《三维设计》高三数学湘教版(文)一轮复习【精品讲义】选修坐标系与参数方程_中学教育-中考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 选修 44 坐标系与参数方程 第一节坐标系 1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ：x x，0，y y，0的作用下，点 P(x，y)对应到点 P(x，y)，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换 2极坐标系与极坐标(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点 O，叫做极点，自极点 O 引一条射线 Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系(2)极坐标：设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径，记为 ；以

2、极轴 Ox为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的极角，记为 .有序数对(，)叫做点 M 的极坐标，记为 M(，)一般地，不做特殊说明时，我们认为 0，可取任意实数 3极坐标与直角坐标的互化 设 M 是坐标系平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)(0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：点 M 直角坐标(x，y)极坐标(，)互化公式 x cos y sin 2x2y2tan yx x0 4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 学习必备 欢迎下载 圆心在极点，半径为 r 的圆 r(0 2)圆心为(r,0)，半径为 r 的圆 2rcos_ 2 2 圆心

3、为r，2，半径为 r 的圆 2rsin_(0 )过极点，倾斜角为 的直线 (1)(R)或 (R)(2)(0)和 (0)过点(a,0)，与极轴垂直的直线 cos_ a2 2 过点a，2，与极轴平行的直线 sin_ a(0 )1在将直角坐标化为极坐标求极角 时，易忽视判断点所在的象限(即角 的终边的位置)2在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视 注意极坐标(，)(，2k)，(，2k)(kZ)表示同一点的坐标 试一试 1点 P 的直角坐标为(1，3)，求点 P 的极坐标 解：因为点 P(1，3)在第四象限，与原点的距离为 2，且 OP 与 x 轴所成的角为3，所以点 P 的极坐标为2，3.2求极坐标

4、方程 sin 2cos 能表示的曲线的直角坐标方程 解：由 sin 2cos ，得 2 sin 2 cos ，x2y22xy0.故故极坐标方程 sin 2cos 表示的曲线直角坐标方程为 x2y22xy0.1确定极坐标方程的四要素 极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可 中的任意一点在变换的作用下点对应到点称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换简称伸缩变换极坐标系与极坐标极坐标系如图所示在平面内取一个定点叫做极点自极点引一条射线叫做极轴再选定一个长度单位一个角度单位通常取弧记为以极轴为始边射线为终边的角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记为一般地不做特殊说明时我们认为可取任意实

5、数极坐标与直角坐标的互设是坐标系平面内任意一点它的直角坐标是极坐标是于是极坐标与直角坐标的互点半径为的圆圆心为半径为的圆圆心为半径为的圆过极点倾斜角为的直线过点与极轴垂直的直线过点与极轴平行的直线在将直角坐标化为极坐标求极角时易忽视判断点所在的象限即角的终边的位置在极坐标系下点的极坐标不惟一性学习必备 欢迎下载 2直角坐标(x，y)化为极坐标(，)的步骤(1)运用 x2y2，tan yx(x0)(2)在0,2)内由 tan yx(x0)求 时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限 练一练 1在极坐标系中，求圆心在(2，)且过极点的圆的方程 解：如图，O 为极点，OB 为直径，A(，)，则 AB

6、O 90，OB2 2sin 90，化简得 2 2cos .2已知直线的极坐标方程为 sin(4)22，求极点到该直线的距离 解：极点的直角坐标为 O(0,0)，sin(4)22sincos2222，sin cos 1，化为直角坐标方程为 xy10.点O(0,0)到直线 xy10 的距离为 d1222，即极点到直线 sin 422的距离为22.考点一 平面直角坐标系中的伸缩变换 1.(2014 佛山模拟)设平面上的伸缩变换的坐标表达式为 x12x，y3y，求在这一坐标变换下正弦曲线 ysin x 的方程 解：x12x，y3y，x2x，y13y.代入 ysin x 得 y3sin 2x.2求函数

7、ysin(2x4)经伸缩变换 x2x，y12y后的解析式 解：由 x2x，y12y，得 x12x，y2y.中的任意一点在变换的作用下点对应到点称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换简称伸缩变换极坐标系与极坐标极坐标系如图所示在平面内取一个定点叫做极点自极点引一条射线叫做极轴再选定一个长度单位一个角度单位通常取弧记为以极轴为始边射线为终边的角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记为一般地不做特殊说明时我们认为可取任意实数极坐标与直角坐标的互设是坐标系平面内任意一点它的直角坐标是极坐标是于是极坐标与直角坐标的互点半径为的圆圆心为半径为的圆圆心为半径为的圆过极点倾斜角为的直线过点与极轴垂直的直线过点与

8、极轴平行的直线在将直角坐标化为极坐标求极角时易忽视判断点所在的象限即角的终边的位置在极坐标系下点的极坐标不惟一性学习必备 欢迎下载 将代入 ysin(2x4)，得 2ysin(212x4)，即 y12sin(x4)3求双曲线 C：x2y2641 经过 ：x3x，2yy变换后所得曲线 C的焦点坐标 解：设曲线 C上任意一点 P(x，y)，由上述可知，将 x13x，y2y，代入 x2y2641 得x294y2641，化简得x29y2161，即x29y2161 为曲线 C的方程，可见仍是双曲线，则焦点 F1(5,0)，F2(5,0)为所求 类题通法 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示在伸缩变

9、换 x x，0y y，0下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆 考点二 极坐标与直角坐标的互化 典例(2013 石家庄模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1的极坐标方程为 3212 cos 10(0)(1)求曲线 C1的直角坐标方程；(2)曲线 C2的方程为x216y241，设 P，Q 分别为曲线 C1与曲线 C2上的任意一点，求|PQ|的最小值 解(1)曲线 C1的方程可化为 3(x2y2)12x10，即(x2)2y223.(2)依题意可设 Q(4cos ，2sin

10、)，由(1)知圆 C1的圆心坐标为 C1(2,0)故|QC1|4cos 224sin2 12cos2 16cos 8 2 3cos 23223，中的任意一点在变换的作用下点对应到点称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换简称伸缩变换极坐标系与极坐标极坐标系如图所示在平面内取一个定点叫做极点自极点引一条射线叫做极轴再选定一个长度单位一个角度单位通常取弧记为以极轴为始边射线为终边的角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记为一般地不做特殊说明时我们认为可取任意实数极坐标与直角坐标的互设是坐标系平面内任意一点它的直角坐标是极坐标是于是极坐标与直角坐标的互点半径为的圆圆心为半径为的圆圆心为半径为的圆过极点倾

11、斜角为的直线过点与极轴垂直的直线过点与极轴平行的直线在将直角坐标化为极坐标求极角时易忽视判断点所在的象限即角的终边的位置在极坐标系下点的极坐标不惟一性学习必备 欢迎下载|QC1|min2 63，所以|PQ|min63.类题通法 直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行 针对训练(2013 安徽模拟)在极坐标系中，判断直线 cos sin 10 与圆 2sin 的位置关系 解：直线 cos sin 10 可化成 xy10，圆 2sin 可化为 x2y22y，即x2(y1)21.圆心(0,1)到直线 xy10 的距离 d|011|2

12、01.故直线与圆相交 考点三 极坐标方程及应用 典例(2013 郑州模拟)已知在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x22cos ，y2sin(为参数)，在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴)中，直线 l 的方程为 sin(4)2 2.(1)求曲线 C 在极坐标系中的方程；(2)求直线 l 被曲线 C 截得的弦长 解(1)由已知得，曲线 C 的普通方程为(x2)2y24，即 x2y24x0，化为极坐标方程是 4cos .(2)由题意知，直线 l 的直角坐标方程为 xy40，由 x2y24x0，xy4，得直线 l 与曲线 C

13、 的交点坐标为(2,2)，(4,0)，所以所求弦长为 2 2.在本例(1)的条件下，求曲线 C 与曲线 C1：cos 3(0,0 0)所表示的图形的交点的极坐标 解：圆 2cos 可转化为 x22xy20，直线 4可转化为 yx(x0)，两个方程联立得交点坐标是(1,1)，可得其极坐标是(2，4)2(2013 惠州模拟)在极坐标系中，已知两点 A，B 的极坐标分别为(3，3)、(4，6)，求AOB(其中 O 为极点)的面积 解：由题意知 A，B 的极坐标分别为(3，3)、(4，6)，则 AOB 的面积 S AOB12OA OB sin AOB1234sin 63.3(2013 天津高考改编)已

14、知圆的极坐标方程为 4cos ，圆心为 C,点 P 的极坐标为4，3，求|CP|的值 解：由 4cos 可得圆的直角坐标方程为 x2y24x，圆心 C(2,0)点 P 的直角坐标为(2,2 3)，所以|CP|2 3.4在极坐标系中，求圆：2 上的点到直线：(cos 3sin )6 的距离的最小值 中的任意一点在变换的作用下点对应到点称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换简称伸缩变换极坐标系与极坐标极坐标系如图所示在平面内取一个定点叫做极点自极点引一条射线叫做极轴再选定一个长度单位一个角度单位通常取弧记为以极轴为始边射线为终边的角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记为一般地不做特殊说明时我们认为

15、可取任意实数极坐标与直角坐标的互设是坐标系平面内任意一点它的直角坐标是极坐标是于是极坐标与直角坐标的互点半径为的圆圆心为半径为的圆圆心为半径为的圆过极点倾斜角为的直线过点与极轴垂直的直线过点与极轴平行的直线在将直角坐标化为极坐标求极角时易忽视判断点所在的象限即角的终边的位置在极坐标系下点的极坐标不惟一性学习必备 欢迎下载 解：由题意可得，圆的直角坐标方程为 x2y24，圆的半径为 r2，直线的直角坐标方程为 x 3y60，圆心到直线的距离 d|0 306|23，所以圆上的点到直线的距离的最小值为 dr321.5(2013 银川调研)已知直线 l：xt，y1t(t 为参数)与圆 C：4 2cos

16、(4)(1)试判断直线 l 和圆 C 的位置关系；(2)求圆上的点到直线 l 的距离的最大值 解：(1)直线 l 的参数方程消去参数 t，得 xy10.由圆 C 的极坐标方程，得 24 2 cos(4)，化简得 24 cos 4 sin ，所以圆 C的直角坐标方程为 x2y24x4y，即(x2)2(y2)28，故该圆的圆心为 C(2,2)，半径 r2 2.从而圆心 C 到直线 l 的距离为 d|221|12123 22，显然3 222 2，所以直线 l 和圆 C 相交(2)由(1)知圆心 C 到直线 l 的距离为 d3 22，所以圆上的点到直线 l 的距离的最大值为3 222 27 22.课下

17、提升考能 1在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线 C 的极坐标方程为 cos 31，M，N 分别为曲线 C 与 x 轴，y 轴的交点(1)写出曲线 C 的直角坐标方程，并求点 M，N 的极坐标；(2)设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程 解：(1)由 cos 31 得 12cos 32sin 1，从而曲线 C 的直角坐标方程为12x32y1，即 x 3y2.0 时，2，所以 M(2,0)2时，2 33，所以 N2 33，2.中的任意一点在变换的作用下点对应到点称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换简称伸缩变换极坐标系与极坐标极坐标系如图所示在

18、平面内取一个定点叫做极点自极点引一条射线叫做极轴再选定一个长度单位一个角度单位通常取弧记为以极轴为始边射线为终边的角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记为一般地不做特殊说明时我们认为可取任意实数极坐标与直角坐标的互设是坐标系平面内任意一点它的直角坐标是极坐标是于是极坐标与直角坐标的互点半径为的圆圆心为半径为的圆圆心为半径为的圆过极点倾斜角为的直线过点与极轴垂直的直线过点与极轴平行的直线在将直角坐标化为极坐标求极角时易忽视判断点所在的象限即角的终边的位置在极坐标系下点的极坐标不惟一性学习必备 欢迎下载(2)由(1)得点 M 的直角坐标为(2,0)，点 N 的直角坐标为0，2 33.所以点 P

19、 的直角坐标为1，33，则点 P 的极坐标为2 33，6，所以直线 OP 的极坐标方程为 6，(，)2在极坐标系中定点 A1，2，点 B 在直线 l：cos sin 0(0 1，所以直线与圆相离，即曲线 C1和 C2没有公共点(2)设 Q(0，0)，P(，)，则 02，0，即 02，0.因为点 Q(0，0)在曲线 C2上，所以 0cos031，将代入，得2cos 31，即 2cos 3为点 P 的轨迹方程，化为直角坐标方程为x122y3221，因此点 P 的轨迹是以12，32为圆心，1 为半径的圆 6(2014 苏州模拟)在极坐标系下，已知圆 O：cos sin 和直线 l：sin 422.(

20、1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程；(2)当 (0，)时，求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标 解：(1)圆 O：cos sin ，即 2 cos sin ，圆 O 的直角坐标方程为：x2y2xy，即 x2y2xy0，直线 l：sin 422，即 sin cos 1，则直线 l 的直角坐标方程为：yx1，即 xy10.(2)由 x2y2xy0，xy10得 x0，y1，故直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为1，2.第二节参数方程 中的任意一点在变换的作用下点对应到点称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换简称伸缩变换极坐标系与极坐标极坐标系如图所示在平面内取一个定点叫做极点自极点引一条射

21、线叫做极轴再选定一个长度单位一个角度单位通常取弧记为以极轴为始边射线为终边的角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记为一般地不做特殊说明时我们认为可取任意实数极坐标与直角坐标的互设是坐标系平面内任意一点它的直角坐标是极坐标是于是极坐标与直角坐标的互点半径为的圆圆心为半径为的圆圆心为半径为的圆过极点倾斜角为的直线过点与极轴垂直的直线过点与极轴平行的直线在将直角坐标化为极坐标求极角时易忽视判断点所在的象限即角的终边的位置在极坐标系下点的极坐标不惟一性学习必备 欢迎下载 1参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程(2

22、)如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 xf(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系 yg(t)，那么，xf t，yg t就是曲线的参数方程 2常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程 直线 yy0tan (xx0)xx0tcos yy0tsin (t 为参数)圆 x2y2r2 xrcos yrsin(为参数)椭圆 x2a2y2b21(ab0)xacos ybsin(为参数)1 不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误，对于直线参数方程 xx0tcos ，yy0tsin .(t 为参数)注意：t 是参数，则是直线的倾斜角 2参数方程与普通方程互化

23、时，易忽视互化前后的等价性 试一试 1若直线的参数方程为 x12t，y23t(t 为参数)，求直线的斜率 解：y2x13t2t32，tan 32.即直线的斜率为32.2(2013 辽宁模拟)在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知射线 l：4与曲线 C：xt1y t12(t 为参数)相交于 A，B 两点求射线l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程 中的任意一点在变换的作用下点对应到点称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换简称伸缩变换极坐标系与极坐标极坐标系如图所示在平面内取一个定点叫做极点自极点引一条射线叫做极轴再选定一个长度单位一个角度单位通常取弧记为

24、以极轴为始边射线为终边的角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记为一般地不做特殊说明时我们认为可取任意实数极坐标与直角坐标的互设是坐标系平面内任意一点它的直角坐标是极坐标是于是极坐标与直角坐标的互点半径为的圆圆心为半径为的圆圆心为半径为的圆过极点倾斜角为的直线过点与极轴垂直的直线过点与极轴平行的直线在将直角坐标化为极坐标求极角时易忽视判断点所在的象限即角的终边的位置在极坐标系下点的极坐标不惟一性学习必备 欢迎下载 解：由题意得射线 l 的直角坐标方程为 yx(x0)，则射线 l 的参数方程为 x22t，y22t(t0，t 为参数)，曲线 C 的直角坐标方程为 y(x2)2.1化参数方程为普通

25、方程的方法 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：代入消元法；加减消元法；乘除消元法；三角恒等式消元法 2利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法 经过点 P(x0，y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为 xx0tcos ，yy0tsin(t 为参数)若 A，B 为直线 l 上两点，其对应的参数分别为 t1，t2，线段 AB 的中点为 M，点 M 所对应的参数为 t0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t0t1t22；(2)|PM|t0|122tt；(3)|AB|t2t1|；(4)|PA|PB|t1 t2|.练一练 1已知 P1，P2是直线 x112

26、t，y232t(t 为参数)上的两点，它们所对应的参数分别为t1，t2，求线段 P1P2的中点到点 P(1，2)的距离 解：由 t 的几何意义可知，线段 P1P2的中点对应的参数为t1t22，P 对应的参数为 t0，线段 P1P2的中点到点 P 的距离为|t1t2|2.2已知直线 x212t，y112t(t 为参数)与圆 x2y24 相交于 B，C 两点，求|BC|的值 中的任意一点在变换的作用下点对应到点称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换简称伸缩变换极坐标系与极坐标极坐标系如图所示在平面内取一个定点叫做极点自极点引一条射线叫做极轴再选定一个长度单位一个角度单位通常取弧记为以极轴为始边射线为终

27、边的角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记为一般地不做特殊说明时我们认为可取任意实数极坐标与直角坐标的互设是坐标系平面内任意一点它的直角坐标是极坐标是于是极坐标与直角坐标的互点半径为的圆圆心为半径为的圆圆心为半径为的圆过极点倾斜角为的直线过点与极轴垂直的直线过点与极轴平行的直线在将直角坐标化为极坐标求极角时易忽视判断点所在的象限即角的终边的位置在极坐标系下点的极坐标不惟一性学习必备 欢迎下载 解：x212t222t，y112t122t，t22t 代入 x2y24，得222t2122t24，t23 2t10，|BC|t1t2|t1t224t1t2 3 2241 14，即|BC|14.考点一

28、参数方程与普通方程的互化 1.求曲线 x2 3cos y3 2sin(为参数)中两焦点间的距离 解：曲线化为普通方程为y218x2121，c 6，故焦距为 2 6.2(2014 西安质检)若直线 3x4ym0 与圆 x1cos ，y2sin(为参数)相切，求实数m 的值 解：圆 x1cos ，y2sin 消去参数 ，化为普通方程是(x1)2(y2)21.因为直线与圆相切，所以圆心(1，2)到直线的距离等于半径，即|34 2 m|51，解得 m0 或 m10.3(2014 武汉调研)在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 已知直线 xt，y 3t(t 为参

29、数，tR)与曲线 C1：4sin 异于点 O 的交点为 A，与曲线 C2：2sin 异于点 O 的交点为 B，求|AB|的值 解：由题意可得，直线 y 3x，曲线 C1：x2(y2)24，曲线 C2：x2(y1)21，画图可得，|AB|4cos 30 12 3.类题通法 参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式，参数方程化为普通方程关键在于消参，消参时要注意参变量的范围 中的任意一点在变换的作用下点对应到点称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换简称伸缩变换极坐标系与极坐标极坐标系如图所示在平面内取一个定点叫做极点自极点引一条射线叫做极轴再选定一个长度

30、单位一个角度单位通常取弧记为以极轴为始边射线为终边的角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记为一般地不做特殊说明时我们认为可取任意实数极坐标与直角坐标的互设是坐标系平面内任意一点它的直角坐标是极坐标是于是极坐标与直角坐标的互点半径为的圆圆心为半径为的圆圆心为半径为的圆过极点倾斜角为的直线过点与极轴垂直的直线过点与极轴平行的直线在将直角坐标化为极坐标求极角时易忽视判断点所在的象限即角的终边的位置在极坐标系下点的极坐标不惟一性学习必备 欢迎下载 考点二 参数方程的应用 典例(2013 郑州模拟)已知直线 C1：x1tcos ，ytsin(t 为参数)，曲线 C2：xcos ，ysin(为参数)(

31、1)当 3时，求 C1与 C2的交点坐标；(2)过坐标原点 O 作 C1的垂线，垂足为 A，P 为 OA 的中点，当 变化时，求点 P 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线 解(1)当 3时，C1的普通方程为 y 3(x1)，C2的普通方程为 x2y21，联立方程 y 3 x1，x2y21，解得 C1与 C2的交点坐标分别为(1,0)，12，32.(2)依题意，C1的普通方程为 xsin ycos sin 0，则 A点的坐标为(sin2，sin cos )，故当 变化时，P 点轨迹的参数方程为 x12sin2，y12sin cos(为参数)，点P 轨迹的普通方程为(x14)2y2116.故点 P

32、 的轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆 在本例(1)条件下，若直线 C1：x1tcos ytsin ，(t 为参数)，与直线 C2 xs，y1as(s 为参数)垂直，求 a.解：由(1)知 C1的普通方程为 y 3(x1)，C2的普通方程为 y1ax，由两线垂直得a 31，故 a33.类题通法 1解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题 中的任意一点在变换的作用下点对应到点称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换简称伸缩变换极坐标系与极坐标极坐标系如图所示在平面内取一个定点叫做极点自极点引一条射线叫做极轴再选定一个长度单位一个角度单位通常取弧记为

33、以极轴为始边射线为终边的角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记为一般地不做特殊说明时我们认为可取任意实数极坐标与直角坐标的互设是坐标系平面内任意一点它的直角坐标是极坐标是于是极坐标与直角坐标的互点半径为的圆圆心为半径为的圆圆心为半径为的圆过极点倾斜角为的直线过点与极轴垂直的直线过点与极轴平行的直线在将直角坐标化为极坐标求极角时易忽视判断点所在的象限即角的终边的位置在极坐标系下点的极坐标不惟一性学习必备 欢迎下载 2对于形如 xx0at，yy0bt(t 为参数)当 a2b21 时，应先化为标准形式后才能利用 t 的几何意义解题 针对训练(2013 新课标卷)已知动点 P，Q 在曲线 C：x2

34、cos t，y2sin t(t 为参数)上，对应参数分别为 t 与 t2 为(0 2)，M 为 PQ 的中点(1)求 M 的轨迹的参数方程；(2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标原点 解：(1)依题意有 P(2cos ，2sin )，Q(2cos 2，2sin 2),因此 M(cos cos 2，sin sin 2)M 的轨迹的参数方程为 xcos cos 2，ysin sin 2(为参数，0 2)(2)M 点到坐标原点的距离 dx2y222cos (0 2)当 时，d0，故 M 的轨迹过坐标原点 考点三 极坐标、参数方程的综合应用 典例(2013 福

35、建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知点 A的极坐标为2，4，直线 l 的极坐标方程为 cos 4a，且点 A在直线 l 上(1)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程；(2)圆 C 的参数方程为 x1cos ，ysin(为参数)，试判断直线 l 与圆 C 的位置关系 解(1)由点 A2，4在直线 cos 4a 上，可得 a 2.所以直线 l 的方程可化为 cos sin 2，从而直线 l 的直角坐标方程为 xy20.(2)由已知得圆 C 的直角坐标方程为(x1)2y21，中的任意一点在变换的作用下点对应到点称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换简称伸

36、缩变换极坐标系与极坐标极坐标系如图所示在平面内取一个定点叫做极点自极点引一条射线叫做极轴再选定一个长度单位一个角度单位通常取弧记为以极轴为始边射线为终边的角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记为一般地不做特殊说明时我们认为可取任意实数极坐标与直角坐标的互设是坐标系平面内任意一点它的直角坐标是极坐标是于是极坐标与直角坐标的互点半径为的圆圆心为半径为的圆圆心为半径为的圆过极点倾斜角为的直线过点与极轴垂直的直线过点与极轴平行的直线在将直角坐标化为极坐标求极角时易忽视判断点所在的象限即角的终边的位置在极坐标系下点的极坐标不惟一性学习必备 欢迎下载 所以圆 C 的圆心为(1,0)，半径 r1，因为圆

37、心 C 到直线 l 的距离 d12220 总成立 设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2，t1t2 2，t1t24，中的任意一点在变换的作用下点对应到点称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换简称伸缩变换极坐标系与极坐标极坐标系如图所示在平面内取一个定点叫做极点自极点引一条射线叫做极轴再选定一个长度单位一个角度单位通常取弧记为以极轴为始边射线为终边的角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记为一般地不做特殊说明时我们认为可取任意实数极坐标与直角坐标的互设是坐标系平面内任意一点它的直角坐标是极坐标是于是极坐标与直角坐标的互点半径为的圆圆心为半径为的圆圆心为半径为的圆过极点倾斜角为的直线过点与极轴

38、垂直的直线过点与极轴平行的直线在将直角坐标化为极坐标求极角时易忽视判断点所在的象限即角的终边的位置在极坐标系下点的极坐标不惟一性学习必备 欢迎下载|AB|t1t2|224 4 3 2.课下提升考能 1在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 xt1，y2t(t 为参数)，曲线 C 的参数方程为 x2tan2，y2tan(为参数)试求直线 l 和曲线 C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标 解：因为直线 l 的参数方程为 xt1，y2t(t 为参数)，由 xt1 得 tx1，代入 y2t，得到直线 l 的普通方程为 2xy20.同理得到曲线 C 的普通方程为 y22x.解方程组 y

39、2 x1，y22x，得公共点的坐标为(2,2)，(12，1)2(2014 长春模拟)已知曲线 C 的极坐标方程为 4cos ，以极点为原点，极轴为 x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线 l 的参数方程为 x532t，y12t(t 为参数)(1)求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程；(2)设曲线 C 与直线 l 相交于 P，Q 两点，以 PQ 为一条边作曲线 C 的内接矩形，求该矩形的面积 解：(1)由 4cos ，得 24 cos ，即曲线 C 的直角坐标方程为 x2y24x；由 x532t，y12t(t 为参数)，得 y13(x5)，即直线 l 的普通方程为 x 3y50.(2)

40、由(1)可知 C 为圆，且圆心坐标为(2,0)，半径为 2，则弦心距 d|2 305|1332，弦长|PQ|222322 7，因此以 PQ 为一条边的圆 C 的内接矩形面积 S2d|PQ|3 7.中的任意一点在变换的作用下点对应到点称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换简称伸缩变换极坐标系与极坐标极坐标系如图所示在平面内取一个定点叫做极点自极点引一条射线叫做极轴再选定一个长度单位一个角度单位通常取弧记为以极轴为始边射线为终边的角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记为一般地不做特殊说明时我们认为可取任意实数极坐标与直角坐标的互设是坐标系平面内任意一点它的直角坐标是极坐标是于是极坐标与直角坐标的互

41、点半径为的圆圆心为半径为的圆圆心为半径为的圆过极点倾斜角为的直线过点与极轴垂直的直线过点与极轴平行的直线在将直角坐标化为极坐标求极角时易忽视判断点所在的象限即角的终边的位置在极坐标系下点的极坐标不惟一性学习必备 欢迎下载 3在直角坐标系 xOy 中，圆 C1和 C2的参数方程分别是 x22cos ，y2sin(为参数)和 xcos ，y1sin(为参数)以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求圆 C1和 C2的极坐标方程；(2)射线 OM：与圆 C1的交点为 O，P，与圆 C2的交点为 O，Q，求|OP|OQ|的最大值 解：(1)圆 C1和圆 C2的普通方程分别是(x2)2y2

42、4 和 x2(y1)21，所以圆 C1和 C2的极坐标方程分别是 4cos 和 2sin .(2)依题意得，点 P，Q 的极坐标分别为 P(4cos ，)，Q(2sin ，)，所以|OP|4cos|，|OQ|2sin|.从而|OP|OQ|4sin 2|4，当且仅当sin 2 1 时，上式取“”，即|OP|OQ|的最大值是 4.4(2013 福建模拟)如图，在极坐标系中，圆 C 的圆心坐标为(1,0)，半径为 1.(1)求圆 C 的极坐标方程；(2)若以极点 O 为原点，极轴所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系已知直线 l的参数方程为 x1tcos 6，ytsin 6(t 为参数)，试判断直线

43、l 与圆 C 的位置关系 解：(1)如图，设 M(，)为圆 C 上除点 O，B 外的任意一点，连接OM，BM，在 Rt OBM 中，|OM|OB|cos BOM，所以 2cos .可以验证点 O(0，2)，B(2,0)也满足 2cos ，故 2cos 为所求圆的极坐标方程(2)由 x1tcos 6，ytsin 6(t 为参数)，得直线 l 的普通方程为 y33(x1)，即直线 l 的普通方程为 x 3y10.中的任意一点在变换的作用下点对应到点称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换简称伸缩变换极坐标系与极坐标极坐标系如图所示在平面内取一个定点叫做极点自极点引一条射线叫做极轴再选定一个长度单位一个角

44、度单位通常取弧记为以极轴为始边射线为终边的角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记为一般地不做特殊说明时我们认为可取任意实数极坐标与直角坐标的互设是坐标系平面内任意一点它的直角坐标是极坐标是于是极坐标与直角坐标的互点半径为的圆圆心为半径为的圆圆心为半径为的圆过极点倾斜角为的直线过点与极轴垂直的直线过点与极轴平行的直线在将直角坐标化为极坐标求极角时易忽视判断点所在的象限即角的终边的位置在极坐标系下点的极坐标不惟一性学习必备 欢迎下载 由 2cos ，得圆 C 的直角坐标方程为(x1)2y21.因为圆心 C 到直线 l 的距离 d|11 301|21，所以直线 l 与圆 C 相切 5(2014

45、郑州模拟)在直角坐标系 xOy 中，直线 l 经过点 P(1,0)，其倾斜角为 .以原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系设曲线 C 的极坐标方程为 26 cos 50.(1)若直线 l 与曲线 C 有公共点，求 的取值范围；(2)设 M(x，y)为曲线 C 上任意一点，求 xy 的取值范围 解：(1)将曲线 C 的极坐标方程 26 cos 50 化为直角坐标方程为 x2y26x50.直线 l 的参数方程为 x1tcos ，ytsin(t 为参数)将 x1tcos ，ytsin(t 为参数)代入 x2y26x50 整理得，t28tcos

46、 120.直线l 与曲线 C 有公共点，64cos2 480，cos 32或 cos 32.0，)，的取值范围是0，656，.(2)曲线 C 的方程 x2y26x50 可化为(x3)2y24，其参数方程为 x32cos ，y2sin(为参数)M(x，y)为曲线 C 上任意一点，xy32cos 2sin 32 2sin(4)，xy 的取值范围是32 2，32 2 6(2014 昆明模拟)已知曲线 C 的参数方程是 xacos ，y 3sin(为参数，a0)，直线 l中的任意一点在变换的作用下点对应到点称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换简称伸缩变换极坐标系与极坐标极坐标系如图所示在平面内取一个定点

47、叫做极点自极点引一条射线叫做极轴再选定一个长度单位一个角度单位通常取弧记为以极轴为始边射线为终边的角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记为一般地不做特殊说明时我们认为可取任意实数极坐标与直角坐标的互设是坐标系平面内任意一点它的直角坐标是极坐标是于是极坐标与直角坐标的互点半径为的圆圆心为半径为的圆圆心为半径为的圆过极点倾斜角为的直线过点与极轴垂直的直线过点与极轴平行的直线在将直角坐标化为极坐标求极角时易忽视判断点所在的象限即角的终边的位置在极坐标系下点的极坐标不惟一性学习必备 欢迎下载 的参数方程是 x3t，y1t(t 为参数)，曲线 C 与直线 l 有一个公共点在 x 轴上，以坐标原点为极

48、点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系(1)求曲线 C 的普通方程；(2)若点 A(1，)，B(2，23)，C(3，43)在曲线 C 上，求1|OA|21|OB|21|OC|2的值 解：(1)直线 l 的普通方程为 xy2，与 x 轴的交点为(2,0)又曲线 C 的普通方程为x2a2y231，所以 a2，故所求曲线 C 的普通方程是x24y231.(2)因为点 A(1，)，B2，23，C3，43在曲线 C 上，即点 A(1cos ，1sin )，B2cos 23，2sin(23，C3cos 43，3sin 43在曲线 C 上 故1|OA|21|OB|21|OC|2121122123 1422224

49、coscoscos3313 22224sinsinsin33 14481cos 21cos 21cos233222 13481cos 21cos 21cos2332221432133278.中的任意一点在变换的作用下点对应到点称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换简称伸缩变换极坐标系与极坐标极坐标系如图所示在平面内取一个定点叫做极点自极点引一条射线叫做极轴再选定一个长度单位一个角度单位通常取弧记为以极轴为始边射线为终边的角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记为一般地不做特殊说明时我们认为可取任意实数极坐标与直角坐标的互设是坐标系平面内任意一点它的直角坐标是极坐标是于是极坐标与直角坐标的互点半径为的圆圆心为半径为的圆圆心为半径为的圆过极点倾斜角为的直线过点与极轴垂直的直线过点与极轴平行的直线在将直角坐标化为极坐标求极角时易忽视判断点所在的象限即角的终边的位置在极坐标系下点的极坐标不惟一性