6.5最简三角方程_中学教育-中考.pdf

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1、精品资料 欢迎下载 6.5 最简三角方程 形如 sinx=a,cosx=a,tanx=a 和 cotx=a 的三角方程，称为 最简三角方程 形如 sin（x）=a,cos（x）=a,tan（x）=a（0）的方程求解集 sinx=a 的解集 1）1 a 时，解集是 2）sinx=1 的解集是2,2x x k k Z 3）sinx=1 的解集是2,2x x k k Z 4）1 a 的解集为 2 arcsin,2 1 arcsin,x x k a k Z x x k a k Z 或者（1）当1 a时：解集是 无解（2）当1 a时：解集是 Z k a k x x,arcsin 2|（3）当1 a时：解

2、集是 Z k a k x x Z k a k x x,arcsin 2|,arcsin 2|解题的一般步骤：当1 a时求出方程a x sin在区间2,2 上有一个解1x a arcsin，在23,2 上有另一个解a x arcsin2 即 a x sin的解集为：,arcsin 2/z k a k x x 或 arcsin)1 2(/a k x x 例 1 求方程1sin2x 的解集 cosx=a 的解集 1）1 a 时，解集是 2）cosx=1 的解集为 2,x x k k Z 3）cosx=1 的解集为 2 1,x x k k Z 4）1 a 的解集为 2 arccos,x x k a k

3、 Z 或者 精品资料 欢迎下载(1)当 1 a时：解集是无解(2)当1 a时：解集是 Z k k x x,2|(3)当1 a时：解集是 Z k k x x,)1 2(|解题的一般步骤：当1 a时求出方程a x cos在区间,0 上有一个解1x a arccos，在 0,上有另一个解a x arccos2，即 a x cos的解集为：,arccos 2/z k a k x x 例 2 求方程1cos2x 的解集 a x tan的解集 对于任意给定的 a，a x tan在区间)2,2(内有唯一解：a x arctan 由于x y tan 的周期是，所以 方程a x tan的解集为：,arctan/

4、z k a k x x a x cot的解集 对于任意给定的 a，a x cot在区间),0(内有唯一解：a arc x cot 由于x y cot 的周期是，所以 cotx=a 的解集为 arccot,x x k a k Z 例 3 求方程3tan3x 的解集 例 4 求适合方程cot 1,360 360 x x 且的解 例 5 求下列方程的解：1 2cos3 1 0 x 2 tan 24x 3 2sin 3 26x 注：把 x 看成一个角，代相应的解集公式 的解集是的解集为或者当时解集是无解时解集是时解集是当当解题的一般步骤当时求出方程在区间上有一个解在上有另一个解即的解集为或例求方程的解

5、集的解集时解集是的解集为的解集为的解集为或者精品资料欢迎下载当时解集 程的解集的解集对于任意给定的在区间内有唯一解由于的周期是所以方程的解集为的解集对于任意给定的在区间内有唯一解的周期是所以的解集为由于例求方程的解集例求适合方程且的解例求下列方程的解注把看成一个角代相应的 载解方程解下列三角方程解方程解方程精品资料欢迎下载试判断关于的方程是否有实数解并说明理由家庭作业方程的解集是方程的解集是的解集是方程的解集是方程的解集是解方程方程在上的解是方程在在上的解是方程内解的个数精品资料 欢迎下载 例 6 解方程（1）sin 3 cos 1 x x（2）sin 2sin 60 x x【当堂训练】1 求

6、下列方程的解集（1）cos 2 06x（2）tan(50)1 x（3）32 sin 34 2x（4）3sin 2 14x（5）2 cos 3 1,0,2 6x x 2 解下列三角方程（1）1cos cos 03 3 2x x（2）cos sin 1 x x 3 解下列三角方程（1）22sin 5cos 1 0 x x（2）3sin cos 1 02xx 的解集是的解集为或者当时解集是无解时解集是时解集是当当解题的一般步骤当时求出方程在区间上有一个解在上有另一个解即的解集为或例求方程的解集的解集时解集是的解集为的解集为的解集为或者精品资料欢迎下载当时解集 程的解集的解集对于任意给定的在区间内有唯

7、一解由于的周期是所以方程的解集为的解集对于任意给定的在区间内有唯一解的周期是所以的解集为由于例求方程的解集例求适合方程且的解例求下列方程的解注把看成一个角代相应的 载解方程解下列三角方程解方程解方程精品资料欢迎下载试判断关于的方程是否有实数解并说明理由家庭作业方程的解集是方程的解集是的解集是方程的解集是方程的解集是解方程方程在上的解是方程在在上的解是方程内解的个数精品资料 欢迎下载 4 解方程：sin cos sin cos 1 0 x x x x 5 解下列三角方程（1）3sin 2cos 0 x x（2）2 22sin 3sin cos 2cos 0 x x x x（3）26sin 4si

8、n 2 1 x x 6、解方程（1）21(sin cos)2x x（2）5cos cos 2 sin 0,0,2 x x x x（3）2 23sin 4sin cos 5cos 2 x x x x 7解方程：tan tan 2cot.4 4x x x 的解集是的解集为或者当时解集是无解时解集是时解集是当当解题的一般步骤当时求出方程在区间上有一个解在上有另一个解即的解集为或例求方程的解集的解集时解集是的解集为的解集为的解集为或者精品资料欢迎下载当时解集 程的解集的解集对于任意给定的在区间内有唯一解由于的周期是所以方程的解集为的解集对于任意给定的在区间内有唯一解的周期是所以的解集为由于例求方程的解

9、集例求适合方程且的解例求下列方程的解注把看成一个角代相应的 载解方程解下列三角方程解方程解方程精品资料欢迎下载试判断关于的方程是否有实数解并说明理由家庭作业方程的解集是方程的解集是的解集是方程的解集是方程的解集是解方程方程在上的解是方程在在上的解是方程内解的个数精品资料 欢迎下载 8试判断关于 x的方程 2sin cos 0 x x m 是否有实数解，并说明理由。【家庭作业】1（1）方程2cos 3 03x 的解集是 _（2）方程2tan 2 1 0 x 的解集是 _（3）2 sin 3 1,0,6x x 的解集是 _ 2方程3 sin cos 0 x 的解集是（）A|,x x k k Z B

10、|2,6x x k k Z C|,6x x k k Z D|,6x x k k Z 3方程24cos 4 3 cos 3 0 x x 的解集是（）A|(1),6kx x k k Z B|(1),3kx x k k Z C|2,6x x k k Z D|2,3x x k k Z 4 解方程：3 sin 2 cos 2 1 x x 5（1）方程2sin3 2x 在0,上的解是x _（2）方程1sin2 3x在,2 上的解是x _（3）方程1sin 22x 在 2,2 内解的个数是 _（4）方程sin 2 sin7x的解集是 _ 的解集是的解集为或者当时解集是无解时解集是时解集是当当解题的一般步骤当

11、时求出方程在区间上有一个解在上有另一个解即的解集为或例求方程的解集的解集时解集是的解集为的解集为的解集为或者精品资料欢迎下载当时解集 程的解集的解集对于任意给定的在区间内有唯一解由于的周期是所以方程的解集为的解集对于任意给定的在区间内有唯一解的周期是所以的解集为由于例求方程的解集例求适合方程且的解例求下列方程的解注把看成一个角代相应的 载解方程解下列三角方程解方程解方程精品资料欢迎下载试判断关于的方程是否有实数解并说明理由家庭作业方程的解集是方程的解集是的解集是方程的解集是方程的解集是解方程方程在上的解是方程在在上的解是方程内解的个数精品资料 欢迎下载 6方程 21sin2x 的解集是（）A|

12、,4x x k k Z B|,4x x k k Z C|2,4x x k k Z D|,4x x k k Z 7方程21 cos cos x x 的解集是（）A|,4x x k k Z B|,4x x k k Z C|,4x x k k Z D|2,4x x k k Z 8方程cos3 cos2 x x 的解集是（）A|2,x x k k Z B 2|,5kx x k Z C2|2,5kx x k x k Z 或 D(2 1)|2,5kx x k x k Z 或 9设全集U为R，()sin f x x，()cos g x x，|()0 M x f x，|()0 N x g x 那么集合|()(

13、)0 x f x g x 等于（）AU UM N 痧 B UM N C UM N D U UM N 痧 10 方程2 2sin sin 2 0 a x a x 有非空解集的条件是（）A|1 a B|1 a C|2 a D a R 11方程sin cos x x k，在0,上有 2 个解，则k的取值范围是（）A 2 2 k B 1 2 k C 0 2 k D 1 2 k 12方程2sin 2 3 x x 的解有（）A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个【能力训练】1.求23sin x的解集 2（1）求2cos2x 的解集（2）求31cos x的解集 的解集是的解集为或者当时解集是无解时解

14、集是时解集是当当解题的一般步骤当时求出方程在区间上有一个解在上有另一个解即的解集为或例求方程的解集的解集时解集是的解集为的解集为的解集为或者精品资料欢迎下载当时解集 程的解集的解集对于任意给定的在区间内有唯一解由于的周期是所以方程的解集为的解集对于任意给定的在区间内有唯一解的周期是所以的解集为由于例求方程的解集例求适合方程且的解例求下列方程的解注把看成一个角代相应的 载解方程解下列三角方程解方程解方程精品资料欢迎下载试判断关于的方程是否有实数解并说明理由家庭作业方程的解集是方程的解集是的解集是方程的解集是方程的解集是解方程方程在上的解是方程在在上的解是方程内解的个数精品资料 欢迎下载 3解下列

15、方程：（1）3 tan x（2）3 cot x 4求下列方程的解：（1）cot 3 3 0 x（2）3)42 tan(x（3）1 cos 3 sin x x 5写出下列方程的解集：（1）1 sin 2 x（2）0 cos x（3）21sin x（4）0 5 cos 3 x 6.求适合方程22sin x，在 2 2 x的解集 7.求适合方程22cos x，在 3 3 x的解集 8.写出下列方程的解集（1）3 tan x（2）33cot x 的解集是的解集为或者当时解集是无解时解集是时解集是当当解题的一般步骤当时求出方程在区间上有一个解在上有另一个解即的解集为或例求方程的解集的解集时解集是的解集为

16、的解集为的解集为或者精品资料欢迎下载当时解集 程的解集的解集对于任意给定的在区间内有唯一解由于的周期是所以方程的解集为的解集对于任意给定的在区间内有唯一解的周期是所以的解集为由于例求方程的解集例求适合方程且的解例求下列方程的解注把看成一个角代相应的 载解方程解下列三角方程解方程解方程精品资料欢迎下载试判断关于的方程是否有实数解并说明理由家庭作业方程的解集是方程的解集是的解集是方程的解集是方程的解集是解方程方程在上的解是方程在在上的解是方程内解的个数精品资料 欢迎下载 9.解下列方程：（1）3sin 2 x；（2）cos 1 x；（3）2tan 22x 10求下列方程的解集：（1）x 3sin

17、2；（2）x cos 1；（3）x 2tan 2 2（4）x24sin 6 23（5）x1cos 23 2（6）x 3 cot 16 11根据下列条件，求下列方程的解集：（1）x 5cos 44，x 0,2（2）x32 sin 2 14，x,（3）x 2tan 2 16，x5,6 3 3 6 的解集是的解集为或者当时解集是无解时解集是时解集是当当解题的一般步骤当时求出方程在区间上有一个解在上有另一个解即的解集为或例求方程的解集的解集时解集是的解集为的解集为的解集为或者精品资料欢迎下载当时解集 程的解集的解集对于任意给定的在区间内有唯一解由于的周期是所以方程的解集为的解集对于任意给定的在区间内有

18、唯一解的周期是所以的解集为由于例求方程的解集例求适合方程且的解例求下列方程的解注把看成一个角代相应的 载解方程解下列三角方程解方程解方程精品资料欢迎下载试判断关于的方程是否有实数解并说明理由家庭作业方程的解集是方程的解集是的解集是方程的解集是方程的解集是解方程方程在上的解是方程在在上的解是方程内解的个数精品资料 欢迎下载 参考答案：1.解：（1）原方程即 cos 2 0.6x 所以26 2x k，得()2 3kx k Z 所以方程的解集为|,.2 3kx x k Z（2）由方程得50 180 45.x k 所以180 5()x k k Z 所以方程的解集为|180 5,x x k k Z（3）

19、原方程即3sin 3 142 2x 所以方程的解集为.（4）原方程可化为1sin 2.4 3x 所以12(1)arcsin()4 3kx k k Z 即(1)1arcsin,.2 2 3 8kkx k Z 所以原方程得解集为(1)1|arcsin,.2 2 3 8kkx x k Z（5）原方程可化为2cos 3.6 2x 所以3 2,.6 4x k k Z 当k Z时，0 x，不合题意.取0 k 时，.36x 取1 k 时，1936x 或25.36x 取2 k 时，4336x 或49.36x 取3 k 时，67.36x 当3 k 时，2 x，不合题意.2.解：（1）由积化和差公式将原方程化为1

20、 2 1cos cos 2 02 3 2x，即1cos 2.2x 所以22 23x k，即,.3x k k Z 的解集是的解集为或者当时解集是无解时解集是时解集是当当解题的一般步骤当时求出方程在区间上有一个解在上有另一个解即的解集为或例求方程的解集的解集时解集是的解集为的解集为的解集为或者精品资料欢迎下载当时解集 程的解集的解集对于任意给定的在区间内有唯一解由于的周期是所以方程的解集为的解集对于任意给定的在区间内有唯一解的周期是所以的解集为由于例求方程的解集例求适合方程且的解例求下列方程的解注把看成一个角代相应的 载解方程解下列三角方程解方程解方程精品资料欢迎下载试判断关于的方程是否有实数解并

21、说明理由家庭作业方程的解集是方程的解集是的解集是方程的解集是方程的解集是解方程方程在上的解是方程在在上的解是方程内解的个数精品资料 欢迎下载 因此原方程的解集为|,.3x x k k Z（2）原方程可化为2 22 sin cos 12 2x x，即2sin cos cos sin4 4 2x x，2sin.4 2x 所以，(1),.4 4kx k k Z 因此原方程的解集为|(1),.4 4kx x k k Z 3.解：（1）原方程可化为22(1 cos)5cos 1 0.x 整理，得22cos 5cos 3 0.x x 解得1cos cos 3().2x x 或 无解 因此原方程得解集为|2

22、,.3x x k k Z（2）原方程可化为23sin 1 2sin 1 0.2 2x x 整理，得22sin 3sin 2 0.2 2x x 解得1sin sin 2().2 2 2x x 或 无解 因此原方程得解集为|2(1),.3kx x k k Z 4.解：把原方程左边分解因式，得(sin 1)(cos 1)0 x x 所以sin 1 cos 1.x x 或 由sin 1 x，得32,.2x k k Z 由cos 1 x，得2,.x k k Z 所以原方程的解集为3|2 2,.2x x k x k k Z 或 5.解：（1）因为使cos 0 x 的x值不是方程的解，所以将方程两边同除以c

23、os x，得3tan 2 0 x，即2tan.3x 所以2arctan,.3x k k Z 所以原方程的解集为2|arctan,.3x x k k Z（2）因为使cos 0 x 的x值不是方程的解，所以将方程两边同除以2cos x，的解集是的解集为或者当时解集是无解时解集是时解集是当当解题的一般步骤当时求出方程在区间上有一个解在上有另一个解即的解集为或例求方程的解集的解集时解集是的解集为的解集为的解集为或者精品资料欢迎下载当时解集 程的解集的解集对于任意给定的在区间内有唯一解由于的周期是所以方程的解集为的解集对于任意给定的在区间内有唯一解的周期是所以的解集为由于例求方程的解集例求适合方程且的解

24、例求下列方程的解注把看成一个角代相应的 载解方程解下列三角方程解方程解方程精品资料欢迎下载试判断关于的方程是否有实数解并说明理由家庭作业方程的解集是方程的解集是的解集是方程的解集是方程的解集是解方程方程在上的解是方程在在上的解是方程内解的个数精品资料 欢迎下载 得 22 tan 3tan 2 0 x x，解得1tan2x 或tan 2.x 所以原方程的解集为1|arctan arctan 2,.2x x k x k k Z 或（3）原方程可化为2 2 26sin 4sin 2(sin cos).x x x x 即2 27sin 8sin cos cos 0.x x x x 将方程两边同除以2c

25、os x，得27 tan 8tan 1 0 x x，解得1tan 1 tan.7x x 或 所以原方程的解集为1|arctan,4 7x x k x k k Z 或 6.解：（1）|(1)(1),6 4 6 4k kx x k x k k Z 或（2）由原方程可得，5cos cos 2 sin x x x 显然sin 0,2 x x，则25cos cos 2 sin.x x x 2 2 25cos 2cos 1 1 cos,3cos 5cos 2 0.x x x x x 1cos cos 23x x 或（舍去）由1cos3x，得12 arccos,.3x k k Z 又,2 x，故12 arc

26、cos.3x（3）|arctan 3,4x x k x k k Z 或 7.解：原方程可以化为 21 tan tan 1 2 4 tan 2,1 tan 1 tan tan 1 tan tanx x xx x x x x 21 3tan,tan.3 3x x 所以,.6x k k Z 经检验，()2x k k Z 也是原方程的解.所以原方程的解集是|,.6 2x x k x k k Z 或 的解集是的解集为或者当时解集是无解时解集是时解集是当当解题的一般步骤当时求出方程在区间上有一个解在上有另一个解即的解集为或例求方程的解集的解集时解集是的解集为的解集为的解集为或者精品资料欢迎下载当时解集 程

27、的解集的解集对于任意给定的在区间内有唯一解由于的周期是所以方程的解集为的解集对于任意给定的在区间内有唯一解的周期是所以的解集为由于例求方程的解集例求适合方程且的解例求下列方程的解注把看成一个角代相应的 载解方程解下列三角方程解方程解方程精品资料欢迎下载试判断关于的方程是否有实数解并说明理由家庭作业方程的解集是方程的解集是的解集是方程的解集是方程的解集是解方程方程在上的解是方程在在上的解是方程内解的个数精品资料 欢迎下载 8.解：当 5,14m 时方程有实数解，否则方程无实数解.提示：函数221 5()sin cos cos2 4f x x x x 的值【家庭作业】1（1）7|2 2,2 6x

28、x k x k k Z 或（2）1 1 1|arctan,2 2 2x x k k Z（3）7 25 31,36 36 36 36 2 C 3 C 41|(1),2 12 12kx x k k Z 5（1）712（2）12 2arcsin3（3）8 个（4）1|(1),2 14kx x k k Z 6 D 7 D 8 C 9 D 10 B 11 D 12 C 域是5,1.4 的解集是的解集为或者当时解集是无解时解集是时解集是当当解题的一般步骤当时求出方程在区间上有一个解在上有另一个解即的解集为或例求方程的解集的解集时解集是的解集为的解集为的解集为或者精品资料欢迎下载当时解集 程的解集的解集对于任意给定的在区间内有唯一解由于的周期是所以方程的解集为的解集对于任意给定的在区间内有唯一解的周期是所以的解集为由于例求方程的解集例求适合方程且的解例求下列方程的解注把看成一个角代相应的 载解方程解下列三角方程解方程解方程精品资料欢迎下载试判断关于的方程是否有实数解并说明理由家庭作业方程的解集是方程的解集是的解集是方程的解集是方程的解集是解方程方程在上的解是方程在在上的解是方程内解的个数