空间点直线平面之间的位置关系[高考数学总复习][高中数学课时训]_中学教育-高考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 空间点直线平面之间的位置关系 1.给出下列四个命题：垂直于同一直线的两条直线互相平行；垂直于同一平面的两个平面互相平行；若直线 l1、l2与同一平面所成的角相等，则 l1,l2互相平行；若直线 l1、l2是异面直线，则与 l1、l2都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是 .答案 4 2.对于平面和直线 l，内至少有一条直线与直线 l （用“垂直”，“平行”或“异面”填空）.答案 垂直 3.若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成 部分.答案 7 4.（2007广东理，12）如果一个凸多面体是 n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有

2、 条.这些直线中共有 f(n)对异面直线，则 f(4)=;f(n)=.（答案用数字或 n 的解析式表示）答案 2)1(nn 8 n(n-2)5.如图所示，在正三角形 ABC中，D、E、F 分别为各边的中点，G、H、I、J 分别为 AF、AD、BE、DE的中点，将ABC沿 DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与 IJ 所成角的度数为 .答案 60 基础自测 学习必备 欢迎下载 例 1 如图所示，空间四边形 ABCD 中，E、F、G分别在 AB、BC、CD上，且满足 AE EB=CFFB=21，CG GD=31，过 E、F、G的平面交 AD于 H，连接 EH.（1）求 AH HD；（2）求证：EH

3、、FG、BD三线共点.(1)解 EBAE=FBCF=2，EFAC.EF平面 ACD.而 EF平面 EFGH，且平面 EFGH 平面 ACD=GH，EFGH.而 EFAC，AC GH.HDAH=GDCG=3,即 AH HD=31.（2）证明 EFGH,且ACEF=31，ACGH=41，EFGH，四边形 EFGH 为梯形.令 EH FG=P，则 PEH，而 EH平面 ABD，PFG，FG平面 BCD，平面 ABD 平面 BCD=BD，PBD.EH、FG、BD三线共点.例 2 如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1中，M、N分别是 A1B1，B1C1的中点.问：（1）AM和 CN是否是异面直线？

4、说明理由；（2）D1B和 CC1是否是异面直线？说明理由.解 （1）不是异面直线.理由如下：M、N分别是 A1B1、B1C1的中点.MN A1C1，又A1A D1D，而 D1D C1C，A1A C1C，四边形 A1ACC1为平行四边形.A1C1AC，得到 MN AC，A、M、N、C在同一个平面内，故 AM和 CN不是异面直线.（2）是异面直线，证明如下：假设 D1B与 CC1在同一个平面 D1CC1内，则 B平面 CC1D1，C平面 CC1D1.BC平面 CC1D1，这与正方体 ABCD A1B1C1D1中 BC 面 CC1D1相矛盾.假设不成立，故 D1B与 CC1是异面直线.例 3 （16

5、 分）如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面是边长为 2 的菱形，DAB=60，对角线 AC与 BD交于点 O，PO 平面 ABCD，PB与平面 ABCD 所成角为 60.（1）求四棱锥的体积；（2）若 E是 PB的中点，求异面直线 DE与 PA所成角的余弦值.解 （1）在四棱锥 PABCD 中，PO 平面 ABCD，PBO是 PB与平面 ABCD 所成的角，即PBO=60，2 分 在 RtPOB中，行垂直于同一平面的两个平面互相平行若直线若直线与同一平面所成的角相等则互相平行是异面直线则与都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是答案对于平面和直线内至少有一条直线与直线用垂直平行或异面填

6、空答案垂么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有条这些直线中共有对异面直线则答案用数字或的解析式表示答案如图所示在正三角形中分别为各边的中点分别为的中点将沿折成三棱锥以后与所成角的度数为答案学习必备欢迎下载例如形为梯形令则而平面平面平面平面三线共点例如图所示正方体中分别是的中点问和是否是异面直线说明理由和是否是异面直线说明理由解不是异面直线理由如下分别是的中点又而四边形为平行四边形得到在同一个平面内故和不是异学习必备 欢迎下载 BO=AB sin30=1，又 PO OB，PO=BO tan60=3,底面菱形的面积 S=2212223=23.四棱锥 PABCD 的体积 VPABCD=31233=

7、2.8 分（2）取 AB的中点 F，连接 EF，DF，E为 PB中点，EFPA，DEF为异面直线 DE与 PA所成角（或其补角）.10 分 在 RtAOB中，AO=AB cos30=3=OP，在 RtPOA中，PA=6，EF=26.12 分 在正三角形 ABD和正三角形 PDB中，DF=DE=3，由余弦定理得 cos DEF=EFDEDFEFDE2222 14 分=2632)3()26()3(222=2346=42.所以异面直线 DE与 PA所成角的余弦值为42.16 分 1.如图，E、F、G、H分别是空间四边形 AB、BC、CD、DA上的点，且 EH与 FG相交于点 O.求证：B、D、O三点

8、共线.证明 EAB，H AD，E平面 ABD，H 平面 ABD.EH平面 ABD.EH FG=O，O平面 ABD.同理可证 O平面 BCD，O平面 ABD 平面 BCD，即 OBD，所以 B、D、O三点共线.2.在正方体 ABCD A1B1C1D1中，E是 CD的中点，连接 AE并延长与 BC的延长线交于点 F，连接 BE并延长交AD的延长线于点 G，连接 FG.求证：直线 FG平面 ABCD 且直线 FG 直线 A1B1.行垂直于同一平面的两个平面互相平行若直线若直线与同一平面所成的角相等则互相平行是异面直线则与都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是答案对于平面和直线内至少有一条直线与

9、直线用垂直平行或异面填空答案垂么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有条这些直线中共有对异面直线则答案用数字或的解析式表示答案如图所示在正三角形中分别为各边的中点分别为的中点将沿折成三棱锥以后与所成角的度数为答案学习必备欢迎下载例如形为梯形令则而平面平面平面平面三线共点例如图所示正方体中分别是的中点问和是否是异面直线说明理由和是否是异面直线说明理由解不是异面直线理由如下分别是的中点又而四边形为平行四边形得到在同一个平面内故和不是异学习必备 欢迎下载 证明 由已知得 E是 CD的中点，在正方体中，由于 A平面 ABCD，E平面 ABCD，所以 AE平面 ABCD.又 AE BC=F，从而 F平面

10、 ABCD.同理 G平面 ABCD，所以 FG平面 ABCD.因为 EC 21AB，故在 RtFBA中，CF=BC，同理 DG=AD.又在正方形 ABCD 中，BCAD，所以 CFDG，所以四边形 CFGD 是平行四边形，所以 FG CD.又 CD AB，AB A1B1，所以直线 FG 直线 A1B1.3.如图所示，等腰直角三角形 ABC中，A=90，BC=2，DA AC，DA AB，若 DA=1，且 E为 DA的中点.求异面直线 BE与 CD所成角的余弦值.解 取 AC的中点 F，连接 EF，BF，在ACD中，E、F 分别是 AD、AC的中点，EFCD，BEF即为异面直线 BE与 CD所成的

11、角或其补角.在 RtEAB中，AB=AC=1，AE=21AD=21，BE=25，在 RtEAF中，AF=21AC=21，AE=21，EF=22，在 RtBAF中，AB=1，AF=21，BF=25，在等腰三角形 EBF中，cos FEB=254221BEEF=1010，异面直线 BE与 CD所成角的余弦值为1010.一、填空题 1.若直线 a 与 b 是异面直线，直线 b 与 c 是异面直线，则直线 a 与 c 的位置关系是 .答案 平行、相交或异面 2.给出下列命题：若平面内的直线 a 与平面内的直线 b 为异面直线，直线c 是与的交线，那么直线 c 至多与 a、b 中的一条相交；若直线 a

12、与 b 为异面直线，直线 b 与 c 平行，则直线 a 与 c 异面；一定存在平面和异面直线 a、b 同时平行.行垂直于同一平面的两个平面互相平行若直线若直线与同一平面所成的角相等则互相平行是异面直线则与都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是答案对于平面和直线内至少有一条直线与直线用垂直平行或异面填空答案垂么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有条这些直线中共有对异面直线则答案用数字或的解析式表示答案如图所示在正三角形中分别为各边的中点分别为的中点将沿折成三棱锥以后与所成角的度数为答案学习必备欢迎下载例如形为梯形令则而平面平面平面平面三线共点例如图所示正方体中分别是的中点问和是否是异面直

13、线说明理由和是否是异面直线说明理由解不是异面直线理由如下分别是的中点又而四边形为平行四边形得到在同一个平面内故和不是异学习必备 欢迎下载 其中正确命题的序号是 .答案 3.已知 a，b 是异面直线，直线 c直线 a,则 c 与 b 的位置关系 .一定是异面直线 一定是相交直线 不可能是平行直线 不可能是相交直线 答案 4.若 P 是两条异面直线 l、m外的任意一点，则说法错误的有 （填序号）.过点 P 有且仅有一条直线与 l、m都平行 过点 P 有且仅有一条直线与 l、m都垂直 过点 P 有且仅有一条直线与 l、m都相交 过点 P 有且仅有一条直线与 l、m都异面 答案 5.（2008辽宁文）

14、在正方体 ABCD A1B1C1D1中，E、F 分别为棱 AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线有 条.答案 无数 6.正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线 A1B与 AD1所成角的余弦值为 .答案 54 7.如图所示，在三棱锥CABD 中，E、F 分别是 AC和 BD的中点，若 CD=2AB=4，EFAB，则 EF与 CD所成的角是 .答案 30 8.已知 a、b 为不垂直的异面直线,是一个平面，则 a、b 在上的射影可能是 两条平行直线；两条互相垂直的直线；同一条直线；一条直线及其外一点.则在上面的结论中，正确结论的编号是

15、（写出所有正确结论的编号）.答案 二、解答题 9.如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F 分别是 AB和 AA1的中点.求证：（1）E，C，D1，F 四点共面；（2）CE，D1F，DA三线共点.证明 （1）如图所示，连接CD1，EF，A1B，E、F 分别是 AB和 AA1的中点，EFA1B且 EF=21A1B，又A1D1 BC,四边形 A1BCD1是平行四边形，A1BCD1，EFCD1，EF与 CD1确定一个平面，E，F，C，D1，即 E，C，D1，F 四点共面.（2）由（1）知 EFCD1，且 EF=21CD1，四边形 CD1FE是梯形，CE与 D1F 必相交，设交点为P，则

16、PCE平面 ABCD，行垂直于同一平面的两个平面互相平行若直线若直线与同一平面所成的角相等则互相平行是异面直线则与都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是答案对于平面和直线内至少有一条直线与直线用垂直平行或异面填空答案垂么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有条这些直线中共有对异面直线则答案用数字或的解析式表示答案如图所示在正三角形中分别为各边的中点分别为的中点将沿折成三棱锥以后与所成角的度数为答案学习必备欢迎下载例如形为梯形令则而平面平面平面平面三线共点例如图所示正方体中分别是的中点问和是否是异面直线说明理由和是否是异面直线说明理由解不是异面直线理由如下分别是的中点又而四边形为平行四边形

17、得到在同一个平面内故和不是异学习必备 欢迎下载 且 PD1F平面 A1ADD1，P平面 ABCD 且 P平面 A1ADD1.又平面 ABCD 平面 A1ADD1=AD，PAD，CE，D1F，DA三线共点.10.定线段 AB所在的直线与定平面相交，P 为直线 AB外的一点，且 P 不在内，若直线 AP、BP与分别交于 C、D点，求证：不论 P在什么位置，直线 CD必过一定点.证明 设定线段 AB所在直线为 l,与平面交于 O点，即 l=O.由题意可知，AP=C，BP=D，C，D.又AP BP=P,AP、BP可确定一平面且 C，D.CD=.A，B,l,O.O，即 OCD.不论 P 在什么位置，直线

18、 CD必过一定点.11.如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E、F 分别为 CC1、AA1的中点，画出平面 BED1F 与平面 ABCD 的交线.解 在平面 AA1D1D内，延长 D1F，D1F与 DA不平行，因此 D1F 与 DA必相交于一点，设为 P，则 PFD1，PDA.又FD1平面 BED1F，AD平面 ABCD，P平面 BED1F，P平面 ABCD.又 B为平面 ABCD 与平面 BED1F的公共点，连接 PB，PB即为平面 BED1F 与平面 ABCD 的交线.如图所示.12.如图所示，在四面体 ABCD 中，E、F 分别是线段 AD、BC上的点，EDAE=FCBF=

19、21，AB=CD=3，EF=7，求 AB、CD所成角的大小.解 如图所示，在线段 BD上取一点 G，使GDGB=21.连接 GF、GE、EF.EDAE=GDBG=FCBF=21，GE AB，且 GE=32AB=2，同理，GF CD，且 GF=31CD=1，在EGF中，cos EGF=12271222=-21,EGF=120.由 GF CD,GE AB可知,AB与 CD所成的角应是EGF的补角为 60.行垂直于同一平面的两个平面互相平行若直线若直线与同一平面所成的角相等则互相平行是异面直线则与都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是答案对于平面和直线内至少有一条直线与直线用垂直平行或异面填空

20、答案垂么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有条这些直线中共有对异面直线则答案用数字或的解析式表示答案如图所示在正三角形中分别为各边的中点分别为的中点将沿折成三棱锥以后与所成角的度数为答案学习必备欢迎下载例如形为梯形令则而平面平面平面平面三线共点例如图所示正方体中分别是的中点问和是否是异面直线说明理由和是否是异面直线说明理由解不是异面直线理由如下分别是的中点又而四边形为平行四边形得到在同一个平面内故和不是异学习必备 欢迎下载 行垂直于同一平面的两个平面互相平行若直线若直线与同一平面所成的角相等则互相平行是异面直线则与都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是答案对于平面和直线内至少有一条直线与直线用垂直平行或异面填空答案垂么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有条这些直线中共有对异面直线则答案用数字或的解析式表示答案如图所示在正三角形中分别为各边的中点分别为的中点将沿折成三棱锥以后与所成角的度数为答案学习必备欢迎下载例如形为梯形令则而平面平面平面平面三线共点例如图所示正方体中分别是的中点问和是否是异面直线说明理由和是否是异面直线说明理由解不是异面直线理由如下分别是的中点又而四边形为平行四边形得到在同一个平面内故和不是异