微分方程的积分因子求解法_高等教育-微积分.pdf

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1、-.-.word.zl.常微分方程的积分因子求解法 内容摘要：本文给出了几类特殊形式的积分因子的求解方法，并推广到较一般的形式。关键词：全微分方程，积分因子。一、根本知识 定义 1.1 对于形如 0),(),(dyyxNdxyxM 1.1 的微分方程，如果方程的左端恰是x，y的一个可微函数),(yxU的全微分，即d),(yxU=dyyxNdxyxM),(),(，那么称1.1为全微分方程.易知，上述全微分方程的通解为),(yxU=C,C为任意常数.定理 1.1 全微分方程的判别法设),(yxM，),(yxN在x，y平面上的单连通区域G内具有连续的一阶偏导数，那么1.1是全微分方程的充要条件为 x

2、yxNyyxM),(),(1.2 证明见参考文献1.定义 1.2 对于微分方程1.1，如果存在可微函数),(yx，使得方程),(yx0),(),(),(dyyxNyxdxyxM 1.3 是全微分方程，那么称),(yx为微分方程1.1的积分因子.定理 1.2 可微函数),(yx为微分方程1.1的积分因子的充要条件为-.-.word.zl.xyxyxN),(ln),(-yyxyxM),(ln),(=xyxNyyxM),(),(1.4 证明：由定理 1.1得，),(yx为微分方程1.1的积分因子的充要条件为 xyxNyxyyxMyx),(),(),(),(，展开即得：xyxyxN),(),(-yyx

3、yxM),(),(=),(),(),(yxxyxNyyxM.上式整理即得1.4.证毕 注 1.1 假设),(yx0，那么1.3和1.1同解。所以，欲求1.1的通解，只须求出1.3的通解即可，而1.3是全微分方程，故关键在于求积分因子),(yx。为了求解积分因子),(yx，必须求解方程 1.4。一般来说，偏微分方程 1.4是不易求解的；但是，当),(yx具有某种特殊形式时还是较易求解的。二、特殊形式的积分因子的求法 情况 1 当),(yx具有形式)(x时，方程1.4化为 dxxdyxN)(ln),(=xyxNyyxM),(),(，即 dxxd)(ln=xyxNyyxMyxN),(),(),(1

4、于是得到：定理 2.1 微分方程1.1具有形如)(x的积分因子的充要条件为 xyxNyyxMyxN),(),(),(1 只是x的连续函数,不含y.此时易得,dxxyxNyyxMyxNex),(),(),(1)(.类似地 键词全微分方程积分因子一根本知识定义对于形如的微分方程如果方程的左端恰是的一个可微函数的全微分即那么称为全微分方程易知上述全微分方程的通解为为任意常数定理全微分方程的判别法设在平面上的单连通区域内具有连全微分方程那么称为微分方程的积分因子定理可微函数为微分方程的积分因子的充要条件为证明由定理得为微分方程的积分因子的充要条件为展开即得上式整理即得证毕注假设那么和同解所以欲求的通解

5、只须求出的通解即可而是全种特殊形式时还是较易求解的二特殊形式的积分因子的求法情况当具有形式时方程化为即于是得到定理微分方程具有形如的积分因子的充要条件为只是的连续函数不含此时易得类似地定理微分方程具有形如的积分因子的充要条件为-.-.word.zl.定理 2.2 微分方程1.1具有形如)(y的积分因子的充要条件为 xyxNyyxMyxM),(),(),(1 只是y的连续函数,不含x.并且,dyxyxNyyxMyxMey),(),(),(1)(.例 2.1 求0)()(dydxxqyxp的通解.解:因 xyxNyyxMyxN),(),(),(1=)(xp,故 dxxpex)()(.方程两边同乘以

6、dxxpex)()(得 dxxpe)(0)()()(dyedxxqyxpdxxp,即dxexqyeddsspdxxp)()()(0,故通解为dxexqyedsspdxxp)()()(=C,即dxexqCeydsspdxxp)()()(，C为任意常数.情况 2 如果(1.1)具有形如)(yx 的积分因子,令yxz,那么)(yx =)(z.由(1.4)得 dzzd)(ln=xyxNyyxMyxMyxN),(),(),(),(1,于是得到:定理 2.3 微分方程1.1具有形如)(yx 的积分因子的充要条件为xyxNyyxMyxMyxN),(),(),(),(1 只是yxz的连续函数,此时积分因子为

7、dzxyxNyyxMyxMyxNCeyxz),(),(),(),(1)()(,(C为任意非零常数).例 2.2 求 0)32()32(32233223dyxxxyydxyyyxx 的积分因子.解:因 xyxNyyxMyxMyxN),(),(),(),(1=yx 2 键词全微分方程积分因子一根本知识定义对于形如的微分方程如果方程的左端恰是的一个可微函数的全微分即那么称为全微分方程易知上述全微分方程的通解为为任意常数定理全微分方程的判别法设在平面上的单连通区域内具有连全微分方程那么称为微分方程的积分因子定理可微函数为微分方程的积分因子的充要条件为证明由定理得为微分方程的积分因子的充要条件为展开即得

8、上式整理即得证毕注假设那么和同解所以欲求的通解只须求出的通解即可而是全种特殊形式时还是较易求解的二特殊形式的积分因子的求法情况当具有形式时方程化为即于是得到定理微分方程具有形如的积分因子的充要条件为只是的连续函数不含此时易得类似地定理微分方程具有形如的积分因子的充要条件为-.-.word.zl.故方程具有形如)(yx 的积分因子,取1C得，)(yx)(2yxdyxe=2)(1yx.情况 3 如果(1.1)具有形如)(xy的积分因子,令xyz,那么)(xy=)(z.由(1.4)得 dzzd)(ln=xyxNyyxMyxxMyxyN),(),(),(),(1,于是得到:定理 2.4 微分方程1.1

9、具有形如)(xy的积分因子的充要条件为xyxNyyxMyxxMyxyN),(),(),(),(1只是xyz 的连续函数,此时积分因子为 dzxyxNyyxMyxxMyxyNCexyz),(),(),(),(1)()(,(C为任意非零常数).例 2.3 求0)3(23dyyxxydx的积分因子.解:因 xyxNyyxMyxxMyxyN),(),(),(),(1=xy3，故方程具有形如)(xy的积分因子,取1C得)(xy)(3xydxye=3)(1xy.情况 4 一般地,如果方程(1.1)具有形如)(nmyx的积分因子,令nmyxz,那么)(nmyx)(z.由(1.4)得 dzzd)(ln=xyx

10、NyyxMyxMnyyxNmxnm),(),(),(),(111,于是得到 定理 2.5 微分方程1.1具有形如)(nmyx的积分因子的充要条件为xyxNyyxMyxMnyyxNmxnm),(),(),(),(111只是nmyxz的连续函数,键词全微分方程积分因子一根本知识定义对于形如的微分方程如果方程的左端恰是的一个可微函数的全微分即那么称为全微分方程易知上述全微分方程的通解为为任意常数定理全微分方程的判别法设在平面上的单连通区域内具有连全微分方程那么称为微分方程的积分因子定理可微函数为微分方程的积分因子的充要条件为证明由定理得为微分方程的积分因子的充要条件为展开即得上式整理即得证毕注假设那

11、么和同解所以欲求的通解只须求出的通解即可而是全种特殊形式时还是较易求解的二特殊形式的积分因子的求法情况当具有形式时方程化为即于是得到定理微分方程具有形如的积分因子的充要条件为只是的连续函数不含此时易得类似地定理微分方程具有形如的积分因子的充要条件为-.-.word.zl.此时积分因子为 dzxyxNyyxMyxMnyyxNmxnmnmCeyxz),(),(),(),(111)()(,(C为任意非零常数).类似地,我们有 定理 2.6 微分方程1.1具有形如)(lkyx的积分因子的充要条件为xyxNyyxMyxMylxyxNykxlklk),(),(),(),(111只是lkyxz 的连续函数,

12、此时积分因子为 dzxyxNyyxMyxMylxyxNykxlklklkCeyxz),(),(),(),(111)()(,(C为任意非零常数).例 2.4 求 0)(2223dyxyxdxy的积分因子.解:由 xyxNyyxMyxMylxyxNykxlklk),(),(),(),(111，=)2(24522ylkkxyxxylk,易知,欲使上式仅是lkyxz 的函数,只须22)2(245ylkkxxy等于常数即可.为此,令 42k,52 lk,得 2k,1l.此时 22)2(245ylkkxxy=-1.取1C得yxeyxyxdyx2)(1121)(22.三、一般理论 定理 3.1 如果),(y

13、x是微分方程(1.1)的积分因子,(1.1)乘以),(yx后得到(1.3).设(1.3)的左端为),(yxdU,那么),(),(yxUyx仍是(1.1)的积分因子.其中,)(是任何可微函数.定理 3.2 在(1.1)中,假设),(yxM和),(yxN在长方形区域Q上连续,且),(yxN在Q上处处不为零.对于(1.1)的任何两个在Q上处处连续且恒不为零的键词全微分方程积分因子一根本知识定义对于形如的微分方程如果方程的左端恰是的一个可微函数的全微分即那么称为全微分方程易知上述全微分方程的通解为为任意常数定理全微分方程的判别法设在平面上的单连通区域内具有连全微分方程那么称为微分方程的积分因子定理可微

14、函数为微分方程的积分因子的充要条件为证明由定理得为微分方程的积分因子的充要条件为展开即得上式整理即得证毕注假设那么和同解所以欲求的通解只须求出的通解即可而是全种特殊形式时还是较易求解的二特殊形式的积分因子的求法情况当具有形式时方程化为即于是得到定理微分方程具有形如的积分因子的充要条件为只是的连续函数不含此时易得类似地定理微分方程具有形如的积分因子的充要条件为-.-.word.zl.积分因子),(1yx,),(2yx(从而),(1yx,),(2yx在Q上不变号),设),(),(),(),(11dyyxNdxyxMyxyxdU),(),(),(),(22dyyxNdxyxMyxyxdU.那么在Q内

15、任一点),(yx,可定出一邻域,在此邻域内,),(),(12yxyx只是),(1yxU的函数.上述两定理的证明可参见参考文献3.注 3.1 由定理 3.1和定理 3.2 即知,设),(yx是(1.1)的积分因子,(1.3)的左端为),(yxdU,那么(1.1)的积分因子通式为),(),(yxUyx.其中,)(是任何可微函数.例 3.1 求 0)73()35(223dyxyxdxyxy 的积分因子及通解.解:重新组合:)35(2dyxxydx0)73(23dyxydxy,对于前一个括号内可求得一个积分因子yx211,乘之得dyydxx35 ln35yxd.故前一个括号内可取积分因子通式为yx21

16、)(351yx.同样可得后一个括号内的积分因子通式为31xy)(732yx.下面求出1,2,使得yx21)(351yx=31xy)(732yx.设 ss)(1,ss)(2,即有 yx21)(35yx=31xy)(73yx,于是得 37131325,解得21,21.从而即得原微分方程的一个积分因子为2121yx,用2121yx乘以方程的两边可求得通积分为 Cyxyx27232325,(C为任意常数).键词全微分方程积分因子一根本知识定义对于形如的微分方程如果方程的左端恰是的一个可微函数的全微分即那么称为全微分方程易知上述全微分方程的通解为为任意常数定理全微分方程的判别法设在平面上的单连通区域内具有连全微分方程那么称为微分方程的积分因子定理可微函数为微分方程的积分因子的充要条件为证明由定理得为微分方程的积分因子的充要条件为展开即得上式整理即得证毕注假设那么和同解所以欲求的通解只须求出的通解即可而是全种特殊形式时还是较易求解的二特殊形式的积分因子的求法情况当具有形式时方程化为即于是得到定理微分方程具有形如的积分因子的充要条件为只是的连续函数不含此时易得类似地定理微分方程具有形如的积分因子的充要条件为