA=n for p=1:n h(p)=det(A(1:p,1:p);end hl=h(1:n);for i=1:n if h(1,i)=0 disp(请注意：因为A的r阶主子式等于零，所以A不能进行LU分解.A的秩RA和各阶顺序主子式值hl依次如下：),hl;RA return end end if h(1,i)=0 disp(请注意：因为A的各阶主子式都不等于零，所以A能进行LU分解.A的秩RA和各阶顺序主子式值hl依次如下：)for j=1:n U(1,j)=A(1,j);end for k=2:n for i

23、=2:n for j=2:n L(1,1)=1;L(i,i)=1;if ij L(1,1)=1;L(2,1)=A(2,1)/U(1,1);L(i,1)=A(i,1)/U(1,1);L(i,k)=(A(i,k)-L(i,1:k-1)*U(1:k-1,k)/U(k,k);else U(k,j)=A(k,j)-L(k,1:k-1)*U(1:k-1,j);end end end end hl;RA,U,L end end 例 3.4.3 用矩阵进行直接 LU 分解的 MATLAB 程序分解矩阵A3010342110100201.解 在MATLAB工作窗口输入程序 A=1 0 2 0;0 1 0 1;1

24、 2 4 3;0 1 0 3;hl=zhjLU(A)运行后输出结果 请注意：因为 A 的各阶主子式都不等于零，所以 A 能进行 LU 分解.A 的秩 RA和各阶顺序主子式值 hl 依次如下：RA=4 U=1 0 2 0 0 1 0 1 0 0 2 1 0 0 0 2 由此可见，例 3.4.3 和例 3.4.2中A的 LU分解式相同.3.4.3 含交换矩阵的 LU分解法及其 MATLAB 程序 含交换矩阵的 LU分解法的 MATLAB 程序是使用列主元消元法进行的，其命令和功能如下：L=1 0 0 0 0 1 0 0 1 2 1 0 0 1 0 1 hl=1 1 2 4 线性方程组的问题线性方程

25、组的解法一般有直接法和迭代法迭代法是求解大型稀疏矩阵方程组尤其是由微分方程离散后得到的大型方程组的重要方法在这章中我们要学习线性方程组的直接法特别是适合用数学软件在计算机上求解的命令求的逆矩阵和行列式或当时可表命令功能输入矩阵运行后输出的逆矩阵输入矩阵运行后输出的行列式的值方程组的逆矩阵解法及其程序在中引进了矩阵除法的概念它包括左除和右除设矩阵为阶方阵且皆可逆则矩阵方程的解都可方程的解输入矩阵和运行后输出矩阵方程的解线性方程组有解的判定条件及其程序解非齐次线性方程组将其增广矩阵化成行阶梯形矩阵便可判断其是否有解若有解化成行最简形矩阵便可写出其通解判定线性方程组是否有解的程序输MATLAB 命令

26、 功 能 X U=lu(A)输出 X 为一交换矩阵1P与单位下三角形矩阵L之积，U 为上三角形矩阵，使得XUA,其中LPX 1.L U P=lu(A)输出 L 为单位下三角形矩阵，U 为上三角形矩阵，P为一交换矩阵，使 LUPA.3.4.4 判断正定对称矩阵的方法及其 MATLAB 程序 根据定理 3.5 和（3.16）式，现提供 MATLAB 程序如下：判断矩阵A是否是正定对称矩阵的 MATLAB 程序 输入的量：系数矩阵A；输出的量：矩阵A的转置矩阵 zA 和A的各阶顺序主子式Adet()r),2,1(nr的值hl及其相关信息，A能否进行 LU 分解的信息.function hl=zddc

27、(A)n n=size(A);for p=1:n h(p)=det(A(1:p,1:p);end hl=h(1:n);zA=A;for i=1:n if h(1,i)0 disp(请注意：因为A的各阶顺序主子式hl都大于零，所以A是正定的.A的转置矩阵zA和各阶顺序主子式值hl依次如下：)hl;zA end 例 3.4.5 判断下列矩阵是否是正定对称矩阵：（1）98754113211143214321.0；(2)19631690230311211；(3)212100212100002121002121；（4）401061112.解 （1）在MATLAB工作窗口输入程序 A=0.1 2 3 4;

28、-1 2-3 4;11 21 13 41;5 7 8 9;hl=zddc(A)运行后输出结果 请注意：因为 A 的各阶顺序主子式 hl 不全大于零，所以 A 不是正定的.A 的转置矩阵 zA 和各阶顺序主子式值 hl 依次如下：zA=1/10 -1 11 5 2 2 21 7 3 -3 13 8 4 4 41 9 hl=1/10 11/5 -1601/10 3696/5 因此,A即不是正定矩阵，也不是对称矩阵.（2）在MATLAB工作窗口输入程序 A=1-1 2 1;-1 3 0-3;2 0 9-6;1-3-6 19,hl=zddc(A)线性方程组的问题线性方程组的解法一般有直接法和迭代法迭代

29、法是求解大型稀疏矩阵方程组尤其是由微分方程离散后得到的大型方程组的重要方法在这章中我们要学习线性方程组的直接法特别是适合用数学软件在计算机上求解的命令求的逆矩阵和行列式或当时可表命令功能输入矩阵运行后输出的逆矩阵输入矩阵运行后输出的行列式的值方程组的逆矩阵解法及其程序在中引进了矩阵除法的概念它包括左除和右除设矩阵为阶方阵且皆可逆则矩阵方程的解都可方程的解输入矩阵和运行后输出矩阵方程的解线性方程组有解的判定条件及其程序解非齐次线性方程组将其增广矩阵化成行阶梯形矩阵便可判断其是否有解若有解化成行最简形矩阵便可写出其通解判定线性方程组是否有解的程序输运行后输出结果 A=1 -1 2 1 -1 3 0

30、 -3 2 0 9 -6 1 -3 -6 19 请注意：因为A的各阶顺序主子式hl都大于零，所以A是正定的.A的转置矩阵zA和各阶顺序主子式值hl依次如下：zA=1 -1 2 1 -1 3 0 -3 2 0 9 -6 1 -3 -6 19 hl=1 2 6 24 （3）在MATLAB工作窗口输入程序 A=1/sqrt(2)-1/sqrt(2)0 0;-1/sqrt(2)1/sqrt(2)0 0;0 0 1/sqrt(2)-1/sqrt(2);0 0-1/sqrt(2)1/sqrt(2),hl=zddc(A)运行后输出结果 A=985/1393 -985/1393 0 0 -985/1393 9

31、85/1393 0 0 0 0 985/1393 -985/1393 0 0 -985/1393 985/1393 请注意：因为 A 的各阶顺序主子式 hl 不全大于零，所以 A 不是正定的.A 的转置矩阵 zA 和各阶顺序主子式值 hl 依次如下：zA=985/1393 -985/1393 0 0 -985/1393 985/1393 0 0 0 0 985/1393 -985/1393 0 0 -985/1393 985/1393 hl=985/1393 0 0 0 可见，A不是正定矩阵，是半正定矩阵；因为A=AT 因此，A是对称矩阵.（4）在MATLAB工作窗口输入程序 A=-2 1 1

32、;1-6 0;1 0-4;hl=zddc(A)运行后输出结果 A=-2 1 1 1 -6 0 1 0 -4 请注意：因为 A 的各阶顺序主子式 hl 不全大于零，所以 A 不是正定的.A 的转置矩阵 zA 和各阶顺序主子式值 hl 依次如下：zA=-2 1 1 hl=-2 11 -38 1 -6 0 1 0 -4 A不是正定矩阵，是负定矩阵；因为A=AT 因此，A是对称矩阵.3.4.5 正定对称矩阵的楚列斯基（Cholesky）分解及其 MATLAB 程序 n阶正定或半正定的对称矩阵A的楚列斯基分解的 MATLAB 程序如下：MATLAB 命令 功 能 R=chol(A)输出 R 为上三角形矩

33、阵 U，使RA TR R,p=chol(A)输出 R 为上三角形矩阵 U，使RTR=A)1:1,1:1(pp 如果读者想了解关于 chol 更多的使用信息，可以在 MATLAB 工作窗口输入查询命令 help chol.3.5 求解线性方程组的 LU 方法及其 MATLAB 程序 线性方程组的问题线性方程组的解法一般有直接法和迭代法迭代法是求解大型稀疏矩阵方程组尤其是由微分方程离散后得到的大型方程组的重要方法在这章中我们要学习线性方程组的直接法特别是适合用数学软件在计算机上求解的命令求的逆矩阵和行列式或当时可表命令功能输入矩阵运行后输出的逆矩阵输入矩阵运行后输出的行列式的值方程组的逆矩阵解法及

34、其程序在中引进了矩阵除法的概念它包括左除和右除设矩阵为阶方阵且皆可逆则矩阵方程的解都可方程的解输入矩阵和运行后输出矩阵方程的解线性方程组有解的判定条件及其程序解非齐次线性方程组将其增广矩阵化成行阶梯形矩阵便可判断其是否有解若有解化成行最简形矩阵便可写出其通解判定线性方程组是否有解的程序输 3.5.1 解线性方程组的楚列斯基（Cholesky）分解法及其 MATLAB 程序 例 3.5.1 先将矩阵A进行楚列斯基分解,然后解矩阵方程bAX，并用其他方法验证.7531,19631690230311211bA.解 根据（3.26）式编写 MATLAB 程序，然后在工作窗口输入 A=1-1 2 1;-

35、1 3 0-3;2 0 9-6;1-3-6 19;b1=1:2:7;b=b1;R=chol(A);C=A-R*R,R1=inv(R);R2=R1;x=R1*R2*b,Rx=Ab-x 运行后输出方程组的解和验证结果 x=Rx=1.0e-014*C=1.0e-015*-8.0000 -0.7105 0 0 0 0 0.3333 -0.0833 0 -0.4441 0 0 3.6667 0.2220 0 0 0 0 2.0000 0.1332 0 0 0 0 3.5.2 解线性方程组的直接 LU 分解法及其 MATLAB 程序 例 3.5.2 首先将矩阵A直接进行 LU 分解，然后解矩阵方程bAX

36、3010342110100201A，5121b.解(1)首先将矩阵A直接进行LU分解.在MATLAB工作窗口输入程序 A=1 0 2 0;0 1 0 1;1 2 4 3;0 1 0 3;b=1;2;-1;5;hl=zhjLU(A),A-L*U 运行后输出 LU 分解 请注意：因为 A 的各阶主子式都不等于零，所以 A 能进行 LU 分解.A 的秩 RA和各阶顺序主子式值 hl 依次如下：RA=4 U=1 0 2 0 0 1 0 1 0 0 2 1 0 0 0 2 A分解为一个单位下三角形矩阵L和一个上三角形矩阵U的积 LUA.(2)然后根据（3.27）式编写 MATLAB 程序，然后在工作窗口

37、输入 U=1 0 2 0;0 1 0 1;0 0 2 1;0 0 0 2;L=1 0 0 0;0 1 0 0;1 2 1 0;0 1 0 1;b=1;2;-1;5;U1=inv(U);L1=inv(L);X=U1*L1*b,x=Ab 运行后输出方程组的解 X=8.50000000000000 0.50000000000000 -3.75000000000000 1.50000000000000 3.5.3 解线性方程组的选主元的 LU 方法及其 MATLAB 程序 例 3.5.3 先将矩阵A进行 LU 分解，然后解矩阵方程bAX 其中 L=1 0 0 0 0 1 0 0 1 2 1 0 0 1

38、 0 1 hl=1 1 2 4 线性方程组的问题线性方程组的解法一般有直接法和迭代法迭代法是求解大型稀疏矩阵方程组尤其是由微分方程离散后得到的大型方程组的重要方法在这章中我们要学习线性方程组的直接法特别是适合用数学软件在计算机上求解的命令求的逆矩阵和行列式或当时可表命令功能输入矩阵运行后输出的逆矩阵输入矩阵运行后输出的行列式的值方程组的逆矩阵解法及其程序在中引进了矩阵除法的概念它包括左除和右除设矩阵为阶方阵且皆可逆则矩阵方程的解都可方程的解输入矩阵和运行后输出矩阵方程的解线性方程组有解的判定条件及其程序解非齐次线性方程组将其增广矩阵化成行阶梯形矩阵便可判断其是否有解若有解化成行最简形矩阵便可写

39、出其通解判定线性方程组是否有解的程序输98754113211143214321.0A，5121b.解 方法1 根据（3.28）式编写MATLAB程序，然后在工作窗口输入 A=0.1 2 3 4;-1 2-3 4;11 21 13 41;5 7 8 9;b=1;2;-1;5;L U P=LU(A),U1=inv(U);L1=inv(L);X=U1*L1*P*b 运行后输出结果 L=1.0000 0 0 0 -0.0909 1.0000 0 0 0.0091 0.4628 1.0000 0 0.4545-0.6512 0.2436 1.0000 U=11.0000 21.0000 13.0000

40、41.0000 0 3.9091-1.8182 7.7273 0 0 3.7233 0.0512 0 0 0-4.6171 方法2 根据（3.29）式编写MATLAB程序，然后在工作窗口输入 A=0.1 2 3 4;-1 2-3 4;11 21 13 41;5 7 8 9;b=1;2;-1;5;F U=LU(A),U1=inv(U);F1=inv(F);X=U1*F1*b 运行后输出结果 F=0.0091 0.4628 1.0000 0 -0.0909 1.0000 0 0 1.0000 0 0 0 0.4545-0.6512 0.2436 1.0000 X=-1.2013 3.3677 0.

41、0536-1.4440 解线性方程组AnmbX 的选主元的 LU方法，现提供 MATLAB 程序如下：用 LU 分解法解线性方程组AnmbX 的 MATLAB 程序 输入的量：系数矩阵 A 和常数向量 b；输出的量：系数矩阵 A 和增广矩阵 B 的秩 RA,RB,方程组中未知量的个数 n 和方程组解及其有关的信息.function RA,RB,n,X,Y=LUjfcz(A,b)n n=size(A);B=A b;RA=rank(A);RB=rank(B);for p=1:n h(p)=det(A(1:p,1:p);end hl=h(1:n);for i=1:n if h(1,i)=0 disp

42、(请注意：因为A的r阶主子式等于零，所以A不能进行LU分解.A的秩RA和各阶顺序主子式值hl依次如下：)hl;RA return end end if h(1,i)=0 disp(请注意：因为A的各阶主子式都不等于零，所以A能进行LU分解.A的秩RA和各阶顺序主子式值hl依次如下：)X=zeros(n,1);Y=zeros(n,1);C=zeros(1,n);r=1:1;for p=1:n-1 max1,j=max(abs(A(p:n,p);C=A(p,:);A(p,:)=A(j+P1,:);C=A(j+P1,:);g=r(p);r(p)=r(j+P1);r(j+P1)=g;for k=p+1

43、:n P=0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 X=-1.2013 3.3677 0.0536-1.4440 U=11.0000 21.0000 13.0000 41.0000 0 3.9091-1.8182 7.7273 0 0 3.7233 0.0512 0 0 0 -4.6171 线性方程组的问题线性方程组的解法一般有直接法和迭代法迭代法是求解大型稀疏矩阵方程组尤其是由微分方程离散后得到的大型方程组的重要方法在这章中我们要学习线性方程组的直接法特别是适合用数学软件在计算机上求解的命令求的逆矩阵和行列式或当时可表命令功能输入矩阵运行后输出的逆矩阵输入矩阵运行后输出

44、的行列式的值方程组的逆矩阵解法及其程序在中引进了矩阵除法的概念它包括左除和右除设矩阵为阶方阵且皆可逆则矩阵方程的解都可方程的解输入矩阵和运行后输出矩阵方程的解线性方程组有解的判定条件及其程序解非齐次线性方程组将其增广矩阵化成行阶梯形矩阵便可判断其是否有解若有解化成行最简形矩阵便可写出其通解判定线性方程组是否有解的程序输H=A(k,p)/A(p,p);A(k,p)=H;A(k,p+1:n)=A(k,p+1:n)-H*A(p,p+1:n);end end Y(1)=B(r(1);for k=2:n Y(k)=B(r(k)-A(k,1:k-1)*Y(1:k-1);end X(n)=Y(n)/A(n,

45、n);for i=n-1:-1:1 X(i)=(Y(i)-A(i,i+1:n)*X(i+1:n)/A(i,i);end end RA,RB,n,X,Y;3.6 误差分析及其两种 MATLAB 程序 对于实际问题导出的线性方程组 bAX 的系数矩阵A和右端向量b往往带有误差（扰动），下面讨论当A或b的微小变化对解X的影响.3.6.1 用 MATLAB 软件作误差分析 例 3.6.2 解下列矩阵方程bAX，并比较方程（1）和（2）有何区别，它们的解有何变化.其中,13/112/111/110/19/18/17/112/111/110/19/18/17/16/111/110/19/18/17/16/

46、15/110/19/18/17/16/15/14/19/18/17/16/15/14/13/18/17/16/15/14/13/12/17/16/15/14/13/12/11)1(A;2222221b,13/112/111/110/19/18/17/112/111/110/19/18/17/16/111/110/19/18/17/16/15/110/19/18/17/16/15/14/19/18/17/16/15/14/13/18/17/16/15/14/13/12/17/16/15/14/13/12/1001.1)2(A.2222221b 解 (1)矩阵方程bAX 的系数矩阵A为7阶希尔伯特

47、（Hilbert）矩阵，我们可以用下列命令计算n阶希尔伯特矩阵 h=hilb(n)%输出h为n阶Hilbert矩阵 在MATLAB工作窗口输入程序 A=hilb(7);b=1;2;2;2;2;2;2;X=Ab 运行后输出bAX 的解为 X=（-35 504-1260 -4200 20790-27720 12012T).（2）在MATLAB工作窗口输入程序 B=0.001,zeros(1,6);zeros(6,1),zeros(6,6);A=(B+hilb(7);b=1;2;2;2;2;2;2;X=Ab 运行后输出方程的解为 X=（-33 465-966-5181 22409-29015 124

48、13T).在MATLAB工作窗口输入程序 X=-33,465,-966,-5181,22409,-29015,12413;X1=-35,504,-1260,-4200,20790,-27720,12012;wu=X1-X 运行后输出方程（1）和（2）的解的误差为 线性方程组的问题线性方程组的解法一般有直接法和迭代法迭代法是求解大型稀疏矩阵方程组尤其是由微分方程离散后得到的大型方程组的重要方法在这章中我们要学习线性方程组的直接法特别是适合用数学软件在计算机上求解的命令求的逆矩阵和行列式或当时可表命令功能输入矩阵运行后输出的逆矩阵输入矩阵运行后输出的行列式的值方程组的逆矩阵解法及其程序在中引进了矩

49、阵除法的概念它包括左除和右除设矩阵为阶方阵且皆可逆则矩阵方程的解都可方程的解输入矩阵和运行后输出矩阵方程的解线性方程组有解的判定条件及其程序解非齐次线性方程组将其增广矩阵化成行阶梯形矩阵便可判断其是否有解若有解化成行最简形矩阵便可写出其通解判定线性方程组是否有解的程序输 X401-1295 1619-981 294-39 -2(T).方程（1）和（2）的系数矩阵的差为661661001.0OOOA，常数向量相同，则bAx 的解的差为 X40112951619981294392(T).A的微小变化，引起X的很大变化，即X对A的扰动是敏感的.3.6.2 求P 条件数和讨论bAX 解的性态的MATL

50、AB程序 根据定理3.10 可知，判断线性方程组（3.38）是否病态需要计算条件数，在第一章中我们已经给出了计算矩阵A的2范数条件数、1范数条件数、范数条件数、弗罗贝尼乌斯（Frobenius）范数条件数、条件数倒数等MATLAB命令.用这些命令计算各种条件数非常方便.现提供求P条件数和讨论bAX 解的性态的MATLAB程序.求P条件数和讨论bAX 解的性态的 MATLAB 程序 输入的量：系数矩阵A；输出的量：系数矩阵A的条件数,1 条件数,2 条件数,弗罗贝尼乌斯条件数和方程组解的性态的有关的信息.function Acp=zpjxpb(A)Acw=cond(A,inf);Ac1=cond