线性规划目标函数及基本不等式常见类型梳理_中学教育-中考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 授课提纲 一、线性规划问题中目标函数常见类型梳理 1、基本类型直线的截距型（或截距的相反数）2、直线的斜率型 3、平面内两点间的距离型（或距离的平方型）4、点到直线的距离型 5、变换问题研究目标函数 二、基本不等式 1、（1）基本不等式若Rba,，则abba222 (2)若Rba,，则222baab（当且仅当ba 时取“=”）(2)若*,Rba，则abba2 (2)若*,Rba，则abba2（当且仅当ba 时取“=”）(3)若*,Rba，则22 baab (当且仅当ba 时取“=”）2、利用基本不等式求值技巧 授课主要内容：一 基本类型直线的截距型（或截距的相反数）例 1.

2、已知实数 x、y 满足约束条件0503xyxyx ，则24zxy的最小值为（）A5 B-6 C10 D-10 变式练习一：若 x,y 满足约束条件20210220 xyxyxy ,则 z=3x+y 的最大值为 变式练习二：设x，y满足约束条件13,10,xxy 则z2xy的最大值为_ 二 直线的斜率型2 6,53 例 2.已知实数 x、y 满足不等式组2240 xyx,求函数31yzx的值域.学习必备 欢迎下载 变式练习一：若 x，y 满足约束条件10040 xxyxy ，则yx的最大值为 .变式练习二：11.若实数yx,满足00042yxyx，则12xyz的取值范围为（）),32 4,.(A

3、 ),32 2,.(B 32,2.C 32,4.D 三 平面内两点间的距离型（或距离的平方型）例 3.已知实数 x、y 满足10101xyxyy ，则22448wxyxy的最值为_.解析：目标函数2222448(2)(2)wxyxyxy，点(2,2)到点 B 的距离为其到可行域内点的最大值，22max(22)(12)25w；点(2,2)到直线 x+y-1=0的距离为其到可行域内点的最小值，min|22 1|3 222w。变式练习一：设实数x，y满足约束条件10,10,1xyxyx ，则222xy的取值范围是（A）1,172 （B）1,17 （C）1,17 （D）2,172 变式练习二：四 点到

4、直线的距离型 例 4.已知实数 x、y 满足2221,42xyuxyxy 求的最小值。的斜率型平面内两点间的距离型或距离的平方型点到直线的距离型变换问题研究目标函数二基本不等式基本不等式若则若则当若则当且仅当且仅当时取若则时取若则利用基本不等式求值技巧授课主要内容当且仅当时取一基本类型直练习二设满足约束条件则的最大值为二直线的斜率型例已知实数满足不等式组求函数的值域学习必备欢迎下载变式练习一若满足约束条件则的最大值为变式练习二若实数满足则的取值范围为三平面内两点间的距离型或距离的平方型内点的最小值变式练习一设实数满足约束条件则的取值范围是变式练习二四点到直线的距离型例已知实数满足求的最小值学习

5、必备欢迎下载解析目标函数其含义是点与可行域内的点的最小距离的平方减由实数所满足的不等式组作可学习必备 欢迎下载 解析：目标函数222242(2)(1)5uxyxyxy，其含义是点(-2,1)与可行域内的点的最小距离的平方减 5。由实数 x、y 所满足的不等式组作可行域如图所示（直线右上方）：点(-2,1)到可行域内的点的最小距离为其到直线 2x+y=1 的距离，由点到直线的距离公式可求得|2(2)1 1|4 555d，故21695555d 同步训练：已知实数 x、y 满足220240330 xyxyxy ,则目标函数22zxy的最大值是_。五 变换问题研究目标函数 例 5.已知axyxxy2，

6、且yxz2的最大值是最小值的 3 倍，则 a 等于（）A31或 3 B31 C52或 2 D52 解析：求解有关线性规划的最大值和最小值问题，准确画图找到可行域是关键.如图所示，Ayxz在2 点和 B 点分别取得最小值和最大值.由),(aaAxyax得，由yxyx2得 B(1，1).azz3,3minmax.由题意 B (-2,1)1 12 O x y 2x+y=1 的斜率型平面内两点间的距离型或距离的平方型点到直线的距离型变换问题研究目标函数二基本不等式基本不等式若则若则当若则当且仅当且仅当时取若则时取若则利用基本不等式求值技巧授课主要内容当且仅当时取一基本类型直练习二设满足约束条件则的最大

7、值为二直线的斜率型例已知实数满足不等式组求函数的值域学习必备欢迎下载变式练习一若满足约束条件则的最大值为变式练习二若实数满足则的取值范围为三平面内两点间的距离型或距离的平方型内点的最小值变式练习一设实数满足约束条件则的取值范围是变式练习二四点到直线的距离型例已知实数满足求的最小值学习必备欢迎下载解析目标函数其含义是点与可行域内的点的最小距离的平方减由实数所满足的不等式组作可学习必备 欢迎下载 变式练习一：如果实数,a b满足条件：20101abbaa ，则22abab的最大值是 基本不等式 考点一：求最值 例 1：求下列函数的值域（1）y3x 212x 2 （2）yx1x 技巧一：凑项 例 1

8、：已知54x，求函数14245yxx 的最大值。技巧二：凑系数 例 1.当时，求(82)yxx的最大值。技巧三：分离 例 3.求2710(1)1xxyxx 的值域。技巧四：换元 解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令 t=x1，化简原式在分离求最值。22(1)7(1+10544=5ttttytttt ）当,即 t=时,4259ytt （当 t=2 即 x1 时取“”号）。技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()af xxx 的单调性。例：求函数2254xyx的值域。的斜率型平面内两点间的距离型或距离的平方型点到直线的距离型变换问题研究目标函数二基本不

9、等式基本不等式若则若则当若则当且仅当且仅当时取若则时取若则利用基本不等式求值技巧授课主要内容当且仅当时取一基本类型直练习二设满足约束条件则的最大值为二直线的斜率型例已知实数满足不等式组求函数的值域学习必备欢迎下载变式练习一若满足约束条件则的最大值为变式练习二若实数满足则的取值范围为三平面内两点间的距离型或距离的平方型内点的最小值变式练习一设实数满足约束条件则的取值范围是变式练习二四点到直线的距离型例已知实数满足求的最小值学习必备欢迎下载解析目标函数其含义是点与可行域内的点的最小距离的平方减由实数所满足的不等式组作可学习必备 欢迎下载 解：令24(2)xt t，则2254xyx22114(2)4

10、xtttx 因10,1ttt，但1tt解得1t 不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。因为1ytt 在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故52y。所以，所求函数的值域为5,2。考点二：条件求最值 1.若实数满足2 ba，则ba33 的最小值是 .2：已知0,0 xy，且191xy，求xy的最小值。变式：（1）若Ryx,且12yx，求yx11的最小值 技巧七、已知 x，y 为正实数，且 x 2y 22 1，求 x1y 2 的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式 aba 2b 22。同时还应化简1y 2 中 y2前面的系数为 12，x1y 2 x 21y 22

11、 2 x12 y 22 技巧八：已知 a，b 为正实数，2baba30，求函数 y1ab 的最小值.法一：a302bb1，ab302bb1 b2 b 230bb1 由 a0 得，0b1 的斜率型平面内两点间的距离型或距离的平方型点到直线的距离型变换问题研究目标函数二基本不等式基本不等式若则若则当若则当且仅当且仅当时取若则时取若则利用基本不等式求值技巧授课主要内容当且仅当时取一基本类型直练习二设满足约束条件则的最大值为二直线的斜率型例已知实数满足不等式组求函数的值域学习必备欢迎下载变式练习一若满足约束条件则的最大值为变式练习二若实数满足则的取值范围为三平面内两点间的距离型或距离的平方型内点的最小

12、值变式练习一设实数满足约束条件则的取值范围是变式练习二四点到直线的距离型例已知实数满足求的最小值学习必备欢迎下载解析目标函数其含义是点与可行域内的点的最小距离的平方减由实数所满足的不等式组作可学习必备 欢迎下载 令 tb+1，1t16，ab2t 234t31t 2（t16t）34t16t 2t16t 8 ab18 y 118 当且仅当 t4，即 b3，a6 时，等号成立。法二：由已知得：30aba2b a2b2 2 ab 30ab2 2 ab 令 u ab 则 u22 2 u300，5 2 u3 2 ab 3 2，ab18，y118 变式：1.已知 a0，b0，ab(ab)1，求 ab 的最小

13、值。作业：1、01xxxy求函数最小值.2、03221xxxy求函数最小值.3、若1x，则函数 14xxxf最小值为 .4、已知0 x，0y，且1yx，求yx11的最小值.5、已知0 x，0y，且32yx，求yx11的最小值.6、设0,0.ab若11333abab是与 的等比中项，则的最小值为 （）A 8 B 4 C 1 D 14 的斜率型平面内两点间的距离型或距离的平方型点到直线的距离型变换问题研究目标函数二基本不等式基本不等式若则若则当若则当且仅当且仅当时取若则时取若则利用基本不等式求值技巧授课主要内容当且仅当时取一基本类型直练习二设满足约束条件则的最大值为二直线的斜率型例已知实数满足不等式组求函数的值域学习必备欢迎下载变式练习一若满足约束条件则的最大值为变式练习二若实数满足则的取值范围为三平面内两点间的距离型或距离的平方型内点的最小值变式练习一设实数满足约束条件则的取值范围是变式练习二四点到直线的距离型例已知实数满足求的最小值学习必备欢迎下载解析目标函数其含义是点与可行域内的点的最小距离的平方减由实数所满足的不等式组作可