第十六章--二次根式知识点归纳及应用(精品)_中学教育-中考.pdf

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1、 第十六章 二次根式 出处 何海平名师工作室 QQ：1322798146（欢迎加入交流）一、知识梳理 1二次根式：式子)0(aa叫做二次根式。2最简二次根式 若二次根式满足：被开方数不含分母；分母不含根号；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。3.化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。（2）如果分母含根号，利用分母有理化进行化简。（3）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。4.同类二次根式 几个二次

2、根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。5.二次根式混合运算 二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）6.函数中自变量的取值范围 要使式子有意义，必须保证：（1）分母 0；（2）二次根式根号下被开方数 0 7.【公式】：（1）=；=（2）=；=（3）()=（）=|=()()被开方数是乘除关系根号可以拆开，被开方数是加减关系根号不可以拆开。比如：91691675734916525916916916 1625162513145162539162516251625 分数与二次根式相乘结果中分数要写成假分

3、数。比如：4132（）；133 2（）1.填空（1）8=_；（2）18=_；（3）32=_；（4）50=_；（5）12=_；（6）27=_；（7）48=_；（8）75=_；（9）20=_；（10）45=_；（11）80=_；（12）125=_；2.填空；（1）4=_；（2）9=_；（3）16=_；3.填空；（1）2 =_；（2）3 =_；（3）42=_；（4）82=_；（5）2 =_；（6）33=_；（7）43=_；（8）83=_；4.填空（1）12=_；（2）13=_；（3）18=_；（4）19=_；（5）23=_；（6）25=_；（7）35=_ 5.填空（1）1=_；（2）12=_；（3）

4、1=_；（4）12=_；（5）1=_；（6）12=_ 6、计算:(1)16+9 (2)80 45(3)5 2+8 7 18 (4)80+8 45 7 18(5)32 12 2(18+27)(6)2 8+12 18 14 32(7)12(13127)(8)3 40 252110(9)2 12 4127+3 48 (10)24 12+22318 6 7计算：（1）(8+3)6 （2）(5 8+3 3)2 3（3）(4 2 3 6)2 2 （4）2 3(4 2 3 65 12 8)识梳理二次根式式子叫做二次根式最简二次根式二次根式根号下被开方数公式若二次根式满足被开方数不含分母分母不含根号被开方数中

5、不含能开得尽方的因数或因式这样的二次根式叫做最简二次根式化二次根式为最简二次根式的小数或分式先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式然后利用分母有理化进行化简如果分母含根号利用分母有理化进行化简如果被开方数是整数或整式先将他们分解因数或因式然后把能开得尽方的因数或因式开出来同类二算二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样先乘方再乘除最后加减有括号的先算括号里的或先去括号分数与二次根式相乘结果中分数要写成假分数比如填空填空填空计算填空填空计算并且由被开方数分母解之得并且已知求的值 （5）(7 2+2 6)(2 6 7 2)（6）(7 7 3)（7）已知x=3+2，y=3 2，求 x2-y2的

6、值 二、函数中自变量的取值范围 要使式子有意义，必须保证：（1）分母 0；（分母为零没有意义）（2）二次根式根号下被开方数 0（负数没有平方根）例 1 求下列函数中自变量的取值范围（1）y=x2（2）y=1x2（3）y=5x2-1x+3（4）y=x2（5）y=1 x2 （6）y=12（7）y=x+5x2（8）y=x2+2x 解：（1）x 取任意实数 【题目中没有分母也没有根号 x 取任意实数】（2）x 2【由分母x-2 0 得 x 2】（3）x 2 并且 x 3【由分母 x 2 0分母 x+3 0 解之得x 2x 3 即 x 2 并且 x 3】（4）x 2【由被开方数x-2 0 得 x 2】（

7、5）x2 【由被开方数 x 2 0分母 2 0 解之得x 2x 2 x2】（6）x 0 并且 x 4 【由被开方数 x 0分母 2 0 解之得x 0 x 4 x 0 并且 x 4】（7）x 5 并且 x 2 【由被开方数 x+5 0分母 x 2 0 解之得x 5x 2 x 5 并且 x2】（8）x=2 【由被开方数 x 2 0被开方数 2 x 0 解之得x 2x 2 x=2】二、函数中自变量的取值范围 1.求下列函数中自变量的取值范围（1）y=x+3（2）y=1x+3（3）y=1x21x+3 （4）y=x+3（5）y=1 x+3（6）y=13（7）y=x+3x2（8）y=x-3+3-x 11.

8、(武汉)式子 x-1在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）Ax 1 B x 1 C x 1 D x 1 11.（鞍山）要使式子 2-x有意义，则 x 的取值范围是（）识梳理二次根式式子叫做二次根式最简二次根式二次根式根号下被开方数公式若二次根式满足被开方数不含分母分母不含根号被开方数中不含能开得尽方的因数或因式这样的二次根式叫做最简二次根式化二次根式为最简二次根式的小数或分式先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式然后利用分母有理化进行化简如果分母含根号利用分母有理化进行化简如果被开方数是整数或整式先将他们分解因数或因式然后把能开得尽方的因数或因式开出来同类二算二次根式的混合运算与实数中

9、的运算顺序一样先乘方再乘除最后加减有括号的先算括号里的或先去括号分数与二次根式相乘结果中分数要写成假分数比如填空填空填空计算填空填空计算并且由被开方数分母解之得并且已知求的值 Ax0 Bx 2 Cx 2 Dx 2 11.（江苏盐城）若二次根式有意义，则 x 的取值范围是 .11.（湖北随州）函数中，自变量 x 的取值范围是_。2.（呼和浩特）函数中自变量 x 的取值范围是_ 21.#（湖南衡阳）函数 y=2x+2中自变量 x 的取值范围是（）Ax2 B x2 C x2 D x2 21.#（娄底）式子 2x+1x1有意义的 x 的取值范围是（）Ax 12且 x 1 Bx 1 Cx 12 Dx 1

10、2且 x 1 3.（湖南湘潭）下列函数中，自变量的取值范围是的是（）A B.C.D.三、二次根式的非负性 公式：=|=()()比如：=|4|=；（）=|=4 （3）=|3|=3；（3）=|3|=3（）若（）=则的取值范围是；若（）=则的取值范围是1x25yx12yxxx331xy31xy3xy3 xy识梳理二次根式式子叫做二次根式最简二次根式二次根式根号下被开方数公式若二次根式满足被开方数不含分母分母不含根号被开方数中不含能开得尽方的因数或因式这样的二次根式叫做最简二次根式化二次根式为最简二次根式的小数或分式先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式然后利用分母有理化进行化简如果分母含根号利

11、用分母有理化进行化简如果被开方数是整数或整式先将他们分解因数或因式然后把能开得尽方的因数或因式开出来同类二算二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样先乘方再乘除最后加减有括号的先算括号里的或先去括号分数与二次根式相乘结果中分数要写成假分数比如填空填空填空计算填空填空计算并且由被开方数分母解之得并且已知求的值名师总结 精品知识点 答案 一、基础 1.填空（1）8=2 4=2 4=2 2=2 2（2）18=2 9=2 9=2 3=3 2（3）32=2 16=2 16=2 4=4 2（4）50=2 25=2 25=2 5=5 2（5）12=3 4=3 4=3 2=2 3（6）27=3 9=3 9=3

12、 3=3 3（7）48=3 16=3 16=3 4=4 3（8）75=3 25=3 25=3 5=5 3（9）20=5 4=5 4=5 2=2 5（10）45=5 9=5 9=5 3=3 5（11）80=5 16=5 16=5 4=4 5（12）125=5 25=5 25=5 5=5 5 2.填空（1）4=4 =2 （2）9=9 =3 （3）16=16 =4 3.填空（1）2 =2 =2 （2）3 =3 =3 （3）42=4 2=2（4）82=8 2=2 2 （5）2 =2 =2=2 （6）33=32=3=3 （7）43=42=2 （8）83=42 2=2 2 4.填空（1）12=1 2=1

13、2 2 2=22（2）13=1 3=1 3 3 3=33（3）18=1 8=12 2=1 22 2 2=222=24（4）19=1 9=13（5）23=2 3=2 3 3 3=63（6）25=2 5=2 5 5 5=105（7）35=3 5=3 5 5 5=155 识梳理二次根式式子叫做二次根式最简二次根式二次根式根号下被开方数公式若二次根式满足被开方数不含分母分母不含根号被开方数中不含能开得尽方的因数或因式这样的二次根式叫做最简二次根式化二次根式为最简二次根式的小数或分式先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式然后利用分母有理化进行化简如果分母含根号利用分母有理化进行化简如果被开方数是整

14、数或整式先将他们分解因数或因式然后把能开得尽方的因数或因式开出来同类二算二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样先乘方再乘除最后加减有括号的先算括号里的或先去括号分数与二次根式相乘结果中分数要写成假分数比如填空填空填空计算填空填空计算并且由被开方数分母解之得并且已知求的值名师总结 精品知识点 5.填空（1）1=1=1 =（2）12=1 2=1 2 2 2=22（3）1=1=1（4）12=12=1 2=1 2 2 2=22（5）1=1=1=1 =1 =（6）12=12=1 2=1 2=1 2 2 2=22=22 6、计算:(1)16+9=4 +3=7 (2)80 45=4 5 3 5=5(3)5

15、 2+8 7 18=5 2+2 2 21 2=(5+2 21)2=14 2(4)80+8 45 7 18=4 5+2 2 3 5 21 2=5 19 2(5)32 12 2(18+27)=4 2 2 3 2(3 2+3 3)=42236263=22 83 (6)2 8+12 18 14 32=4 2+32 2 2=(4+321)2=92 2(7)12(13127)=2 3(13 3 19 3)=2 3 13 3+19 3=(2 13+19)3=169 3(8)3 40 252110=6 10 15 10 15 10=(6 1515)10=285 10(9)2 12 4127+3 48=4 3

16、49 3+12 3=(4 49+12)3=1409 3(10)24 12+22318 6=2 6 12 2+23 6 14 2 6=(2+231)6(1214)2=53 6 34 2 7.计算 （4）2 3(4 2 3 65 12 8)=2 3 4 2 2 3 3 62 3 5 12 2 3 8 识梳理二次根式式子叫做二次根式最简二次根式二次根式根号下被开方数公式若二次根式满足被开方数不含分母分母不含根号被开方数中不含能开得尽方的因数或因式这样的二次根式叫做最简二次根式化二次根式为最简二次根式的小数或分式先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式然后利用分母有理化进行化简如果分母含根号利用分

17、母有理化进行化简如果被开方数是整数或整式先将他们分解因数或因式然后把能开得尽方的因数或因式开出来同类二算二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样先乘方再乘除最后加减有括号的先算括号里的或先去括号分数与二次根式相乘结果中分数要写成假分数比如填空填空填空计算填空填空计算并且由被开方数分母解之得并且已知求的值名师总结 精品知识点=2 4 3 2 2 3 3 62 5 3 12 2 3 8 =8 6 6 3 3 210 3 3 4 2 3 2 4=8 6 6 3 210 3 2 2 3 2 2 =8 6 18 260 4 6 =4 6 18 260 二、（7）已知x=3+2，y=3 2，求 x2-y2

18、的值 解法一：x2-y2=(3+2)2(3 2)2=(3+2)(3+2)(3 2)(3 2)识梳理二次根式式子叫做二次根式最简二次根式二次根式根号下被开方数公式若二次根式满足被开方数不含分母分母不含根号被开方数中不含能开得尽方的因数或因式这样的二次根式叫做最简二次根式化二次根式为最简二次根式的小数或分式先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式然后利用分母有理化进行化简如果分母含根号利用分母有理化进行化简如果被开方数是整数或整式先将他们分解因数或因式然后把能开得尽方的因数或因式开出来同类二算二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样先乘方再乘除最后加减有括号的先算括号里的或先去括号分数与二次根

19、式相乘结果中分数要写成假分数比如填空填空填空计算填空填空计算并且由被开方数分母解之得并且已知求的值名师总结 精品知识点=(3 3+3 2+2 3+2 2)(3 3 3 2 2 3+2 2)=(3+2 3+2 3+4)(3 2 3 2 3+4)=3+2 3+2 3+4 3+2 3+2 3 4=8 3 解法二：【利用公式】x2-y2=（x+y）（x-y）x2-y2=（x+y）（x-y）=(3+2)+(3 2)(3+2)-(3 2)=(3+2+3 2)(3+2-3+2)=2 3 4=8 3 一、函数中自变量的取值范围 解：（1）x 取任意实数 【题目中没有分母也没有根号 x 取任意实数】（2）x-3

20、【由分母x+3 0 得 x-3】（3）x 2 并且 x 3【由分母 x 2 0分母 x+3 0 解之得x 2x 3 即 x 2 并且 x 3】（4）x-3【由被开方数x+3 0 得 x-3】（5）x-3 【由被开方数 x+3 0分母 +3 0 解之得x 3x 3 x-3】（6）x 0 并且 x 9 【由被开方数 x 0分母 3 0 解之得x 0 x 9 x 0 并且 x 9】（7）x 3 并且 x 2 【由被开方数 x+3 0分母 x 2 0 解之得x 3x 2 x 3 并且 x 2】（8）x=3 【由被开方数 x 3 0被开方数 3 x 0 解之得x 3x 3 x=3】1.（1）x 取任意实

21、数 （2）x 3 由分母x+3 0 得 x 3 （3）x 1 并且 x 2（4）x 3 由被开方数x+3 0 得 3（5）x3 由被开方数x+3 0 得 3，但分母 0 得 x 3 x3（6）x 2 并且 x 1 由被开方数x+2 0 得 x 2，但分母 x-1 0 得 x 1 x 2 并且 x 1 （7）x=3 由被开方数x-3 0 得 x 3，并且被开方数 3-x 0 得 x 3，x=3 11.B【解析】二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，即：x-1 0，解得：.x 1 11.D【解析】二次根式有意义的条件是被开方数必须为非负数，即2x 0，解之得 x 2 11.【解析】二次根式有意义

22、的条件是被开方数必须为非负数.即 x+10，解之得 x-1.11.x52【解析】二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，即：2x+50，解得：.x52 2.【解析】要使分式有意义，分式的分母不能为0，即，所以。21.A【解析】根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 即，x+20，解之得 x2 21.#A 解：根据题意得，2x+1 0 且 x1 0，解得 x 且 x 1 3.D【解析】的自变量的取值范围是；的自变量的取值范围是；的自变量的取值范围是为一切实数；的 自变量的取值范围是。2x 20 x 2x 1231xyxx331xyxx33xyxx3 xyxx3识梳理二次根式式子叫做二次根式最简二次根式二次根式根号下被开方数公式若二次根式满足被开方数不含分母分母不含根号被开方数中不含能开得尽方的因数或因式这样的二次根式叫做最简二次根式化二次根式为最简二次根式的小数或分式先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式然后利用分母有理化进行化简如果分母含根号利用分母有理化进行化简如果被开方数是整数或整式先将他们分解因数或因式然后把能开得尽方的因数或因式开出来同类二算二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样先乘方再乘除最后加减有括号的先算括号里的或先去括号分数与二次根式相乘结果中分数要写成假分数比如填空填空填空计算填空填空计算并且由被开方数分母解之得并且已知求的值