房山区2020届高三一模数学试题及答案解析.pdf

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1、房 山 区 2020年 第 一 次 模 拟 检 测 高 三 数 学 本 试 卷 共 4 页,150分。考 试 时 长 120分 钟。考 生 务 必 将 答 案 答 在 答 题 纸 上,在 试 卷 上 作 答 无 效。考 试 结 束 后,将 本 试 卷 和 答 题 纸 并 交 回。第 一 部 分(选 择 题 共 4 0分)、选 择 题 共 10小 题,每 小 题 4 分,共 4 0分。在 每 小 题 列 出 的 四 个 选 项 中,选 出 符 合 题 目 要 求 的 一 项。(3)已 知 向 量。=(1,丄)，h=(2,m),若。与 共 线,贝|=(1)复 数 i(3+i)=(A)l+3i(B)

2、-l+3i(C)l-3 i(D)-l-3 iT T(2)函 数/(x)=tan(x+)的 最 小 正 周 期 为 6兀 7 1(A)-(B)3 2(C)兀(D)2无(A)G(B)#)(C)V6(D)2V I第 1 页(4)在 二 项 式(l-2 x)s的 展 开 式 中，的 系 数 为(A)40(B)(C)80(D)(5)下 列 函 数 中，既 是 偶 函 数 又 在(0,+00)上 单 调 递 减 的 是(A)y=x2(B)(C)y=27x(D)(6)某 三 棱 锥 的 三 视 图 如 右 图 所 示，则 该 三 棱 锥 的 体 积 为 4(A)-(B)3(C)4(D)-40-80y=n x

3、y-xsinx1 I)8主 视 图 左 视 图 俯 视 图(7)已 知 函 数/(x)=x T 若/(2)=0,且/(x)在 R 上 单 调 递 增,则。的 取 值 范 围 是 bx+,x W-L(A)(0,2(B)(1,2(C)(l,+oo)(D)2,+00)设 是 公 差 为 d 的 等 差 数 列,S为 其 前 n 项 和,则“d 0”是“e N*,Sn+i 105=1,3,则=(12)设 抛 物 线=2py经 过 点(2,1),则 抛 物 线 的 焦 点 坐 标 为 第 2页(13)已 知 是 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列,q=l,%=100,则 4 的 通 项 公 式=

4、:设 数 列 1g%的 前 n 项 和 为 Tn,则 7；=.(1 4)将 函 数 x)=sm(2xj)的 图 象 向 右 平 移 s(s。)个 单 位 长 度,所 得 图 象 经 过 点?),则 s 的 最 小 值 是.x2(15)如 果 方 程 一+川|=1所 对 应 的 曲 线 与 函 数=/(x)的 图 象 完 全 重 合，那 么 对 于 函 数=/(x)有 4如 下 结 论:函 数/(%)在 R 上 单 调 递 减;=/(x)的 图 象 上 的 点 到 坐 标 原 点 距 离 的 最 小 值 为 1；函 数/(x)的 值 域 为(-*2；函 数(x)=f(x)+x 有 且 只 有 一

5、 个 零 点.其 中 正 确 结 论 的 序 号 是.注:本 题 给 出 的 结 论 中,有 多 个 符 合 题 目 要 求。全 部 选 对 得 5 分,不 选 或 有 错 选 得 0 分,其 他 得 3分。三、解 答 题 共 6题,共 85分。解 答 应 写 出 文 字 说 明,演 算 步 骤 或 证 明 过 程。(16)(本 小 题 14分)在 Z8C 中,a y/2,c V10,.(补 充 条 件)(I)求 NBC的 面 积;(II)求 sin(4+8).从 b=4,C G SB=一 旦，sin/=典 这 三 个 条 件 中 任 选 个，补 充 在 上 面 问 题 中 并 作 答.5 1

6、0注:如 果 选 择 多 个 条 件 分 别 解 答,按 第 一 个 解 答 计 分。(17)(本 小 题 14分)随 着 移 动 互 联 网 的 发 展,越 来 越 多 的 人 习 惯 用 手 机 应 用 程 序(简 称 app)获 取 新 闻 资 讯.为 了 解 用 户 对 某 款 新 闻 类 app的 满 意 度,随 机 调 查 了 300名 用 户,调 研 结 果 如 下 表:(单 位:人)青 年 人 中 年 人 老 年 人 满 意 60 70X一 般 55 25 y不 满 意 25 5 10(I)从 所 有 参 与 调 研 的 人 中 随 机 选 取 1人，估 计 此 人“不 满 意

7、”的 概 率;(II)从 参 与 调 研 的 青 年 人 和 中 年 人 中 各 随 机 选 取 1人，估 计 恰 有 1人“满 意”的 概 率;(III)现 需 从 参 与 调 研 的 老 年 人 中 选 择 6 人 作 进 步 访 谈,若 在“满 意”、“一 般”、“不 满 意”的 老 年 人 中 各 取 2 人,这 种 抽 样 是 否 合 理?说 明 理 由.第 3页(18)(本 小 题 14分)如 图,在 四 棱 锥 尸 Z8C。中,P8 丄 平 面 8CO,A B L B C,AD/BC,AD=2BC=2,Z6=8C=尸 8,点 E 为 棱 的 中 点.(I)求 证:C E II平

8、面 P/3；(II)求 证:。丄 平 面 尸 8；(111)求 二 面 角 E-/C。的 余 弦 值.(19)(本 小 题 14分)X2 v2已 知 椭 圆 C:+勺=1(。6 0)过(2,0),8(0,1)两 点.a b(1)求 椭 圆 C 的 方 程 和 离 心 率 的 大 小;(II)设“，N 是 轴 上 不 同 的 两 点，若 两 点 的 纵 坐 标 互 为 倒 数,直 线 与 椭 圆 C 的 另 个 交 点 为 尸,直 线 N 与 椭 圆。的 另 个 交 点 为。,判 断 直 线 尸。与 x 轴 的 位 置 关 系，并 证 明 你 的 结 论.(20)(本 小 题 15分)己 知 函

9、 数/(x)=2 ax?+2.(I)求 曲 线=/(x)在 点(,/()处 的 切 线 方 程;(II)讨 论 函 数/(x)的 单 调 性;(III)若。0,设 函 数 g(x)=|/(x)|,g(x)在 一 1,1 上 的 最 大 值 不 小 于 3,求 a 的 取 值 范 围.(21)(本 小 题 14分)在 个 有 穷 数 列 的 每 相 邻 两 项 之 间 插 入 这 两 项 的 和,形 成 新 的 数 列,我 们 把 这 样 的 操 作 称 为 该 数 列 的 一 次“Z 拓 展”.如 数 列 1,2 第 1次“Z 拓 展”后 得 到 数 列 1,3,2,第 2 次“Z 拓 展”后

10、 得 到 数 列 1,4,3,5,2.设 数 列 a,b,c经 过 第 次“Z 拓 展”后 所 得 数 列 的 项 数 记 为 月,所 有 项 的 和 记 为 S“.(1)求,鸟；(II)若 月 202,求”的 最 小 值；(III)是 否 存 在 实 数 a,b,c,使 得 数 列 S“为 等 比 数 列?若 存 在，求。,b,c满 足 的 条 件；若 不 存 在,说 明 理 由.第 4页房 山 区 2020年 第 一 次 模 拟 检 测 答 案 高 三 数 学、选 择 题（每 小 题 4 分,共 4 0分）题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0答 案 B C B D A A B

11、 D C D二、填 空 题（每 小 题 5 分,共 2 5分,有 两 空 的 第 一 空 3 分,第 二 空 2 分）(11)3(12)(0,1)(13)1 0-,処 32(1 4)12(1 5)(注:只 写 或 得 3分)三、解 答 题(共 6 小 题,共 8 5分)(1 6)(本 小 题 14分)解:选 择(I)在 A B C 中,因 为=y/2 c=J 1 0，b=4,山 人,小 钿 殂 a2+b2-c2(V2)2+4-(VFo)2 及 由 余 弦 定 理 得 cosC=-=-戸-=，2ab 2 x j2 x 4 2因 为 C e(0,兀),所 以 sinC=J l c o s2 0=走

12、 2所 以 S=absinC=Lx 逝 4X 也=2 2 2 2(I I)在 ZBC 中,A+B n-C.所 以 sin(Z+8)=sinC=.选 择(I)因 为 cos8=-，8 e(0,兀),所 以 sin8=S cos?6=5 5因 为 4=后,c=V10,所 以 S=Lacsin3=Lx 后 x Jid x 述=22 2 5(II)因 为 a=0,c=V10,cos8=一 正，第 5页由=q2+c2-24ccos8，得=(72)2+(710)2-2x x 710 x(-)=16，解 得 b=4,由 丄=-,解 得 sinC=也,sin B sinC 2在/3C 中，4+8=兀。,sin

13、(?l+5)=sin C-选 择 依 题 意,为 锐 角,由 sin/=得 cos4=Jlsin?4=10 10在 ABC 中,因 为 4 二 2 c V w 9 cos A=3,10由 余 弦 定 理=+。2一 2 COSN,得(0)2=+(Ji?)22x而 x 叵 b10解 得 6=2 或 b=4(I)当 b=2 时,S=ftcsin-x 2x VlOx 1.2 2 10当 b=4 时,S=bcsrA=x4x VlOx=2-2 2 10(II)由。=/,c=Vlo,sin A=-,-=-,得 sinC=10 sin A sin C 2在 Z8C 中,A+B=ii-C,sin(/+8)=si

14、nC=-(17)(本 小 题 14分)解:(I)从 所 有 参 与 调 研 的 人 共 有 300人,不 满 意 的 人 数 是 25+5+10=40记 事 件 为“从 所 有 参 与 调 研 的 人 中 随 机 选 取 1人 此 人 不 满 意”,则 所 求 概 率 为(11)记 事 件 为“从 参 与 调 研 的 青 年 人 中 随 机 选 取 1人,此 人 满 意”,则 尸(加 尸 図=;140 7记 事 件 N 为“从 参 与 调 研 的 中 年 人 中 随 机 选 取 1人,此 人 满 意”,则 P(N尸=丄;100 10则“从 参 与 调 研 的 青 年 人 和 中 年 人 各 随

15、 机 选 取 1人,恰 有 1人 满 意”的 概 率 为 第 6页 3 7 3 7 37P(M N+M N)=P(M)P(N)+P(M)P(N)=x(l 5)+(1)x=(I I I)这 种 抽 样 不 合 理。理 由:参 与 调 研 的 6 0名 老 年 人 中 不 满 意 的 人 数 为 2 0,满 意 和 一 般 的 总 人 数 为 x+y=5 0,说 明 满 意 度 之 间 存 在 较 大 差 异，所 以 从 三 种 态 度 的 老 年 中 各 取 2 人 不 合 理。合 理 的 抽 样 方 法 是 采 用 分 层 抽 样，根 据 x,10的 具 体 数 值 来 确 定 抽 样 数 值

16、。(1 8)(本 小 题 14分)证 明:(I)取 P 中 点，连 接 所,B F,因 为 E 为 尸 中 点,F 为 P A 中 点、,所 以 E F/4 D,且 E=丄。2又 因 为 B C/4 D,且 8C=丄。2所 以 E F/B C,且 E F=B C所 以 四 边 形 BCE 为 平 行 四 边 形，所 以 C E/B F,因 为 CE 平 面 PAB,B F u 平 面 PAB所 以 C E 平 面 P Z 6.(I I)因 为 尸 8 丄 平 面 NBC。，/O u 平 面 8C。所 以 P 8 丄。又 因 为 A B 丄 BC,4D BC所 以 O 丄 4 8,又 A B C

17、 P B=B,A B、P 8 u 平 面 尸 6所 以 丄 平 面 R 48.(I I I)因 为 尸 8 丄 平 面 NBCD,A B、B C u 平 面 48CZ)所 以 P B 丄 B,P B 丄 B C,又 A B 丄 BC,以 8 为 原 点,如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 3 种，5(0,0,0),尸(0,0,1),4(0,1,0),C(l,0,0),夙 1二,1)1 1所 以 8尸=(0,0,1),Z C=(1,T,),CE=(O)已 知 平 面 A C D 的 一 个 法 向 量 B P=(0,0,1)；设 平 面 力”的 法 向 量=(x,z),则 第 7页 A

18、C=0n CE=0 x-y=O,即 1 1,令=1,y+z=02 2则=l,z=T；所 以 平 面 A C E 的 个 法 向 量 为=（1,1,1）B P 所 以 cos=._.H 卜=一 直 一 3由 图 可 知 二 面 角/C 为 锐 角,所 以 二 面 角 E-Z C-O 的 余 弦 值 为 昱（19）（本 小 题 14分）x2,解:（I）依 题 意 得。=2,b=l,所 以 椭 圆 C 的 方 程 为 一+=14-c-y/a2 b2 V3,离 心 率 的 大 小 e=a 2（II）因 为 f,N 是 轴 上 不 同 的 两 点,两 点 的 纵 坐 标 互 为 倒 数,设 A/,N 坐

19、 标 为（,（。,），则=丄,根,H0mm由（2,0）,（,?）得 直 线 M 的 方 程 为=x+m一 2X2 2,+V=14.my=x+m整 理 得（加 2+1）-2my=0 或（加+l）x2-4 m2x+4m2-4=0得 交 点 P 的 纵 坐 标 为 井=2.同 理 交 点 Q 的 纵 坐 标 为 0=-=：進=-2 m-+1（丄+m-+m所 以 弘=0 0,直 线 P 0 与 x 轴 平 行 解 法 二:设 直 线 A M 的 方 程 为 x=+2。H 0）,直 线 N 的 方 程 为 x=$+2（s H 0）第 8页令 X=O 得”=一 2,M 坐 标 为（0,二）,同 理 N 坐

20、 标 为（0,二）t S因 为，N 是 轴 上 不 同 的 两 点,两 点 的 纵 坐 标 互 为 倒 数,所 以 s/=4 2 I+V=14-x-ty+2整 理 得。2+4）+4卬=0 或（12+4）x2-16x+16-4z2=0得 交 点 P 的 纵 坐 标 为,=二 竺,-4型 同 理 得。百 Ft所 以%=。,直 线 尸。与 X 轴 平 行 解 法 三:设 直 线 用 的 方 程 为=。2）,直 线/N 的 方 程 为=&一 2）,。令 x=0 得/坐 标 为（0,-2）,同 理 N 坐 标 为（0,-2左 2）因 为“，N 是 轴 上 不 同 的 两 点,两 点 的 纵 坐 标 互

21、为 倒 数,所 以 4&=1.2 _i代 入 椭 圆 方 程 得 1 4 y=kx（x-2）（4 婷+l）x2 16婷 x+16k；4=0 或（4 2+必=2 国 二 所 以“4+1 4左+1得 交 点 P 的 纵 坐 标 为 yP=k-（典 二 2-2）=二 的 4 2+1 4婷+1同 理 得。4 2)+1 4()2+14 所 以%=2 0,直 线 P 0 与 x 轴 平 行.第 9页(20)(本 小 题 15分)解:(I)fx)=6x2-2ax由/(0)=0,/(0)=2,得 曲 线=/(x)在 点(,/()处 的 切 线 方 程 为=2(II)定 义 域 为 R，/(x)=6x?-2ax

22、=2x(3x。)令/3=0,解 得 项=,=若。=0,f(x)=6x2 0,/(x)在 R 上 单 调 递 增:若。0,在(哂。)上,fx)0,/(x)单 调 递 增,在(0,会 上,/(x)0,/*)单 调 递 增;若。0,/(x)单 调 递 增,在(三,0)上,.，(x)0,/(x)单 调 递 增;(HI)若,函 数/(x)的 单 调 减 区 间 为 1 0,?)单 调 递 增 区 间 为(一 00,0),(三,+oo 当 N1 时,即 4 2 3,由(H)知，/(x)在 1,0 上 单 调 递 增,在 0,1 上 单 调 递 减,则 g(x)_=max(-1)|,|/(0)|,|/(I)

23、|=max。,2,|4。|3当 1时,即 a 0则 g(x)皿=max(-1)|,|/(0)|,|/(I)|=max-,2,4 研,若 g(x)3xN3，则 4。之 3，即 综 上,实 数 a 的 取 值 范 围 为(0,l U 3,+oo)(21)(本 小 题 14分)解;(I)因 原 数 列 有 3项，经 第 1次 拓 展 后 的 项 数 片=3+2=5；经 第 2 次 拓 展 后 的 项 数 鸟=5+4=9.第 10页(I I)因 数 列 每 一 次 拓 展 是 在 原 数 列 的 相 邻 两 项 中 增 加 一 项,由 数 列 经 第 次 拓 展 后 的 项 数 为 月,则 经 第+1

24、次 拓 展 后 增 加 的 项 数 为 片 1,所 以 匕+(,T)=2 1所 以+1=2 2=2(月 T),由(I)知 片 1=4,1=4-2T=2日 所 以=2”“+1,由=2川+12 2020 即 2M 2 0 1 9,解 得 2 10所 以 的 最 小 值 为 10.(I I I)设 第 次 拓 展 后 数 列 的 各 项 为 a,%,生，生，,，c所 以 S“=a+q+a,+%+,a,+c因 数 列 每 一 次 拓 展 是 在 原 数 列 的 相 邻 两 项 中 增 加 这 两 项 的 和,所 以 S“+i=。+3+)+。1+(q+a2)+a2+(a2+%)+,+a,+(am+c)+c即 S”+i=2。+3q+3a2+3。相+2ca c a c所 以 S洲=3S“一(“+c)，S,M一 丁=3 亍)得 S _詈=(S 竺 与 3T+c+c由=2a+3b+2c,则 S,=3+亍 3+亍,a+c h+-=02 0I 2若 使 S,为 等 比 数 列,则 匕=0或 b+。Q+C=O 26+a+c=0所 以,a,b,c满 足 的 条 件 为 或 者.b。b w 0第 11页第 12页