线性代数知识点归纳(同济-第五版)_研究生考试-考研数学.pdf

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1、名师总结 优秀知识点 线性代数复习要点 第一部分 行列式 1.排列的逆序数 2.行列式按行（列）展开法则 3.行列式的性质及行列式的计算 行列式的定义 1.行列式的计算：(定义法)1 2121 21112121222()1212()nnnnnj jjnjjnjj jjnnnnaaaaaaDa aaaaaLLLLLMMML1 （降阶法）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.1122,0,.ijijinjnAija Aa Aa AijL 名师总结 优秀知识点 (化

2、为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.112211 22*0*0*00nnnnbbAb bbbLMOL 式的计算行列式的定义行列式的计算定义法降阶法行列式按行列展开定理行列式等于它的任一行列的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和推论行列式某一行列的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等于零名师总结师总结优秀知识点例计算解关于副对角线范德蒙德行列式例计算行列式型公式名师总结优秀知识点升阶法在原行列式中增加一行一列保持原行列式不变的方法递推公式法对阶行列式找出与或之间的一种关系称为递推公式其中等结构将原行列式写成两行列式之和使问题简化以例计算名师总结优秀知识

3、点数学归纳法名师总结优秀知识点对于阶行列式恒有证明的方法其中为阶主子式反证法构造齐次方程组利用秩证明证明其有非零解证明是其特征值代数余子式和余名师总结 优秀知识点 若AB与都是方阵（不必同阶）,则=()mnAOAAOA BOBOBBOAAA BBOBO 1 例 计算 2-1 00-1 300001100-2 5 解 2-1 00-1 300001100-2 5=2-1 115 735-1 3-2 5 关于副对角线：(1)211212112111()n nnnnnnnnnnaOaaaa aaaOaOKNN1 范德蒙德行列式：1222212111112nijnj i nnnnnxxxxxxxxxx

4、xLLLMMML111 例 计算行列式 式的计算行列式的定义行列式的计算定义法降阶法行列式按行列展开定理行列式等于它的任一行列的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和推论行列式某一行列的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等于零名师总结师总结优秀知识点例计算解关于副对角线范德蒙德行列式例计算行列式型公式名师总结优秀知识点升阶法在原行列式中增加一行一列保持原行列式不变的方法递推公式法对阶行列式找出与或之间的一种关系称为递推公式其中等结构将原行列式写成两行列式之和使问题简化以例计算名师总结优秀知识点数学归纳法名师总结优秀知识点对于阶行列式恒有证明的方法其中为阶主子式反证法构造齐次方程组利用秩

5、证明证明其有非零解证明是其特征值代数余子式和余名师总结 优秀知识点 ab型公式：1(1)()nabbbbabbanb abbbabbbba LLLM M M OML (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法.(递推公式法)对n阶行列式nD找出nD与1nD或1nD,2nD之间的一种关系称为递推公式，其中 nD,1nD,2nD等结构相同，再由递推公式求出nD的方法称为递推公式法.(拆分法)把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算.式的计算行列式的定义行列式的计算定义法降阶法行列式按行列展开定理行列式等于它的任一行列的

6、各元素与其对应的代数余子式的乘积之和推论行列式某一行列的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等于零名师总结师总结优秀知识点例计算解关于副对角线范德蒙德行列式例计算行列式型公式名师总结优秀知识点升阶法在原行列式中增加一行一列保持原行列式不变的方法递推公式法对阶行列式找出与或之间的一种关系称为递推公式其中等结构将原行列式写成两行列式之和使问题简化以例计算名师总结优秀知识点数学归纳法名师总结优秀知识点对于阶行列式恒有证明的方法其中为阶主子式反证法构造齐次方程组利用秩证明证明其有非零解证明是其特征值代数余子式和余名师总结 优秀知识点 (数学归纳法)式的计算行列式的定义行列式的计算定义法降阶法行

7、列式按行列展开定理行列式等于它的任一行列的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和推论行列式某一行列的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等于零名师总结师总结优秀知识点例计算解关于副对角线范德蒙德行列式例计算行列式型公式名师总结优秀知识点升阶法在原行列式中增加一行一列保持原行列式不变的方法递推公式法对阶行列式找出与或之间的一种关系称为递推公式其中等结构将原行列式写成两行列式之和使问题简化以例计算名师总结优秀知识点数学归纳法名师总结优秀知识点对于阶行列式恒有证明的方法其中为阶主子式反证法构造齐次方程组利用秩证明证明其有非零解证明是其特征值代数余子式和余名师总结 优秀知识点 2.对于n阶行列式

8、A，恒有：1(1)nnkn kkkEAS，其中kS为k阶主子式；3.证明0A 的方法：、AA；、反证法；、构造齐次方程组0Ax，证明其有非零解；、利用秩，证明()r An；、证明 0 是其特征值.4.代数余子式和余子式的关系：(1)(1)ijijijijijijMAAM 式的计算行列式的定义行列式的计算定义法降阶法行列式按行列展开定理行列式等于它的任一行列的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和推论行列式某一行列的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等于零名师总结师总结优秀知识点例计算解关于副对角线范德蒙德行列式例计算行列式型公式名师总结优秀知识点升阶法在原行列式中增加一行一列保持原行列

9、式不变的方法递推公式法对阶行列式找出与或之间的一种关系称为递推公式其中等结构将原行列式写成两行列式之和使问题简化以例计算名师总结优秀知识点数学归纳法名师总结优秀知识点对于阶行列式恒有证明的方法其中为阶主子式反证法构造齐次方程组利用秩证明证明其有非零解证明是其特征值代数余子式和余名师总结 优秀知识点 第二部分 矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆 3.矩阵的秩的性质 4.矩阵方程的求解 1.矩阵的定义 由mn个数排成的m行n列的表111212122212nnmmmnaaaaaaAaaaLLMMML称为mn矩阵.记作：ijm nAa或m nA 同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等.矩阵相等:

10、两个矩阵同型，且对应元素相等.矩阵运算 a.矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.b.数与矩阵相乘：数与矩阵A的乘积记作A 或A，规定为()ijAa.c.矩阵与矩阵相乘：设()ijm sAa,()ijs nBb,则()ijm nCABc，其中 12121 122(,)jjijiiisijijissjsjbbcaaaa ba ba bb LLM 注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律,即公式00ABBAABA 或B=0不成立.a.分块对角阵相乘：11112222,ABABAB11112222A BABA B,1122nnnAAA b.用对角矩阵左 乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依

11、次乘此矩阵的行向量；1111211 111 121 1221222221222221212000000nnnnmmmmnmmmmmmnabbba ba ba babbba ba ba bBabbba ba ba b LLLLLLMM OMMMOMMMOMLLL 式的计算行列式的定义行列式的计算定义法降阶法行列式按行列展开定理行列式等于它的任一行列的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和推论行列式某一行列的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等于零名师总结师总结优秀知识点例计算解关于副对角线范德蒙德行列式例计算行列式型公式名师总结优秀知识点升阶法在原行列式中增加一行一列保持原行列式不变的方

12、法递推公式法对阶行列式找出与或之间的一种关系称为递推公式其中等结构将原行列式写成两行列式之和使问题简化以例计算名师总结优秀知识点数学归纳法名师总结优秀知识点对于阶行列式恒有证明的方法其中为阶主子式反证法构造齐次方程组利用秩证明证明其有非零解证明是其特征值代数余子式和余名师总结 优秀知识点 c.用对角矩阵右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量.1112111 112 1212122221 212222121122000000nmnnmnmmmnmmmmmnbbbaa ba ba bbbbaa ba ba bBbbbaa ba ba b LLLLLLMMOMMM OMMMOM

13、LLL d.两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.方阵的幂的性质：mnm nA AA，()()mnmnAA 矩阵的转置：把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作TA.a.对称矩阵和反对称矩阵:A是对称矩阵 TAA.A是反对称矩阵 TAA.b.分块矩阵的转置矩阵：TTTTTABACCDBD 伴随矩阵：1121112222*12nTnijnnnnAAAAAAAAAAALLMMML，ijA为A中各个元素的代数余子式.*AAA AA E,1*nAA,11AA.分块对角阵的伴随矩阵：*ABABAB *(1)(1)mnmnAA BBB A 2.逆矩阵的求法 方阵A可逆 0

14、A.伴随矩阵法 1AAA 注：1abdbcdcaadbc1 LL主换位副变号 初等变换法 1()()A EE AMM初等行变换 矩阵转置的性质：()TTAA()TTTABB A TAA 11()()TTAA()()TTAA 矩阵可逆的性质：11()AA 111()ABB A 11AA 11()()kkkAAA 伴随矩阵的性质：2()nAAA ()ABB A 1nAA 11()()AAAA ()()kkAA ()()1 ()10 ()1 nr Anr Ar Anr An 若若若 ABA B kkAA AAA AA E（无条件恒成立）式的计算行列式的定义行列式的计算定义法降阶法行列式按行列展开定理

15、行列式等于它的任一行列的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和推论行列式某一行列的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等于零名师总结师总结优秀知识点例计算解关于副对角线范德蒙德行列式例计算行列式型公式名师总结优秀知识点升阶法在原行列式中增加一行一列保持原行列式不变的方法递推公式法对阶行列式找出与或之间的一种关系称为递推公式其中等结构将原行列式写成两行列式之和使问题简化以例计算名师总结优秀知识点数学归纳法名师总结优秀知识点对于阶行列式恒有证明的方法其中为阶主子式反证法构造齐次方程组利用秩证明证明其有非零解证明是其特征值代数余子式和余名师总结 优秀知识点 例 求122212221的逆矩阵.解

16、 32322121232313213219221210203312210012210021212010036210012033221001033011009221122100999212010999221001999rrrrrrrrrrrrrr1122999122212,212999221221999所以 分块矩阵的逆矩阵：111AABB 111ABBA 1111ACAA CBOBOB 1111AOAOCBB CAB 式的计算行列式的定义行列式的计算定义法降阶法行列式按行列展开定理行列式等于它的任一行列的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和推论行列式某一行列的元素与另一行列的对应元素的代数余子

17、式乘积之和等于零名师总结师总结优秀知识点例计算解关于副对角线范德蒙德行列式例计算行列式型公式名师总结优秀知识点升阶法在原行列式中增加一行一列保持原行列式不变的方法递推公式法对阶行列式找出与或之间的一种关系称为递推公式其中等结构将原行列式写成两行列式之和使问题简化以例计算名师总结优秀知识点数学归纳法名师总结优秀知识点对于阶行列式恒有证明的方法其中为阶主子式反证法构造齐次方程组利用秩证明证明其有非零解证明是其特征值代数余子式和余名师总结 优秀知识点 1231111213aaaaaa ,3211111213aaaaaa 配方法或者待定系数法 （逆矩阵的定义1ABBAEAB）例 设方阵A满足矩阵方程2

18、20E AA,证明A及2EA都可逆,并求1A及12EA.解 由220E AA得12EEAA,故A可逆,且112EAA.由220E AA也可得(2)(3)4EEEAA或1(2)(3)4EEEAA,故2EA可逆,且 12EA1(3)4E A.3.行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖 线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为 1，且这些非零元所在列的其他元素都是0时，称为行最简形矩阵 4.初等变换与初等矩阵 对换变换、倍乘变换、倍加（或消法）变换 初等变换 初等矩阵 初等矩阵的逆 初等矩阵的行列式 ijrr(ijcc)(,)E

19、i j 1(,)(,)E i jE i j(,)E i j 1 irk(ick)()E i k 11()()kE i kE i ()E i kk ijrrk(ijcck)(,()E i j k 1,(),()E i j kE i jk ,()E i j k 1 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对A施行一次初等行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵左乘A；对A施行一次初等列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵右乘A.注意：初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵.5.矩阵的秩 关于A矩阵秩的描述：、()r Ar，A中有r阶子式不为 0，1r阶子式(存在的话)全

20、部为 0；、()r Ar，A的r阶子式全部为 0；、()r Ar，A中存在r阶子式不为 0；矩阵的秩的性质：()AOr A 1;()0AOr A;0()m nr Amin(,)m n 式的计算行列式的定义行列式的计算定义法降阶法行列式按行列展开定理行列式等于它的任一行列的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和推论行列式某一行列的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等于零名师总结师总结优秀知识点例计算解关于副对角线范德蒙德行列式例计算行列式型公式名师总结优秀知识点升阶法在原行列式中增加一行一列保持原行列式不变的方法递推公式法对阶行列式找出与或之间的一种关系称为递推公式其中等结构将原行列式写

21、成两行列式之和使问题简化以例计算名师总结优秀知识点数学归纳法名师总结优秀知识点对于阶行列式恒有证明的方法其中为阶主子式反证法构造齐次方程组利用秩证明证明其有非零解证明是其特征值代数余子式和余名师总结 优秀知识点 ()()()TTr Ar Ar A A ()()r kAr Ak 其中0 ()(),()0m nn sr Ar BnABr ABBAx 若若0的列向量全部是的解 ()r ABmin(),()r A r B 若P、Q可逆，则()()()()r Ar PAr AQr PAQ；即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.若()()()m nAxr ABr Br AnABOBOAABACBC 只有零解 在矩阵

22、乘法中有左消去律；若()()()n sr ABr Br BnB 在矩阵乘法中有右消去律.()rrEOEOr ArAAOOOO 若与唯一的等价，称为矩阵 的等价标准型.()r AB()()r Ar B,max(),()r A r B(,)r A B()()r Ar B ()()AOOArr Ar BOBBO ,()()ACrr Ar BOB 求矩阵的秩：定义法和行阶梯形阵方法 式的计算行列式的定义行列式的计算定义法降阶法行列式按行列展开定理行列式等于它的任一行列的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和推论行列式某一行列的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等于零名师总结师总结优秀知识点例计

23、算解关于副对角线范德蒙德行列式例计算行列式型公式名师总结优秀知识点升阶法在原行列式中增加一行一列保持原行列式不变的方法递推公式法对阶行列式找出与或之间的一种关系称为递推公式其中等结构将原行列式写成两行列式之和使问题简化以例计算名师总结优秀知识点数学归纳法名师总结优秀知识点对于阶行列式恒有证明的方法其中为阶主子式反证法构造齐次方程组利用秩证明证明其有非零解证明是其特征值代数余子式和余名师总结 优秀知识点 6 矩阵方程的解法(0A)：设法化成AXBXAB(I)或 (II)A BE XMM初等行变换(I)的解法：构造()()AEBX LL初等列变换(II)的解法：构造 TTTTA XBXX(II)的

24、解法：将等式两边转置化为，用(I)的方法求出，再转置得 式的计算行列式的定义行列式的计算定义法降阶法行列式按行列展开定理行列式等于它的任一行列的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和推论行列式某一行列的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等于零名师总结师总结优秀知识点例计算解关于副对角线范德蒙德行列式例计算行列式型公式名师总结优秀知识点升阶法在原行列式中增加一行一列保持原行列式不变的方法递推公式法对阶行列式找出与或之间的一种关系称为递推公式其中等结构将原行列式写成两行列式之和使问题简化以例计算名师总结优秀知识点数学归纳法名师总结优秀知识点对于阶行列式恒有证明的方法其中为阶主子式反证法构造

25、齐次方程组利用秩证明证明其有非零解证明是其特征值代数余子式和余名师总结 优秀知识点 第三部分 线性方程组 1.向量组的线性表示 2.向量组的线性相关性 3.向量组的秩 4.向量空间 5.线性方程组的解的判定 6.线性方程组的解的结构（通解）（1）齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系）（2）非齐次线性方程组的解的结构（通解）1.线性表示：对于给定向量组12,n L，若存在一组数12,nk kkL使得1122nnkkk L，则称是12,n L的线性组合，或称称可由12,n L的线性表示.线性表示的判别定理:可由12,n L的线性表示 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：、111

26、12211211222221122nnnnmmnmnna xa xa xba xaxaxbaxaxaxb LLL L L L L L L L L L LL有解 、1112111212222212 LLMMOMMMLnnmmmnmmaaaxbaaaxbAxaaaxb 、1212nnxxaaax LM（全部按列分块，其中12nbbb M）；、1122nna xa xa x L（线性表出）、有解的充要条件：()(,)r Ar An（n为未知数的个数或维数）式的计算行列式的定义行列式的计算定义法降阶法行列式按行列展开定理行列式等于它的任一行列的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和推论行列式某一行列的元

27、素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等于零名师总结师总结优秀知识点例计算解关于副对角线范德蒙德行列式例计算行列式型公式名师总结优秀知识点升阶法在原行列式中增加一行一列保持原行列式不变的方法递推公式法对阶行列式找出与或之间的一种关系称为递推公式其中等结构将原行列式写成两行列式之和使问题简化以例计算名师总结优秀知识点数学归纳法名师总结优秀知识点对于阶行列式恒有证明的方法其中为阶主子式反证法构造齐次方程组利用秩证明证明其有非零解证明是其特征值代数余子式和余名师总结 优秀知识点 2.设,m nn sABA的列向量为12,n,B的列向量为12,s，则m sABC1112121222121212,s

28、snsnnnsbbbbbbc ccbbbLLLMMML iiAc，(,)isL1,2 i为iAxc的解 121212,sssAAAAc cc L 12,sc ccL可由12,n 线性表示.即：C的列向量能由A的列向量线性表示，B为系数矩阵.同理：C的行向量能由B的行向量线性表示，A为系数矩阵.即：1112111212222212nnnnmnnmaaacaaacaaac LLMMMMML11112212121122222211222nnmmmnmaaacaaacaaac LLLLLL 式的计算行列式的定义行列式的计算定义法降阶法行列式按行列展开定理行列式等于它的任一行列的各元素与其对应的代数余子

29、式的乘积之和推论行列式某一行列的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等于零名师总结师总结优秀知识点例计算解关于副对角线范德蒙德行列式例计算行列式型公式名师总结优秀知识点升阶法在原行列式中增加一行一列保持原行列式不变的方法递推公式法对阶行列式找出与或之间的一种关系称为递推公式其中等结构将原行列式写成两行列式之和使问题简化以例计算名师总结优秀知识点数学归纳法名师总结优秀知识点对于阶行列式恒有证明的方法其中为阶主子式反证法构造齐次方程组利用秩证明证明其有非零解证明是其特征值代数余子式和余名师总结 优秀知识点 3.线性相关性 判别方法：法 1 法 2 式的计算行列式的定义行列式的计算定义法降阶

30、法行列式按行列展开定理行列式等于它的任一行列的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和推论行列式某一行列的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等于零名师总结师总结优秀知识点例计算解关于副对角线范德蒙德行列式例计算行列式型公式名师总结优秀知识点升阶法在原行列式中增加一行一列保持原行列式不变的方法递推公式法对阶行列式找出与或之间的一种关系称为递推公式其中等结构将原行列式写成两行列式之和使问题简化以例计算名师总结优秀知识点数学归纳法名师总结优秀知识点对于阶行列式恒有证明的方法其中为阶主子式反证法构造齐次方程组利用秩证明证明其有非零解证明是其特征值代数余子式和余名师总结 优秀知识点 法 3 推论

31、线性相关性判别法（归纳）式的计算行列式的定义行列式的计算定义法降阶法行列式按行列展开定理行列式等于它的任一行列的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和推论行列式某一行列的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等于零名师总结师总结优秀知识点例计算解关于副对角线范德蒙德行列式例计算行列式型公式名师总结优秀知识点升阶法在原行列式中增加一行一列保持原行列式不变的方法递推公式法对阶行列式找出与或之间的一种关系称为递推公式其中等结构将原行列式写成两行列式之和使问题简化以例计算名师总结优秀知识点数学归纳法名师总结优秀知识点对于阶行列式恒有证明的方法其中为阶主子式反证法构造齐次方程组利用秩证明证明其有非零

32、解证明是其特征值代数余子式和余名师总结 优秀知识点 线性相关性的性质 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.（向量个数变动）原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.（向量维数变动）两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关.向量组12,n 中任一向量i(1i)n都是此向量组的线性组合.若12,n 线性无关，而12,n 线性相关,则可由12,n 线性表示,且表示法唯一.4.最大无关组相关知识 向量组的秩 向量组12,n L的极大无关组所含向量的个数，称为这

33、个向量组的秩.记作12(,)nr L 矩阵等价 A经过有限次初等变换化为B.向量组等价 12,n 和12,n 可以相互线性表示.记作：1212,nn%矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩.行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行（列）向量间的线性关系 式的计算行列式的定义行列式的计算定义法降阶法行列式按行列展开定理行列式等于它的任一行列的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和推论行列式某一行列的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等于零名师总结师总结优秀知识点例计算解关于副对角线范德蒙德行列式例计算行列式型公式名师总结优秀知识点升阶法在原行列式中增

34、加一行一列保持原行列式不变的方法递推公式法对阶行列式找出与或之间的一种关系称为递推公式其中等结构将原行列式写成两行列式之和使问题简化以例计算名师总结优秀知识点数学归纳法名师总结优秀知识点对于阶行列式恒有证明的方法其中为阶主子式反证法构造齐次方程组利用秩证明证明其有非零解证明是其特征值代数余子式和余名师总结 优秀知识点 向量组12,s 可由向量组12,n 线性表示,且sn，则12,s 线性相关.向量组12,s 线性无关,且可由12,n 线性表示,则sn.向量组12,s 可由向量组12,n 线性表示,且12(,)sr 12(,)nr,则两向量组等价；任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个

35、极大无关组等价.向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定.若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.设A是mn矩阵,若()r Am，A的行向量线性无关；5.线性方程组理论 线性方程组的矩阵式 Ax 向量式 1122nnxxx L 1112111212222212,nnmmmnnmaaaxbaaaxbAxaaaxb LLMMMMML 其中 12,2,jjjmjjnLM1（1）解得判别定理 （2）线性方程组解的性质：121212121 1221212(1),(2),(3),(4),(5),(6kkkkAxAxk kAxkAxAxAxAxAx LL 是的解也是它的解 是

36、的解 对任意也是它的解齐次方程组 是的解 对任意 个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解2112121 122121 12212),(7),100kkkkkkkAxAxAxAxAx LLLLL 是的解 则也是它的解是其导出组的解 是的解 则 也是的解 是的解 (3)判断12,sL是Ax的基础解系的条件：12,sL线性无关；式的计算行列式的定义行列式的计算定义法降阶法行列式按行列展开定理行列式等于它的任一行列的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和推论行列式某一行列的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等于零名师总结师总结优秀知识点例计算解关于副对角线范德

37、蒙德行列式例计算行列式型公式名师总结优秀知识点升阶法在原行列式中增加一行一列保持原行列式不变的方法递推公式法对阶行列式找出与或之间的一种关系称为递推公式其中等结构将原行列式写成两行列式之和使问题简化以例计算名师总结优秀知识点数学归纳法名师总结优秀知识点对于阶行列式恒有证明的方法其中为阶主子式反证法构造齐次方程组利用秩证明证明其有非零解证明是其特征值代数余子式和余名师总结 优秀知识点 12,sL都是Ax的解；()snr A 每个解向量中自由未知量的个数.(4)求非齐次线性方程组 Ax=b 的通解的步骤 12112(1()(2)()()(3)(4)10,.,(5)A br A br ArnnrAx

38、bAxAxbxkk 0n-r0)将增广矩阵通过初等行变换化为；当时，把不是首非零元所在列对 应的个变量作为自由元；令所有自由元为零，求得的一个；不计最后一列，分别令一个自由元为，其余自由元 为零，得到的;写出非齐次线性方程组的阶梯形矩阵特解基础 解系 通解 212.,.,n rn rn rkk kk 其中为任意常数.式的计算行列式的定义行列式的计算定义法降阶法行列式按行列展开定理行列式等于它的任一行列的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和推论行列式某一行列的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等于零名师总结师总结优秀知识点例计算解关于副对角线范德蒙德行列式例计算行列式型公式名师总结优秀

39、知识点升阶法在原行列式中增加一行一列保持原行列式不变的方法递推公式法对阶行列式找出与或之间的一种关系称为递推公式其中等结构将原行列式写成两行列式之和使问题简化以例计算名师总结优秀知识点数学归纳法名师总结优秀知识点对于阶行列式恒有证明的方法其中为阶主子式反证法构造齐次方程组利用秩证明证明其有非零解证明是其特征值代数余子式和余名师总结 优秀知识点 例 求下述方程组的解 123451234523457,3232,22623xxxxxxxxxxxxxx 解 19100222111117123(,)3121320113220212623001000AA b%,由于()()25r Ar A%，知线性方程组

40、有无穷多解.原方程组等价于方程组1354234519222123322xxxxxxxx ,令3451000,1,0.001xxx 求得等价方程组对应的奇次方程组的基础解系 1231 2021 213,.100010001 求特解:令3450 xxx，得12923,.22xx 故特解为9 223 2.000 所以方程组的通解为 1231 2029 21 21323 2100000000010 xkkk ，（123,k k k为任意常数）.（5）其他性质 式的计算行列式的定义行列式的计算定义法降阶法行列式按行列展开定理行列式等于它的任一行列的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和推论行列式某一行列的

41、元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等于零名师总结师总结优秀知识点例计算解关于副对角线范德蒙德行列式例计算行列式型公式名师总结优秀知识点升阶法在原行列式中增加一行一列保持原行列式不变的方法递推公式法对阶行列式找出与或之间的一种关系称为递推公式其中等结构将原行列式写成两行列式之和使问题简化以例计算名师总结优秀知识点数学归纳法名师总结优秀知识点对于阶行列式恒有证明的方法其中为阶主子式反证法构造齐次方程组利用秩证明证明其有非零解证明是其特征值代数余子式和余名师总结 优秀知识点 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.若是Ax的一个解，1,sL是Ax的一个解1,sL线性无关 Ax与Bx同解（,A

42、B列向量个数相同）()()Arr Ar BB ,且有结果：它们的极大无关组相对应,从而秩相等；它们对应的部分组有一样的线性相关性；它们有相同的内在线性关系.矩阵m nA与l nB的行向量组等价齐次方程组Ax与Bx同解PAB（左乘可逆矩阵P）；矩阵m nA与l nB的列向量组等价AQB（右乘可逆矩阵Q）.第四部分 方阵的特征值及特征向量 1.施密特正交化过程 式的计算行列式的定义行列式的计算定义法降阶法行列式按行列展开定理行列式等于它的任一行列的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和推论行列式某一行列的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等于零名师总结师总结优秀知识点例计算解关于副对角线范

43、德蒙德行列式例计算行列式型公式名师总结优秀知识点升阶法在原行列式中增加一行一列保持原行列式不变的方法递推公式法对阶行列式找出与或之间的一种关系称为递推公式其中等结构将原行列式写成两行列式之和使问题简化以例计算名师总结优秀知识点数学归纳法名师总结优秀知识点对于阶行列式恒有证明的方法其中为阶主子式反证法构造齐次方程组利用秩证明证明其有非零解证明是其特征值代数余子式和余名师总结 优秀知识点 2.特征值、特征向量的性质及计算 3.矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化 1.标准正交基 n个n维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为 1.向量12,Tna aaL与12,Tnb bbL的内积 1 1

44、221(,)niinnia ba ba ba b L 与 正交(,)0.记为：向量12,Tna aaL的长度 2222121(,)niniaaaa L 是单位向量(,)1.即长度为1的向量.2.内积的性质：正定性：(,)0,(,)0 且 对称性：(,)(,)线性性：1212(,)(,)(,)(,)(,)kk 3.设 A 是一个 n 阶方阵,若存在数和 n 维非零列向量x,使得 Axx，则称是方阵 A 的一个特征值，x为方阵 A 的对应于特征值的一个特征向量.A的特征矩阵 0EA（或0AE）.A的特征多项式 ()EA（或()AE）.()是矩阵A的特征多项式()AO 12nA L 1niAtr，A

45、tr称为矩阵A的迹.上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n各元素.若0A,则 0为A的特征值,且Ax的基础解系即为属于 0的线性无关的特征向量.()1r A A一定可分解为A=1212,nnaabbba LM、21 122()nnAa ba ba bA L,从而A的特征值 式的计算行列式的定义行列式的计算定义法降阶法行列式按行列展开定理行列式等于它的任一行列的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和推论行列式某一行列的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等于零名师总结师总结优秀知识点例计算解关于副对角线范德蒙德行列式例计算行列式型公式名师总结优秀知识点升阶法在原行列式中增加一

46、行一列保持原行列式不变的方法递推公式法对阶行列式找出与或之间的一种关系称为递推公式其中等结构将原行列式写成两行列式之和使问题简化以例计算名师总结优秀知识点数学归纳法名师总结优秀知识点对于阶行列式恒有证明的方法其中为阶主子式反证法构造齐次方程组利用秩证明证明其有非零解证明是其特征值代数余子式和余名师总结 优秀知识点 为：11 122nnAa ba ba b Ltr,23nL0.注12,Tna aaL为A各行的公比，12,nb bbL为A各列的公比.若A的全部特征值12,nL，()f A是多项式,则:若A满足()f AOA的任何一个特征值必满足()if 0()f A的全部特征值为12(),(),(

47、)nfffL；12()()()()nf AfffL.A与TA有相同的特征值，但特征向量不一定相同.4.特征值与特征向量的求法 (1)写出矩阵 A 的特征方程0AE，求出特征值i.(2)根据()0iAE x得到 A 对应于特征值i的特征向量.设()0iAE x的基础解系为 12,in rL 其中()iirr AE.则 A 对应于特征值i的全部特征向量为1 122,iin rn rkkk L 其中12,in rk kkL为任意不全为零的数.例 求211020413A的特征值和全部特征向量.解 第一步：写出矩阵 A 的特征方程，求出特征值.221121020(2)(2)(1)043413AE 解得特

48、征值为1231,2.第二步：对每个特征值代数齐次线性方程组()0AE x，求其非零解,即对应于特征值的全部特征向量.当1 时，齐次线性方程组为()0AE x,系数矩阵 111101030010414000AE 式的计算行列式的定义行列式的计算定义法降阶法行列式按行列展开定理行列式等于它的任一行列的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和推论行列式某一行列的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等于零名师总结师总结优秀知识点例计算解关于副对角线范德蒙德行列式例计算行列式型公式名师总结优秀知识点升阶法在原行列式中增加一行一列保持原行列式不变的方法递推公式法对阶行列式找出与或之间的一种关系称为递推

49、公式其中等结构将原行列式写成两行列式之和使问题简化以例计算名师总结优秀知识点数学归纳法名师总结优秀知识点对于阶行列式恒有证明的方法其中为阶主子式反证法构造齐次方程组利用秩证明证明其有非零解证明是其特征值代数余子式和余名师总结 优秀知识点 得基础解系:1101P，故对应于特征值1 的全部特征向量为1 1(0)k Pk.当2 时，齐次线性方程组为(2)0AE x,系数矩阵 4114112000000411000AE 得基础解系:2011P ，3104P.故对应于特征值2的全部特征向量为 2233k Pk P，其中23,k k不全为零.5.A与B相似 1P APB （P为可逆矩阵）A与B正交相似 1

50、P APB （P为正交矩阵）A可以相似对角化 A与对角阵相似.（称是A的相似标准形）6.相似矩阵的性质：EAEB,从而,A B有相同的特征值,但特征向量不一定相同.注是A关于0的特征向量,1P是B关于0的特征向量.ABtrtr AB 从而,A B同时可逆或不可逆 ()()r Ar B 若A与B相似,则A的多项式()f A与B的多项式()f A相似.7.矩阵对角化的判定方法 n 阶矩阵 A 可对角化(即相似于对角阵)的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量.这时,P为A的特征向量拼成的矩阵，1PAP为对角阵,主对角线上的元素为A的特征值.设i为对应于i的线性无关的特征向量,则有：式的计