《直线的交点坐标和距离公式》导学案(人教A版)_中学教育-高考英语.pdf

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1、3.3直线的交点坐标与距离公式导学案【学习目标】1.直线和直线的交点，二元一次方程组的解；2掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题。3.理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式，会用点到直线距离公式求解两平行线距离。【导入新课】用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位置关系。课堂设问一：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？新授课阶段 1.两直线的交点坐标的求法 如果两条直线相交，联立方程组求 ，交点坐标与二元一次方程组的 是一一对应的。1.若二元一次方程组有

2、唯一解，1l与2l相交。2.若二元一次方程组无解，则1l与2l平行。3.若二元一次方程组有无数解，则1l与2l重合。例 1 求下列两直线交点坐标：1l：3x+4y-2=0；2l：2x+y+2=0。解：例 2 已知a为实数，两直线1l：01yax，2l：0ayx相交于一点，求证交点不可能在第一象限及x轴上.分析：解：2.两点间距离公式的推导 平面直角坐标系中两点12,P P的距离 22122221PPxxyy。过12,P P分别向 x轴和 y 轴作垂线，垂足分别为 112200NyMx，直线1122PNP M与相交于点 Q。在直角12PP Q中，2221212PPPQQP，为了计算其长度，过点1

3、P向 x 轴作垂线，垂足为 110Mx，过点 2P向 y 轴作垂线，垂足为220Ny，于是有 2222221212121221PQM MxxQPN Nyy，所以，2221212PPPQQP=222121xxyy。由此得到两点间的距离公式 例 3 以知点 A（-1，2），B（2，7），在 x 轴上求一点，使 PAPB,并求PA的值。解：作文欢送阅读及参考今天中午我要跟姑妈学习怎然么样炒出一盆好吃的青菜我先把又嫩又绿的青菜洗好然后把他切成一截一截的备用接下来在姑妈的指导下我就准备开始炒青菜姑妈帮我翻开煤气灶我先往锅倒了一些油再把锅摇了摇问姑妈为什么菜会越炒越少呢而且有这么多的水冒出来姑妈答复说因为

4、青菜有很多的水分一经过加热水就会冒出来所以青菜看起来越来越少等青菜成熟的时候我参加了盐和味精一盘香喷喷的青菜就做好了吃午饭的时候我吃着自己做可以教我做饭吗妈妈心平气和的说你是一个学生就应该以学习为主不要想那么多快去学习吧我急忙说这可是老师留的作业啊您必须要教我正当我和妈妈争论的面红耳赤不可开交时爸爸发话了依我看你是应该教教他因为这是老师留的 例 4 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。分析：证明：3.点到直线距离公式 在平面直角坐标系中，如果已知某点 P 的坐标为),(00yx，直线0 或 B0 时，以上公式0:CByAxl，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点 P 到直线l的距

5、离呢?设点 P 到直线l的垂线段为 PQ，垂足为 Q，由PQl可知，直线 PQ 的斜率为AB（A0），根据点斜式写出直线 PQ 的方程，并由l与 PQ 的方程求出点Q 的坐标；由此根据两点距离公式求出PQ，得到点 P 到直线l的距离为 d 此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨另一种方法 方案二：设 A0，B0，这时l与x轴、y轴都相交，过点 P 作x轴的平行线，交l于点),(01yxR；作y轴的平行线，交l于点),(20yxS，oxyldQSRP(x0,y0)作文欢送阅读及参考今天中午我要跟姑妈学习怎然么样炒出一盆好吃的青菜我先把又嫩又绿的青菜洗好然后把他切成一截一截的备用接下来在姑妈的

6、指导下我就准备开始炒青菜姑妈帮我翻开煤气灶我先往锅倒了一些油再把锅摇了摇问姑妈为什么菜会越炒越少呢而且有这么多的水冒出来姑妈答复说因为青菜有很多的水分一经过加热水就会冒出来所以青菜看起来越来越少等青菜成熟的时候我参加了盐和味精一盘香喷喷的青菜就做好了吃午饭的时候我吃着自己做可以教我做饭吗妈妈心平气和的说你是一个学生就应该以学习为主不要想那么多快去学习吧我急忙说这可是老师留的作业啊您必须要教我正当我和妈妈争论的面红耳赤不可开交时爸爸发话了依我看你是应该教教他因为这是老师留的由0020011CByAxCByxA得BCAxyACByx0201,.所以，P10 xx ACByAx00 PS20yy B

7、CByAx00 SABBAPSPR2222 CByAx00由三角形面积公式可知：d SP PS 所以 可证明，当 A=0 时仍适用 得到：点),(00yxP到直线0:CByAxl的距离为：2200BACByAxd 例 5 求点P=（-1，2）到直线 3x=2 的距离。解：例 6 已知点 A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求三角形 ABC 的面积。解：作文欢送阅读及参考今天中午我要跟姑妈学习怎然么样炒出一盆好吃的青菜我先把又嫩又绿的青菜洗好然后把他切成一截一截的备用接下来在姑妈的指导下我就准备开始炒青菜姑妈帮我翻开煤气灶我先往锅倒了一些油再把锅摇了摇问姑妈为什么菜会越炒越少呢而且有这么

8、多的水冒出来姑妈答复说因为青菜有很多的水分一经过加热水就会冒出来所以青菜看起来越来越少等青菜成熟的时候我参加了盐和味精一盘香喷喷的青菜就做好了吃午饭的时候我吃着自己做可以教我做饭吗妈妈心平气和的说你是一个学生就应该以学习为主不要想那么多快去学习吧我急忙说这可是老师留的作业啊您必须要教我正当我和妈妈争论的面红耳赤不可开交时爸爸发话了依我看你是应该教教他因为这是老师留的 4.平行线间的距离公式 已知两条平行线直线1l和2l的一般式方程为1l：01CByAx，2l：02CByAx，则1l与2l的距离为2221BACCd 证明：例 7 求两平行线1l：0832 yx，2l：23100 xy间的距离。解

9、：课堂小结 1.直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何问题转化为代数问题来解决，并能进行应用。2.两点间距离公式的推导，以及应用，要懂得用代数的方法解决几何问题，建立直角坐标系的重要性。3.点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式。作业 见同步练习部分 作文欢送阅读及参考今天中午我要跟姑妈学习怎然么样炒出一盆好吃的青菜我先把又嫩又绿的青菜洗好然后把他切成一截一截的备用接下来在姑妈的指导下我就准备开始炒青菜姑妈帮我翻开煤气灶我先往锅倒了一些油再把锅摇了摇问姑妈为什么菜会越炒越少呢而且有这么多的水冒出来姑妈答复说因为青菜有很多的水分一

10、经过加热水就会冒出来所以青菜看起来越来越少等青菜成熟的时候我参加了盐和味精一盘香喷喷的青菜就做好了吃午饭的时候我吃着自己做可以教我做饭吗妈妈心平气和的说你是一个学生就应该以学习为主不要想那么多快去学习吧我急忙说这可是老师留的作业啊您必须要教我正当我和妈妈争论的面红耳赤不可开交时爸爸发话了依我看你是应该教教他因为这是老师留的拓展提升 1 已知直线0323 yx和016 myx互相平行，则它们之间的距离是（）A.4 B.13132 C.26135 D.26137 2、过点 A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是（）A052 yx B042yx C.073 yx D053yx 3.已知直线 l1的

11、方程是 ax-y+b0,l2的方程是 bx-y-a0(ab0,a b)，则下列各示意图形中，正确的是()4直线3yx绕原点逆时针旋转90，再向右平移个单位，所得到的直线为()A.1133yx B.113yx C.33yx D.113yx 5若动点),(),(2211yxByxA、分别在直线1l：07 yx和2l：05 yx上移动，则AB中点M到原点距离的最小值为（）A23 B32 C33 D24 6点 A（1，3），B（5，2），点 P 在 x 轴上使|AP|BP|最大，则 P 的坐标为（）A.(4,0)B.(13,0)C.(5,0)D.(1,0)7.过点)1,4(P作直线l分别交x轴的正半轴

12、和 y 轴的正半轴于点A、B，当A OB（O为原点）的面积S最小时，求直线l的方程，并求出S的最小值。作文欢送阅读及参考今天中午我要跟姑妈学习怎然么样炒出一盆好吃的青菜我先把又嫩又绿的青菜洗好然后把他切成一截一截的备用接下来在姑妈的指导下我就准备开始炒青菜姑妈帮我翻开煤气灶我先往锅倒了一些油再把锅摇了摇问姑妈为什么菜会越炒越少呢而且有这么多的水冒出来姑妈答复说因为青菜有很多的水分一经过加热水就会冒出来所以青菜看起来越来越少等青菜成熟的时候我参加了盐和味精一盘香喷喷的青菜就做好了吃午饭的时候我吃着自己做可以教我做饭吗妈妈心平气和的说你是一个学生就应该以学习为主不要想那么多快去学习吧我急忙说这可是

13、老师留的作业啊您必须要教我正当我和妈妈争论的面红耳赤不可开交时爸爸发话了依我看你是应该教教他因为这是老师留的8.光线从 2,0Q发出射到直线l：x+y=4 上的 E 点，经l反射到 y 轴上 F 点，再经 y 轴反射又回到 Q 点，求直线 EF 的方程。9.在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为，宽为，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图所示）。将矩形折叠，使A点落在线段DC上。（1）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；（2）当230k 时，求折痕长的最大值；（3）当21k 时，折痕为线段PQ，设2(2|1)tkPQ，试求t的最大值。10.过点(2

14、,3)的直线l被两平行直线12:2590,:2570lxylxy 所截得线段AB的中点恰好在直线410 xy 上,求直线l的方程.作文欢送阅读及参考今天中午我要跟姑妈学习怎然么样炒出一盆好吃的青菜我先把又嫩又绿的青菜洗好然后把他切成一截一截的备用接下来在姑妈的指导下我就准备开始炒青菜姑妈帮我翻开煤气灶我先往锅倒了一些油再把锅摇了摇问姑妈为什么菜会越炒越少呢而且有这么多的水冒出来姑妈答复说因为青菜有很多的水分一经过加热水就会冒出来所以青菜看起来越来越少等青菜成熟的时候我参加了盐和味精一盘香喷喷的青菜就做好了吃午饭的时候我吃着自己做可以教我做饭吗妈妈心平气和的说你是一个学生就应该以学习为主不要想那

15、么多快去学习吧我急忙说这可是老师留的作业啊您必须要教我正当我和妈妈争论的面红耳赤不可开交时爸爸发话了依我看你是应该教教他因为这是老师留的参考答案 新授课阶段 1.两直线的交点坐标的求法 交点坐标 解 例 1 解：联立方程组 34202220 xyxy 解得 x=-2，y=2 所以1l与2l的交点坐标为 M（-2，2），如下图所示：642-2-4-55yx 例 2 分析：先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点横纵坐标的范围.解：解方程组若112aa0，则a1.当a1 时，11aa0，此时交点在第二象限内.又因为a为任意实数时，都有12a10，故112aa0 因为a1（否则两直线平行，无交点）

16、，所以，交点不可能在x轴上，得 交点(11,112aaaa)2.两点间距离公式的推导 22122221PPxxyy 例 3 作文欢送阅读及参考今天中午我要跟姑妈学习怎然么样炒出一盆好吃的青菜我先把又嫩又绿的青菜洗好然后把他切成一截一截的备用接下来在姑妈的指导下我就准备开始炒青菜姑妈帮我翻开煤气灶我先往锅倒了一些油再把锅摇了摇问姑妈为什么菜会越炒越少呢而且有这么多的水冒出来姑妈答复说因为青菜有很多的水分一经过加热水就会冒出来所以青菜看起来越来越少等青菜成熟的时候我参加了盐和味精一盘香喷喷的青菜就做好了吃午饭的时候我吃着自己做可以教我做饭吗妈妈心平气和的说你是一个学生就应该以学习为主不要想那么多快

17、去学习吧我急忙说这可是老师留的作业啊您必须要教我正当我和妈妈争论的面红耳赤不可开交时爸爸发话了依我看你是应该教教他因为这是老师留的解：设所求点 P（x，0），于是有 2222102207xx 由 P AP B得2225411xxxx 解得 x=1。所以，所求点 P（1，0）且 221 1022 2PA 。解法二：由已知得，线段 AB的中点为12，直线 AB的斜率为k=12 线段 AB的垂直平分线的方程是 y-12 在上述式子中，令 y=0，解得 x=1。所以所求点 P 的坐标为（1，0）。因此 例 4 分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几

18、何关系。数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤。证明：以顶点为坐标原点，边所在的直线为轴，建立直角坐标系，有（，）。设（，），（，），由平行四边形的性质的点的坐标为（，），因为 22222222ABaCDaADbcBC，2ACab，所以，所以，因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。作文欢送阅读及参考今天中午我要跟姑妈学习怎然么样炒出一盆好吃的青菜我先把又嫩又绿的青菜洗好然后把他切成一截一截的备用接下来在姑妈的指导下我就准备开始炒青菜姑妈帮我翻开煤气灶我先往锅倒了一些油再把锅摇了摇问姑妈为什么菜会越炒越少呢而且有这么多的水冒出来姑妈答复说因为青菜有很

19、多的水分一经过加热水就会冒出来所以青菜看起来越来越少等青菜成熟的时候我参加了盐和味精一盘香喷喷的青菜就做好了吃午饭的时候我吃着自己做可以教我做饭吗妈妈心平气和的说你是一个学生就应该以学习为主不要想那么多快去学习吧我急忙说这可是老师留的作业啊您必须要教我正当我和妈妈争论的面红耳赤不可开交时爸爸发话了依我看你是应该教教他因为这是老师留的上述解决问题的基本步骤可以归纳如下：第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量。第二步：进行有关代数运算。第三步；把代数结果“翻译”成几何关系。3.点到直线距离公式 在平面直角坐标系中，如果已知某点 P 的坐标为),(00yx，直线0 或 B0 时，以上公式0:CB

20、yAxl，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点 P 到直线l的距离呢?设点 P 到直线l的垂线段为 PQ，垂足为 Q，由PQl可知，直线 PQ 的斜率为AB（A0），根据点斜式写出直线 PQ 的方程，并由l与 PQ 的方程求出点Q 的坐标；由此根据两点距离公式求出PQ，得到点 P 到直线l的距离为 d 此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨别一种方法 方案二：设 A0，B0，这时l与x轴、y轴都相交，过点 P 作x轴的平行线，交l于点),(01yxR；作y轴的平行线，交l于点),(20yxS，由0020011CByAxCByxA得BCAxyACByx0201,.所以，P10 xx ACByA

21、x00 PS20yy BCByAx00 SABBAPSPR2222 CByAx00由三角形面积公式可知：d SP PS 所以2200BACByAxd 可证明，当 A=0 时仍适用 得到：oxyldQSRP(x0,y0)作文欢送阅读及参考今天中午我要跟姑妈学习怎然么样炒出一盆好吃的青菜我先把又嫩又绿的青菜洗好然后把他切成一截一截的备用接下来在姑妈的指导下我就准备开始炒青菜姑妈帮我翻开煤气灶我先往锅倒了一些油再把锅摇了摇问姑妈为什么菜会越炒越少呢而且有这么多的水冒出来姑妈答复说因为青菜有很多的水分一经过加热水就会冒出来所以青菜看起来越来越少等青菜成熟的时候我参加了盐和味精一盘香喷喷的青菜就做好了吃

22、午饭的时候我吃着自己做可以教我做饭吗妈妈心平气和的说你是一个学生就应该以学习为主不要想那么多快去学习吧我急忙说这可是老师留的作业啊您必须要教我正当我和妈妈争论的面红耳赤不可开交时爸爸发话了依我看你是应该教教他因为这是老师留的点),(00yxP到直线0:CByAxl的距离为：2200BACByAxd 例 5 解：d=223125330 例 6 解：设 AB 边上的高为 h，则 SABC=12ABh 223 11 32 2AB ，AB 边上的高 h 就是点 C 到 AB 的距离。AB 边所在直线方程为 311 33 1yX 即 x+y-4=0。点 C 到 X+Y-4=0的距离为 h h=21045

23、211，因此，SABC=152 2522 4.平行线间的距离公式 推导过程：证明：设),(000yxP是直线02CByAx上任一点，则点P0到直线01CByAx的距离为22100BACByAxd 又 0200CByAx 即200CByAx，d2221BACC 01032 yx的距离.例 7 作文欢送阅读及参考今天中午我要跟姑妈学习怎然么样炒出一盆好吃的青菜我先把又嫩又绿的青菜洗好然后把他切成一截一截的备用接下来在姑妈的指导下我就准备开始炒青菜姑妈帮我翻开煤气灶我先往锅倒了一些油再把锅摇了摇问姑妈为什么菜会越炒越少呢而且有这么多的水冒出来姑妈答复说因为青菜有很多的水分一经过加热水就会冒出来所以青

24、菜看起来越来越少等青菜成熟的时候我参加了盐和味精一盘香喷喷的青菜就做好了吃午饭的时候我吃着自己做可以教我做饭吗妈妈心平气和的说你是一个学生就应该以学习为主不要想那么多快去学习吧我急忙说这可是老师留的作业啊您必须要教我正当我和妈妈争论的面红耳赤不可开交时爸爸发话了依我看你是应该教教他因为这是老师留的解：因为 1l2l又10,821CC.由两平行线间的距离公式得133232)10(822d 拓展提升 1.D 2.A 3.D 4.A 5.A 6.B 7设 a(a,0),B(0,b),(a,b0),则直线l的方程为：1byax，在直线又P(4,1)l上，114ba，又821,16,42141abSab

25、abba，等号当且仅当,2114ba2b8,a即时成立，直线l的方程为：x+4y8=0,Smin=8 8解：设 Q 关于 y 轴的对称点为1Q，则1Q的坐标为-2,0 设 Q 关于l的对称点为 2,Qm n，则2QQ中点为 G2(,)22mn，G 在 l 上 2422mn，又2,12nQQlm 由得2(4,2)Q 由物理学知识可知，1Q、2Q在直线 EF 上，1213EFQ Qkk 直线 EF 方程为:1(2)3yx，即320 xy 9、解：(1)当0k时,此时A点与D点重合,折痕所在的直线方程21y 当0k时，将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为(,1)G a，所以A与G关于折痕所在的直线

26、对称，有1OGkk 11ka ak 故G点坐标为)1,(kG，从而折痕所在的直线与OG的交点坐标（线段OG的中点）为)21,2(kM 折痕所在的直线方程)2(21kxky，即2122kykx 作文欢送阅读及参考今天中午我要跟姑妈学习怎然么样炒出一盆好吃的青菜我先把又嫩又绿的青菜洗好然后把他切成一截一截的备用接下来在姑妈的指导下我就准备开始炒青菜姑妈帮我翻开煤气灶我先往锅倒了一些油再把锅摇了摇问姑妈为什么菜会越炒越少呢而且有这么多的水冒出来姑妈答复说因为青菜有很多的水分一经过加热水就会冒出来所以青菜看起来越来越少等青菜成熟的时候我参加了盐和味精一盘香喷喷的青菜就做好了吃午饭的时候我吃着自己做可以

27、教我做饭吗妈妈心平气和的说你是一个学生就应该以学习为主不要想那么多快去学习吧我急忙说这可是老师留的作业啊您必须要教我正当我和妈妈争论的面红耳赤不可开交时爸爸发话了依我看你是应该教教他因为这是老师留的由得折痕所在的直线方程为：2122kykx （2）当0k时，折痕的长为 2;当230k 时，折痕直线交BC于点21(2,2)22kMk，交y轴于21(0,)2kN 22222211|2(2)4444(74 3)3216 3222kkyMNkk 折痕长度的最大值为3216 32(62)。而2)26(2,故折痕长度的最大值为)26(2 （3）当21k 时，折痕直线交DC于1(,1)22kPk，交x轴于2

28、1(,0)2kQk 22222111|1()1222kkPQkkk 22(2|1)tkPQkk 21k 22 2kk （当且仅当2(2,1)k 时取“=”号）当2k 时，t取最大值，t的最大值是2 2。10 解:与两平行直线12:2590,:2570lxylxy 等距离的直线方程为2510 xy 解4102510 xyxy 得交点31xy 则所求直线l的方程为y1x33123 即4x5y70 作文欢送阅读及参考今天中午我要跟姑妈学习怎然么样炒出一盆好吃的青菜我先把又嫩又绿的青菜洗好然后把他切成一截一截的备用接下来在姑妈的指导下我就准备开始炒青菜姑妈帮我翻开煤气灶我先往锅倒了一些油再把锅摇了摇问姑妈为什么菜会越炒越少呢而且有这么多的水冒出来姑妈答复说因为青菜有很多的水分一经过加热水就会冒出来所以青菜看起来越来越少等青菜成熟的时候我参加了盐和味精一盘香喷喷的青菜就做好了吃午饭的时候我吃着自己做可以教我做饭吗妈妈心平气和的说你是一个学生就应该以学习为主不要想那么多快去学习吧我急忙说这可是老师留的作业啊您必须要教我正当我和妈妈争论的面红耳赤不可开交时爸爸发话了依我看你是应该教教他因为这是老师留的