华中科技大学计算方法课件-第三章数值微积分.pdf

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1、第 三 章 数 值 微 积 分 在 现 实 科 学 问 题 中，我 们 常 常 涉 及 到 复 杂 函 数 的 导 数 及 定 积 分 的 计 算，对 其 实 施 精 确 计 算 往 往 存 在 着 异 常 的 困 难 性，特 别 就 定 积 分 的 计 算 而 言，有 些 积 分 理 论 上 可 证 明 其 原 函 数 存 在，但 却 无 法 用 初 等 函 数 明 显 表 出，因 而 无 法 获 得 其 精 确 的 积 分 值。此 时，我 们 需 要 借 助 于 数 值 计 算。此 外，微 分 方 程 及 微 分-积 分 方 程 的 数 值 离 散 问 题 也 必 然 牵 涉 到 数 值

2、微 积 分。鉴 此，本 章 将 探 讨 导 数 及 定 积 分 的 数 值 计 算。3.1 数 值 微 分 3.1.1 基 本 差 商 逼 近 公 式 设 函 数 f 在 区 间 a,b 内 p+1 阶 连 续 可 微，将 区 间 Q沟 作 均 匀 剖 分：a=XQ Xi X 2 t X N=b,这 里 Xk=Xk-i+A,h=(b a)/N,k=1,2,则 有 Taylor展 开 式.九）=pE，=o塔 皿（士 呼+。（犷+1）,z!=,7V-1,(1)由 上 式 得=/（+2 八 加+9，/Lri=+0 吟,2h于（Xk）=+m 2?）+/（跳 h）+2）.h2因 此，我 们 有 如 下

3、差 商 逼 近 公 式 八“回*1 1,（一 阶 向 前 差 商）Q）rif J）卜 i）,（一 阶 向 后 差 商）（3）/C Z 一“线+（二 阶 中 心 差 商）（4）乙/Lf M l/（以 十 1 2器）+f（X m.（二 阶 中 心 差 商）（5）类 似 地，我 们 还 可 进 一 步 得 到 高 阶 差 商 逼 近 公 式。此 外，若 二 元 函 数”(巴 力)在 某 区 域 a,b;c,d 上 二 次 连 续 可 微，分 划 该 区 域 的 节 点 为 Xj=a j h,h(b a)/N j=0,1,，N;tk=c-kr,tk+i=c+(k+T=(d c)/M A;=0,1,.,

4、M,则 据 Taylor展 开 定 理，我 们 有 a”（叼,tk）（叼+i,tQ-u（X j,tk）dx h+。,dxdu（勺,tQ _dxduXj,udxh（町 J+9 4）一 2h+。,叱 包 十 以 川),2h+。仇 2）,（6）（8）d2u(xj,tk)_ u(xj+1,tk)-2M叼，4)+(叼 i,4)dx1h2+。优,(10)du（勺,tQ udta“（力 力 力。uJ,k+1)-tk)+9 Tj5力 k）一 乜(IDdtdu(xj,tk)dt&u(叼,tk)dt+O(T),T”(叼，力 k+J(叼，力 kJ+2)T_ n(叼,力 卜+i)n(叼)力,一 i)+。(7 2)d2

5、uxj,tk)_ n(叼,tk+i)-2矶 叼,4)+(町,4 i)况 2 T2+。（产）,(12)(13)(14)(15)公 式（6）-（15）将 在 第 九 章 的 偏 微 分 方 程 数 值 解 中 发 挥 重 要 作 用。3.1.2导 数 的 插 值 计 算 公 式 及 外 推 算 法 当 函 数/：Q,“一 R 在 区 间 Q阳 内 0+1 阶 连 续 可 微 时，由（2.16）-（2.17）式 可 知：跳 C Q,“，k=0,1,2,有 f（x）=Lp（x）+fx（）,Xi,-,xp,xup+x（x x e a,6,其 中“=-叼）（二 二;%+i（”）=H Q-）因 此，对 于/

6、G Q,4 有/=4（/）+、为 幻+1（/）+/比 0也 1,，如 4+1.UJ.J U在 上 式 中 取 x=xk得 该 点 导 数 的 插 值 计 算 公 式 P（跳）=4（跳）+/M 孙，叼，跳 口（跳 一&）.（16）i=0,i壬 k该 公 式 将 一 般 函 数/（/）的 求 导 问 题 转 化 为 多 项 式 的 求 导 问 题，从 而 大 大 地 简 化 了 导 数 的 计 算。以 下，我 们 介 绍 导 数 的 Richarson外 推 算 法。若 函 数/在 力 处 充 分 可 微，则 由 Taylor展 开 式 有 00A岔+无/2）=2=0中 仇/次 2.H f（力 f

7、（x 九/2）=q 2=0 由 上 述 二 式 有 O O/。=庐，2=1其 中 g=/(印/2)7(1/2),且 系 数 出 与 九 无 关。因 此，据 题 1.8给 出 的 结 论，导 数 fx)可 近 似 地 由 Richarson外 推 公 式 计 算：(9oW=g(h),9 m W=4.m_1(/z/2)-。加 _ 1(回/(*-1),m=,(17)其 逼 近 序 列 gm(h)的 误 差 为 O O2=1这 里 诸 系 数 与 九 无 关。3.2机 械 求 积 公 式 3.2.1 基 本 数 值 积 分 方 法 定 积 分 求 值 的 困 难 性 往 往 源 于 被 积 函 数 的

8、 复 杂 性。因 此，将 复 杂 被 积 函 数 用 简 单 函 数 近 似 替 代 是 构 造 数 值 积 分 算 法 的 基 本 思 想。众 所 周 知，从 几 何 观 点 来 看 定 积 分,广/(力)心 即 为 由 曲 线？/=/，直 线/=。、岔=b 及 力 轴 所 围 下 窗 图 形 面 积 的 代 数 和。因 此,若 用 直 线 段 g=/%+(l。河(。(0,1)近 似 代 替 曲 线 段 4=(a x 6),则 可 得 矩 形 积 分 公 式 f(x)dx(6-a)f0a+(1 0)b,0 e 0,1.(18)J a特 别，当 取 e=o,*,i时，我 们 分 别 称 之 为

9、 右 矩 公 式，中 矩 公 式 及 左 矩 公 式。若 以 过 点 4(Q,/(Q)、6(bJ(b)的 直 线 段 y/(Q)+a),x e a,6b a近 似 代 替 曲 线 段=/(/),则 得 梯 形 公 式 pb 1/fx)dx+/(6).(19)考 虑 过 点 4(QJ(Q)、。(空 J(空)、右 在/)的 抛 物 线 段 y=px+QX+r,x G a,6,其 中 p,q,r由 方 程 组 pa2+qa+r=/(a),+q(竽)+7=/(%，pl?qb+r=/(6)确 定，用 该 妈 物 线 段 近 似 代 替 曲 线 y=f(x)(a x b),则 得 Simpson 公 式

10、于 3)dx x b f W+4/()+/(切(20)Ja 6 2例 3.1试 分 别 利 用 中 矩 公 式、梯 形 公 式 及 Simpson公 式 计 算 积 分 7八/2 1dx,（X+1）A/2+1并 比 较 其 计 算 精 度。解 令*=力，则 其 定 积 分 精 确 值 为 r/4 1 1 1 3(1+V)；2/3-212 21+1 迎 1+10若 利 用 中 矩 公 式 计 算 该 定 积 分，则 有 IM：=-2=0.38805700005813,(1/4+1(1/4)2+1其 绝 对 误 差 为 eM-=I-hi=0.00362601834878;若 利 用 梯 形 公 式

11、 计 算 该 定 积 分，则 有 ZT：=1(1+-)|=0.39907119849999,其 绝 对 误 差 为 eT：=I-IT=0.00738818009308;若 利 用 Simpson公 式 计 算 该 定 积 分，则 有/葭=f i+_ y+_ 1、1 2(1/4+1),(1/4产+1(1/2+1),(1/2产+1 J=0.39172839953875,其 绝 对 误 差 为 es：=I-Is=4.538113183999437e-005.由 上 可 知 Simpson公 式 的 计 算 精 度 为 最 佳。公 式(18)-(20)实 质 是 采 用 Q,“上 若 干 节 点 出

12、处 的 函 数 值/(3)进 行 适 当 加 权 平 均 获 得 的，这 类 公 式 的 一 般 形 式 为 rb N/f(x)dx x(21)J。n=0其 中 g 称 为 求 积 节 点，4 称 为 求 积 系 数。鉴 于 其 系 数 4 仅 与 节 点 选 择 有 关 而 与 被 积 函 数/(力)无 关，因 此 求 积 公 式(21)具 有 通 用 性，且 称 之 为 机 械 求 积 公 式。3.2.2代 数 精 度 法 由 Taylor展 开 定 理 可 知，任 一 充 分 可 微 函 数/(/)均 能 展 开 为 一 个 关 于 力 的 多 项 式 与 其 余 项 的 和。因 此，若

13、 要 求 积 分 的 近 似 计 算 具 有 一 定 精 度，则 需 公 式(21)对/自=0 到 足 够 大 的 正 整 数”能 准 确 成 立。为 此 引 入 定 义 3.1 若 一 个 求 积 公 式(21)对/(1)=(，=0,1,，山)能 精 确 成 立，但 对 不 精 确 成 立，则 称 该 公 式 具 小 次 代 数 精 度。由 定 义 3.1可 直 接 验 证 矩 形 公 式(18)具 有 0 次 代 数 精 度，梯 形 公 式(1 9)具 1 次 代 数 精 度，而 Simpson公 式(2 0)具 3 次 代 数 精 度。以 代 数 精 度 作 为 标 准 构 造 求 积

14、公 式 的 方 法 称 为 代 数 精 度 法。若 令 公 式(2 1)对/(力)=4 0=0,1，N)准 确 成 立，那 么 得 线 性 方 程 组 N u+1 _ 小+1 Anx=,z=0,1,N.(22)-2 I J Ln=0当 给 定 的 节 点 与 互 异 时，诸 系 数 4 即 可 由(22)唯 一 确 定。例 3.2试 确 定 一 个 具 有 3 次 代 数 精 度 的 求 积 公 式 f 3 d x X 4)/(0)+11/(1)+A2/(2)+4 3 A 3),Jo并 由 该 公 式 计 算 定 积 分:=若 野 心，指 出 其 绝 对 误 差。解 据(22),要 公 式 具

15、 3 次 代 数 精 度，则 必 有 4+4+4+4=3,Ai+2A2+3 4=I)4+4 4+9 4=9,4+842+274=斗.解 之 得 4=看 4=A2=1，A3=I，由 此 即 得 求 积 公 式 r3 3/f d x x-/(0)+3/(1)+3/(2)+/(3),JO 0且 当 将/(0=/4 代 入 上 式 时，其 不 能 精 确 成 立，故 所 得 公 式 具 3次 代 数 精 度。应 用 该 公 式 得8-1-F4 9 3 6e2=4.02404510389840.又 其 积 分 的 精 确 值 为 x exp(jj)(x+I)2e3-1431+x o则 上 述 数 值 积

16、 分 的 绝 对 误 差 为|1-7|=0.00266087310148.3.2.3插 值 求 积 法 插 值 求 积 法 是 利 用 被 积 函 数/（力）的 插 值 多 项 式 计 算 定 积 分 的 方 法，其 根 据 被 积 函 数 在 某 些 节 点 处 的 函 数 值 构 造 一 个 插 值 多 项 式 PN,然 后 用 PNQ）近 似 代 替/1（I），而 获 得 积 分 逼 近 公 式 f(x)dx I Pxdx.a这 样 获 得 的 求 积 公 式 称 为 插 值 型 求 积 公 式。对 于 积 分/(外 近，在 区 间 a/上 任 取 N+1 个 互 异 点 1 0,3,x

17、N,构 造/(i)的 带 余 项 的 Lagrange插 值 公 式(23)其 中 注/(N+1)思 G N+1 0)=/-),R N(/,6)=(N+)!=N+I(琉 S e(a,b).将(23)代 入 积 分/(乃 冽 中 得 rb NI fxdx=Anf xn)+RN,a n=Q(24)其 中 G N+1 0)a(1 一 力 72屹+(期)dx,R N(/)=x)dx.(25)a在(24)略 去 余 项 AN(/)即 得 插 值 型 求 积 公 式 fb N/f(x)d x x 4/出).(26)Ja 2 0若 max|/(N+I)I=Mv+i，则 其 余 项 Rv(/)的 有 如 下

18、估 计 式 X(Z,6|RV(/)|(；：+；/Q N+1 3血.(27)例 3.3取 节 点 g=例 4,n=0,1,2,3,4,试 利 用 4 次 插 值 型 求 积 公 式 计 算 定 积 分 I=s in x2)d x,Jo并 估 计 其 误 差。解 由(25)可 计 算 出 求 积 公 式 的 系 数 4)=7/90,Ai=16/45,A2=2/15,A3=16/45,A4=7/90.因 此，利 用 4 次 插 值 型 求 积 公 式 有,1 4/sin(x2)dx x V An sin()=0.3102614236535374.J。n=0又 颂：=m a xo；0,ld(sinz2

19、)dx5m a xx0,l|32x cos(x2)+160 x3sin(a?2)120 x cos(x2)=32rr5 cos(a:2)+160rr3 sin(a?2)120a;cos(a：2)t=1 8.7089e+001,则 据（27）,其 误 差 估 计 为 四（切 萼 5!ri 4/小 n=0 xndx 1.1222e 003.定 理 3.1 N+1个 节 点 的 求 积 公 式（21）为 插 值 型 的 充 要 条 件 是 该 公 式 至 少 有 N 次 代 数 精 度。证 明 设 公 式（21）属 于 插 值 型，即 为 公 式（26）。因 为 对/（力）=?=,7V）均 有，（N

20、+i）（）=0,从 而 此 时 此 v（/）=0,即 公 式（26）对/=虫（=0,1,，N）均 精 确 成 立,故 公 式（26）至 少 具 N 次 代 数 精 度。另 一 方 面，若 公 式（21）至 少 具 有 N 次 代 数 精 度，则 其 对 N 次 多 项 式，九（%）精 确 成 立，即 而/n（叼）=b叼，（21）为 插 值 型 的。N+l(优)0-In H v+iQ)n=0,1,Nb Nln(x)dx=Ajln(xj).)=0因 此 4=也。故 公 式（26）成 立，即 值 得 注 意 的 是，定 理 3.1只 表 明 N+1个 节 点 的 插 值 型 公 式 至 少 具 N

21、次 代 数 精 度，但 并 不 意 味 着 此 时 公 式 仅 有 N 次 代 数 精 度。如 Simpson公 式 有 3 个 节 点，但 其 具 3 次 代 数 精 度。3.3 Newton-Cotes公 式 及 其 复 合 求 积 法 3.3.1 Newton-Cotes 公 式 本 节，我 们 给 出 具 等 距 节 点 的 插 值 型 求 积 公 式 一 Newton-Cotes求 积 公 式，并 具 体 讨 论 其 二 种 特 殊 形 式：梯 形 公 式 及 Simpson公 式。在 此 基 础 上，我 们 导 出 复 合 求 积 法。3.4.1 Newton-Cotes 公 式

22、记 力=a+t h,当 公 式(26)取 等 距 节 点 b dxn=a nh,n=0,1,2,N;h 时，其 系 数 人 由（25）得（-N-nu rN N-/II（力 一。位,n=0,1,-,N.引 入 C otes系 数 Nn(N-n)!N/口(力 i)dt0 i=0,in则 由(26)得 Newton-Cotes求 积 公 式 rb N/+(28)Ja n=0在 实 际 应 用 公 式(28)计 算 积 分 时，由 于 系 数 岛 仅 与 八 及 节 点 数 N有 关，而 与 积 分 限 Q,b无 关，因 此 对 不 同 的 N 可 事 先 将 以 算 出，且 注 意 诸 系 数 具

23、对 称 性：Bn=B N-TI,n=0,1,N.理 论 分 析 表 明，当 公 式(2 8)的 阶 数 N 较 大 时，其 稳 定 性 会 大 大 地 降 低，因 此 Newton-Cotes公 式 中 有 实 用 价 值 的 往 往 是 一 些 低 阶 公,。3.3.2两 种 低 阶 公 式 及 其 余 项 在 公 式(2 8)中 取 N=1,则 得 梯 形 公 式 rb h-nI f(x)dx f(a)+f(b).(29)若/6 C(Q,“)，则 其 余 项 由(25)及 积 分 中 值 定 理 可 推 得 在 公 式(2 8)中 取 N=2,则 得 Simpson公 式 f(x)dx/(

24、a)+4/()+/(b).(31)Ja 6 L 2 为 研 究(3 1)的 余 项，我 们 需 要 引 入 如 下 定 理。定 理 3.2设 函 数/(力)C 的 加)的 三 次 插 值 多 项 式(%)在 互 异 节 点 0 G a,b(i=0,1,2)处 满 足 案 件 H(o)=/(o),H(s)=H(X2)=/2),H01)=则 Vz e a,b,存 在 G(a,b)使 得 下 式 成 立：f(x)=H(x)+f)(7 g)(/21)2(1 力 2).(32)证 明 若/=(=0,1,2),则 等 式 显 然 成 立；否 则，作 辅 助 函 数 G(t)=f(f)H(t)(t g)(1

25、g)2(力%2)人(力),t E a,这 里 k(i)为 待 定 函 数，其 使 得 G(i)=0。由 已 知 条 件，易 知 GXQ)=GQi)=Gix2)=G(ii)=0.因 此，据 Rolle定 理 存 在(a,6)使 得 G=0,即 k Q)=畔 由 此，当/时 有 Gx)=f(x)Hx)于 j%一 力 0)(1 11)2(1 12)=0.故(32)成 立。设 Simpson公 式 中 的 函 数/Q)6 C(,司)，今 构 造 一 个 满 足 8(Q)=/(Q),H(b)=/(b),H(中)=)(十)0,1)(33)乙 的 三 次 插 值 多 项 式(乃。由 定 理 3.2可 知/(

26、%)=(/)+4(/一 a)3 一 0Y-)2(2 b),fe(Q,b).(34)既 然 Simpson公 式 具 三 次 代 数 精 度，则 据(34)及 积 分 中 值 定 理 有 b af(x)d x=/H(x)dx-J ab-Q6b a6J aT T/N/Q+bH+4H(F 乙 i a H/(/Q)0*J C L)+8(b)4y(x b)dx)2(x b)dx，/、，/a+b)+/(“一 与 肃/(O,fe,6./(Q)+4/(a+b2畔 叨-a 2b故 Simpson公 式(31)的 余 项 为&/(),eea,6.(35)3.3.3复 合 求 积 公 式 上 述 低 阶 公 式 要

27、 真 正 做 到 实 用，其 精 度 仍 有 待 提 高。为 此，本 段 将 把 积 分 区 间 Q,b 等 分 成 若 干 子 区 间 容+1，其 中 b _ axn V=a+n h,n=0)1)N;h=-,/f l/八 J/在 每 个 子 区 间 上 使 用 低 阶 公 式，然 后 再 将 计 算 结 果 累 加 起 来。这 种 公 式 称 为 复 合 求 积 公 式.首 先，我 们 构 造 复 合 梯 形 公 式。在 每 个 子 区 间 也 期 出+1 上 使 用 带 余 项 的 梯 形 公 式*71h 九 3 f d x=-f(Xn)+/(Xn+J-/f e),V n xn,Xn+1,

28、乙 J L乙 求 和 得 baN 1 N-1h h3f(x)dx=-/(Q)+2/(g)+/(b)记/(国).n=l n=0故 得 复 合 梯 形 公 式 rb h/于 dx&J a 一 N-l/(a)+2/(g)+/(b),(36)n=l其 余 项 力 2 Nl左（/）=B/仇）川 n=0y-12h2 fb分 2/(x)d x=-fb)-fa).(37)_ L 乙 记 j+a=&+尸，则 在 力 九,xn+i上 有 带 余 项 的 Simpson公 式 rxn+i i 15I/M=-/(xn)+4/(xn+i/(a:n+i)-/(4)(9n),en e xn,xn+1.求 和 得 b haN

29、l Nl I,5 NlE/3%)+2/升/-/仇).:/ZooUn=0 n=l n=0故 有 复 合 Simpson公 式 Lr b f 3 d x 6hN-l N-l-/(Q)+4/(7n+p+2/(g)+/(b),(38)n=0 n=l _其 余 项 用 2(，)=一 丽 与/仇 人 一 菽/小=一-丽 l/(3)(bH(3)(0).n=0 Ja(39)出 于 计 算 机 编 程 方 面 的 考 虑，我 们 记 逐 九=工 ni 12九 1=xn_i n=)2)一,)N)而 将 式(38)写 成 rb h/fx)dx x-N Q)-/的+2 2/(通 九 _1)+/(遏 九)卜(40)71

30、=1)其 中 彳 b-dh=kxn=a+nh,n=1,2,2N.例 3.4 取 步 长/i=I，分 别 用 公 式(3 6)及(4 0)计 算 积 分/=./o1 sm x-ax.x解 记/(乃=乎，并 取/(o)=L n 等=1,则 由 公 式(3 6)得 x 0/11-167/(0)+2 磴+/7 1=1由 公 式(4 0)得/J，。)E4-2/(n=l L=0.9456908635827014.2n-1 n=0.9460833108884721.将 上 述 两 个 近 似 值 与/的 准 确 值 0.9460831 一 相 比 较 可 知：复 合 梯 形 公 式 仅 有 2 位 有 效

31、数 字，而 Sim pson公 式 有 6 位 有 效 数 字。故 在 计 算 量 基 本 相 同 的 情 况 下，后 者 精 度 高 于 前 者。3.4变 步 长 求 积 法 梯 形 公 式 与 Simpson公 式 的 复 合 使 其 精 度 获 得 改 善，但 两 者 均 属 于 定 步 长 公 式，若 要 求 达 到 某 个 计 算 精 度，其 步 长 的 选 择 则 成 为 一 件 困 难 的 事 情。为 此，本 节 介 绍 一 种 在 计 算 机 上 自 动 选 择 步 长 的 变 步 长 方 法，同 时 也 将 涉 及 其 加 速 收 敛 技 巧。3.4.1 变 步 长 梯 形

32、求 积 法 变 步 长 梯 形 求 积 法 即 是 在 求 积 区 间 上 通 过 步 长 逐 次 减 半 使 用 复 合 梯 形 公 式 计 算 定 积 分 的 方 法。当 将 求 积 区 间 Q,4 等 分 k 次 时，其 复 合 梯 形 公 式 的 求 积 值 为 _ b C L c X n(T l(b d)n/7 Tk=+)+/(与 n=l)(41)其 满 足 递 推 关 系 2 11 b-Q 2 7 2-1.、。=尹-1+2 1 Q-a)72=1 Lk=1,2,(42)该 式 称 为 变 步 长 梯 形 求 积 公 式。由(37)有(43)/小 1片 徽 尸 尸,这 里 T厂 7 b

33、 aI=以*d%h=J d据(43)可 得 其 事 后 误 差 估 计/Tk+i g(Tk+i TkY(44)鉴 于 上 式 是 一 个 近 似 估 计，因 此 我 们 可 保 守 地 以|n+1-Tk作 为 当 前 步 近 似 值+1的 误 差。若 预 定 精 度 为：|/-Tk+1 s,则 在 实 际 运 行 变 步 长 梯 形 求 积 公 式 时，不 等 式|+1-|6 可 作 为 其 计 算 终 止 准 则，并 以 满 足 该 终 止 准 则 的 逼 近 值 4+1 作 为 欲 求 的 积 分 近 似 值。变 步 长 梯 形 求 积 法 的 计 算 程 序 如 下：算 法 3.1 变

34、步 长 梯 形 求 积 法 fu n ctio n z=v s tra p e z o id(a,b,to l)t 0=(b-a)*(f(a)+f(b)/2;t l=t 0/2+(b-a)*f(a+(b-a)/2)/2;k=l;w hile abs(tl tO)=to l&k=1000k=k+l;fo r n=l:2 7 k-l)g(n)=f(a+(b a)*(2*n 1)/2Ak);ends=sum(g);tO=t 1;tl=t0/2+s*(b-a)/2 k;endtlk例 3.5应 用 变 步 长 梯 形 求 积 法 计 算 定 积 分/exp 并 要 求 其 计 算 精 度 满 足：Tk

35、 10-8。解 取 a=0,6=3,tol=10弋/=，5 八）（力+1产 运 行 算 法 3.1,经 1 5次 迭 代 后 获 得 满 足 精 度 要 求：7V1I 10-8的 积 分 逼 近 值 不 5=4.02138423229055o 该 逼 近 值 与 精 确 值 1=/3多 嚓 一 一 1J o（7+1）2 4比 较，误 差 为|T15 1|=1.493632773019726e 009.3.4.2 Romberg 算 法 变 步 长 求 积 方 法 不 仅 提 高 了 低 阶 公 式 的 精 度，而 且 能 在 计 算 机 上 自 动 实 现。但 这 一 切 均 是 以 提 高

36、计 算 量 为 代 价 的。为 此，本 节 介 绍 一 种 加 速 收 敛 技 巧，其 其 太 思 想 是 采 同 Richardson 9卜 推。记 为 二 分 k 次 积 分 区 间 Q用 后 利 用 复 合 梯 形 公 式 所 得 积 分 逼 近 值，称 之 为 梯 形 值，戏）为 将 梯 形 值 序 列 璘）经 6 次 外 推 后 所 得 积 分 逼 近 值，即 有 2用 一 1+好/+髡。-喇,2,72=1/7 4m7（+1）T）Tm=手 Li-I Z=0,1，；m=1,2,.（45）其 计 算 步 骤 可 按 如 下 箭 头 所 示 方 向 依 次 进 行：I 需 一 方 一 球

37、雪 I）一 7 一 球 一 碑）若 要 求 逼 近 精 确 积 分 值/的 计 算 精 度 满 足 田，)-“心 则 可 利 用 终 止 准 则 I础)-T巴|=to 11=1+1;h=h/2;fo r n=1:mg(n)=f(a+h*(2*n 1);ends=sum(g);t(l+l,l)=t(l,l)/2+s*h;m=2*m;fo r k=1:1t(1+1,k+l)=(4 k*t(1+1,k)-t(1,k)/(4 k-l);ende r r=a b s(t(l+l,l+l)t(l,1);endt(l+l,l+l)例 3.6 用 Romberg算 法 计 算 积 分 f3 x exp(re)

38、7I=/7-Jo 0+1)2并 要 求 其 计 算 精 度 满 足：|T俨-康 J 10一 8。解 取,”、xexp(x)Q=0,6=3,tol 10 f(x)-.(x+I)2据 Romberg算 法 3.2,可 计 算 得 满 足 精 度：|我)外%|10-8的 积 分 逼 近 值 I=4.02138423079650.该 逼 近 值 与 精 确 积 分 值 f3 xexp(x)e3Jo 3+1)2 4比 较，误 差 为|了-/|=4.165556788393587c-013.3.5 Gauss求 积 公 式 插 值 型 求 积 公 式 的 精 度 通 常 与 节 点 个 数 有 关，要 提

39、 高 其 精 度 必 然 以 增 加 节 点 个 数 为 代 价。但 是，节 点 的 无 限 增 加 将 导 致 其 稳 定 性 能 减 弱，从 而 使 得 积 分 和(%)收 敛 缓 慢，甚 至 不 收 敛 于 积 分 值/(乃 心。为 在 一 定 羲 度 上 克 服 这 些 缺 陷，本 节 引 入 G auss公 式。3.5.1 公 式 的 构 造 定 义 3.2 具 有 2N+1 邓 数 精 度 的 插 值 型 求 积 公 式(2 6)称 为 G auss型 求 积 公 式，其 节 点),xi,XN 称 为 Gauss 点。从 定 义 3.2可 知，G auss型 求 积 公 式 比 通

40、 常 同 级 插 值 型 公 式 的 精 度 高。不 失 一 般 性，我 们 假 设 公 式(2 6)的 积 分 限 为。=-1,b=1,而 对 于 更 一 般 情 形 则 可 作 变 换 2(a-b(46)其 使 得 积 分 1/威=a(47)定 理 3.3,/N 为 Gauss节 点 的 充 要 条 件 是 N+1 次 多 项 N式-xn)与 一 切 次 数 小 于 或 等 于 N 的 多 项 式 Q(/)n=0均 正 交，即/UN+i(x)Q(x)dx=0.(48)证 明 设 2(71=0,1,2,，N)是 Gauss点，则 公 式(26)对 任 意 次 数 不 超 过 2 N+1 的

41、多 项 式 均 精 确 成 立。而 多 项 式 Q(7)G N+I(I)的 次 数 至 多 为 2N+1,则,1 N/Q(x)uN+1(x)dx=4 您(如 GN+i(g)=o.IT n=0另 一 方 面，设/()是 任 意 次 数 至 多 为 2N+1 的 多 项 式，则 由 代 数 学 理 论，存 在 次 数 至 多 为 N 的 多 项 式 Q(i),(乃 使 得/(/)=Q O Q N+IQ)+r(x).(49)积 分 得/I/1 pl N f(x)dx=/Q(x)cjN+i(x)dx+/r(x)dx=T JT JT n=0进 一 步 由(49)得 g)=r(g)5=0,1,2,，N),

42、因 此 八 N/,fxdx=An/(xn).(50)J T n=0此 外 由 N,1 4九 口 八+1(。九)=0,I 3N+i(*)d*0n=o IT知 公 式(50)对 2N+2 次 多 项 式 不 精 确 成 立，故(50)为 Gauss型 求 积 公 式，即 3,为，v 为 Gauss 点。由 定 理 3.2可 知,若 能 找 到 满 足(48)的 由+1次 多 项 式 G N+1 3)，则 公 式 的 Gauss点 就 确 定 了，从 而 确 定 了 一 个 Gauss型 求 积 公 式，为 解 决 这 一 问 题，我 们 引 入 Legendre多 项 式 及 其 相 关 结 论。

43、定 义 3.3 一 个 仅 以 区 间 1,1 上 的 G auss点 出(=0,1,2,，N)为 零 点 的 N+1次 多 项 式 称 为 Legendre多 项 式。定 理 3.4首 项 系 数 为 1 的 Legendre多 项 式 可 唯 一 地 表 示 为 GN+I Q)(N+1)!1)N+1(2N+2)!dxN+1N=0,1,.证 明 考 虑 2N+2 次 多 项 式/,、N+ixdxdx dx,7 M 力 其 满 足=3 N+I(C),)(1)=0,i=0,1,2,N.设 M l)为 任 意 N 次 多 项 式，则 由(5 1)得(51)/u(力)3N+i(6)d/=/vxuN+

44、1x)d xJ-l J-l=o(/)(N)(7)/vNx)vx)dx=0(N)_/uNxx)vr,(x)dx=(继 续 逐 次 分 部 积 分)Nrl=2(-1)%(，T+/u x)v+Yx)d x=0 J-lN=(T)。/NT).i=0而 据 定 理 3.3知/v(x)UN+i(x)dx=0,N则 52(1)%(NT)=0.2=0由 此 及。(%)的 任 意 性 有 u(NT)(i)=o,i=0 1 2，N.(52)(51)和(52)表 明/=1均 为(乃 的 N+1重 零 点，故“=C(1尸+。为 待 定 常 数.而 仞 V+1Q)的 首 项 系 数 为 1，则 由(51)的 第 一 式

45、有 y(N+1)!,(N+I)!d+1(，1 严 1(2N+2)!A(2N+2)!dxN,例 3.7 试 构 造 Gauss型 求 积 公 式/f(x)dx-Aof(xo)+4(g)+A2f(x2并 由 此 计 算 姬 磊 山，要 求 精 确 到 ICT4.解 通 过 求 三 次 Legendre多 项 式 小 侬)=/3-5的 零 点 获 G auss点 其 公 式 的 系 数 由(25)第 一 式 得.5.8.4)=个 人 1=个 人 2y y故 所 求 公 式 为,j 八 I，-冉+?(0)+/(yi(53)据(46)作 变 换 7=2(力 9，且 由 公 式(5 3)得(1+力 产 V

46、iy/x+1 7-a xV 2 dt/2卜=2.8845c-001.3.5.2 G auss求 积 公 式 的 特 征 定 理 3.5 G auss求 积 公 式 的 全 体 系 数 4 八 0,且 A n=j 7 dx,n=0,1,N.7-1 L-n H v+lW J证 明 由 于 G auss求 积 公 式 具 2N+1次 代 数 精 度，且 2 N 次 多 项 式/九（力）G N+1 2,n=0,1,N满 足/九（叼）1,j=n0,j则 1G N+I(/)-g G2 ndx=):A jln(xj=An,n=0,1,N.j=o由 此 即 知 诸 系 数 人 乳 0.对 于 一 般 插 值

47、型 求 积 公 式(2 6),若 计 算 每 个 函 数/(叫)时 产 生 误 N差 薪，则 整 个 积 分 计 算 中 产 生 的 误 差 为=由 此 有 误 差 n=0估 计 V归 W(士 小 心 瑞 称 匐.(54)n=0/-N对 某 些 插 值 型 求 积 公 式，当 N 增 大 时 1 4 将 无 界，此 时 其 求 71=0积 公 式 已 失 去 实 用 价 值。而 对 于 G auss求 积 公 式，一 方 面 由 于 取/(/)=1 时 有 Idx=2 o 另 一 方 面，据 定 理 3.5诸 4 0，则 由(54)看 归|2 m a x|sn|.0nN因 此 Gauss公 式 的 误 差 是 可 控 的，即 具 较 好 的 稳 定 性 能。此 外，若 危)(-1,1),则 G auss求 积 公 式 必 收 敛，且 有 N 1lim 5 Anfxn)=/f(x)dx.N oo z I in=0 J T