Γ函数_中学教育-中考.pdf

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1、精品资料 欢迎下载 函数 维基百科，自由的百科全书（重定向自伽瑪函數）函数，也叫做伽玛函数（Gamma 函数），是阶乘函数在实数与复数上的扩展。对于实数部份为正的复数z，伽玛函数定义为:此定义可以用解析开拓原理拓展到整个复数域上，非正整数除外。如果n为正整数，则伽玛函数定义为:(n)=(n 1)!，这显示了它与阶乘函数的联系。可见，伽玛函数将n拓展到了实数与复数域上。在概率论中常见此函数，在组合数学中也常见。函数可以通过欧拉（Euler）第二类积分定义：对复数，我们要求 Re(z)0。函数还可以通过对做泰勒展开，解析延拓到整个复平面：这样定义的函数在全平面除了以外的地方解析。函数也可以用无穷乘

2、积的方式表示：精品资料 欢迎下载 这样定义的函数在全平面解析 函数可以用无穷乘积表示：其中 是欧拉-马歇罗尼常数。编辑 Gamma积分 编辑 递推公式 函数的递推公式为：(x+1)=x(x)，对于正整数，有(n+1)=n!，可以说函数是阶乘的推广。编辑 递推公式的推导 我们用分部积分法来计算这个积分：复数上的扩展对于实数部份为正的复数伽玛函数定义为此定义可以用解析开拓原理拓展到整个复数域上非正整数除外如果为正整数则伽玛函数定义为这显示了它与阶乘函数的联系可见伽玛函数将拓展到了实数与复数域上在概率论中解析延拓到整个复平面这样定义的函数在全平面除了以外的地方解析函数也可以用无穷乘积的方式表示精品资

3、料欢迎下载这样定义的函数在全平面解析函数可以用无穷乘积表示其中是欧拉马歇罗尼常数编辑积分编辑递推公式函数的料欢迎下载当时当趋于无穷大时根据洛必达法则有因此第一项变成了零所以等式的右面正好是因此递推公式为编辑重要性质函数在实轴上的函数图形当时欧拉反射公式由此可知当时精品资料欢迎下载乘法定理补充此式可用来协助计精品资料 欢迎下载 当时，。当 趋于无穷大时，根据洛必达法则，有：.因此第一项变成了零，所以：等式的右面正好是。因此，递推公式为：。编辑 重要性质 函数在实轴上的函数图形 当时，欧拉反射公式：由此可知当时，。复数上的扩展对于实数部份为正的复数伽玛函数定义为此定义可以用解析开拓原理拓展到整个复

4、数域上非正整数除外如果为正整数则伽玛函数定义为这显示了它与阶乘函数的联系可见伽玛函数将拓展到了实数与复数域上在概率论中解析延拓到整个复平面这样定义的函数在全平面除了以外的地方解析函数也可以用无穷乘积的方式表示精品资料欢迎下载这样定义的函数在全平面解析函数可以用无穷乘积表示其中是欧拉马歇罗尼常数编辑积分编辑递推公式函数的料欢迎下载当时当趋于无穷大时根据洛必达法则有因此第一项变成了零所以等式的右面正好是因此递推公式为编辑重要性质函数在实轴上的函数图形当时欧拉反射公式由此可知当时精品资料欢迎下载乘法定理补充此式可用来协助计精品资料 欢迎下载 乘法定理：。补充：此式可用来协助计算 t 分布概率密度函数

5、、卡方分布概率密度函数、分布概率密度函数等的累计概率。编辑 特殊值 编辑 导数 编辑 复数值 复数上的扩展对于实数部份为正的复数伽玛函数定义为此定义可以用解析开拓原理拓展到整个复数域上非正整数除外如果为正整数则伽玛函数定义为这显示了它与阶乘函数的联系可见伽玛函数将拓展到了实数与复数域上在概率论中解析延拓到整个复平面这样定义的函数在全平面除了以外的地方解析函数也可以用无穷乘积的方式表示精品资料欢迎下载这样定义的函数在全平面解析函数可以用无穷乘积表示其中是欧拉马歇罗尼常数编辑积分编辑递推公式函数的料欢迎下载当时当趋于无穷大时根据洛必达法则有因此第一项变成了零所以等式的右面正好是因此递推公式为编辑重

6、要性质函数在实轴上的函数图形当时欧拉反射公式由此可知当时精品资料欢迎下载乘法定理补充此式可用来协助计精品资料 欢迎下载 编辑 斯特灵公式 斯特灵公式能用以估计函数的增长速度。编辑 解析延拓 函数的绝对值函数图形 注意到在函数的积分定义中若取 为实部大于零之复数、则积分存在，而且在右半复平面上定义一个全纯函数。利用函数方程 并注意到函数在整个复平面上有解析延拓，我们可以在 Re(z)1时设 从而将函数延拓为整个复平面上的亚纯函数，它在有单极点，留数为 复数上的扩展对于实数部份为正的复数伽玛函数定义为此定义可以用解析开拓原理拓展到整个复数域上非正整数除外如果为正整数则伽玛函数定义为这显示了它与阶乘

7、函数的联系可见伽玛函数将拓展到了实数与复数域上在概率论中解析延拓到整个复平面这样定义的函数在全平面除了以外的地方解析函数也可以用无穷乘积的方式表示精品资料欢迎下载这样定义的函数在全平面解析函数可以用无穷乘积表示其中是欧拉马歇罗尼常数编辑积分编辑递推公式函数的料欢迎下载当时当趋于无穷大时根据洛必达法则有因此第一项变成了零所以等式的右面正好是因此递推公式为编辑重要性质函数在实轴上的函数图形当时欧拉反射公式由此可知当时精品资料欢迎下载乘法定理补充此式可用来协助计精品资料 欢迎下载 复数上的扩展对于实数部份为正的复数伽玛函数定义为此定义可以用解析开拓原理拓展到整个复数域上非正整数除外如果为正整数则伽玛函数定义为这显示了它与阶乘函数的联系可见伽玛函数将拓展到了实数与复数域上在概率论中解析延拓到整个复平面这样定义的函数在全平面除了以外的地方解析函数也可以用无穷乘积的方式表示精品资料欢迎下载这样定义的函数在全平面解析函数可以用无穷乘积表示其中是欧拉马歇罗尼常数编辑积分编辑递推公式函数的料欢迎下载当时当趋于无穷大时根据洛必达法则有因此第一项变成了零所以等式的右面正好是因此递推公式为编辑重要性质函数在实轴上的函数图形当时欧拉反射公式由此可知当时精品资料欢迎下载乘法定理补充此式可用来协助计