常用微分公式_高等教育-微积分.pdf

《常用微分公式_高等教育-微积分.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《常用微分公式_高等教育-微积分.pdf（10页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 1-3 微分公式(甲)基本函数的微分公式(1)dxndx=nxn 1，n N。(2)dxdxnxnNnn111,。(3)dcdx=0，其中 c 为常数。(4)(sinx)/=cosx (5)(cos x)/=sinx 另一种表示：(xn)/=nxn 1 /)(nx=1n11nx (c)/=0 证明：(2)设 a 为 f(x)=nx定义域中的任意点，则 f/(a)=axlimf(x)f(a)x a =axlimaxaxnn=axlim)(.)()(121nnnnnnnnnnnaaxxaxax =1)(1nnan=1n(nna1)=1n(11na)(4)设 a 为任意实数，f(x)=sinx f

2、(x)f(a)x a=sinx sinax a=axaxax2cos2sin2 计算 f/(a)=axlimf(x)f(a)x a=axlim(axaxax2cos2sin2)=cosa。(1)(3)(5)自证 (乙)导数的四则运算(1)f(x)与 g(x)为可微分的函数。f(x)+g(x)为可微分的函数。且ddx(f(x)+g(x)=ddx(f(x)+ddx(g(x)成立。另一种表示：(f(x)+g(x)/=f/(x)+g/(x)证明：令 h(x)=f(x)+g(x)，设 a 为 h(x)定义域中的任一点 h/(a)=axlim h(x)h(a)x a=axlimaxagafxgxf)()(

3、)()(=axlim(f(x)f(a)x a+g(x)g(a)x a)=axlim(f(x)f(a)x a)+axlim(g(x)g(a)x a)=f/(a)+g/(a)例：求)(35xxdxd？推论：dxd(f1(x)+f2(x)+.+fn(x)=dxxdfdxxdfdxxdfn)()()(21 欢迎下载 2 (2)设 f(x)为可微分的函数。cf(x)为可微分的函数。且ddx(cf(x)=cdf(x)dx，特别 c=1 时，ddx(f(x)=df(x)dx。(3)ddxf xg xdf xdxdg xdx()()()()，另一种表示：(f(x)g(x)/=f/(x)g/(x)(4)ddx(

4、c1f1(x)+c2f2(x)+.+cnfn(x)=c1ddx(f1(x)+c2ddx(f2(x)+.+cnddx(fn(x)例如：(1)ddx(anxn+an 1xn 1+.+a1x+a0)(2)(3x5 2x3+45x)/=？(5)f(x)，g(x)为可微分的函数。f(x)g(x)为可微分的函数。且 ddx(f(x)g(x)=ddx(f(x)g(x)+f(x)ddx(g(x)另一种表示：(f(x)g(x)/=f/(x)g(x)+f(x)g/(x)证明：例如：试求ddxxxxx()()?223 321 下面我们要推导例 2 的一般情形：(a)ddxfxfxfx()()()123=dfxdxf

5、 xfxfxdfxdxfxfx fxdfxdx123123123()()()()()()()()()(b)ddxf ffdfdxfff fdfdxnnn()121212 (逐次轮流微分)(c)如果ffffn12，则可得ddxf xn f xdf xdxnn()()()1 例如：试求()xx2523的导数。数的四则运算与为可微分的函数为可微分的函数成立另一种表示证明令设为定义域中的任一点且例求推论欢迎下载设为可微分的函数为可微分的函数特别时另一种表示且例如为可微分的函数为可微分的函数另一种表示证明且例如试例如试求的导函数例如求例如设为负有理数证明结论若设为有理数则例題求下列各函数的导函数欢迎下载

6、例題请利用的结果证明練習试求下列的导函数練習求下列各函数的导函数練習证明丙连锁法则合成函数设则所以为的函数欢迎都是可微分的函数则合成函数而且或亦可微分例題求一般情形可微分求欢迎下载例題求的导函数例題求下列函数的导函数練習设为正整数而为可微分的函数试用连锁律去计算的导函数練習求練習練習求下列各小题欢迎下载練習计算 欢迎下载 3 例題1 证明dxdxrxrQrr1,。(6)若 f(x)，g(x)在 x=a 可微分，且g a()0，则ddxf xg xfa g af a gag ax a()()|()()()()()/2。因此可得：()()()()()()()/f xg xfx g xf x gxg

7、 x2 若 f(x)=1，则(1g(x)/=)()(1/2xgxg 例如：试求xxx2211 的导函数。例如：求(1x2+x+1)/=？例如：设r为负有理数，证明dxdxrxrr 1。结论：若设 r 为有理数，则dxdxrxrr 1。例題2 求下列各函数的导函数：(1)(x2+2x)(x2+3x+2)(2)(x 2)3(x2 1)(3)(x2+x+1)(4x3+x 4)(x+3)(3)3x3+2x+1 (4)(x+1)2(x 1)3 Ans：(1)4x3+15x2+16x+4(2)(x 2)2(5x2 4x 3)(3)(2x+1)(4x3+x 4)(x+3)+(x2+x+1)(12x2+1)(

8、x+3)+(x2+x+1)(4x3+x 4)(4)3(3x2+2)(x3+2x+1)2(5)(x+1)(x+5)(x 1)4 数的四则运算与为可微分的函数为可微分的函数成立另一种表示证明令设为定义域中的任一点且例求推论欢迎下载设为可微分的函数为可微分的函数特别时另一种表示且例如为可微分的函数为可微分的函数另一种表示证明且例如试例如试求的导函数例如求例如设为负有理数证明结论若设为有理数则例題求下列各函数的导函数欢迎下载例題请利用的结果证明練習试求下列的导函数練習求下列各函数的导函数練習证明丙连锁法则合成函数设则所以为的函数欢迎都是可微分的函数则合成函数而且或亦可微分例題求一般情形可微分求欢迎下载

9、例題求的导函数例題求下列函数的导函数練習设为正整数而为可微分的函数试用连锁律去计算的导函数練習求練習練習求下列各小题欢迎下载練習计算 欢迎下载 4 例題3 请利用(sinx)/=cosx，(cosx)/=sinx 的结果证明：(tanx)/=sec2x，(secx)/=secx tanx (練習1.)试求下列的导函数：(1)x3 6x2+7x 11 (2)(x3+3x)2(2x+1)(3)(x+1)(2x2+2)(3x2+x+1)(4)(2x3+x+1)5 Ans：(1)3x2 12x+7 (2)2(x3+3x)(3x2+3)(2x+1)+2(x3+3x)(3)(2x2+2)(3x2+x+1)

10、+(x+1)(4x)(3x2+x+1)+(x+1)(2x2+2)(6x+1)(4)5(2x3+x+1)4(6x2+1)(練習2.)求下列各函数的导函数。(1)f(x)=x3+x+12x2+x+3 (2)f(x)=3xx2+3x+1 (3)f(x)=14x3+3x2+2x+1 (4)f(x)=1x3+2x+1 Ans：(1)2x4+2x3+7x2 4x+2(2x2+x+3)2(2)3x2+3(x2+3x+1)2 (3)1(4x3+3x2+2x+1)2(12x2+6x+2)(4)3x2 2(x3+2x+1)2(練習3.)证明ddxxx(cot)csc2，ddxxxx(csc)csc cot (丙)

11、连锁法则(1)合成函数：(a)设f xxxg yy(),()231，则g f xxx()231。xxxxxfg 22311，()()gfxxx 231 所以()()gfx为 x 的函数。(b)gffg 数的四则运算与为可微分的函数为可微分的函数成立另一种表示证明令设为定义域中的任一点且例求推论欢迎下载设为可微分的函数为可微分的函数特别时另一种表示且例如为可微分的函数为可微分的函数另一种表示证明且例如试例如试求的导函数例如求例如设为负有理数证明结论若设为有理数则例題求下列各函数的导函数欢迎下载例題请利用的结果证明練習试求下列的导函数練習求下列各函数的导函数練習证明丙连锁法则合成函数设则所以为的函

12、数欢迎都是可微分的函数则合成函数而且或亦可微分例題求一般情形可微分求欢迎下载例題求的导函数例題求下列函数的导函数練習设为正整数而为可微分的函数试用连锁律去计算的导函数練習求練習練習求下列各小题欢迎下载練習计算 欢迎下载 5 (2)连锁法则：既然()()gfx为 x 的函数，我们就可以讨论ddxgfx()()?例：设f xxg xy(),()232，则()()()()gfxg f xx232 利用ddxf xn f xdf xdxnn()()()1，可得 ddxxxx()()2322322=ddyg ydf xdxy x()|()22 上式并不是巧合，一般的情形亦是如此。定理：(连锁法则 Cha

13、in Rule)若 f(x),g(y)都是可微分的函数，则合成函数()()gfx亦可微分，而且ddxgfxdg ydydf xdxgfxgf xfxyfx()()()|()()()()()()/或。例題4 求/32)1(xx？一般情形：nN，f(x)可微分，求/)(nxf=?数的四则运算与为可微分的函数为可微分的函数成立另一种表示证明令设为定义域中的任一点且例求推论欢迎下载设为可微分的函数为可微分的函数特别时另一种表示且例如为可微分的函数为可微分的函数另一种表示证明且例如试例如试求的导函数例如求例如设为负有理数证明结论若设为有理数则例題求下列各函数的导函数欢迎下载例題请利用的结果证明練習试求下

14、列的导函数練習求下列各函数的导函数練習证明丙连锁法则合成函数设则所以为的函数欢迎都是可微分的函数则合成函数而且或亦可微分例題求一般情形可微分求欢迎下载例題求的导函数例題求下列函数的导函数練習设为正整数而为可微分的函数试用连锁律去计算的导函数練習求練習練習求下列各小题欢迎下载練習计算 欢迎下载 6 例題5 求 f(x)=sin2x 的导函数。Ans：2sinx cosx 例題6 求下列函数的导函数：(1)f xx()tan3(2)xxf5csc)(3)f xx()tan12 Ans：(1)3tan2x sec2x(2)5csc5x cot5x(3)22211secxxx (練習4.)设 n 为正

15、整数而f(x)为可微分的函数，试用连锁律去计算(f(x)n的导函数。Ans：n(f(x)n 1 f/(x)(練習5.)求ddx(524)53(xxx=？Ans：15 54)53(24xxx (4x3+6x 1)(練習6.)()?/xx2231 Ans：3213)12(2xxx(練習7.)求下列各小题 y/(1)yxx sin (2)yxcos3 (3)yx521cos()(4)yxxsin cos4 (5)yx12sin Ans：(1)sincosxxx (2)32cossinxx (3)1021sin()x (4)cos cossin sinxxxx444 (5)sincossinxxx12

16、 数的四则运算与为可微分的函数为可微分的函数成立另一种表示证明令设为定义域中的任一点且例求推论欢迎下载设为可微分的函数为可微分的函数特别时另一种表示且例如为可微分的函数为可微分的函数另一种表示证明且例如试例如试求的导函数例如求例如设为负有理数证明结论若设为有理数则例題求下列各函数的导函数欢迎下载例題请利用的结果证明練習试求下列的导函数練習求下列各函数的导函数練習证明丙连锁法则合成函数设则所以为的函数欢迎都是可微分的函数则合成函数而且或亦可微分例題求一般情形可微分求欢迎下载例題求的导函数例題求下列函数的导函数練習设为正整数而为可微分的函数试用连锁律去计算的导函数練習求練習練習求下列各小题欢迎下载

17、練習计算 欢迎下载 7(練習8.)计算下列各小题：(1)(x2x 1)/=？Ans：3x 12x 1(2)ddx(2x+13x 5)=？Ans：6x 2323x 5(3x 5)(3)求 f(x)=x2+13x+1的导函数。Ans：f/(x)=x 3(3x+1)2x2+1(練習9.)设可微函数 f(x)满足 f(x 1x+1)=x，则 f/(0)=？Ans：2 例題7 试求/41xx？(練習10.)试求413 xx的导函数。Ans：453)13(41xx(練習11.)求 f(x)=122 xx的导函数。Ans：f/(x)=112212222xxxxx (練習12.)f xxx()2134，求 f

18、/(3)=？322274(練習13.)设 y=(x+1+x2)10，试求dydx=？Ans：101+x2(x+1+x2)10 例題8 求斜率为 2，而与曲线 y=f(x)=13x312x2+13 相切之直线方程式。Ans：4x 2y+3=0，2x y 3=0(練習14.)求过曲线 y=f(x)=13x3+x2 2 的点，而斜率最小的切线方程式。数的四则运算与为可微分的函数为可微分的函数成立另一种表示证明令设为定义域中的任一点且例求推论欢迎下载设为可微分的函数为可微分的函数特别时另一种表示且例如为可微分的函数为可微分的函数另一种表示证明且例如试例如试求的导函数例如求例如设为负有理数证明结论若设为

19、有理数则例題求下列各函数的导函数欢迎下载例題请利用的结果证明練習试求下列的导函数練習求下列各函数的导函数練習证明丙连锁法则合成函数设则所以为的函数欢迎都是可微分的函数则合成函数而且或亦可微分例題求一般情形可微分求欢迎下载例題求的导函数例題求下列函数的导函数練習设为正整数而为可微分的函数试用连锁律去计算的导函数練習求練習練習求下列各小题欢迎下载練習计算 欢迎下载 8 Ans：y+43=(1)(x+1)(練習15.)求通过 y=x3 3x2 4x 1 上 x=1 处之切线与法线方程式。Ans：7x+y=0，x 7y 50=0(練習16.)函数 f(x)=x2 1x2+x+1的图形上以(0,1)为切

20、点的切线斜率为 。Ans：1 例題9 设拋物线 y=ax2+bx+c 与直线 7x y 8=0 相切于点(2,6)，而与直线 x y+1=0 相切，求 a,b,c 之值。Ans：a=3,b=5,c=4 (85 日大 自然)例題10 直角坐标上，给定一曲线：y=x3 3x2，自点 P(2,5)向 所作的切线方程式。Ans：3x+y 1=0，15x 4y 50=0 (練習17.)过原点且与曲线 y=x3 3x2 1 相切之直线方程式。Ans：y=3x，y=154x。(練習18.)设拋物线 y=ax2+bx+c 过点(1,1)，且与直线 x y=3 相切于(2,1)。求 a,b,c 之值 Ans：a

21、=3，b=11，c=9 例題11 设 a,b,c 为实数，已知二曲线 y=x2+ax+b 与 y=x3+c 在点 A(1,2)处相切，L 为两曲线在数的四则运算与为可微分的函数为可微分的函数成立另一种表示证明令设为定义域中的任一点且例求推论欢迎下载设为可微分的函数为可微分的函数特别时另一种表示且例如为可微分的函数为可微分的函数另一种表示证明且例如试例如试求的导函数例如求例如设为负有理数证明结论若设为有理数则例題求下列各函数的导函数欢迎下载例題请利用的结果证明練習试求下列的导函数練習求下列各函数的导函数練習证明丙连锁法则合成函数设则所以为的函数欢迎都是可微分的函数则合成函数而且或亦可微分例題求一

22、般情形可微分求欢迎下载例題求的导函数例題求下列函数的导函数練習设为正整数而为可微分的函数试用连锁律去计算的导函数練習求練習練習求下列各小题欢迎下载練習计算 欢迎下载 9 A 点的公切线，试求(1)a,b,c(2)求 L 的方程式。Ans：(1)a=5，b=2，c=1(2)3x+y 1=0 (練習19.)拋物线：y=p(x)的对称轴平行于 y 轴，且 与 x 轴交于点(2,0)，并在 x=1 时与函数 y=x4+1的图形相切，试求 p(x)=？Ans：p(x)=6x2+16x 8(練習20.)求 y=x3 3x，y=x3 3x+32 两曲线的公切线方程式。Ans：9x y+16=0 综合练习 1

23、.(1)321453xxy，求dydx=?(2)f xxx()11，求 f/(12)=？(3)f(x)=x3(x3+5x)10，求 f/(x)Ans：(1)dydxxxxx3 3512403412224(2)4 39(3)xxxx395353365 2.求下列各函数的导函数：(1)f xx()()2531(2)f xxx()()22521(3)f xxx()()()211425 Ans：(1)fxxx()()1013223(2)fxx xx()()()10212426 (3)fxxxxx()()(8)()21101213226 3.试求下列个函数的导函数：(1)f xx()sin 数的四则运算

24、与为可微分的函数为可微分的函数成立另一种表示证明令设为定义域中的任一点且例求推论欢迎下载设为可微分的函数为可微分的函数特别时另一种表示且例如为可微分的函数为可微分的函数另一种表示证明且例如试例如试求的导函数例如求例如设为负有理数证明结论若设为有理数则例題求下列各函数的导函数欢迎下载例題请利用的结果证明練習试求下列的导函数練習求下列各函数的导函数練習证明丙连锁法则合成函数设则所以为的函数欢迎都是可微分的函数则合成函数而且或亦可微分例題求一般情形可微分求欢迎下载例題求的导函数例題求下列函数的导函数練習设为正整数而为可微分的函数试用连锁律去计算的导函数練習求練習練習求下列各小题欢迎下载練習计算 欢迎

25、下载 10(2)fxxx()cos()22(3)xxf1tan)(4)1sin()(2xxf(5)fxx()sin()23 (6)fxxx()tansec22 (7)xxf2cos1)(8)fxxx()sincos2 Ans：(1)xx2cos(2)xxcos2sin(3)1221xxsec(4)1cos(22xx (5)cos()sin(6332xxx(6)0(7)xx2cos122sin(8)sin secsinxxx2 4.(1)设f xax()21，若 f/(1)=2，则 a=?(2)设f xxx()2135，则 f/(2)=?Ans：(1)2(2)13 510 5.设yu34，uxx

26、22，求dydx=?Ans：62122xxx()()6.求f xx()()221在(1,0)的切线方程式与法线方程式。Ans：y=0,x=1 7.曲线yxxx 231在 x=1 处之切线方程式。Ans：2x+y+3=0 8.设 f(x)=x3+ax2+b，a bR,，若 y=f(x)之图形通过点(1,4)且在此点的斜率为 3，则求 a,b 之值为何?Ans:a=3,b=6 9.若直线 y=x 与曲线 y=x3 3x2+ax 相切，试求 a=?Ans：a=1 或134 10.过点(,)223，且与曲线yxx133相切的直线有几条?其斜率分别为何?Ans：(1)3(2)0，3 2 3 数的四则运算与为可微分的函数为可微分的函数成立另一种表示证明令设为定义域中的任一点且例求推论欢迎下载设为可微分的函数为可微分的函数特别时另一种表示且例如为可微分的函数为可微分的函数另一种表示证明且例如试例如试求的导函数例如求例如设为负有理数证明结论若设为有理数则例題求下列各函数的导函数欢迎下载例題请利用的结果证明練習试求下列的导函数練習求下列各函数的导函数練習证明丙连锁法则合成函数设则所以为的函数欢迎都是可微分的函数则合成函数而且或亦可微分例題求一般情形可微分求欢迎下载例題求的导函数例題求下列函数的导函数練習设为正整数而为可微分的函数试用连锁律去计算的导函数練習求練習練習求下列各小题欢迎下载練習计算