《函数的单调性和奇偶性》经典例题(1)_中学教育-高考.pdf

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1、精品资料 欢迎下载 经典例题透析 类型一、函数的单调性的证明 1证明函数上的单调性.证明：在(0，+)上任取 x1、x2(x1x2)，令x=x2-x10 则 x10，x20，上式0，y=f(x2)-f(x1)0 上递减.总结升华：1证明函数单调性要求使用定义；2如何比较两个量的大小？(作差)3如何判断一个式子的符号？(对差适当变形)举一反三：【变式 1】用定义证明函数上是减函数.思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.证明：设 x1，x2是区间上的任意实数，且 x1x2，则 0 x1x21 x1-x20，0 x1x21 0 x1x20 x1f(x2)上是减函

2、数.总结升华：可以用同样的方法证明此函数在上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.类型二、求函数的单调区间 2.判断下列函数的单调区间；(1)y=x2-3|x|+2；(2)解：(1)由图象对称性，画出草图 f(x)在上递减，在上递减，在上递增.(2)图象为 f(x)在上递增.举一反三：结升华证明函数单调性要求使用定义如何比较两个量的大小作差如何判断一个式子的符号对差适当变形举一反三变式用定义证明函数上是减函数思路点拨本题考查对单调性定义的理解在现阶段定义是证明单调性的唯一途径证明设是数在今后的学习中经常会碰到这个函数在此可以尝试利用函数的单

3、调性大致给出函数的图象类型二求函数的单调区间判断下列函数的单调区间解由图象对称性画出草图在上递减在上递减在上递增图象为在上递增举一反三精品资料欢减函数则上为减函数定义域为单调增区间为单调减区间为总结升华数形结合利用图象判断函数单调区间关于二次函数单调区间问题单调性变化的点与对称轴相关复合函数的单调性分析先求函数的定义域再将复合函数分解为内外层函精品资料 欢迎下载 【变式 1】求下列函数的单调区间：(1)y=|x+1|；(2)(3).解：(1)画出函数图象，函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+)；(2)定义域为，其中 u=2x-1为增函数，在(-，0)与(0，+)为减函数，则上为减函数；(3

4、)定义域为(-，0)(0，+)，单调增区间为：(-，0)，单调减区间为(0，+).总结升华：1数形结合利用图象判断函数单调区间；2关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.3复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数.类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)3.已知函数 f(x)在(0，+)上是减函数，比较 f(a2-a+1)与的大小.解：又 f(x)在(0，+)上是减函数，则.4.求下列函数值域：(1)；1)x5，

5、10；2)x(-3，-2)(-2，1)；(2)y=x2-2x+3；1)x-1，1；2)x-2，2.思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合.结升华证明函数单调性要求使用定义如何比较两个量的大小作差如何判断一个式子的符号对差适当变形举一反三变式用定义证明函数上是减函数思路点拨本题考查对单调性定义的理解在现阶段定义是证明单调性的唯一途径证明设是数在今后的学习中经常会碰到这个函数在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象类型二求函数的单调区间判断下列函数的单调区间解由图象对称性画出草图在上递减在上递减在上递增图象为在上递增举一反三精品资料欢减函数则上为减函数定义域为单调增区间为单调减区

6、间为总结升华数形结合利用图象判断函数单调区间关于二次函数单调区间问题单调性变化的点与对称轴相关复合函数的单调性分析先求函数的定义域再将复合函数分解为内外层函精品资料 欢迎下载 解：(1)2 个单位，再上移 2 个单位得到，如图 1)f(x)在5，10上单增，；2)；(2)画出草图 1)yf(1)，f(-1)即2，6；2).举一反三：【变式 1】已知函数.(1)判断函数 f(x)的单调区间；(2)当 x1，3时，求函数 f(x)的值域.思路点拨：这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间，但对解析式稍作处理，即可得到我们相对熟悉的形式.，第二问即是利用单调性求函数值域.结升华证明函数单调性要求使

7、用定义如何比较两个量的大小作差如何判断一个式子的符号对差适当变形举一反三变式用定义证明函数上是减函数思路点拨本题考查对单调性定义的理解在现阶段定义是证明单调性的唯一途径证明设是数在今后的学习中经常会碰到这个函数在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象类型二求函数的单调区间判断下列函数的单调区间解由图象对称性画出草图在上递减在上递减在上递增图象为在上递增举一反三精品资料欢减函数则上为减函数定义域为单调增区间为单调减区间为总结升华数形结合利用图象判断函数单调区间关于二次函数单调区间问题单调性变化的点与对称轴相关复合函数的单调性分析先求函数的定义域再将复合函数分解为内外层函精品资料 欢迎下载

8、解：(1)上单调递增，在上单调递增；(2)故函数 f(x)在1，3上单调递增 x=1 时 f(x)有最小值，f(1)=-2 x=3 时 f(x)有最大值 x1，3时 f(x)的值域为.5.已知二次函数 f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数，求：(1)实数 a 的取值范围；(2)f(2)的取值范围.解：(1)对称轴是决定 f(x)单调性的关键，联系图象可知 只需；(2)f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11 又a2，-2a-4 f(2)=-2a+11-4+11=7 .举一反三：【变式 1】（2011 北京理 13）已知函数，若关于 x 的方程有两个不同的实根，则实数 k 的取

9、值范围是_.解：单调递减且值域(0,1，单调递增且值域为，由图象知，若有两个不同的实根，则实数 k 的取值范围是（0,1）.结升华证明函数单调性要求使用定义如何比较两个量的大小作差如何判断一个式子的符号对差适当变形举一反三变式用定义证明函数上是减函数思路点拨本题考查对单调性定义的理解在现阶段定义是证明单调性的唯一途径证明设是数在今后的学习中经常会碰到这个函数在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象类型二求函数的单调区间判断下列函数的单调区间解由图象对称性画出草图在上递减在上递减在上递增图象为在上递增举一反三精品资料欢减函数则上为减函数定义域为单调增区间为单调减区间为总结升华数形结合利用图

10、象判断函数单调区间关于二次函数单调区间问题单调性变化的点与对称轴相关复合函数的单调性分析先求函数的定义域再将复合函数分解为内外层函精品资料 欢迎下载 类型四、判断函数的奇偶性 6.判断下列函数的奇偶性：(1)(2)(3)f(x)=x2-4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|-|x-3|(5)(6)(7)思路点拨：根据函数的奇偶性的定义进行判断.解：(1)f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此 f(x)为非奇非偶函数；(2)x-10，f(x)定义域不关于原点对称，f(x)为非奇非偶函数；(3)对任意 xR，都有-xR，且 f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则 f(x)=x2-4|x|

11、+3为偶函数；(4)xR，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，f(x)为奇函数；(5)，f(x)为奇函数；(6)xR，f(x)=-x|x|+x f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，f(x)为奇函数；(7)，f(x)为奇函数.举一反三：【变式 1】判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)f(x)=|x+1|-|x-1|；(3)f(x)=x2+x+1；(4).思路点拨：利用函数奇偶性的定义进行判断.解：(1)；结升华证明函数单调性要求使用定义如何比较两个量的大小作差如何判断一个式子的符号对差适当变形举一反三变式用定义证明函数上是减

12、函数思路点拨本题考查对单调性定义的理解在现阶段定义是证明单调性的唯一途径证明设是数在今后的学习中经常会碰到这个函数在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象类型二求函数的单调区间判断下列函数的单调区间解由图象对称性画出草图在上递减在上递减在上递增图象为在上递增举一反三精品资料欢减函数则上为减函数定义域为单调增区间为单调减区间为总结升华数形结合利用图象判断函数单调区间关于二次函数单调区间问题单调性变化的点与对称轴相关复合函数的单调性分析先求函数的定义域再将复合函数分解为内外层函精品资料 欢迎下载 (2)f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x)f(x)为

13、奇函数；(3)f(-x)=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1 f(-x)-f(x)且 f(-x)f(x)f(x)为非奇非偶函数；(4)任取 x0 则-x0，f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)任取 x0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)x=0 时，f(0)=-f(0)xR 时，f(-x)=-f(x)f(x)为奇函数.举一反三：【变式 2】已知 f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)g(x)为偶函数.证明：设 F(x)=f(x)+g

14、(x)，G(x)=f(x)g(x)则 F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-f(x)+g(x)=-F(x)G(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)-g(x)=f(x)g(x)=G(x)f(x)+g(x)为奇函数，f(x)g(x)为偶函数.类型五、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)7已知 f(x)=x5+ax3-bx-8，且 f(-2)=10，求 f(2).解：法一：f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10 8a-2b=-50 f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-

15、26 法二：令 g(x)=f(x)+8 易证 g(x)为奇函数 g(-2)=-g(2)f(-2)+8=-f(2)-8 f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.举一反三：【变式 1】（2011 湖南文 12）已知为奇函数，则为：解：，又为奇函数，所以 8.f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，-y=(-x)2-(-x)即 y=-x2-x又 f(0)=0，如图 结升华证明函数单调性要求使用定义如何比较两个量的大小作差如何判断一个式子的符号对差适当变形举一反三变式用定义证明函数上是减函数思路点拨本题考查对单调性定义的理解在现阶段定义是证明单调性的唯一途径证明设是数在今后的学习

16、中经常会碰到这个函数在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象类型二求函数的单调区间判断下列函数的单调区间解由图象对称性画出草图在上递减在上递减在上递增图象为在上递增举一反三精品资料欢减函数则上为减函数定义域为单调增区间为单调减区间为总结升华数形结合利用图象判断函数单调区间关于二次函数单调区间问题单调性变化的点与对称轴相关复合函数的单调性分析先求函数的定义域再将复合函数分解为内外层函精品资料 欢迎下载 9设定义在-3，3上的偶函数 f(x)在0，3上是单调递增，当 f(a-1)f(a)时，求 a 的取值范围.解：f(a-1)f(a)f(|a-1|)b0，给出下列不等式，其中成立的是_.f(

17、b)-f(-a)g(a)-g(-b)；f(b)-f(-a)g(b)-g(-a)；f(a)-f(-b)g(b)-g(-a).答案：.11.求下列函数的值域：(1)(2)(3)思路点拨：(1)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；(2)由单调性求值域，此题也可换元解决；(3)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时 t的范围.解：(1)；(2)经 观 察 知，；(3)令.结升华证明函数单调性要求使用定义如何比较两个量的大小作差如何判断一个式子的符号对差适当变形举一反三变式用定义证明函数上是减函数思路点拨本题考查对单调性定义的理解在现阶段定义是证明单调性的唯

18、一途径证明设是数在今后的学习中经常会碰到这个函数在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象类型二求函数的单调区间判断下列函数的单调区间解由图象对称性画出草图在上递减在上递减在上递增图象为在上递增举一反三精品资料欢减函数则上为减函数定义域为单调增区间为单调减区间为总结升华数形结合利用图象判断函数单调区间关于二次函数单调区间问题单调性变化的点与对称轴相关复合函数的单调性分析先求函数的定义域再将复合函数分解为内外层函精品资料 欢迎下载 12.已知函数 f(x)=x2-2ax+a2-1.(1)若函数 f(x)在区间0，2上是单调的，求实数 a 的取值范围；(2)当 x-1，1时，求函数 f(x)的

19、最小值 g(a)，并画出最小值函数 y=g(a)的图象.解：(1)f(x)=(x-a)2-1 a0 或 a2 (2)1当 a1 时，如图 3，g(a)=f(1)=a2-2a ，如图 结升华证明函数单调性要求使用定义如何比较两个量的大小作差如何判断一个式子的符号对差适当变形举一反三变式用定义证明函数上是减函数思路点拨本题考查对单调性定义的理解在现阶段定义是证明单调性的唯一途径证明设是数在今后的学习中经常会碰到这个函数在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象类型二求函数的单调区间判断下列函数的单调区间解由图象对称性画出草图在上递减在上递减在上递增图象为在上递增举一反三精品资料欢减函数则上为减

20、函数定义域为单调增区间为单调减区间为总结升华数形结合利用图象判断函数单调区间关于二次函数单调区间问题单调性变化的点与对称轴相关复合函数的单调性分析先求函数的定义域再将复合函数分解为内外层函精品资料 欢迎下载 13.已知函数 f(x)在定义域(0，+)上为增函数，f(2)=1，且定义域上任意 x、y 都满足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x-2)3.解：令 x=2，y=2，f(22)=f(2)+f(2)=2 f(4)=2 再令 x=4，y=2，f(42)=f(4)+f(2)=2+1=3 f(8)=3 f(x)+f(x-2)3 可转化为：fx(x-2)f(8).14.判断函

21、数上的单调性，并证明.证明：任取 0 x1x2，0 x1x2，x1-x20 (1)当时 0 x1x21，x1x2-10 即 f(x1)f(x2)上是减函数.(2)当 x1，x2(1，+)时，上是增函数.难点：x1x2-1的符号的确定，如何分段.15.设 a 为实数，函数 f(x)=x2+|x-a|+1，xR，试讨论 f(x)的奇偶性，并求 f(x)的最小值.解：当 a=0 时，f(x)=x2+|x|+1，此时函数为偶函数；当 a0 时，f(x)=x2+|x-a|+1，为非奇非偶函数.(1)当 xa 时，结升华证明函数单调性要求使用定义如何比较两个量的大小作差如何判断一个式子的符号对差适当变形举

22、一反三变式用定义证明函数上是减函数思路点拨本题考查对单调性定义的理解在现阶段定义是证明单调性的唯一途径证明设是数在今后的学习中经常会碰到这个函数在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象类型二求函数的单调区间判断下列函数的单调区间解由图象对称性画出草图在上递减在上递减在上递增图象为在上递增举一反三精品资料欢减函数则上为减函数定义域为单调增区间为单调减区间为总结升华数形结合利用图象判断函数单调区间关于二次函数单调区间问题单调性变化的点与对称轴相关复合函数的单调性分析先求函数的定义域再将复合函数分解为内外层函精品资料 欢迎下载 1 且 2上单调递增，上的最小值为 f(a)=a2+1.(2)当

23、xa 时，1上单调递减，上的最小值为 f(a)=a2+1 2上的最小值为 综上：.结升华证明函数单调性要求使用定义如何比较两个量的大小作差如何判断一个式子的符号对差适当变形举一反三变式用定义证明函数上是减函数思路点拨本题考查对单调性定义的理解在现阶段定义是证明单调性的唯一途径证明设是数在今后的学习中经常会碰到这个函数在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象类型二求函数的单调区间判断下列函数的单调区间解由图象对称性画出草图在上递减在上递减在上递增图象为在上递增举一反三精品资料欢减函数则上为减函数定义域为单调增区间为单调减区间为总结升华数形结合利用图象判断函数单调区间关于二次函数单调区间问题单调性变化的点与对称轴相关复合函数的单调性分析先求函数的定义域再将复合函数分解为内外层函