等差数列知识点+基础练习题1_中学教育-高考.pdf

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1、名师总结 优秀知识点 等差数列知识点 1.等差数列的定义：daann 1（d为常数）（2n）；2等差数列通项公式：*11(1)()naanddnad nN ，首项:1a，公差:d，末项:na 推广：dmnaamn)(从而mnaadmn；3等差中项（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项即：2baA或baA2（2）等差中项：数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa 4等差数列的前n 项和公式：1()2nnn aaS1(1)2n nnad211()22dnad n2AnBn（其中A、B是常数，所以当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）特别地，当项数为

2、奇数21n时，1na是项数为 2n+1 的等差数列的中间项 12121121212nnnnaaSna（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5等差数列的判定方法 （1）定义法：若daann 1或daann 1(常数Nn)na是等差数列 （2）等差中项：数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa 数列na是等差数列bknan（其中bk,是常数）。（4）数列na是等差数列2nSAnBn,（其中A、B是常数）。6等差数列的证明方法 定义法：若daann 1或daann 1(常数Nn)na是等差数列 7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到 5 个元素：

3、1a、d、n、na及nS，其中1a、d称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2。（2）设项技巧：一般可设通项1(1)naand 奇数个数成等差，可设为，2,2ad ad a ad ad（公差为d）；偶数个数成等差，可设为，3,3ad ad ad ad,（注意；公差为 2d）8.等差数列的性质：名师总结 优秀知识点（1）当公差0d 时，等差数列的通项公式11(1)naanddnad 是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n和211(1)()222nn nddSnadnan是关于n的二次函数且常数项为 0.（2）若公差0d，则为递增等差数列，若

4、公差0d，则为递减等差数列，若公差0d，则为常数列。（3）当mnpq 时,则有qpnmaaaa，特别地，当2mnp 时，则有2mnpaaa.注：12132nnnaaaaaa，（4）若na、nb为等差数列，则 12nnnabab，都为等差数列 (5)若na是等差数列，则232,nnnnnSSSSS，也成等差数列 （6）数列na为等差数列,每隔 k(k*N)项取出一项(23,mm kmkmkaaaa)仍为等差数列 （7）设数列na是等差数列，d 为公差，奇S是奇数项的和，偶S是偶数项项的和，nS是前 n 项的和 1.当项数为偶数n2时，121135212nnnn aaSaaaana 奇 22246

5、212nnnn aaSaaaana 偶 11nnnnSSnanan aa偶奇 11nnnnSnaaSnaa奇偶 2、当项数为奇数12 n时，则 21(21)(1)1nSSSnaSnaSnSSaSnaSnn+1n+1奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶（其中an+1是项数为 2n+1 的等差数列的中间项）（8）、nb的前n和分别为nA、nB，且()nnAf nB，则2121(21)(21)(21)nnnnnnanaAfnbnbB.果成等差数列那么叫做与的等差中项即或等差中项数列是等差数列等差数列的前项和公式其中是常数所以当时特别地当项数为奇数是关于的二次式且常数项为是项数为的等差数列的中间项时项数为奇数

6、的等差数列的各项和等于项数是等差数列数列是等差数列等差数列的证明方法定义法若或常数是等差数列提醒等差数列的通项公式及前和公式中涉及到个元素其中称作为基本元素只要已知这个元素中的任意个便可求出其余个即知求设项技巧一般可设通项奇数个列的通项公式率为公差是关于的一次函数且斜前和是关于的二次函数且常数项为若公差则为递增等差数列若公差则为递减等差数列若公差则为常数列当时则有特别地当时则有注若为等差数列则都为等差数列若是等差数列则也成等差名师总结 优秀知识点（9）等差数列na的前 n 项和mSn，前 m 项和nSm，则前 m+n 项和m nSmn (10)求nS的最值 法一：因等差数列前n项是关于n的二次

7、函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*nN。法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和 即当，001da 由001nnaa可得nS达到最大值时的n值 （2）“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。即 当，001da 由001nnaa可得nS达到最小值时的n值 或求na中正负分界项 法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，nS取最大值（或最小值）。若S p=S q则其对称轴为2pqn 注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转化为关于

8、1a和d的方程；巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量 等差数列基础练习题 一、填空题 1.等差数列 8，5，2，的第 20 项为_.2.在等差数列中已知 a1=12,a6=27,则 d=_ 3.在等差数列中已知13d ，a7=8，则 a1=_ 4.2()ab与2()ab的等差中项是_-5.等差数列-10，-6，-2，2，前_项的和是 54 6.正整数前 n 个数的和是_ 7.数列na的前 n 项和23nSnn，则na_.8.在等差数列中已知 a1=12,a6=27,则 d=_ 9.在等差数列中已知13d ，a7=8，则 a1=_ 果成等差数列那么叫做与的等差中项即或等

9、差中项数列是等差数列等差数列的前项和公式其中是常数所以当时特别地当项数为奇数是关于的二次式且常数项为是项数为的等差数列的中间项时项数为奇数的等差数列的各项和等于项数是等差数列数列是等差数列等差数列的证明方法定义法若或常数是等差数列提醒等差数列的通项公式及前和公式中涉及到个元素其中称作为基本元素只要已知这个元素中的任意个便可求出其余个即知求设项技巧一般可设通项奇数个列的通项公式率为公差是关于的一次函数且斜前和是关于的二次函数且常数项为若公差则为递增等差数列若公差则为递减等差数列若公差则为常数列当时则有特别地当时则有注若为等差数列则都为等差数列若是等差数列则也成等差名师总结 优秀知识点 10.在等

10、差数列an 中，an=m，an+m=0，则 am=_。11 在等差数列an 中，a4+a7+a10+a13=20，则 S16=_。12 在等差数列an 中，a1+a2+a3+a4=68，a6+a7+a8+a9+a10=30，则从 a15 到 a30 的和是 _。13 已知等差数列 110，116，122，则大于 450 而不大于 602的各项之和为 _。14 若是方程的解，则_。15 若公差，且是关于 的方程的两个根，则_。二、选择题 1 若lg 2,lg(21),lg(23)xx成等差数列，则 x 的值等于（）A.0 B.2log 5 C.32 D.0或 32 2、等差数列中连续四项为 a，

11、x，b，2x，那么 a：b 等于（）A、B、C、或 1 D、3.在等差数列na中31140aa，则45678910aaaaaaa的值为（）果成等差数列那么叫做与的等差中项即或等差中项数列是等差数列等差数列的前项和公式其中是常数所以当时特别地当项数为奇数是关于的二次式且常数项为是项数为的等差数列的中间项时项数为奇数的等差数列的各项和等于项数是等差数列数列是等差数列等差数列的证明方法定义法若或常数是等差数列提醒等差数列的通项公式及前和公式中涉及到个元素其中称作为基本元素只要已知这个元素中的任意个便可求出其余个即知求设项技巧一般可设通项奇数个列的通项公式率为公差是关于的一次函数且斜前和是关于的二次函

12、数且常数项为若公差则为递增等差数列若公差则为递减等差数列若公差则为常数列当时则有特别地当时则有注若为等差数列则都为等差数列若是等差数列则也成等差名师总结 优秀知识点 A.84 B.72 C.60 .D.48 4.在等差数列na中，前 15 项的和1590S，8a为（）A.6 B.3 C.12 D.4 5.等差数列na中,12318192024,78aaaaaa,则此数列前20下项的和等于 A.160 B.180 C.200 D.220 6.在等差数列na中,若34567450aaaaa，则28aa的值等于（）A.45 B.75 C.180 D.300 7.设nS是数列na的前 n 项的和，且2

13、nSn，则na是（）A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，且是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 8.数列 3，7，13，21，31，的通项公式是（）A.41nan B.322nannn C.21nann D.不存在 9、设数列an 和bn 都是等差数列，其中 a1=25，b1=75，且a100+b100=100，则数列an+bn 的前 100 项和为（）果成等差数列那么叫做与的等差中项即或等差中项数列是等差数列等差数列的前项和公式其中是常数所以当时特别地当项数为奇数是关于的二次式且常数项为是项数为的等差数列的中间项时项数为奇数的等差数列的各项和等于

14、项数是等差数列数列是等差数列等差数列的证明方法定义法若或常数是等差数列提醒等差数列的通项公式及前和公式中涉及到个元素其中称作为基本元素只要已知这个元素中的任意个便可求出其余个即知求设项技巧一般可设通项奇数个列的通项公式率为公差是关于的一次函数且斜前和是关于的二次函数且常数项为若公差则为递增等差数列若公差则为递减等差数列若公差则为常数列当时则有特别地当时则有注若为等差数列则都为等差数列若是等差数列则也成等差名师总结 优秀知识点 A、0 B、100 C、10000 D、505000 10.等差数列na中,12318192024,78aaaaaa,则此数列前 20下项的和等于 A.160 B.180

15、 C.200 D.220 11 一个项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和与偶数项的和分别是 24 与 30,若此数列的最后一项比第-10 项为 10，则这个数列共有（）A、6 项 B、8 项 C、10 项 D、12 项 三、计算题 1.求集合|21,*60Mm mnnNm，且中元素的个数，并求这些元素的和 2.设等差数列na的前 n 项和公式是253nSnn，求它的前 3 项，并果成等差数列那么叫做与的等差中项即或等差中项数列是等差数列等差数列的前项和公式其中是常数所以当时特别地当项数为奇数是关于的二次式且常数项为是项数为的等差数列的中间项时项数为奇数的等差数列的各项和等于项数是等差数列数列是

16、等差数列等差数列的证明方法定义法若或常数是等差数列提醒等差数列的通项公式及前和公式中涉及到个元素其中称作为基本元素只要已知这个元素中的任意个便可求出其余个即知求设项技巧一般可设通项奇数个列的通项公式率为公差是关于的一次函数且斜前和是关于的二次函数且常数项为若公差则为递增等差数列若公差则为递减等差数列若公差则为常数列当时则有特别地当时则有注若为等差数列则都为等差数列若是等差数列则也成等差名师总结 优秀知识点 求它的通项公式 3.如果等差数列na的前 4 项的和是 2，前 9 项的和是-6，求其前 n项和的公式。4.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列na的有关未知数：（1）151,5,66na

17、dS 求 n 及na；（2）12,15,10,nndnaaS 求 及 果成等差数列那么叫做与的等差中项即或等差中项数列是等差数列等差数列的前项和公式其中是常数所以当时特别地当项数为奇数是关于的二次式且常数项为是项数为的等差数列的中间项时项数为奇数的等差数列的各项和等于项数是等差数列数列是等差数列等差数列的证明方法定义法若或常数是等差数列提醒等差数列的通项公式及前和公式中涉及到个元素其中称作为基本元素只要已知这个元素中的任意个便可求出其余个即知求设项技巧一般可设通项奇数个列的通项公式率为公差是关于的一次函数且斜前和是关于的二次函数且常数项为若公差则为递增等差数列若公差则为递减等差数列若公差则为常数列当时则有特别地当时则有注若为等差数列则都为等差数列若是等差数列则也成等差