第二十二章 一元二次方程第一节教案_中学教育-中学学案.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 221 一元二次方程 第一课时 教学内容 一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念 教学目标 了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a0）及其派生的概念；应用一元二次方程概念解决一些简单题目 1通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义 2一元二次方程的一般形式及其有关概念 3解决一些概念性的题目 4态度、情感、价值观 4 通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情 重难点关键 1 重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题 2难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数

2、学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念 教学过程 一、复习引入 学生活动：列方程 问题（1）九章算术“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知长方形门的高比宽多 6 尺 8 寸，门的对角线长 1 丈，那么门的高和宽各是多少？如果假设门的高为 x 尺，那么，这个门的宽为_ 尺，根据题意，得_ 整理、化简，得：_ 问题（2）如图，如果ACCBABAC，那么点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点 BCA 如果假设 AB=1，AC=x，那么 BC=_，根据题意，得：_ 整理得：_ 问题（3）有一面积为 54m2的长方形，将它的一边剪短

3、5m，另一边剪短 2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？如果假设剪后的正方形边长为 x，那么原来长方形长是_，宽是_，根据题意，得：_ 整理，得：_ 老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理 二、探索新知 学生活动：请口答下面问题 （1）上面三个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？学习必备 欢迎下载 （3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？老师点评：（1）都只含一个未知数 x；（2）它们的最高次数都是 2 次的；（3）都有等号，是方程 因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（

4、二次）的方程，叫做一元二次方程 一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a0）这种形式叫做一元二次方程的一般形式 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a0）后，其中 ax2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项 例 1将方程（8-2x）（5-2x）=18 化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项 分析：一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0（a0）因此，方程（8-2x）（5-2x）=18 必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等 解：去括号，得：40-1

5、6x-10 x+4x2=18 移项，得：4x2-26x+22=0 其中二次项系数为 4，一次项系数为-26，常数项为 22 例 2（学生活动：请二至三位同学上台演练）将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1 化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项 分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1 化成ax2+bx+c=0（a0）的形式 解：去括号，得：x2+2x+1+x2-4=1 移项，合并得：2x2+2x-4=0 其中：二次项 2x2，二次项系数 2；一次项 2x，一次项系数 2；常数项-4 三、巩固练习 教材 P

6、32 练习 1、2 四、应用拓展 例 3求证：关于 x 的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程 分析：要证明不论m 取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+170 即可 证明：m2-8m+17=（m-4）2+1 （m-4）2 0 （m-4）2+10，即（m-4）2+10 不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程 五、归纳小结（学生总结，老师点评）本节课要掌握：（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0（a0）和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用 六、布置作业 1教材

7、P34 习题 221 1、2 了解一元二次方程的概念一般式及其派生的概念应用一元二次方程概念解决一些简单题目通过设置问题建立数学模型模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义一元二次方程的一般形式及其有关概念解决一些概念性的题目态度情念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题难点关键通过提出问题建立一元二次方程的数学模型再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念教学过程一复习引入学生活动列方程问题九章算术勾股章有丈那么门的高和宽各是多少如果假设门的高为尺那么这个门的宽为尺根据题意得整理化简得那么点叫做线段的黄金分割点问题如图如果如果假设那么根据题意得整理得问题有一面积为的长方

8、形将它的一边剪短另一边剪短恰好变成一学习必备 欢迎下载 2选用作业设计 作业设计 一、选择题 1在下列方程中，一元二次方程的个数是（）3x2+7=0 ax2+bx+c=0 （x-2）（x+5）=x2-1 3x2-5x=0 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2方程 2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（）A2，3，-6 B2，-3，18 C2，-3，6 D2，3，6 3px2-3x+p2-q=0是关于 x 的一元二次方程，则（）Ap=1 Bp0 Cp0 Dp 为任意实数 二、填空题 1方程 3x2-3=2x+1 的二次项系数为_，一次项系数为_，常数项为_

9、 2一元二次方程的一般形式是_ 3 关于x 的方程（a-1）x2+3x=0 是一元二次方程，则a的取值范围是_ 三、综合提高题 1a 满足什么条件时，关于 x 的方程 a（x2+x）=3x-（x+1）是一元二次方程？2关于 x 的方程（2m2+m）xm+1+3x=6 可能是一元二次方程吗？为什么？3一块矩形铁片，面积为 1m2，长比宽多 3m，求铁片的长，小明在做这道题时，是这样做的：设铁片的长为 x，列出的方程为 x（x-3）=1，整理得：x2-3x-1=0 小明列出方程后，想知道铁片的长到底是多少，下面是他的探索过程：第一步：x 1 2 3 4 x2-3x-1-3-3 所以，_x_ 第二步

10、：x 3.1 3.2 3.3 3.4 了解一元二次方程的概念一般式及其派生的概念应用一元二次方程概念解决一些简单题目通过设置问题建立数学模型模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义一元二次方程的一般形式及其有关概念解决一些概念性的题目态度情念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题难点关键通过提出问题建立一元二次方程的数学模型再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念教学过程一复习引入学生活动列方程问题九章算术勾股章有丈那么门的高和宽各是多少如果假设门的高为尺那么这个门的宽为尺根据题意得整理化简得那么点叫做线段的黄金分割点问题如图如果如果假设那么根据题意得整理得问题有一面积

11、为的长方形将它的一边剪短另一边剪短恰好变成一学习必备 欢迎下载 x2-3x-1-0.96-0.36 所以，_x_ （1）请你帮小明填完空格，完成他未完成的部分；（2）通过以上探索，估计出矩形铁片的整数部分为_，十分位为_ 答案:一、1A 2B 3C 二、13，-2，-4 2ax+bx+c=0（a0）3a1 三、1化为：ax2+（a-3+1）x+1=0，所以，当 a0 时是一元二次方程 2可能，因为当21220mmm ，当 m=1 时，该方程是一元二次方程 3（1）-1，3，3，4，-0.01，0.36，3.3，3.4 （2）3，3 221 一元二次方程 第二课时 教学内容 1一元二次方程根的概

12、念；2 根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目 教学目标 了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题 提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根 同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题 重难点关键 1重点：判定一个数是否是方程的根；2 难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根 教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学独立完成下列问题 问题 1如图，一个长为 10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂

13、直距离为 8m，那么梯子的底端距墙多少米？了解一元二次方程的概念一般式及其派生的概念应用一元二次方程概念解决一些简单题目通过设置问题建立数学模型模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义一元二次方程的一般形式及其有关概念解决一些概念性的题目态度情念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题难点关键通过提出问题建立一元二次方程的数学模型再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念教学过程一复习引入学生活动列方程问题九章算术勾股章有丈那么门的高和宽各是多少如果假设门的高为尺那么这个门的宽为尺根据题意得整理化简得那么点叫做线段的黄金分割点问题如图如果如果假设那么根据题意得整理得问题有一

14、面积为的长方形将它的一边剪短另一边剪短恰好变成一学习必备 欢迎下载 108 设梯子底端距墙为 xm，那么，根据题意，可得方程为_ 整理，得_ 列表：x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 问题 2一个面积为 120m2的矩形苗圃，它的长比宽多 2m，苗圃的长和宽各是多少？设苗圃的宽为 xm，则长为_m 根据题意，得_ 整理，得_ 列表：x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 老师点评（略）二、探索新知 提问：（1）问题 1 中一元二次方程的解是多少？问题 2 中一元二次方程的解是多少？（2）如果抛开实际问题，问题1 中还有其它解吗？问题 2 呢？老师点评：（1）问题 1 中 x

15、=6 是 x2-36=0的解，问题 2 中，x=10 是 x2+2x-120=0的解 （3）如果抛开实际问题，问题（1）中还有 x=-6的解；问题 2 中还有 x=-12的解 为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称：一元二次方程的解叫做一元二次方程的根 回过头来看：x2-36=0有两个根，一个是 6，另一个是6，但-6不满足题意；同理，问题 2 中的 x=-12的根也满足题意因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解 例 1下面哪些数是方程 2x2+10 x+12=0 的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4 分析：

16、要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可 解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以 x=-2或 x=-3是一元二次方程 2x2+10 x+12=0 的两根 例 2你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？（1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0 分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义 解：（1）移项得 x2=64 根据平方根的意义，得：x=8 了解一元二次方程的概念一般式及其派生的概念应用一元二次方程概念解决一些简单题目通过设置问题建立数学模型模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义一元二次方

17、程的一般形式及其有关概念解决一些概念性的题目态度情念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题难点关键通过提出问题建立一元二次方程的数学模型再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念教学过程一复习引入学生活动列方程问题九章算术勾股章有丈那么门的高和宽各是多少如果假设门的高为尺那么这个门的宽为尺根据题意得整理化简得那么点叫做线段的黄金分割点问题如图如果如果假设那么根据题意得整理得问题有一面积为的长方形将它的一边剪短另一边剪短恰好变成一学习必备 欢迎下载 即 x1=8，x2=-8 （2）移项、整理，得 x2=2 根据平方根的意义，得 x=2 即 x1=2，x2=-2 （3）因为

18、x2-3x=x（x-3）所以 x2-3x=0，就是 x（x-3）=0 所以 x=0 或 x-3=0 即 x1=0，x2=3 三、巩固练习 教材 P33 思考题 练习 1、2 四、应用拓展 例 3要剪一块面积为 150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多 5cm，这块铁片应该怎样剪？设长为 xcm，则宽为（x-5）cm 列方程 x（x-5）=150，即 x2-5x-150=0 请根据列方程回答以下问题：（1）x 可能小于 5 吗？可能等于 10 吗？说说你的理由（2）完成下表：x 10 11 12 13 14 15 16 17 x2-5x-150 （3）你知道铁片的长 x 是多少吗？分析：x2-5

19、x-150=0与上面两道例题明显不同，不能用平方根的意义和八年级上册的整式中的分解因式的方法去求根，但是我们可以用一种新的方法“夹逼”方法求出该方程的根 解：（1）x 不可能小于 5理由：如果 x5，则宽（x-5）0，不合题意 x 不可能等于 10理由：如果 x=10，则面积 x2-5x-150=-100，也不可能（2）x 10 11 12 13 14 15 16 17 x2-5x-150-100-84-66-46-24 0 26 54 （3）铁片长 x=15cm 五、归纳小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：（1）一元二次方程根的概念及它与以前的解的相同处与不同处；（2）要会判断一个数是否

20、是一元二次方程的根；（3）要会用一些方法求一元二次方程的根 六、布置作业 1教材 P34 复习巩固 3、4 综合运用 5、6、7 拓广探索 8、9 2选用课时作业设计 作业设计 一、选择题 1方程 x（x-1）=2 的两根为（）Ax1=0，x2=1 Bx1=0，x2=-1 Cx1=1，x2=2 Dx1=-1，了解一元二次方程的概念一般式及其派生的概念应用一元二次方程概念解决一些简单题目通过设置问题建立数学模型模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义一元二次方程的一般形式及其有关概念解决一些概念性的题目态度情念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题难点关键通过提出问题建立一元二

21、次方程的数学模型再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念教学过程一复习引入学生活动列方程问题九章算术勾股章有丈那么门的高和宽各是多少如果假设门的高为尺那么这个门的宽为尺根据题意得整理化简得那么点叫做线段的黄金分割点问题如图如果如果假设那么根据题意得整理得问题有一面积为的长方形将它的一边剪短另一边剪短恰好变成一学习必备 欢迎下载 x2=2 2方程 ax（x-b）+（b-x）=0 的根是（）Ax1=b，x2=a Bx1=b，x2=1a Cx1=a，x2=1a Dx1=a2，x2=b2 3已知 x=-1是方程 ax2+bx+c=0 的根（b0），则acbb=（）A1 B-1 C0 D2 二、填

22、空题 1 如果 x2-81=0，那么 x2-81=0的两个根分别是 x1=_，x2=_ 2已知方程 5x2+mx-6=0 的一个根是 x=3，则 m 的值为_ 3方程（x+1）2+2x（x+1）=0，那么方程的根 x1=_；x2=_ 三、综合提高题 1如果 x=1 是方程 ax2+bx+3=0 的一个根，求（a-b）2+4ab 的值 2如果关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根 3在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在（21xx）2-2x21xx+1=0，令21xx=y，则有 y2-2

23、y+1=0，根据上述变形数学思想（换元法），解决小明给出的问题：在（x2-1）2+（x2-1）=0 中，求出（x2-1）2+（x2-1）=0 的根 答案:一、1D 2B 3A 二、19，-9 2-13 3-1，1-2 三、1由已知，得 a+b=-3，原式=（a+b）2=（-3）2=9 2a+c=b，a-b+c=0，把 x=-1代入得 ax2+bx+c=a（-1）2+b（-1）+c=a-b+c=0，-1必是该方程的一根 了解一元二次方程的概念一般式及其派生的概念应用一元二次方程概念解决一些简单题目通过设置问题建立数学模型模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义一元二次方程的一般形式及其有关概念解

24、决一些概念性的题目态度情念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题难点关键通过提出问题建立一元二次方程的数学模型再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念教学过程一复习引入学生活动列方程问题九章算术勾股章有丈那么门的高和宽各是多少如果假设门的高为尺那么这个门的宽为尺根据题意得整理化简得那么点叫做线段的黄金分割点问题如图如果如果假设那么根据题意得整理得问题有一面积为的长方形将它的一边剪短另一边剪短恰好变成一学习必备 欢迎下载 3设 y=x2-1，则 y2+y=0，y1=0，y2=-1，即当 x2-1=0，x1=1，x2=-1；当 y2=-1时，x2-1=-1，x2=0，x3=

25、x4=0，x1=1，x2=-1，x3=x4=0 是原方程的根 了解一元二次方程的概念一般式及其派生的概念应用一元二次方程概念解决一些简单题目通过设置问题建立数学模型模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义一元二次方程的一般形式及其有关概念解决一些概念性的题目态度情念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题难点关键通过提出问题建立一元二次方程的数学模型再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念教学过程一复习引入学生活动列方程问题九章算术勾股章有丈那么门的高和宽各是多少如果假设门的高为尺那么这个门的宽为尺根据题意得整理化简得那么点叫做线段的黄金分割点问题如图如果如果假设那么根据题意得整理得问题有一面积为的长方形将它的一边剪短另一边剪短恰好变成一