第二章推理与证明的导学案_资格考试-公务员考试.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 2.1.1 合情推理（1）学习目标 1.结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2.能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.学习过程 一、课前准备（预习教材 P53 P55，找出疑惑之处）在日常生活中我们常常遇到这样的现象：（1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨；（2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯.以上例子可以得出推理是 的思维过程.二、新课导学 学习探究 探究任务一：考察下列示例中的推理 问题 1:.1856 年，法国微生物学家巴斯德发现乳酸杆菌是使啤酒变酸的原因，接着，通过对蚕病的研究，他发现细菌是引起蚕病的原因，因此，

2、巴斯德推断人身上的一些传染病也是由细菌引起的。问题 2：我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚西亚的地质结构类似，二中亚西亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油 问题 3：因为三角形的内角和是180(32)，四边形的内角和是180(42)，五边形的内角和是 180(52)所以 n 边形的内角和是 新知 1：从以上事例可一发现：叫做合情推理。归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理。探究任务二：问题 1：在学习等差数列时，我们是怎么样推导首项为1a，公差为 d 的等差数列an的通项公式的？新知 2 归纳推理就是根据一些事物的 ,推出该类事物的 的推理.归纳是 的过程 例子:哥德

3、巴赫猜想：观察 6=3+3,8=5+3,10=5+5,12=5+7,14=7+7,16=13+3,18=11+7,20=13+7,50=13+37,100=3+97，猜想：归纳推理的一般步骤 1 通过观察个别情况发现某些相同的性质。2 从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）。典型例题 例 1 用推理的形式表示等差数列 1,3,5,72n-1，的前 n项和 Sn的归纳过程。变式 1 观察下列等式：1+3=4=22，1+3+5=9=23，1+3+5+7=16=24，1+3+5+7+9=25=25，你能猜想到一个怎样的结论？变式 2 观察下列等式：1=1 1+8=9，1+8+27=3

4、6，1+8+27+64=100，你能猜想到一个怎样的结论？例2设2()41,f nnnnN 计算(1),(ffff的值，同时作出归纳推理，并用 n=40验证猜想是否正确。变 式：（1）已 知 数 列na的 第 一 项11a，且nnnaaa11(1,2,3n，试归纳出这个数列的通项公式 三、总结提升 学习小结 1归纳推理的定义.2.归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同的性质；从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.知识拓展 四色猜想：1852 年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色

5、，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976 年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用 1200 个小时，作了 100 亿逻辑判断，完成证明.学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（）.A.很好 B.较好 C.一般 D.较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1.下列关于归纳推理的说法错误的是（）.A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程 B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程 C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确 D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能 2.已知2()(1),(1)1()2f

6、 xf xff x *xN（），猜想(f x）的表达式为（）.A.4()22xf x B.2()1f xx C.1()1f xx D.2()21f xx 3.111()1()23f nnNn ，经计算得357(2),(4)2,(8),(16)3,(32)222fffff猜测当2n 时，有_.课后作业 1.已 知 1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,1+2+3+n=(1)2n n，观察下列立方和：13，13+23，13+23+33，13+23+33+43，试归纳出上述求和的一般公式。学习必备 欢迎下载 2.1.1 合情推理（2）学习目标 1.结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义

7、;2.能利用类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.学习过程 一、课前准备（预习教材 P57 P58，找出疑惑之处）复习 1 什么是合情推理？复习 2 什么是归纳推理？二、新课导学 学习探究 鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在.以上都是类比思维，即类比推理.新知：类比推理就是根据两类不同事物之间具有 推 测 其 中 一 类 事 物 具 有 与 另 一 类 事 物 的性质的推理.简言之，类比推理是由 的推理.典

8、型例题 例 1 用三角形的下列性质类比出四面体的有关性质.三角形和四面体有如下类似的性质：（1）（2）三角形 四面体 三角形的两边之和大于第三边 三角形的中位线平行且等于第三边的一半 三角形的面积为1()2Sabc r（r 为三角形内切圆的半径）类比推理的一般步骤：1 找出两类事物之间的相似性或一致性 2 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）例 2：找出圆与球的相似之处，并用圆的性质类比球的有关性质.圆的概念和性质 球的类似概念和性质 圆的周长 圆的面积 圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦 与圆心距离相等的弦长相等，上面哪些性质，类比的结论是正确的，哪些是错误

9、的？三、总结提升 学习小结 1类比推理是由特殊到特殊的推理.2.类比推理的一般步骤：找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质得出一个命题（猜想）.3.合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真，但合情推理常常帮我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法.知识拓展 试一试下列题目：1.南京江苏 A.石家庄河北 B.渤海中国 C.泰州江苏 D.秦岭淮河 2.成功失败 A.勤奋成功 B.懒惰失败 C.艰苦简陋 D.简单复杂 3.面条食物 A.苹果水果 B.手指身体 C.菜肴萝卜 D.食品巧克力 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（）.A.很

10、好 B.较好 C.一般 D.较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1.下列说法中正确的是（）.A.合情推理是正确的推理 B.合情推理就是归纳推理 C.归纳推理是从一般到特殊的推理 D.类比推理是从特殊到特殊的推理 2.下面使用类比推理正确的是（）.A.“若33ab,则ab”类推出“若00ab,则ab”B.“若()ab cacbc”类推出“()a b cac bc”C.“若()ab cacbc”类推出“ababccc （c0）”D.“nnaa bn（b）”类推出“nnaabn（b）3.设)()(,sin)(010 xfxfxxf，21()(),fxfx1()()nnfxfx，nN

11、，则2007()fx （）.A.sin x B.sin x C.cos x D.cos x 4.一同学在电脑中打出如下若干个圆 若将此若干个圆按此规律继续下去，得到一系列的圆，那么在前 2006 个圆中有 个黑圆.5.在数列 1，1，2，3，5，8，13，x，34，55中的 x 的值是 .课后作业 1.在等差数列na中，若100a，则有*121219(19,)nnaaaaaannN 成立，类比上述性质，在等比数列nb中，若91b，则存在怎样的等式？2.在各项为正的数列na中，数列的前 n 项和nS满足nnnaaS121（1）求321,aaa；（2）由（1）猜想数列na的通项公式；（3）求nS

12、推理学习目标结合已学过的数学实例了解归纳推理的含义能利用归纳进行简单的推理体会并认识归纳推理在数学发现中的作用学习过程一课前准备预习教材找出疑惑之处在日常生活中我们常常遇到这样的现象看到天空乌云密布燕子学习探究探究任务一考察下列示例中的推理问题年法国生物学家巴斯德发现乳酸杆菌是使啤酒变酸的原因接着通过对蚕病的研究他发现细菌是引起蚕病的原因因此巴斯德推断人身上的一些传染病也是由细菌引起的问题我国地质学家的石油是问题因为三角形的内角和是四边形的内角和五边形的内角和是所以边形的内角和是新知从以上事例可一发现叫做合情推理归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理探究任务二问题在学习等差数列时我们是怎么样

13、推导首学习必备 欢迎下载 2.1.2 演绎推理 学习目标 1.结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性；2.掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理.学习过程 一、课前准备（预习教材 P59 P61，找出疑惑之处）复习 1：归纳推理是由 到 的推理.类比推理是由 到 的推理.复习 2：合情推理的结论 .二、新课导学 学习探究 探究任务一：演绎推理的概念 问题：观察下列例子有什么特点？（1）所有的金属都能够导电，铜是金属，所以 ；（2）一 切 奇 数 都 不 能 被 2 整 除，2007 是 奇 数，所以 ；（3）三 角 函 数 都 是 周 期 函 数，sin是 三

14、 角 函 数，所以 ；（4）两条直线平行，同旁内角互补.如果 A 与 B 是两条平行直线的同旁内角，那么 .新知：演绎推理是 的推理.简言之，演绎推理是由 到 的推理.探究任务二：观察上述例子，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？所有的金属都导电 铜是金属 铜能导电 已知的一般原理 特殊情况 根据原理，对特殊情况做出的判断 大前提 小前提 结论 新知：“三段论”是演绎推理的一般模式：大前提 ；小前提 ；结论 .新知：用集合知识说明“三段论”：大前提：小前提：结 论：试试：请把探究任务一中的演绎推理（2）至（4）写成“三段论”的形式.典型例题 例 1 命题：等腰三角形的两底角相等 已知：求证：

15、证明：把上面推理写成三段论形式：变式：已知空间四边形 ABCD 中，点 E,F 分别是 AB,AD 的中点，求证：EF 平面 BCD 例 2 求证：当 a1 时，有(1)log(1)logaaaa 动手试试：1证明函数632()1f xxxxx 的值恒为正数。2 下面的推理形式正确吗？推理的结论正确吗？为什么？所有边长相等的凸多边形是正多边形，（大前提）菱形是所有边长都相等的凸多边形，（小前提）菱形是正多边形.（结 论）小结：在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确.三、总结提升 学习小结 1.合情推理归纳推理：由特殊到一般类比推理：由特殊到特殊；结论不一定正确.2.演绎推理：由

16、一般到特殊.前提和推理形式正确结论一定正确.3 应用“三段论”解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提，但为了叙述简洁，如果大前提是显然的，则可以省略.知识拓展 乒乓球教练组将从右手执拍的选手 R、S、T 和左手执拍的选手 L、M、N、O 中选出四名队员去参加奥运会。要求至少有两名右手执拍的选手，而且选出的四名队员都可以互相配对进行双打。已知 s 不能与 L 配对.T 不能与 N 配对，M 不能与 L 或 N配对。若 R不被选入队中，那么有几种不同的选法?A.只有一种 B.两种 C.三种 D.四种 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（）.A.很好 B.较好 C.一般 D.较差 当

17、堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1.因为指数函数xya是增函数，1()2xy 是指数函数，则1()2xy 是增函数.这个结论是错误的，这是因为 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 2.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 3.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b 平面，直线a平面，直线b平面，则直线b直线a”的结论显然是错误的，这是因为 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式

18、错误 D.非以上错误 4.归纳推理是由 到 的推理；类比推理是由 到 的推理；演绎推理是由 到 的推理.课后作业 1.运用完全归纳推理证明：函数852()1f xxxxx 的值恒为正数。推理学习目标结合已学过的数学实例了解归纳推理的含义能利用归纳进行简单的推理体会并认识归纳推理在数学发现中的作用学习过程一课前准备预习教材找出疑惑之处在日常生活中我们常常遇到这样的现象看到天空乌云密布燕子学习探究探究任务一考察下列示例中的推理问题年法国生物学家巴斯德发现乳酸杆菌是使啤酒变酸的原因接着通过对蚕病的研究他发现细菌是引起蚕病的原因因此巴斯德推断人身上的一些传染病也是由细菌引起的问题我国地质学家的石油是问

19、题因为三角形的内角和是四边形的内角和五边形的内角和是所以边形的内角和是新知从以上事例可一发现叫做合情推理归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理探究任务二问题在学习等差数列时我们是怎么样推导首学习必备 欢迎下载 2.2.1 综合法和分析法（1）学习目标 1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；2.会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.3.根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.学习过程 一、课前准备（预习教材 P63 P64，找出疑惑之处）复习 1：两类基本的证明方法:和 .复习 2：直接证明的两中方法:和 .二、新课导学 学习探究

20、探究任务一：综合法的应用 问题：已知,0a b,求证:2222()()4a bcb caabc.新知：综合法.：反思：框图表示：要点：顺推证法；由因导果.典型例题 例 1 求证：5321232log 19log 19log 19 变式：已知 a,b,c 表示.ABC的边长，m0，求证：abcambmcm 小结：用综合法证明不等式时要注意应用重要不等式和不等式性质,要注意公式应用的条件和等号成立的条件,这是一种由因索果的证明.例 2 设在四面体PABC中,90,ABCPAPBPC D 是 AC 的中点.求证:PD 垂直于ABC所在的平面.变式：如果3sinsin(2)，求证tan()2tan 小

21、结：解决数学问题时,往往要先作语言的转换,如把文字语言转 换成符号语言,或把符号语言转换成图形语言等,还要通过细致的分析,把其中的隐含条件明确表示出来.三、总结提升 学习小结 综合法是从已知的 P 出发，得到一系列的结论12,Q Q，直到最后的结论是 Q.运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.知识拓展 综合法是中学数学证明中最常用的方法,它是从已知到未知,从题设到结论的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列的中间推理,最后导出所要求证的命题,综合法是一种由因索果的证明方法.学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（）.A.很好 B.较好

22、 C.一般 D.较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1.已知22,11x yRxyxy则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.如果821,aaa为各项都大于零的等差数列，公差0d，则（）A5481aaaa B5481aaaa C5481aaaa D5481aaaa 3.设23451111log 11log 11log 11log 11P，则（）A01P B12P C23P D34P 4.若关于x的不等式 22133(2)(2)22xxkkkk的解集为1(,)2，则k的范围是_ .5.已知ba,是不相等的正数，,2abxya

23、b，则,x y的大小关系是_.课后作业 1.已知 a，b，c 是全不相等的正实数，求证:3bcaacbabcabc 2.在ABC 中，证明：2222112cos2cosbabBaA 推理学习目标结合已学过的数学实例了解归纳推理的含义能利用归纳进行简单的推理体会并认识归纳推理在数学发现中的作用学习过程一课前准备预习教材找出疑惑之处在日常生活中我们常常遇到这样的现象看到天空乌云密布燕子学习探究探究任务一考察下列示例中的推理问题年法国生物学家巴斯德发现乳酸杆菌是使啤酒变酸的原因接着通过对蚕病的研究他发现细菌是引起蚕病的原因因此巴斯德推断人身上的一些传染病也是由细菌引起的问题我国地质学家的石油是问题因

24、为三角形的内角和是四边形的内角和五边形的内角和是所以边形的内角和是新知从以上事例可一发现叫做合情推理归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理探究任务二问题在学习等差数列时我们是怎么样推导首学习必备 欢迎下载 2.2.1 综合法和分析法(二)学习目标 1.会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.2.根据问题的特点，结合分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.学习过程 一、课前准备（预习教材 P63 P64，找出疑惑之处）复习 1：综合法是由 导 ;二、新课导学 学习探究 探究任务一：分析法 新知：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立

25、的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.反思：框图表示 要点：逆推证法；执果索因 典型例题 例 1 求证372 5 变式：求证3526 小结：证明含有根式的不等式时,用综合法比较困难,所以我们常用分析法探索证明的途径.例 2 在四面体SABC中,SAABC ABBC面,过 A 作 SB 的垂线,垂足为 E,过 E 作 SC 的垂线,垂足为 F,求证AFSC.变式：求证：当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积比正方形的面积大。小结：用题设不易切入,要注意用分析法来解决问题.三、总结提升 学习小结 分析法由要证明的结论 Q 思考，一步步探求得到 Q 所需要的已知12,P P，直到所有的

26、已知 P 都成立.知识拓展 证明过程中分析法和综合法的区别:在综合法中,每个推理都必须是正确的,每个推论都应是前面一个论断的必然结果,因此语气必须是肯定的.分析法中,首先结论成立,依据假定寻找结论成立的条件，这样从结论一直到已知条件.学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（）.A.很好 B.较好 C.一般 D.较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1.要证明372 5可选择的方法有以下几种,其中最合理的是 A.综合法 B.分析法 C.反证法 D.归纳法 2.不等式233xx;2baab,其中恒成立的是 A.B.C.D.都不正确 3.已知0yx,且1xy,那么 A.22xy

27、xyxy B.22xyxyxy C.22xyxxyy D.22xyxxyy 4.若,a b cR,则222abc abbcac.5.将a千克的白糖加水配制成b千克的糖水(0)ba,则其浓度为 ;若再加入m千克的白糖(0)m,糖水更甜了,根据 这 一 生 活 常 识 提 炼 出 一 个 常 见 的 不 等式:.课后作业 1 设实数1x ，求证：22651213xxxx 2.求证：672 25 推理学习目标结合已学过的数学实例了解归纳推理的含义能利用归纳进行简单的推理体会并认识归纳推理在数学发现中的作用学习过程一课前准备预习教材找出疑惑之处在日常生活中我们常常遇到这样的现象看到天空乌云密布燕子学习

28、探究探究任务一考察下列示例中的推理问题年法国生物学家巴斯德发现乳酸杆菌是使啤酒变酸的原因接着通过对蚕病的研究他发现细菌是引起蚕病的原因因此巴斯德推断人身上的一些传染病也是由细菌引起的问题我国地质学家的石油是问题因为三角形的内角和是四边形的内角和五边形的内角和是所以边形的内角和是新知从以上事例可一发现叫做合情推理归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理探究任务二问题在学习等差数列时我们是怎么样推导首学习必备 欢迎下载 2.2.1 综合法和分析法（3）学习目标 1.能结合已经学过的数学示例,了解综合法和分析法的思考过程和特点;2.学会用综合法和分析法证明实际问题,并理解分析法和综合法之间的内在联系

29、;3.养成勤于观察、认真思考的数学品质.学习过程 一、课前准备（复习教材 P63 P65，找出疑惑之处）复习 1：综合法是由 导 ;复习 2：分析法是由 索 .二、新课导学 学习探究 探究任务一：综合法和分析法的综合运用 新知：用 P 表示已知条件、定义、定理、公理等，用 Q 表示要证明的结论，则上述过程可用框图表示为：反思：在解决一些复杂、技巧性强的题目时，我们可以把综合法和分析法结合使用.典型例题 例 1 已知,A B都是锐角，且2AB，(1tan)(1tan)2AB，求证：45AB 变式：已知1tan12tan，求证：3sin24cos2.小结：牢固掌握基础知识是灵活应用两种方法证明问题

30、的前提，本例中，三角公式发挥着重要作用.例 2 在四面体PABC中，PDABC，ACBC，D是AB的中点，求证：ABPC.变式：如果,0a b，则lglglg22abab.小结：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明.三、总结提升 学习小结 1.直接证明包括综合法和分析法.2.比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径.知识拓展 综合法是“由因导果”，而分析法是“执果索因”，它们是截然相反的两种证明方法，分

31、析法便于我们去寻找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在解决问题的问题中，综合运用，效果会更好，综合法与分析法因其在解决问题中的作用巨大而受命题者的青睐，在历年的高考中均有体现，成为高考的重点和热点之一.学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（）.A.很好 B.较好 C.一般 D.较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1.给 出 下 列 函 数 3yxx，sincos,yxxxsincos,yxx22,xxy其中是偶函数的有（）.A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2.m、n 是不同的直线，,是不同的平面，有以下四个命题（）./；/mm /mm；/mnmn

32、 其中为真命题的是 （）A B.C D 3.下列结论中，错用基本不等式做依据的是（）.Aa，b 均为负数，则2abba B22221xx Clglog 102xx D1,(1)(1)4aRaa 4.设、r 是互不重合的平面，m，n 是互不重合的直线，给出四个命题：若 m，m，则 若 r，r，则 若 m，m，则 若 m，n，则 mn 其中真命题是 .5.已知:231,:(3)0pxq x x ,则p是q的 条件.课后作业 1.求证：正三棱锥的侧棱与底面的对边垂直 2 设,a bR,且ab,求证:3322aba bab 推理学习目标结合已学过的数学实例了解归纳推理的含义能利用归纳进行简单的推理体会

33、并认识归纳推理在数学发现中的作用学习过程一课前准备预习教材找出疑惑之处在日常生活中我们常常遇到这样的现象看到天空乌云密布燕子学习探究探究任务一考察下列示例中的推理问题年法国生物学家巴斯德发现乳酸杆菌是使啤酒变酸的原因接着通过对蚕病的研究他发现细菌是引起蚕病的原因因此巴斯德推断人身上的一些传染病也是由细菌引起的问题我国地质学家的石油是问题因为三角形的内角和是四边形的内角和五边形的内角和是所以边形的内角和是新知从以上事例可一发现叫做合情推理归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理探究任务二问题在学习等差数列时我们是怎么样推导首学习必备 欢迎下载 2.2.2 反证法（一）学习目标 1.结合已经学过的

34、数学实例，了解间接证明的一种基本方法反证法；2.了解反证法的思考过程、特点;3.会用反证法证明问题.学习过程 一、课前准备（预习教材 P66 P67，找出疑惑之处）复习 1：直接证明的两种方法:和 ;复习 2：是间接证明的一种基本方法.二、新课导学 学习探究 探究任务：反证法 问题(1)：将 9 个球分别染成红色或白色,那么无论怎样染,至少有5 个球是同色的,你能证明这个结论吗?问题(2):三十六口缸,九条船来装,只准装单,不准装双,你说怎么装?新知：反证法：试试：证明：设 p 为正整数，如果 p2是偶数，则 p 也是偶数。反思：证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 从假设出发，经推理论证得到

35、矛盾 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立 方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.典型例题 例 1 证明2不是有理数.变式：设 p 是质数，证明p是无理数 小结：应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.例 2 证明质数有无穷多个。变式：用反证法证明：设直线 a,b,c 在同一平面上，如果,ac bc，那么ab 小结：从以上两例可以看出，反证法不是直接去证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用演绎推理，导出矛盾，

36、从而肯定结论的真实性。所谓矛盾主要是指：（1）（2）（3）三、总结提升 学习小结 1.反证法的步骤：否定结论；推理论证；导出矛盾；肯定结论.2.反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题.知识拓展 反证法不仅应用于有关数学问题的证明，在其他方面也有广泛的应用 看一个有趣的实际问题：“三十六口缸，九条船来装，只准装单，不准装双，你说怎么装？”对于这个问题，同学们可试验做一做 也许你在试验几次后却无法成功时，觉得这种装法的可能性是不存在的那么你怎样才能清楚地从理论上解释这种装法是不可能呢？用反证法可以轻易地解决这个问题假设这种装法是可行的，每条船装缸数为单数，则

37、 9 个单数之和仍为单数，与 36 这个双数矛盾只须两句话就解决了这个问题 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（）.A.很好 B.较好 C.一般 D.较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1.用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于60”时，反设正确的是（）.A假设三内角都不大于60 B假设三内角都大于60 C假设三内角至多有一个大于60 D假设三内角至多有两个大于60 2.实数,a b c不全为 0 等价于为（）.A,a b c均不为 0 B,a b c中至多有一个为 0 C,a b c中至少有一个为 0 D,a b c中至少有一个不为 0 3.用反证法证明命

38、题“自然数,a b c中恰有一个偶数”的反设为 .课后作业 1 用反证法证明：过一点与一平面垂直的直线只有一条。2 设 p,q 是奇数，求证方程2220 xpxq没有有理根。推理学习目标结合已学过的数学实例了解归纳推理的含义能利用归纳进行简单的推理体会并认识归纳推理在数学发现中的作用学习过程一课前准备预习教材找出疑惑之处在日常生活中我们常常遇到这样的现象看到天空乌云密布燕子学习探究探究任务一考察下列示例中的推理问题年法国生物学家巴斯德发现乳酸杆菌是使啤酒变酸的原因接着通过对蚕病的研究他发现细菌是引起蚕病的原因因此巴斯德推断人身上的一些传染病也是由细菌引起的问题我国地质学家的石油是问题因为三角形

39、的内角和是四边形的内角和五边形的内角和是所以边形的内角和是新知从以上事例可一发现叫做合情推理归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理探究任务二问题在学习等差数列时我们是怎么样推导首学习必备 欢迎下载 2.2.2 反证法(二)学习目标 1.结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法反证法；2.了解反证法的思考过程、特点;3.会用反证法证明问题.学习过程 一、课前准备（预习教材 P66 P67，找出疑惑之处）复习 1：反证法：复习 2：所谓矛盾主要是指：二、新课导学 学习探究 探究任务：反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，这种说法对吗？为什么？新知：应用反证法证明数学问题的一般步骤：反

40、思：证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 从假设出发，经推理论证得到矛盾 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立 方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.典型例题 例 1 证明：1,3,2不能为同一等差数列的三项。变式：证明：5,3,2不可能成等差数列.小结：应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.例 2 平面上有四个点，没有三点共线。证明以每三个点为顶点的三角形不可能是锐角三角形。变式：求证：一个三角形中，至少有一个内角不

41、少于60.小结：反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题.三、总结提升 学习小结 1.反证法的步骤：否定结论；推理论证；导出矛盾；肯定结论.2.反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题.知识拓展 空城计与反证法 空城计相传三国时代,蜀国丞相兼军师诸葛亮屯兵阳平时派大将魏延领兵攻打魏国,只留下少数老弱军士守城,不料魏国大都督司马懿率大队兵马杀来,靠几个老弱士兵出城应战犹如鸡蛋碰石头,怎么办?诸葛亮冷静思考之后,传令大开城门,让老弱士兵在城门口洒扫道路,自己则登上城楼,摆好香案,端坐弹琴,态度从容,琴声优雅,司马懿来到城前

42、见此情况,心中疑惑,他想诸葛亮一生精明过人,谨慎有余,今天如此这般与其一生表现矛盾,恐怕城内必有伏兵,故意诱我入城,决不能中计,于是急令退兵.诸葛亮正是利用司马懿这种心理上的矛盾,才以“不守城”来达到暂时“守住城”的目的，诸葛亮从问题（守住城）的反面（不守城）考虑，来解决用直接或正面方法（用少数老弱兵士去拼杀）很难或无法解决的问题，在历史上留下美谈，这就是家喻户晓的“空城计”.学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（）.A.很好 B.较好 C.一般 D.较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1.设,a b c都是正数，则三个数111,abcbca（）.A都大于 2 B.至

43、少有一个大于 2 C.至少有一个不小于 2 D.至少有一个不大于 2 2.设 a,b,c,d 是正有理数，,cd是无理数，求证：a cb d是无理数。3 设 a 为实数，2()f xxaxa。求证：(1)f与(2)f中至少有一个不小于12 课后作业 1.求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.2.已知0a,证明x的方程axb有且只有一个根.推理学习目标结合已学过的数学实例了解归纳推理的含义能利用归纳进行简单的推理体会并认识归纳推理在数学发现中的作用学习过程一课前准备预习教材找出疑惑之处在日常生活中我们常常遇到这样的现象看到天空乌云密布燕子学习探究探究任务一考察下列示例中的推理问题年法国生物学

44、家巴斯德发现乳酸杆菌是使啤酒变酸的原因接着通过对蚕病的研究他发现细菌是引起蚕病的原因因此巴斯德推断人身上的一些传染病也是由细菌引起的问题我国地质学家的石油是问题因为三角形的内角和是四边形的内角和五边形的内角和是所以边形的内角和是新知从以上事例可一发现叫做合情推理归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理探究任务二问题在学习等差数列时我们是怎么样推导首学习必备 欢迎下载 2.3.1 数学归纳法 学习目标 1.了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤;2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写;3.数学归纳法中递推思想的理解.学习过

45、程 一、课前准备（预习教材 P69 P170，找出疑惑之处）复习 1 合情推理 复习 2 演绎推理 二、新课导学 学习探究 探究任务：数学归纳法 问题：在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么?探究 教材 69 页的证明（*）新知：数学归纳法两大步：（1）归纳奠基：证明当 n 取第一个值 n0时命题成立;（2）归纳递推：假设 n=k（k n0，kN*）时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数 n 都成立.原因：在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于 n0的正整数 n0+1，n0+2，命题都成立.试试：

46、你能证明数列的通项公式1nan这个猜想吗?反思：数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.关键：从假设 n=k成立，证得 n=k+1 成立.典型例题 例 1 用数学归纳法证明 如果an是一个等差数列，公差为 d，那么1(1)naand 对一切nN都成立 变式：用数学归纳法证明：首项是1a，公比是 q 的等比数列的通项公式是：11nnaa q 小结：证 n=k+1 时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形.例 2 用数学归纳法证明:当n为整数时,2135(21)nn 变式：用数学归纳法证明：2246.2nnn 小结：数学归纳法经常证明数列的相关问

47、题.三、总结提升 学习小结 1.数学归纳法的步骤 2.数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（）.A.很好 B.较好 C.一般 D.较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：.1 用数学归纳法证明:等差数列的前n项和的公式是1(1)2nn nSnad.和等比数列的前 n 项和公式是1(1)(1)1nnaqSqq 课后作业 1.用归纳猜想平面上 n 个圆最多有多少个交点，并用数学归纳法证明你的猜想。推理学习目标结合已学过的数学实例了解归纳推理的含义能利用归纳进行简单的推理体会并认识归纳推理在数学发现中的作用学习

48、过程一课前准备预习教材找出疑惑之处在日常生活中我们常常遇到这样的现象看到天空乌云密布燕子学习探究探究任务一考察下列示例中的推理问题年法国生物学家巴斯德发现乳酸杆菌是使啤酒变酸的原因接着通过对蚕病的研究他发现细菌是引起蚕病的原因因此巴斯德推断人身上的一些传染病也是由细菌引起的问题我国地质学家的石油是问题因为三角形的内角和是四边形的内角和五边形的内角和是所以边形的内角和是新知从以上事例可一发现叫做合情推理归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理探究任务二问题在学习等差数列时我们是怎么样推导首学习必备 欢迎下载 2.3.2 数学归纳法应用举例（1）学习目标 1.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，

49、并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写;2.数学归纳法中递推思想的理解.学习过程 一、课前准备（预习教材 P71 P72，找出疑惑之处）复习 1：数学归纳法的基本步骤？复习 2：数学归纳法主要用于研究与 有关的数学问题.二、新课导学 学习探究 探究任务：数学归纳法的各类应用 典型例题 例1用数学归纳法证明：2222*(1)(21)123,6nnnnnN 变式：证明1123.(1)2nnn 例 2 证明:平面上 n 个圆最多把平面分成22nn 个区域。变式：证明:平面内 n 条直线，最多把平面划分成多少个区域？并证明你的结论。例 3 求证：当5n时，22nn 三、总结提升 学习小结 1.数学归

50、纳法可以证明不等式、数列、整除性等问题;2.数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.知识拓展 不是所有与正整数有关的数学命题都可以用数学归纳法证明,例如用数学归纳法证明*1(1)()nnNn的单调性就难以实现.学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（）.A.很好 B.较好 C.一般 D.较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1.使不等式122nn对任意kn 的自然数都成立的最小k值为（）A.2 B.3 C.4 D.5 2.若命题)(np对 n=k 成立，则它对2 kn也成立，又已知命题)2(p成立，则下列结论正确的是 A.)(np对所有自然数