江苏省南通市2023届高三上学期期末模拟数学试题（解析版）.pdf

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1、南 通 市 2023届 高 三 上 学 期 期 末 质 量 监 测 模 拟 数 学 注 意 事 项：L 答 卷 前，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名、考 生 号、考 场 号 和 座 位 号 填 写 在 答 题 卡 上.用 2 B 铅 笔 将 试 卷 类 型（A）填 涂 在 答 题 卡 相 应 位 置 上.将 条 形 码 横 贴 在 答 题 卡 右 上 角“条 形 码 粘 贴 处”.2.作 答 选 择 题 时，用 2 B 铅 笔 在 答 题 卡 上 对 应 题 目 选 项 的 答 案 信 息 点 涂 黑：如 需 改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 他 答 案.非 选 择 题

2、 必 须 用 黑 色 字 迹 的 钢 笔 或 签 字 笔 作 答，答 案 必 须 写 在 答 题 卡 各 题 目 指 定 区 域 内 相 应 位 置 上；不 准 使 用 铅 笔 和 涂 改 液.3.考 生 必 须 保 持 答 题 卡 的 整 洁.考 试 结 束 后，将 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回.4.本 试 卷 共 6 页，22小 题，满 分 150分.考 试 用 时 120分 钟.一、选 择 题：本 题 共 8 小 题，每 小 题 5 分，共 40分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的.1 若 集 合 M=x|2，4,N

3、=M log3X l,则“D N=（）A.x|2 x0C.x 0 x 2 D.R【答 案】B【解 析】【分 析】利 用 指 数 函 数 以 及 对 数 函 数 的 单 调 性 求 得 集 合 根 据 集 合 的 并 集 运 算 即 可 得 答 案.【详 解】解 2、4 得 尤 2,解 log3 K l得 0 无 4 3,故 得 M=x|x 2,N=x 0 0,故 选：B.2.已 知 复 数 Z,0）,满 足 z 2=0=2,且 复 数 z在 复 平 面 内 位 于 第 一 象 限，则 co1+co+2）A 由 21B.-4【答 案】C【解 析】【分 析】设 2=。+例，coc+di,利 用 复

4、 数 的 乘 方 运 算 以 及 复 数 的 几 何 意 义 即 可 求 解.【详 解】设 2=。+例，CD=C+d,则 z2=a=a2-b2+2abi=c+di=(c?-d2-2cch,则 c=一,，d，所 以 69=-4-i,2 2 2 2w，a b当 所 见 哈 3则 有 ci 16a2+=0,解 得 a=L,b=土 立，2 2 2又 复 数 Z在 复 平 面 内 位 于 第 一 象 限，所 以 z=+i，2 2代 入 可 得 Ct)+69+2Z2+Z+12故 选：C3.已 知 数 列 6,是 递 增 数 列，且 4=则 实 数/的 取 值 范 围 是 广 6,”6A.(2,3)B.2,

5、3)D.(1,3)()叫1 7，、7【答 案】C【解 析】【分 析】根 据 分 段 函 数 的 单 调 性 及 数 列 为 递 增 数 列，列 出 不 等 式 组 求 解 即 可.【详 解】因 为 0t i，解 得 t 3 f7(3-r)x6-8r所 以 实 数 f的 取 值 范 围 为（岑,3）,故 选：c4.俄 国 著 名 飞 机 设 计 师 埃 格 西 科 斯 基 设 计 了 世 界 上 第 一 架 四 引 擎 飞 机 和 第 一 种 投 入 生 产 直 升 机，当 代 著 名 的“黑 鹰”直 升 机 就 是 由 西 科 斯 基 公 司 生 产 的.1992年，为 了 远 程 性 和 安

6、 全 性 上 与 美 国 波 音 747竞 争，欧 洲 空 中 客 车 公 司 设 计 并 制 造 了 A340,是 一 种 有 四 台 发 动 机 的 远 程 双 过 道 宽 体 客 机，取 代 只 有 两 台 发 动 机 的 4310.假 设 每 一 架 飞 机 的 引 擎 在 飞 行 中 出 现 故 障 率 为 1-P，且 各 引 擎 是 否 有 故 障 是 独 立 的，已 知 A340飞 机 至 少 有 3个 引 擎 正 常 运 行，飞 机 就 可 成 功 飞 行；A310飞 机 需 要 2 个 引 擎 全 部 正 常 运 行，飞 机 才 能 成 功 飞 行.若 要 使 A340飞 机

7、 比 A310飞 机 更 安 全，则 飞 机 引 擎 的 故 障 率 应 控 制 的 范 围 是()【答 案】C【解 析】【分 析】由 独 立 重 复 实 验 概 率 公 式 可 得 两 种 飞 机 正 常 飞 行 的 概 率，解 不 等 式 即 可 得 解.【详 解】由 题 意，飞 机 引 擎 正 常 运 行 的 概 率 为，则 A310飞 机 能 成 功 飞 行 的 概 率 为 C2=p2,A340飞 机 能 成 功 飞 行 的 概 率 为，3(1-)+屐。4=-304+4。3,令-3/*+4p3 即 一 3p2+4 1,解 得 g p.所 以 飞 机 引 擎 的 故 障 率 应 控 制

8、的 范 围 是(o,|)故 选：C.5.如 图，内 外 两 个 椭 圆 的 离 心 率 相 同，从 外 层 椭 圆 顶 点 向 内 层 椭 圆 引 切 线 AC,BD,若 直【答 案】C【解 析】【分 析】设 出 切 线 AC和 B。的 方 程，与 椭 圆 方 程 联 立 消 去 根 据 判 别 式=(),求 得 人,履 的 表 达 式，根 据 AC与 8。的 斜 率 之 积 求 得。和 b 的 关 系，进 而 求 得 a 和 c 的 关 系，椭 圆 的 离 心 率 可 得.2 2【详 解】设 内 层 椭 圆 的 方 程 为 二+3=1(。人 0),a hx2 y2由 离 心 率 相 同 可

9、知，外 层 椭 圆 的 方 程 为:-+=ma)mb)y=kxx-m d)(bx)2+(ay)2=(ah)?消 去 得(b2+a2k)x2-2ma3kfx+m2a4k-a2b2=0j 2由=(),得 k；=Za1m2-1设 切 线 BD的 方 程 为 y=k2x+m hf二 y=k2x+mb联 立；)9(bx)2+(ay)2=(ab)2消 去 y得 S?+2 m/必 2工+加 2 2匕 2 一 二。，h2由 A=0得 代=(m2 1)，a=g r，又 直 线 AC与 8。的 斜 率 之 积 为 一,，.%=,4 a2 4/.a=2b,c=上 b、：.e-2故 选：c6.已 知 函 数/0）=5

10、山（5+夕）（00,|同,解 得：a)12,C D 6IE当 u)=ll 时，-F(p ku,依 Z,4,兀,|p l y.兀 4.(p此 时 了（工）在 TT 57r（,）不 单 调，不 满 足 题 意;18 369兀 当 3=9 时，-1+3=加，依 Z,V|（p|,7 T，（P=,4Jr 57r此 时/（x）在（一，）单 调，满 足 题 意；18 36故 3 的 最 大 值 为 9,故 选 8.【点 睛】本 题 将 三 角 函 数 的 单 调 性 与 对 称 性 结 合 在 一 起 进 行 考 查，题 目 新 颖，是 一 道 考 查 能 力 的 好 题.注 意 本 题 求 解 中 用 到

11、 的 两 个 结 论：x）=Asin（x+9）（AH0,oH0）的 单 调 区 间 长 度 是 最 小 正 周 期 的 一 半;若/（x）=Asinx+e）（AHO,0HO）的 图 像 关 于 直 线 x=玉）对 称，则/（七）=A 或/（/）=-A.7.已 知 实 数 a 满 足 In（e2+l）lln（2a）a B-e a C e 4 D,eT ae-【答 案】D【解 析】【分 析】根 据 In（e2+l）-lln（2a）l+ln2 得+对 A B,构 造 g（x）=e*-J,根 据 零 点 存 在 性 定 理 判 断 即 可；对 C D,构 造 函 数 函 数 In x/（%）=-求 导

12、 分 析 函 数 单 调 性，结 合 所 给 不 等 式 判 断 即 可.X 1【详 解】由 ln（e2+l）lln（2a）vl+ln2 得 1；e+，a q，/“均 有 可 能，即 蓝 与。大 小 不 确 定.故 A 与 B 都 不 正 确.对 于 选 项 C与 D,1 n v令 函 数 x)=H(x l)得/，(力=,1,1-Inxx_(I F令 g(x)=l-J-ln x(x N l)得，()=4 一,=1 1时,g(x)g=0,所 以/()=/0,所 以“尤)在(1,m)上 单 调 递 减,又 1 c g(e+，)a/(e),所 以 电：也 彳，即 e T/T，故 D正 确.故 选：D

13、8.已 知 四 棱 锥 P-ABC。外 接 球 表 面 积 为 S,体 积 为 匕 PA L平 面 ABCD,PA=4,NABC=22，且 逋 4 V，则 S的 取 值 范 围 是()3 3A.10-S B.20-S C.I。国 WS D.20 备 S【答 案】B【解 析】【分 析】将 已 知 生 8 4 V转 化 为 运 用 余 弦 定 理 与 基 本 不 等 式 得 到 AC的 取 值 范 围,由 此 运 用 正 弦 定 理 得 四 边 形 A BC。外 接 圆 半 径 的 范 围，然 后 根 据 球 的 性 质 得 球 半 径 的 范 围，得 解.以 四 边 形 A8CQ的 外 接 圆

14、为 底，也 为 高，将 四 棱 锥 补 形 为 一 个 已 知 球 的 内 接 圆 柱.设 内 接 圆 柱 的 底 面 半 径 为 r、R 外 接 球 的 半 径，则 配=22+产，V=3 S ABCD PA=A B C D N 个 G,故 A B C D-，SABCD=A B B C s in-+A D D C s in=(A B B C+A D D C)所 以 AB-3C+Ar)C24在 R C 中 运 用 余 弦 定 理 与 基 本 不 等 式 得：AC2=AB2+BC2+A B B C 3A B B C 在 八 4。中 运 用 余 弦 定 理 与 基 本 不 等 式 得：3AC2=3(

15、AD2+DC2-AD-DC)3 AD-DC,上 两 式 相 加 得：4AC2 3(AB-BC+AD DC)12,故 有：AC2 3，2/4c r-_ A r r2 1 I在 44BC中 由 正 弦 定 理 得：一 T 一 I 一，sin J J3因 此 尺 2=22+,2 5，S=4万 R2 220万.故 选：B二、选 择 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 20分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，有 多 项 符 合 题 目 要 求.全 部 选 对 的 得 5 分，部 分 选 对 的 得 2 分，有 选 错 的 得 0 分.9.下 列 结 论 正 确 的 是()

16、A.若 随 机 变 量 X 服 从 两 点 分 布，尸(X=l)=,，则。(X)=2 2B.若 随 机 变 量 y 的 方 差。(y)=2,则。(3丫+2)=8(1C.若 随 机 变 量 自 服 从 二 项 分 布 8 4,；,则 P=3)=一 k 2；4D.若 随 机 变 量 服 从 正 态 分 布 N(5,CT2),P(2)=0.1,则 尸(2 8)=0.8【答 案】CD【解 析】【分 析】根 据 两 点 分 布、二 项 分 布、正 态 分 布 以 及 方 差 的 性 质，对 每 个 选 项 进 行 逐 一 分 析，即 可 判 断 和 选 择.【详 解】对 A：若 随 机 变 量 X 服

17、从 两 点 分 布，P(X=1)=J,则。(X)=2-x|1-T I=T 故 A 错 误：2 I 4对 B：若 随 机 变 量 Y的 方 差。(丫)=2,则。(3丫+2)=9。(丫)=1 8,故 错 误；对 C：若 随 机 变 量 自 服 从 二 项 分 布 B(4,；),则 P(4=3)=C：(g)=；，故 正 确；对 D：若 随 机 变 量 服 从 正 态 分 布 N(5,b 2),尸(8)=0 1，故 尸(2 8)=1 尸(8)=0.8,故 正 确.故 选：CD.10.已 知 正 方 体 ABC。4 4 G。的 边 长 为 2,M 为 CG的 中 点，P 为 侧 面 BCG4 上 的 动

18、 点，且 满 足 AM 平 面 4 8 P,则 下 列 结 论 正 确 的 是()A.AM 1 B.M B.。4 平 面 4 8。C.动 点 P 的 轨 迹 长 为 豆 叵 D.AM与 4 片 所 成 角 的 余 弦 值 为 3此 3【答 案】B C【解 析】【分 析】建 立 空 间 直 角 坐 标 系，结 合 向 量 法 判 断 各 选 项.【详 解】如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，设 正 方 体 棱 长 为 2，则 A(0,0,2),A(0,2,2),5(0,0,0),M(2,l,0),P(x,y,0),所 以 祠=(0,-2,-2)，丽=(x,y,0),AM=(2,1,-2)

19、,由 AM 平 面 a BP,0+/u=2得 AA7=aA有+人 3户，即-2。+b=1,化 简 可 得 3x 2y=0,-2a=-2所 以 动 点 P 在 直 线 3x 2y=0 上，A 选 项：AM=(2,1,-2),M=(2,-l,0),W-W=2 x 2+lx(-l)+(-2)x0=3 0,所 以 而 与 丽;不 垂 直，所 以 A选 项 错 误;B 选 项：CD、,A B u 平 面 A B P,。2 且 平 面 4 8 尸，所 以 C 平 面 同 田。，B选 项 正 确；C 选 项：动 点 P 在 直 线 3x2y=0 上，且 P 为 侧 面 B C C 4 上 的 动 点，则 p

20、 在 线 段 上，耳(q2,0),所 以 46=(1+22+02=2 坐，c 选 项 正 确;D 选 项:隔=(。,。,-2),3(瓯 画=2匕+；+(一 2)223,D 选 项 错 误;故 选：BC11.设 抛 物 线 C:y2=2px(p0)的 焦 点 为 F，。为 坐 标 原 点，直 线 2：2x-2y-p=O 与 C交 于 A,8 两 点，以 48 为 直 径 的 圆 与 y轴 交 于。，E 两 点，贝 I()A.AB=3p B.|DE=y/lpC./D E E 是 钝 角 D.AD EF的 面 积 小 于 AQ IB的 面 积【答 案】BCD【解 析】【分 析】联 立 方 程，根 据

21、 韦 达 定 理 得 到 根 与 系 数 的 关 系，计 算|AB|=4，A 错 误；计 算 圆 方 程 为：+(y-p=4p2,计 算 得 到 B 正 确；计 算 而 两 0,n2,2x-2y-p=0 4 XjX2=|AB|=x1+x2+/?=4p,A 错 误;AB中 点 坐 标 为|AB|=4p=2 r,r=2 p,圆 方 程 为：；+(y-P)2=4 p 2,取 X=0 得 到 y=p,|f)|=V7p,B正 确；(s、(s、不 妨 取。0,p-p,E 0,p+p,/7故 户 万/7=-g p-p,-y,p+-y-p=一;2,旦 尸 不 共 线，故(2 2 八 2 2 J 2ZDEE是

22、钝 角，C正 确；DEF=DE-OF=x/j p x-=-p2,SOAB=1 x 4 p x-=p2,S/DEF o D.若 1)=，贝=5L n=【答 案】BCD【解 析】【分 析】赋 值 法 求/(0)的 值，判 断 A；赋 值 法 结 合 导 数 以 及 函 数 奇 偶 性 的 定 义，判 断 B；赋 值 法 结 合 换 元 法 判 断 C;利 用 赋 值 法 求 得 了(),N*的 值 有 周 期 性，即 可 求 得 2023工/()的 值，判 断 D.r t=l【详 解】对 于 A,令 x=y=0,则 由/(x+y)+/(x-y)=2/(x/(y)可 得 2/(0)=2/，故/(0)

23、=0或/(0)=1,故 A错 误；对 于 B,当(0)=0时,令 y=0,贝 4(x)+/(x)=2 x/(0)=0,则 于 x)=0,故/(x)=0,函 数 用 x)既 是 奇 函 数 又 是 偶 函 数；当/(0)=1 时，令 x=o,则/(、)+/(-y)=2/(y),所 以/(一 y)=/(),“X)为 偶 函 数，则 为 奇 函 数；综 合 以 上 可 知/彳 对 必 为 奇 函 数，B正 确；对 于 C,令 尤=y,则 2x)+/(o)=2/2(x),故 2力+/(0)2 0。由 于 x e R,令，=2 x/e R,即/。)+/(0)2 0,即 有/(x)+/(0)2 0,故 C

24、正 确；对 于 D,若/=g，令 x=l,y=0,则/(1)+1)=2/(1 0),则/(0)=1,故 令 x=y=l,则/(2)+/(。)=2,/(1),即/(2)+l=g,：J(2)=令 x=2,y=l,则 3)+/(1)=2 2)(1),即/(3)+3=_!:./(3)=_1,令 x=3,y=l,则/(4)+/(2)=2 3)(1),即/(4)；=一 1,，/(4)=一 1，令 x=4,y=l,则/(5)+/=2/(4)/，即/-1=J(5)=；,令 x=5,y=l,则 4 6)+/(4)=2 5)/，即 6)；=；,;./=1,令 x=6,y=l,则/(7)+5)=2/(6)/，即 7

25、)+g=l,.,/X7)=；,L由 此 可 得/(),eN*的 值 有 周 期 性，且 6个 为 一 周 期，且/(D+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)=0,2023 1故()=337x+/+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)+/(1)=-,故 D 正 确，=1 2故 选：BCD【点 睛】本 题 考 查 了 抽 象 函 数 的 奇 偶 性 和 特 殊 值 以 及 求 函 数 值 的 和 的 问 题，涉 及 到 导 数 问 题，综 合 性 强，对 思 维 能 力 要 求 高，解 答 的 关 键 是 利 用 赋 值 法 确 定/5),eN*的 周 期 性.三、填 空 题：本 题

26、 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 20分.13.今 天 是 星 期 四，经 过 7天 后 还 是 星 期 四，那 么 经 过 2弥 3天 后 是.【答 案】星 期 五【解 析】【分 析】利 用 周 期 含 义 以 及 指 数 运 算 即 可.【详 解】根 据 题 意，周 期 为 7,26063=8202=(7+1)202,所 以 a606?除 以 7的 余 数 为 1,即 经 过 2班 3天 后，为 星 期 五.故 答 案 为：星 期 五 14.单 位 圆 中，A 5为 一 条 直 径，为 圆 上 两 点 且 弦 C。长 为 也，则 而 丽 取 值 范 围 是 答 案 一!一 石，一

27、L 2 2 J【解 析】分 析】由 题 设 A(-1,O),B(l,0),C(cos6,sin(9),D(cos(+120),sin(。+120),再 根 据 数 量 积 坐 标 运 算 计 算 即 可.【详 解】解：如 图，由 弦 C。长 为 白，可 得 NCOD=120。，不 妨 设 A(-l,0),B(l,0),C(cos0,sin6),D(cos(6+120),sin(6+120)j,则 4C=(cos 0+,sin O),BD-(cos(6+120)-1,sin(9+120)j,所 以 衣.丽=(cose+l)cos(0+120)l+sinesin(e+12()(i 出 A(A=(c

28、os0+l)cos。一 一-sinO-l+sin。sin+-cos。I 2 2 J 1 2 2 JV3./)3 3=-sin 3 cos 0 2 2 2一 1-G,-g+G 2 2 J一 3 3故 答 案 为：一 彳 一 6,-彳+/5.L 2 2 J15.已 知 函 数/(x)=d-2?+2 x,则 曲 线 y=/(x)经 过 点 A(l,l)的 切 线 方 程 是【答 案】x-y=0或 3x 4y+l=0.【解 析】=-V3sin(+6 0)-1 e【分 析】设 切 点，然 后 求 导 函 数，进 而 得 到 该 点 处 的 切 线 方 程，再 代 入 点 4(1,1)即 可.【详 解】设

29、 切 点 为 卜，/一 2一+2。,对 y=/(x)求 导 得：j(x)=3/-4x+2,.4=3厂 一 4r+2,切 线 方 程 为：y-(尸 一 2广+2。=(3厂 4f+2)(x,切 线 过 4(1,1),.1_(尸 2/+2。=(3/_ 射+2)(1 _)1 3解 之：r=一 或 1,所 以 斜 率 或 1,2 4又 过 A(l,l),代 入 点 斜 式 得 切 线 方 程 为：3%-4丁+1=。或-丫=0,故 答 案 为：x-y=O或 3x-4y+l=0.3*16.设 数 列 6,首 项 q=前 项 和 为 S“，且 满 足 2a“+1+S“=3(eN),则 满 足 34 S,16

30、2),两 式 相 减 得 2arl+i-2 an+an=0(2),则%=g 4(N 2),3 1当=1 时，2%+4=3,所 以 出=5 4，所 以 数 列 4 是 以 I 为 首 项 3 为 公 比 的 等 比 数 列，所 以 152 33，所 以=4或 5,即 所 有 的 和 为 4+5=9.故 答 案 为：9.四、解 答 题：本 题 共 6小 题，共 70分.请 在 答 题 卡 指 定 区 域 内 作 答，解 答 时 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤，只 有 答 案 没 有 过 程 的 不 能 得 分.17.在 ABC中，记 角 A,B,C所 对 的 边 分

31、 别 为 a,b,c,已 知 tanB=sinA2-cosA(1)若 tan8=4，求 tanC的 值:2(2)已 知 中 线 AM交 BC于，角 平 分 线 AN交 BC于 M 且 A M=3,例 N=l,求 A8C的 面 积.【答 案】(1)tanC=-2 或 tanC=2；【解 析】3【分 析】(1)利 用 同 角 关 系 式 可 得 sinA=1 或 sinA=l，然 后 利 用 和 角 公 式 即 得；(2)由 题 可 得 sinC=2 sin B,利 用 角 平 分 线 定 理 及 条 件 可 得 创 I=3,C N=2,进 而 可 得 4=工，b2=,即 得.2 5【小 问 1详

32、 解】因 为 sinA2-cosA 2所 以 2sin A+cosA=2sin2 A+cos2 A=13解 得 sinA=二 或 sin A=1,3 3 1当 sinA=一 时，tan A=-,tan S=,5 4 23 1-1-所 以 tan（A+8）=2=-tanC,tanC=-2；1 x4 2当 sin A=1时，因 为 Ov A v 4,所 以 A=工，又 tan3=,，2 2所 以 tanC=2.【小 问 2详 解】八 sinAtanB=-，2-cosAsinB sinA 小 八.八 4.x 八-=-,2sin n-sin ncos A=sin Acos B，cosB 2-cosA/

33、.2sin B=sin Bcos A+sin Acos 5=sin（A+B）,即 sinC=2sinB，c=2/?,AR RN C由 角 平 分 线 定 理 可 知，一=二 一=2,BN=2CN,又 MN=1,BM=CM,AC CN b所 以 BM=3,CN=2,1 Ji由 A=-3 C=3,可 得 A=,2 2_ _ _ 7 2 36；Zr+c?=36,b=,所 以 S=1be=12t0r=b0=一 36.2 2 518.已 知 数 列 q 成 等 比 数 列，S“是 其 前 w项 的 和，若 5人 1,5+3，纵+2卜 河）成 等 差 数 列.(1)证 明：%+H%+3，%+2 成 等 差

34、 数 列;(2)比 较 S 3+S 3 与 2 5 的 大 小;八 1 1 1 1 3 n-l(3)若 q 0,为 大 于 1的 奇 数，证 明：+77+一+Si S2 S3 Sn 2at【答 案】(1)证 明 见 解 析 S；+S 3 ZS(3)证 明 见 解 析【解 析】【分 析】(1)根 据 等 差 中 项 得 4=4 9=一；，。1+%+2=2。&+3即 可；ak+2,(2)作 差 法 比 较 即 可；1 3/iy,+1(3)利 用 等 比 数 列 求 和 公 式 可 得 丁=表 1-/，然 后 进 行 求 和 即 可 得 到 答 案 2+(-1)_【小 问 1详 解】由 题 知,&+

35、Sk+2=2Sk+3,所 以 S H I+5从+%+2=2(Sk+ak+2+4+3),所 以 2%+3=-4+2 所 以 公 比 4=4=一，所 以 ak+4+2=%+i 2%+i(一=2ak+3,所 以 ak+l+ak+2 2%.+3，所 以 4+1，%+3，处+2成 等 差 数 歹 人 得 证【小 问 2 详 解】由(1)得 S工+S 3-2S3=s*+S工 2(S；S*+2)2=二 1+2，因 为 Sjt+1 S R+2=4+2，0，所 以 S；M+s工 一 2s3=(%!%1 0，所 以 珠+S 2 2 S.【小 问 3 详 解】由(1)和 题 意 得，所 以 丁=3”32q(-1 严

36、 2+(-1),+,所 以 1 1 1 1 3 f 1 1 1 1 1)51 S2 S3 S 2ali 2+1 22-1 23+1 2n-1-1 2+1J=焉 3(,”/1、(/1/、十(/E12+l)Q I(q 0,=2k+1,&e N*).得 证 2q19.2020年，新 冠 病 毒 席 卷 全 球，给 世 界 各 国 带 来 了 巨 大 的 灾 难 面 对 疫 情，我 们 伟 大 的 祖 国 以 人 民 生 命 至 上 为 最 高 政 策 出 发 点，统 筹 全 国 力 量，上 下 一 心，进 行 了 一 场 艰 苦 的 疫 情 狙 击 战，控 制 住 了 疫 情 的 蔓 延 并 迅 速

37、 开 展 相 关 研 究 工 作.某 医 疗 科 学 小 组 为 了 了 解 患 有 重 大 基 础 疾 病(如，糖 尿 病、高 血 压)是 否 与 更 容 易 感 染 新 冠 病 毒 有 关，他 们 对 疫 情 中 心 的 人 群 进 行 了 抽 样 调 查，对 其 中 50人 的 血 液 样 本 进 行 检 验，数 据 如 下 表：感 染 新 冠 病 毒 未 感 染 新 冠 病 毒 合 计 不 患 有 重 大 基 础 疾 病 15患 有 重 大 基 础 疾 病 25合 计 30(1)请 填 写 2x2列 联 表，并 判 断 是 否 有 99%的 把 握 认 为 患 有 重 大 基 础 疾

38、病 更 容 易 感 染 新 冠 病 毒；(2)在 抽 样 调 查 过 程 中，发 现 某 样 本 小 组 5 人 中 有 1人 感 染 新 冠 病 毒，需 要 通 过 化 验 血 液 来 确 定 感 染 者，血 液 化 验 结 果 呈 阳 性 即 为 感 染 者，呈 阴 性 即 未 感 染.下 面 是 两 种 化 验 方 法：方 法 一：逐 一 检 验，直 到 检 出 感 染 者 为 止；方 法 二：先 取 3 人 血 液 样 本，混 合 在 一 起 检 验，如 呈 阳 性 则 逐 一 检 验，直 到 检 出 感 染 者 为 止；如 呈 阴 性，则 检 验 剩 余 2 人 中 任 意 1人 血

39、 液 样 本.求 方 法 一 的 化 验 次 数 大 于 方 法 二 的 化 验 次 数 的 概 率；用 X 表 示 方 法 二 中 化 验 的 次 数，求 X 的 数 学 期 望.P（K）0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828附：K2=-：(a d y b c)-,其 中 n=a+b+c+ci.(a+b)(c+d)(a+c)S+d)【答 案】（1）填 表 见 解 析；有；（2）一；2.4（次）.25【解 析】25【分 析】（1）根 据 题 中 数 据，完 成 列 联 表，计 算/=一 6.635,所 以 有 99%的 把 握 认 3为 患 重 大 基 础

40、疾 病 更 容 易 感 染 新 冠 病 毒.（2）记 4（，=1，2,3,4）表 示 依 方 法 一 需 化 验，次，鸟（j=2,3）表 示 依 方 法 二 需 化 验,次，分 别 计 算 P（4）和 尸（与），分 析 计 算，即 可 得 答 案.X 的 可 能 取 值 为 2,3,分 别 计 算 P（X=2）和 尸（X=3）,代 入 公 式，即 可 求 得 期 望.【详 解】解：（1）列 联 表 完 成 如 下 图 感 染 新 冠 病 毒 未 感 染 新 冠 病 毒 合 计 不 患 有 重 大 基 础 疾 病 10 15 25患 有 重 大 基 础 疾 病 20 5 25合 计 30 20

41、502J 0 X(10X5-2 0 X 1 5)25 6 6 3 530 x20 x25x25 3所 以 有 99%的 把 握 认 为 患 重 大 基 础 疾 病 更 容 易 感 染 新 冠 病 毒.（2）记 4。=1,2,3,4）表 示 依 方 法 一 需 化 验 i次，鸟。=2,3）表 示 依 方 法 二 需 化 验/次,A 表 示 方 法 一 化 验 次 数 大 于 方 法 二 的 化 验 次 数，依 题 意 知 A3与 约 相 互 独 立.P（4）=?,P（4）=g x；=:，尸（A）=g x%:=g,p（4）=；x%；=1产（坊）=袅+品 r=|，*员）=舞=:由 于 4=3,82+

42、4所 以 1 3 2 13P（A）=P（Afi2+A4）=P（AB2）+P（A4）=P（A）.P（B2）+P（A4）=-x-+-=-n即 尸 伊）=王 X 的 可 能 取 值 为 2,3.P（X=2）=P（&）4+&=|,P（X=3）=P（4）=矍 所 以 E X=2 X23+3X2W=1&2=2.4（次）5 5 5【点 睛】独 立 性 检 验 一 般 步 骤：（1）根 据 数 据 完 成 2x2列 联 表；（2）根 据 公 式 计 算 K?；（3）查 表 比 较 K?与 临 界 值 的 大 小 关 系，作 出 判 断.20.请 从 下 面 三 个 条 件 中 任 选 一 个，补 充 在 下

43、面 的 横 线 上，并 作 答.丽（可+而）=0；P C=币;点 P 在 平 面 ABCZ）的 射 影 在 直 线 4。上.如 图，平 面 五 边 形 以 BCO 中，A4D是 边 长 为 2 的 等 边 三 角 形，AD/BC,AB=2BC=2,A B 1 B C,将 AQAD沿 AO翻 折 成 四 棱 锥 P ABCD,E 是 棱 P D 上 的 动 点（端 点 除 外），F,M 分 别 是 AB,CE的 中 点，且 _.（1）求 证：R W 平 面 外。；（2）当 EF与 平 面 孙。所 成 角 最 大 时，求 平 面 4CE与 平 面 A8CD所 成 的 锐 二 面 角 的 余 弦 值

44、.【答 案】（1）证 明 见 解 析（2）17【解 析】【分 析】（1）取 C。中 点 为 G,可 得 M G E D,F G/A D,再 由 线 面 平 行、面 面 平 行 的 判 定 定 理 可 得 答 案；（2）取 A。为 O,连 接 PO,FG,EG.选 择：由 丽（身+而）=0得 B4J_尸 O,再 由 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 可 得 8 4,平 面 PAD.Ar I则 N A EE即 为 EF与 平 面 勿。所 成 的 角，由 tan/A EF=,当 AE最 小 时，A E A ENAE户 最 大，E为 的 中 点，AE最 小.再 求 二 面 角 余 弦 值：以 点 O

45、为 坐 标 原 点，以 OC为 x轴，。为 y轴，OP为 z轴，建 立 空 间 直 角 坐 标 系，求 出 平 面 CAE的 法 向 量 和 平 面 ABCD的 法 向 量，再 由 二 面 角 的 向 量 求 法 可 得 答 案；选 择：连 接 O C,可 得 8 4 L P O,由 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 可 得 84 _L平 面 必。，则 Ap IN A EE即 为 E尸 与 平 面 勿。所 成 的 角.由 tan NAEF=,得 AE最 小 时，A E A E/A E E 最 大，E为 PD的 中 点，AE最 小.再 求 二 面 角 余 弦 值 以 点。为 坐 标 原 点，以

46、 OC为 x轴，0。为），轴，OP为 z轴，建 立 空 间 直 角 坐 标 系，求 出 平 面 CAE的 法 向 量 和 平 面 A8CQ的 法 向 量，再 由 二 面 角 的 向 量 求 法 可 得 答 案；选 择：P在 平 面 ABCD的 射 影 在 直 线 AD上，得 平 面 平 面 A3CD,由 面 面 垂 直 的 性 质 得 5A_L平 面 PAD,4 E 五 即 为 EF与 平 面 外。所 成 的 角，A/7 1tan Z A E F=,当 AE最 小 时，/A E步 最 大，即 E为 PO中 点，AE最 小.A E A E再 求 二 面 角 余 弦 值，以 点。为 坐 标 原 点

47、，以。C为 x轴，。为 y轴，。为 z轴，建 立 空 间 直 角 坐 标 系，求 出 平 面 CAE的 法 向 量 和 平 面 A8CD的 法 向 量，再 由 二 面 角 的 向 量 求 法 可 得 答 案.【小 问 1详 解】取 CC中 点 为 G,连 接 MG,FG,则 M G,FG分 别 为 三 角 形 CDE,梯 形 A8CO的 中 位 线，：.M G/E D,FG/AD,M G u平 面 M7VG,MGZ平 面 Q 4 O,所 以 MG 平 面 P4Z）,同 理，F G 平 面 PAD,.MGC|FG=G,.平 面 MNG 平 面 办。，/F M u 平 面 MGF,：.F M 平

48、面 PAD.p【小 问 2详 解】B 乙 C取 AO为 0,连 接 尸 O,FG,EG,选 择：因 为 BA（丽+丽）=0,P A+P D-=2 P O-所 以 B&P0=O，即 B4_LPO,又 B 4L A D,A D P O O,所 以 6AJ_平 面 曲。，连 接 AE,E F,所 以/A E E 即 为 EF与 平 面 玄。所 成 的 角，4/7 1因 为 tan/A EF=,所 以 当 AE最 小 时，N A E F 最 大,A E A E所 以 当 AE_LPZ），即 E为 尸。的 中 点，AE最 小，下 面 求 二 面 角 余 弦 值，,/BA u 平 面 ABCD,.平 面

49、ABCD上 平 面 PAD,;平 面 ABCDJ平 面 B4Q,平 面 A B C D c平 面 R4Z）=AZ）,：PO _ L AD,PO 工 平 面 A BC。，以 点。为 坐 标 原 点，以 OC为 X轴，0。为 y轴，。尸 为 Z轴，（1 百）建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系，则 A（0,l,0）,E 0,-,-,C（2,0,0）,（2 2）所 以 立=0,-,-,AC=（2,1,0）,设 平 面 CAE的 法 向 量 为 加=（X，x，zJ,则 治+马=&,令,得 而=（；,-1,同，2%,+y,=0 I）由 题 意 可 知：平 面 ABC。的 法 向 量 为

50、 3=（0,0,1）,所 以 cos（犯 m-n 2A/ST所 以 平 面 ACE与 平 面 阴。所 成 的 锐 二 面 角 的 余 弦 值 为 2 亘.17选 择：连 接 0 C,则 OC=A3=2,0P=6,因 为 PC=J 7，PC2=OP2+OC2 所 以 B 4 L P O,又 84_LAD,ADCPO=O,所 以 区 4,平 面 南。连 接 AE,E F,所 以 AEE即 为 E尸 与 平 面 以。所 成 的 角，AF 1因 为 tanNAEEu-=-,所 以 当 AE最 小 时，NAE尸 最 大,AE AE所 以 当 A_LP，即 E为 PD的 中 点，AE最 小，下 面 求 二