《利用向量法求空间角》教案_中学教育-高考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 3.2.3 立体几何中的向量方法 利用空间向量求空间角 教学目标 1.使学生学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量方法；2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高.教学重点 求解二面角的向量方法 教学难点 二面角的大小与两平面法向量夹角的大小的关系 教学过程 一、复习引入 1用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间

2、距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形）2向量的有关知识：（1）两向量数量积的定义：bababa,cos|（2）两向量夹角公式：|,cosbababa（3）平面的法向量：与平面垂直的向量 a b O 学习必备 欢迎下载 二、知识讲解与典例分析 知识点1：面直线所成的角（范围：2,0(）（1）定义：过空间任意一点 o 分别作异面直线 a 与 b 的平行线 a 与 b，那么直线 a 与 b 所成的锐角或直角，叫做异面直线 a 与 b 所成的角.（2）用向量法求异面直线所成角 设两异面直线 a、b 的方向向量分别为a和b，问题 1：当a与b的夹角

3、不大于 90时，异面直线 a、b 所成 的角与a 和b 的夹角的关系？问题 2：a与b的夹角大于 90时，异面直线 a、b 所成的角 与a 和b的夹角的关系？结论：异面直线 a、b 所成的角的余弦值为|,cos|cosnmnmnm 思考：在正方体1111DCBAABCD 中，若1E与1F分别为11BA、11DC的四等分点，求异面直线1DF与1BE的夹角余弦值？（1）方法总结：几何法；向量法（2）11,cosBEDF与BEDF11,cos相等吗？（3）空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别？例 1 如图，正三棱柱111CBAABC的底面边长为a,侧棱长为a2，求1AC和1CB所成的角.解法步骤

4、：1.写出异面直线的方向向量的坐标。2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。解：如图建立空间直角坐标系xyzA，则)2,0(),0,21,23(),2,21,23(),0,0,0(11aaBaaCaaaCA ObaObaba,ba,AxDCB1Azy1D1C1B1E1Fx y Z AyxCB1AD1B1C平面所成的角二面角的向量方法使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高教学重点求解二面角的向量方法教学难点二面角的大小与两平面法向量夹角的大小的关系教学及的点直线平面把立体几何问题转化为向量问题化为向量问题通过向量运算研究点直线平面之间的位置关

5、系以及它们之间距离和夹角等问题进行向量运算把向量的运算结果翻译成相应的几何意义回到图形向量的有关识两向量数量积成的角范围定义过空间任意一点分别作异面直线与的平行线与那么直线与所成的锐角或直角叫做异面直线与所成的角用向量法求异面直线所成角设两异面直线的方向向量分别为和问题当与的夹角不大于时异面直线所成的角与和的夹学习必备 欢迎下载 )2,21,23(1aaaAC，)2,21,23(1aaaCB 即21323|,cos22111111aaCBACCBACCBAC 1AC和1CB所成的角为3 练习1：在RtAOB中，AOB=90，现将AOB沿着平面AOB的法向量方向平移到A1O1B1的位置，已知 O

6、A=OB=OO1，取 A1B1、A1O1的中点 D1、F1，求异面直线 BD1与 AF1所成的角的余弦值。解：以点 O 为坐标原点建立空间直角坐标系，并设 OA=1,则 A(1,0,0)，B(0,1,0)，F1(21,0,1)，D1(21,21,1)1,0,21(1AF)1,21,21(,1BD 103023451041|,cos111111BDAFBDAFBDAF 所以，异面直线 BD1 与 AF1 所成的角的余弦值为 知识点 2、直线与平面所成的角（范围：2,0）思考：设平面的法向量为n，则 BAn,与的关系？ABOABOnABOn（图 1）（图 2）平面所成的角二面角的向量方法使学生能够

7、应用向量方法解决一些简单的立体几何问题使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高教学重点求解二面角的向量方法教学难点二面角的大小与两平面法向量夹角的大小的关系教学及的点直线平面把立体几何问题转化为向量问题化为向量问题通过向量运算研究点直线平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题进行向量运算把向量的运算结果翻译成相应的几何意义回到图形向量的有关识两向量数量积成的角范围定义过空间任意一点分别作异面直线与的平行线与那么直线与所成的锐角或直角叫做异面直线与所成的角用向量法求异面直线所成角设两异面直线的方向向量分别为和问题当与的夹角不大于时异面直线所成的角与和的夹学习必备 欢迎下载 x y Z

8、AyxCB1AD1B1C 据图分析可得：结论：例 2、如图，正三棱柱111CBAABC的底面边长为a,侧棱长为a2，求1AC和BBAA11面所成角的正弦值.分析：直线与平面所成的角步骤：1.求出平面的法向量 2.求出直线的方向向量 3.求以上两个向量的夹角，(锐角)其余角为所求角 解：如图建立空间直角坐标系xyzA，则),0,0(),2,0,0(1aABaAA)2,21,23(1aaaAC 设平面BBAA11的法向量为),(zyxn 由00002001zyayazABnAAn 取1x，)0,0,1(n 21323|,cos22111aaNACnACnAC 1AC和BBAA11面所成角的正弦值2

9、1.练习：正方体1111DCBAABCD 的棱长为 1，点E、F分别为CD、1DD的中点.求直线11CB与平面CAB1所成的角的正弦值.BAn,22,BAn|,cos|sinABn131(,2)22ACaaa平面所成的角二面角的向量方法使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高教学重点求解二面角的向量方法教学难点二面角的大小与两平面法向量夹角的大小的关系教学及的点直线平面把立体几何问题转化为向量问题化为向量问题通过向量运算研究点直线平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题进行向量运算把向量的运算结果翻译成相应的几何意义回到图形向量的有关识

10、两向量数量积成的角范围定义过空间任意一点分别作异面直线与的平行线与那么直线与所成的锐角或直角叫做异面直线与所成的角用向量法求异面直线所成角设两异面直线的方向向量分别为和问题当与的夹角不大于时异面直线所成的角与和的夹学习必备 欢迎下载 知识点 3：二面角（范围：,0）方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图，设二面角 l的大小为，其中CDlCDABlAB,.结论：例 3、如图，甲站在水库底面上的点 A 处，乙站在水坝斜面上的点 B 处.从 A，B 到直线（库底与水坝的交线）的距离 AC 和 BD 分别为 a 和 b,CD 的长为 c,AB

11、 的长为 d.求库底与水坝所成二面角的余弦值.解：如图.dABcCDbBDaAC，根据向量的加法法则,.DBCDACAB 222)(DBCDACABd)(2222DBCDDBACCDACBDCDAC DBACbca2222 DBCAbca2222 D C B A l|,coscosCDABCDABCDABBxADC1Bzy1A1D1CAB平面所成的角二面角的向量方法使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高教学重点求解二面角的向量方法教学难点二面角的大小与两平面法向量夹角的大小的关系教学及的点直线平面把立体几何问题转化为向量问题化为向量问题通过

12、向量运算研究点直线平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题进行向量运算把向量的运算结果翻译成相应的几何意义回到图形向量的有关识两向量数量积成的角范围定义过空间任意一点分别作异面直线与的平行线与那么直线与所成的锐角或直角叫做异面直线与所成的角用向量法求异面直线所成角设两异面直线的方向向量分别为和问题当与的夹角不大于时异面直线所成的角与和的夹学习必备 欢迎下载 于是，得22222dcbaDBCA 设向量CA与DB 的夹角为，就是库与水坝所成的二面角.因此 .c o s22222dcbaab 所以 .2co s2222abdcba 库底与水坝所成二面角的余弦值是.22222abdcba 法向量

13、法 结论：或 归纳：法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角.例 4、如图，ABCD是一直角梯形，90ABC，SA面ABCD，1BCABSA，1nl 2n21,nn21,coscosnn21,coscosnn1nl 2n21,nn21,nn 21,nn ABCzS平面所成的角二面角的向量方法使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高教学重点求解二面角的向量方法教学难点二面角的大小与两平面法向量夹角的大小的关系教学及的点直线平面把立体几何问题转化为向量问题化为向量问题通过向量运算研究点直线平面之间的位置关

14、系以及它们之间距离和夹角等问题进行向量运算把向量的运算结果翻译成相应的几何意义回到图形向量的有关识两向量数量积成的角范围定义过空间任意一点分别作异面直线与的平行线与那么直线与所成的锐角或直角叫做异面直线与所成的角用向量法求异面直线所成角设两异面直线的方向向量分别为和问题当与的夹角不大于时异面直线所成的角与和的夹学习必备 欢迎下载 21AD，求面SCD与面SBA所成二面角的余弦值.解：如图建立空间直角坐标系xyzA，则)1,0,0(),0,21,0(),0,1,1(),0,0,0(SDCA 易知面SBA的法向量为)0,21,0(1ADn )1,21,0(),0,21,1(SDCD 设面SCD的法

15、向量为),(2zyxn，则有 0202zyyx，取1z，得2,1 yx，)1,21,1(2n 36|,cos212121nnnnnn 又1n方向朝面内，2n方向朝面外，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角 即所求二面角的余弦值为36.练习：正方体1111DCBAABCD 的棱长为 1，点E、F分别为CD、1DD的中点.求二面角DAEF的余弦值。解：由题意知，)0,1,21(),21,1,0(EF，则)21,1,0(AF)0,1,21(,AE 设平面AEF的法向量为),(zyxn，则 02102100yxzyAEnAFn，取1y，得2zx )2,1,2(n 又平面AED的法向量为)1,0

16、,0(1AA ABxDC1Bzy1A1D1CEF平面所成的角二面角的向量方法使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高教学重点求解二面角的向量方法教学难点二面角的大小与两平面法向量夹角的大小的关系教学及的点直线平面把立体几何问题转化为向量问题化为向量问题通过向量运算研究点直线平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题进行向量运算把向量的运算结果翻译成相应的几何意义回到图形向量的有关识两向量数量积成的角范围定义过空间任意一点分别作异面直线与的平行线与那么直线与所成的锐角或直角叫做异面直线与所成的角用向量法求异面直线所成角设两异面直线的方向向量

17、分别为和问题当与的夹角不大于时异面直线所成的角与和的夹学习必备 欢迎下载 32132|,cos111AAnAAnAAn 观察图形知，二面角DAEF为锐角，所以所求二面角DAEF的余弦值为32 三、课堂小结 1 异面直线所成的角：|,cos|cosba 2直线和平面所成的角：|,cos|sinnAB 3二面角：2121,coscos,coscosnnnn或.五、布置作业 平面所成的角二面角的向量方法使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高教学重点求解二面角的向量方法教学难点二面角的大小与两平面法向量夹角的大小的关系教学及的点直线平面把立体几何问题转化为向量问题化为向量问题通过向量运算研究点直线平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题进行向量运算把向量的运算结果翻译成相应的几何意义回到图形向量的有关识两向量数量积成的角范围定义过空间任意一点分别作异面直线与的平行线与那么直线与所成的锐角或直角叫做异面直线与所成的角用向量法求异面直线所成角设两异面直线的方向向量分别为和问题当与的夹角不大于时异面直线所成的角与和的夹