2022年高考真题 数学（北京卷） （含答案）.pdf

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1、2022年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数 学本试卷共5 页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4 分，共 40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1 .已知全集。=耳-3%3 ,集合 A =x|-2 N0时，a“0”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7 .在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化

2、碳所处的状态与T和I gP的关系，其中T表示温度，单位是K；尸表示压强，单位是b a r.下列结论中正确的是（）A.当T=2 2 0,P=1 0 2 6时，二氧化碳处于液态B.当7 =2 7 0,尸=1 2 8时，二氧化碳处于气态C.当T=300,9 9 8 7时，二氧化碳处于超临界状态D.当 7 =3 6 0,Q=7 2 9时，二氧化碳处于超临界状态8 .若（2 x -I）4=a/4+%+“0，则。（）+。2+。4=（）A.4 0 B.4 1 C.-4 0 D.-4 19 .已知正三棱锥P-A B C的六条棱长均为6,S是 A B C及其内部的点构成的集合.设集合T=QwS|PQa.a的最大

3、值为.15.己知数列 q 的各项均为正数，其 前 项 和 满 足 =9(=1,2,).给出下列四个结论：()的第2 项小于3；为等比数列；4,为递减数列；a,中存在小于焉的项.其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.三、解答题共6 小题，共 85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.(本小题13分)在/A B C 中，si n 2 c =g si n C.(I)求 N C；(II)若b=6,且 A B C 的面积为6石，求6 c的周长.17 .(本小题14分)如图，在三棱柱AB C-AAG中，侧面B CC4 为正方形，平面B CC !平面A3 4 A，A B =B C =2

4、,M,N 分别为4 4，AC的中点.B、MC(I)求证：M N 平面B CGg；（I D再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线A8与 平 面 所 成 角的正弦值.条件：A B L M N；条件：B M =M N.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.18 .（本小题13分）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m 以上（含9.50m）的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.8 0,9.7 0,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9

5、.30,9.25；乙：9.7 8,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；丙：9.8 5,9.65,9.20,9.16.假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.（I）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（II）设 X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估 计 X的数学期望EX；（III）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）1 9.（本小题1 5分）2 2已知椭圆E:+j-p=l（a Z 0）的一个顶点为A（0,l）,焦距为2G.（I）求椭圆E 的方程;(II)过点P(2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同

6、的两点B,C,直线AB,A C分别与 x轴 交 于 点N,当|M N|=2 时，求人的值.2 0 .(本小题1 5分)已知函数/(x)=e l n(l +x).(I)求曲线y =f(x)在点(0,7(0)处的切线方程；(II)设 g(x)=7(x),讨论函数g(x)在 0,+oo)上的单调性；(III)证明:对任意的 s,fw(0,+8),有/(s +f)f(s)+f(f).2 1 .(本小题1 5分)已知Q：4,4,4为有穷整数数列.给定正整数m,若对任意的el,2,根,在 Q中 存 在 a”+2,，+/(/2)，使得4+4+1 +/+2+1-+,+；=，则称。为心-连续可表数列.(I)判断

7、Q:2,1,4 是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；(II)若，4 为8-连续可表数列，求证：/的最小值为4；(UD 若 Q:q,勾为2 0-连 续 可 表 数 列,且%+/+%7.2022年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学参考答案第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.D2.B 3.A4.C 5.C 6.C 7.D8.B 9.B IO.D第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.1 1.(-a),0)u(0,l 1 2.-31 3.1 .-721

8、4.0(答案不唯一).11 5.三、解答题共6小愿，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.1 6.(1)-6 6+6731 7.(1)取 A 3的中点为K，连接用K,NK,由三棱柱A B C-4 A G 可得四边形A8旦4 为平行四边形，而 g M =4,=KA,则 M K H B B、,而 M K u 平面BBi u 平面CBBCi,故M K平面。8片6，而 C N =NA,B K =K A,则 N K B C,同理可得 N K 平面 C B gq,而 NK 口 K =K,NK,M K u 平面 M K N ,故平面M K N H平面C B g G，而 M V u 平面M K N

9、,故M N/平面,(2)因为侧面C B g q 为正方形，故 CB，而 CBu 平面 CBBi,平面 CBBCi 1 平面 ABB.A,平面 C B B n 平面 A B By =B B，故 CB _ L 平面,因为N K/BC,故NKJ_平面45用4,因为A B i平面A B 4A，故NK上AB,若选，则 A B L M N,而N K LA B,NKCMN=N,故AB_L平面M/VK,而M K u平面M N K,故A BLM K，所以 A B D S-而 CB工 BB,CBcAB=B,故8g_L 平面 ABC,故可建立如所示的空间直角坐标系，则B（0,0,0）,A（0,2,0）,N（l,0）

10、,M（0,l,2）,故 丽=（0,2,0）,丽=（1,1,0）,而 =（0,1,2）,设平面BNM的法向量为n=（x,y,z）,则n-BN=Qn-BM=0从而x+y=0y+2z=0取 z=1则 5=(-2,2,-1),设直线AB与平面BNM所成的角为。，则4 2sin 0=cos(n,AB2x3 3若选，因 NKUBC,故NK_L平面A B g A,而K N u平面MKN,故.N K IK M ,而 BM=BK=1,NK=1,故 B、M=NK,而 BB=MK=2,MB=MN,故 ABBM*M KN,所以NBgM=NMKN=9。,故 1 55,而C 8 L B 4，CBcAB=B,故平面ABC,

11、故可建立如所示的空间直角坐标系，则3（）,0,0）,A（0,2,0）,N（l,1,0）,M（0,1,2）,故 丽=(0,2,0),丽=(1,1,0),丽;=(),1,2),设平面BNM的法向量为n=（x,y,z）,n-BN-0_ _ _ ,从而n BM 0则y=0 一 /、。取z j,则 =(一2,2,T)，设直线AB与平面BNM所成的角为6,则心/一 _4 2sin 6=cos(n,A B)=-=.!2x3 3718.(1)0.4(2)-5(3)丙19.(1)+y2=14-(2)攵=T20.(1)=%(2)g(x)在 0,+。)上单调递增.(3)解：原不等式等价于/($+/)-/($)/一/

12、(0),4 m(x)=f(x+t)-f(x),(x,f0),即证机(x)m(0),m(x)=/(x+r)-/(x)=ex+r l n(l +x+0 -ev l n(l +x),mr(x)=er+z l n(l +x+/)+-eA l n(l +x)-=g(x+。-g(x),1+x+r 1+x由(2)知 8(%)=/(幻=6(111(1+为+土)在 0,+8)上单调递增，g(x+t)g(x),:.m(x)0.皿X)在(0,+8)上单调递增，又因为x,f0,m(x)m(0),所以命题得证.21.(1)是5-连续可表数列；不是6-连续可表数列.(2)若 3,设为Q：a,c,则至多a+6,6+c,a+

13、/7 +c,a,6,c,6 个数字，没有8 个，矛盾;当女=4 时，数列。：1,4,1,2,满足 q=l,g=2，a3+a4=3,a2=4,at+a2 5 ,q +g +4=6,a2+a3+a4-l,q +g +/+%=8,kmin=4.(3)Q:a,a2,-,ak,若，=/最多有我种，若 i。),最多有C；种，所以最多有,k(k+1)+=_.2 种若 k W 5,则q,a,出至多可表(5+1)=5个数,矛盾，2从而若 7,则无=6,a,c,d,e,/至多可表*3=21个数，ffHa+b+c+d+e+f 2 0 ,所以其中有负的，从而。力,。,1,4/可 表 1 20及那个负数(恰21个)，这

14、 表 明/中 仅 一 个 负 的，没有0,且这个负的在。f 中绝对值最小，同时中没有两数相同,设那个负数为一风机21)，则所有数之和 2 m+l +m+2 H-t-m+5-m-4m+15,4m+15 m =l,.-.a,b,c,d,e,f)=-1,2,3,4,5,6,再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足2 0 个,.1 =一 1 +2(仅一种方式)，一1与 2 相邻，若-1不在两端，则？,1,2,形式，若 X =6,则5=6+(-1)(有 2 种结果相同，方式矛盾)，：.x 6,同理xw5,4,3,故一 1在一端，不妨为 二!,2,4,旦 C，形式，若 4 =3,则5=2+3 (有 2 种结果相同，矛盾)，A =4 同理不行，-4=5,则6=-1+2+5(有 2 种结果相同，矛盾)，从而A =6,由于7=-1+2+6,由表法唯一知3,4不相邻,、故只能一 1,26,3,5,4,或 1,2,64,5,3,这 2 种情形，对：9=6+3=5+4,矛盾，对：8=2+6=5+3,也矛盾，综上左。6