第十八章勾股定理导学案1_中学教育-中考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 cbaDCAB第十八章 勾股定理 18.1 勾股定理（一）学习目标：1.了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。2.利用勾股定理，已知直角三角形的两边求第三条边的长。学习重点：探索和验证勾股定理。学习难点：证明勾股定理。导学流程：一、自主学习 前置学习：自学指导：阅读教材第64 至66页，完成下列问题。1.教材第64至65页思考及探究。2.画一个直角边为3cm 和4cm 的直角ABC，用刻度尺量出AB 的长。（勾3，股4，弦5）。以上这个事实是我国古代3000 多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广

2、三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。再画一个两直角边为5和12 的直角ABC，用刻度尺量AB 的长。你是否发现23+24与25的关系，25+212和213的关系，即23+24_25，25+212_213，那么就有_2+_2=_2。(用勾、股、弦填空)对于任意的直角三角形也有这个性质吗？要点感知：如果直角三角形的两直角边长分别是a、b，斜边为c，那么 ，即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的 。二、展示成果 活动1 已知：在ABC 中，C=90，A、B、C 的对边为a、b、c。求证：222abc。证明：如

3、赵爽弦图，思考：除此之外，还有证明勾股定理的其他办法吗？活动 2 如果将活动 1 中的图中的四个直角三角形按如图所拼，又该如何证明呢？知识点归纳：上述问题可视为命题1的证明 命题1如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边为c，那么 。总结：经过证明被确认正确的命题叫 。命题 1 在我国称为 ，而在西方称为 。三、合作探究 活动3 已知在RtABC 中，C=90，a、b、c是ABC 的三边，则（1）a=。（已知c、b，求a）（2）b=。（已知a、c，求b）（3）c=。（已知a、b，求c）活动4 ABC 的三边a、b、c，（1）若满足222abc，则C 是 角；（2）若满足222abc，则C

4、是 角；（3）若满足222abc，则C 是 角。四、当堂自测 基础训练：1.在直角三角形ABC 中，C=90，若=5a，=12b，则=c 。2.在直角三角形 ABC 中，若=3a，=5b，则=c 。3.若把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的 2 倍，则其斜边扩大到原来的 。4.在ABC中，90C （1）已知6AC，8BC，求AB的长 bbbbccccaaaabbbbaaccaa学习必备 欢迎下载 ABCEFH第12题图（2）已知17AB，15AC，求BC的长 能力提升：5.直角三角形的两边长的比是3:4，斜边长是 20，则它的两直角边的长分别是 。五、中考链接 1.（2011 广东肇庆，1

5、3，3分）在直角三角形ABC 中，C90，BC 12，AC 9，则AB 2.(20XX 年达州)图是一株美丽的勾股树，其中所有 的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形 若正方形A、B、C、D 的边长分别是 3、5、2、3，则最大 正方形E 的面积是 A.13 B.26 C.47 D.94 3.（20XX 年宜宾）已知：如图，以RtABC 的三边为斜边分别向外作 等腰直角三角形若斜边AB3,则图中阴影部分的 面积为 六、布置作业：教材第69页习题18.1 题1 七、备注(小结反思)：18.1 勾股定理（二）学习目标：1.熟知并运用勾股定理进行简单的计算。2.灵活运用勾股定理解决生活中的

6、问题。学习重点：运用勾股定理进行简单计算。学习难点：灵活运用勾股定理解决简单实际问题。导学流程：一、自主学习 前置学习：自学指导：阅读教材第66 至68页，完成下列问题。1.勾股定理的具体内容是：。2.填空:在RtABC，C=90（1）如果a=7，c=25，则b=。（2）如果A=30，a=4，则b=。（3）如果c=10，ab=2，则b=。（4）如果a、b、c是连续整数，则abc=。（5）如果b=8，:a c=3:5，则c=。3.如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？要点感知：勾股定理的前提是_三角形，已知直角三角形的两边，求第三边，要先弄清楚哪条是直角边，

7、哪条是斜边，不能确定时，要_。二、展示成果 活动1 在RtABC，C=90，（1）已知5ab，求c；（2）已知a=1，c=2，求b；（3）已知:a b=1:2，c=5，求a。分析：（1）已知_边，求_边,直接用_定理。（2）已知_边和_边，求_边，用勾股定理的变形式。（3）已知一边和两边比，求未知边。活动2 教材第66页探究1 知识点归纳：在直角三角形中，1.已知任意两边都可以求出第三边；当不能确定直角边还是斜边时，必须要_；2.已知一边和两边关系，也可以求出未知边。三、合作探究 法证明勾股定理利用勾股定理已知直角三角形的两边求第三条边的长学习重点探索和验证勾股定理学习难点证明勾股定理导学流程

8、一自主学习前置学习自学指导阅读教材第至页完成下列问题教材第至页思考及探究画一个直角边为和角两段连结得一直角三角形勾广三股修四弦隅五这话意思是说一个直角三角形较短直角边勾的长是长的直角边股的长是那么斜边弦的长是再画一个两直角边为和的直角用刻度尺量的长你是否发现与的关系和的关系即那么就有用勾股角形中两直角边的平方和等于斜边的二展示成果活动已知在中的对边为求证证明如赵爽弦图思考除此之外还有证明勾股定理的其他办法吗活动如果将活动中的图中的四个直角三角形按如图所拼又该如何证明呢知识点归纳上述问题可学习必备 欢迎下载 D C B A ACBDBCAB活动3 教材第67页探究2 活动4 已知：如图，等边AB

9、C 的边长是6cm。（1）求等边ABC 的高.（2）求SABC。注意：勾股定理的使用范围是在_三角形中，因此注意要创造_三角形，作_是常用的创造_三角形的辅助线做法。四、当堂自测 基础训练：1.填空题（1）一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 。（2）已知等边三角形的边长为 2cm，则它的高为 ，面积为 。（3）小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500 米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米。2.已知：如图，在ABC 中，C=60，AB=34，AC=4，AD 是BC 边上的高，求BC 的长。能力提升：3.已知：如图，四边形ABCD 中，ADBC，

10、ADDC，ABAC，B=60，CD=1cm，求 BC的长。4.如图，原计划从A 地经C 地到B 地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A 地到B 地直接修建，已知高速公路一公里造价为300 万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500 万元，AC=80 公里，BC=60 公里，则改建后可省工程费用是多少？5.如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，B=C=30，E、F 分别为 BD、CD 中点，试求B、C 两点之间的距离，钢索AB 和AE 的长度。（精确到1 米）五、中考链接 1.（20XX 年滨州）如图1，已知ABC中，AB17，AC 10，BC 边上的高AD8，则边BC 的长为（

11、）A.21 B.15 C.6 D.以上答案都不对 2.（20XX 年湖南长沙）如图2，等腰ABC中，ABAC，AD是底边上的高，若5cmAB，6cmBC，则AD cm 六、布置作业：教材第68页 练习 题2；第69页 习题18.1 题2、8 七、备注(小结反思)：18.1 勾股定理（三）学习目标：A C D B 2 A C D B 1 BCDAACBDEF法证明勾股定理利用勾股定理已知直角三角形的两边求第三条边的长学习重点探索和验证勾股定理学习难点证明勾股定理导学流程一自主学习前置学习自学指导阅读教材第至页完成下列问题教材第至页思考及探究画一个直角边为和角两段连结得一直角三角形勾广三股修四弦隅

12、五这话意思是说一个直角三角形较短直角边勾的长是长的直角边股的长是那么斜边弦的长是再画一个两直角边为和的直角用刻度尺量的长你是否发现与的关系和的关系即那么就有用勾股角形中两直角边的平方和等于斜边的二展示成果活动已知在中的对边为求证证明如赵爽弦图思考除此之外还有证明勾股定理的其他办法吗活动如果将活动中的图中的四个直角三角形按如图所拼又该如何证明呢知识点归纳上述问题可学习必备 欢迎下载 BACDABCCABD1.会用勾股定理解决较综合的问题。2.树立数形结合的思想。学习重点：勾股定理的综合应用。学习难点：勾股定理的综合应用。导学流程：一、自主学习 前置学习：自学指导：阅读教材第68 至69页，完成下

13、列问题。1.如图，水池中离岸边D 点1.5 米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是0.5 米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求水池的深度AC。2.教材P68页探究3 变式训练：在数轴上画出表示22,13的点。二、展示成果 活动1 已知：在RtABC 中，C=90，CDBC于D，A=60，CD=3，求线段AB 的长。三、合作探究 活动2 已知：如图，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD 的面积。知识点归纳：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解。四、当堂自测 基础训练：1.ABC 中，AB=AC=25cm，高AD=20cm，则BC=，SABC

14、=。2.ABC 中，若A=2B=3C，AC=32cm，则A=度，B=度，C=度，BC=，SABC=。3.ABC 中，C=90，AB=4，BC=32，CDAB 于D，则AC=，CD=，BD=，AD=，SABC=。能力提升：4.已知：如图，ABC 中，AB=26，BC=25，AC=17，求SABC。5.已知：如图，ABC 中，AC=4，B=45，A=60，根据题设可知什么？五、中考链接 1（2011 山东滨州，9，3分）在ABC中,C=90，C=72,AB=10,则边AC的长约为(精确到0.1)（）A.9.1 B.9.5 C.3.1 D.3.5 2（2011 贵州贵阳，7，3 分）如图，ABC中，

15、C=90，AC=3，B=30，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（A）3.5 （B）4.2 （C）5.8 （D）7 六、布置作业：教材第69页练习 题1、2；第69页 习题18.1 题10 七、备注(小结反思)：18.2 勾股定理的逆定理（一）学习目标：ABCDE法证明勾股定理利用勾股定理已知直角三角形的两边求第三条边的长学习重点探索和验证勾股定理学习难点证明勾股定理导学流程一自主学习前置学习自学指导阅读教材第至页完成下列问题教材第至页思考及探究画一个直角边为和角两段连结得一直角三角形勾广三股修四弦隅五这话意思是说一个直角三角形较短直角边勾的长是长的直角边股的长是那么斜边弦的长是再画一个两

16、直角边为和的直角用刻度尺量的长你是否发现与的关系和的关系即那么就有用勾股角形中两直角边的平方和等于斜边的二展示成果活动已知在中的对边为求证证明如赵爽弦图思考除此之外还有证明勾股定理的其他办法吗活动如果将活动中的图中的四个直角三角形按如图所拼又该如何证明呢知识点归纳上述问题可学习必备 欢迎下载 1.体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理及其作用。2.探究勾股定理的逆定理的证明方法。3.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。学习重点：勾股定理的逆定理及应用。学习难点：勾股定理的逆定理的证明。导学流程：一、自主学习 前置学习：自学指导：阅读教材第73 至74页，完成下列问题。1.说出下

17、列命题的逆命题，判断逆命题是否成立？同旁内角互补，两条直线平行。如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半。2.了解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。3.勾股定理的逆定理：_ _ 4.勾股数：_ _；勾股数扩大相同倍数后仍为_；常用的勾股数有_ _ _。二、展示成果 活动1 教材第73页命题2的证明及第74页的探究 活动2 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：(理解勾股数)（1）a 15，b 8，c 17；（2）a 13，b 14，c 15。知识点归纳：运用勾股定理的逆定理判定一个三角形

18、是否是直角三角形的一般步骤：先判断那条边最大。分别用代数方法计算出22ab和2c的值。判断22ab和2c是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。三、合作探究 活动3 已知：ABC 中，A、B、C 的对边分别是a，b，c，21an，b=2n，21cn（1n）求证：C=90。四、当堂自测 基础训练：1填空题。1）任何一个命题都有 ，但任何一个定理未必都有 。2）ABC 三边之比是1：1：2，则ABC 是 三角形。2下列四条线段不能组成直角三角形的是（）Aa=8，b=15，c=17 Ba=9，b=12，c=15 Ca=5，b=3，c=2 Da：b：c=2：3：4 能力提升：3.

19、在ABC 中，若a2=b2c2，则ABC 是 三角形，是直角；若a2b2c2，则B是 。4.在ABC 中，a=m2n2，b=2mn，c=m2n2，则ABC 是 三角形。五、中考链接（2011 山东德州13,4 分）下列命题中，其逆命题成立的是_。（只填写序号）同旁内角互补，两直线平行；如果两个角是直角，那么它们相等；如果两个实数相等，那么它们的平方相等；如果三角形的三边长a，b，c满足222abc，那么这个三角形是直角三角形。六、布置作业：教材第75页练习 题1、2；第76页 习题18.2 题1（2）（4）七、备注(小结反思)：18.2 勾股定理的逆定理（二）学习目标：1.灵活应用勾股定理及逆

20、定理解决实际问题。2.加深性质定理与判定定理之间关系的认识。法证明勾股定理利用勾股定理已知直角三角形的两边求第三条边的长学习重点探索和验证勾股定理学习难点证明勾股定理导学流程一自主学习前置学习自学指导阅读教材第至页完成下列问题教材第至页思考及探究画一个直角边为和角两段连结得一直角三角形勾广三股修四弦隅五这话意思是说一个直角三角形较短直角边勾的长是长的直角边股的长是那么斜边弦的长是再画一个两直角边为和的直角用刻度尺量的长你是否发现与的关系和的关系即那么就有用勾股角形中两直角边的平方和等于斜边的二展示成果活动已知在中的对边为求证证明如赵爽弦图思考除此之外还有证明勾股定理的其他办法吗活动如果将活动中

21、的图中的四个直角三角形按如图所拼又该如何证明呢知识点归纳上述问题可学习必备 欢迎下载 ABCD学习重点：应用勾股定理及逆定理解决实际问题。学习难点：应用勾股定理及逆定理解决实际问题。导学流程：一、自主学习 前置学习：自学指导：阅读教材第75 页，完成下列问题。1.若三角形的三边是 1，3，2；51,41,31；32，42，52 9，40，41；2mn1，2（mn），2m n+1；则构成的是直角三角形的有（）A2个 B3个 4个 5个 2、已知：在ABC 中，A、B、C 的对 边分 别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否 是直角三角形？并指出那一个角是直角？a=9，b=41，c=40；

22、a=15，b=16，c=6；a=2，b=32，c=4；二、展示成果 活动1 教材第75页例2 知识点归纳：已知三边求角，利用勾股定理的逆定理 活动2 一根30 米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7 米，比较长边短1 米，请你试判断这个三角形的形状。四、合作探究 活动3如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得AB=4 米，BC=3 米，CD=13 米，DA=12 米，又已知B=90。四、当堂自测 基础训练：1 一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此三角形的形

23、状为 。2小强在操场上向东走80m 后，又走了60m，再走100m 回到原地。小强在操场上向东走了80m 后，又走60m 的方向是 。3一根12米的电线杆AB，用铁丝AC、AD 固定，现已知用去铁丝AC=15 米，AD=13 米，又测得地面上B、C 两点之间距离是9米，B、D 两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？能力提升：4如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13 海里的 A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达 C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120 海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40，问：甲巡逻艇的航向？五、

24、中考链接(2012 巴中)已知a、b、c 是ABC的三边长,且满 足关系222cab+ab=0,则ABC的形状为 六、布置作业：教材第76页 练习 题3；习题18.2 题3 七、备注(小结反思)：第十八章 勾股定理复习小结 一、重点：1、明确勾股定理及其逆定理的内容 2、能利用勾股定理解决实际问题 二、知识小管家：通过本章的学习你都学到了 DCAB法证明勾股定理利用勾股定理已知直角三角形的两边求第三条边的长学习重点探索和验证勾股定理学习难点证明勾股定理导学流程一自主学习前置学习自学指导阅读教材第至页完成下列问题教材第至页思考及探究画一个直角边为和角两段连结得一直角三角形勾广三股修四弦隅五这话意

25、思是说一个直角三角形较短直角边勾的长是长的直角边股的长是那么斜边弦的长是再画一个两直角边为和的直角用刻度尺量的长你是否发现与的关系和的关系即那么就有用勾股角形中两直角边的平方和等于斜边的二展示成果活动已知在中的对边为求证证明如赵爽弦图思考除此之外还有证明勾股定理的其他办法吗活动如果将活动中的图中的四个直角三角形按如图所拼又该如何证明呢知识点归纳上述问题可学习必备 欢迎下载 AB 三、练习：考点一、已知两边求第三边 1.在直角三角形中,若两直角边的长分别为 1cm、2cm，则斜边长为_ 2.已知直角三角形的两边长为 3、2，则另一条边长是_ 3.已知，如图，在 ABC中，AB=BC=CA=2cm

26、，AD是边BC上的高。求 AD的长；ABC的面积。考点二、利用列方程求线段的长 4.如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村 庄，DA AB于A，CB AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少 km处？5.如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300 米，又与公路车站（D点）的距离为500 米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校 A及车站 D的距离相等，求商店与车站之间的距离。考点三、判别一个三角形是否是直角三角形 7.分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、

27、5；（2）5、12、13；（3）8、15、17；（4）4、5、6；其中能够成直角三角形的有_。8.若三角形的三别是22ab,2ab,22ab(0ab),则这个三角形是_。四、灵活变通 9、直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为 72cm，82cm，则以斜边为边长的正方形的面积为_2cm。10.如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B 点，则最少要爬行 _cm。11.一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5，高为 12，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6，问吸管要做多长？12.如图：带阴影部分的半圆的面积 是_（取3）13.若一个三角形的周长

28、123cm,一边长为33cm,其他两边之差为3cm,则这个三角形是_。五、能力提升 14.已知：如图，ABC 中，AB AC，AD 是BC 边上的高 求证：22ABACBC BDDC。15.如图，四边形ABCD 中，F为DC的中点，E为BC上一点，且BCCE41 你能说明AFE是直角吗？A D E B C 6 8 法证明勾股定理利用勾股定理已知直角三角形的两边求第三条边的长学习重点探索和验证勾股定理学习难点证明勾股定理导学流程一自主学习前置学习自学指导阅读教材第至页完成下列问题教材第至页思考及探究画一个直角边为和角两段连结得一直角三角形勾广三股修四弦隅五这话意思是说一个直角三角形较短直角边勾的长是长的直角边股的长是那么斜边弦的长是再画一个两直角边为和的直角用刻度尺量的长你是否发现与的关系和的关系即那么就有用勾股角形中两直角边的平方和等于斜边的二展示成果活动已知在中的对边为求证证明如赵爽弦图思考除此之外还有证明勾股定理的其他办法吗活动如果将活动中的图中的四个直角三角形按如图所拼又该如何证明呢知识点归纳上述问题可