异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角专题复习与提高_中学教育-高考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 空间角专题复习 知识梳理 一、异面直线所成的角及求法(1)定义：在空间任意取一点，过该点分别作两异面直线的平行线所成的锐角或直角称为两异面直线所成的角(2)取值范围：若 是异面直线 a 和 b 所成的角，则其取值范围是 (0，2，当 2时，称异面直线a 和 b 垂直，记为 ab.(3)求法：平移法：将两异面直线中的一条或两条平移至某特殊点后，构造三角形，通过解该三角形而求其大小；二、直线与平面所成的角及求法(1)定义：设 l 和 分别表示直线与平面若l 或 l，则称直线 l 和平面所成的角为 0；若 l，则称 l 与 所成的角为2；若 l 与 相交，则 l与 l 在 内的射

2、影所成的锐角为直线 l 与平面 所成的角(2)取值范围：设 是直线 l 与平面 所成的角，则 的取值范围是0,2(3)求法：定义法：探寻直线 l 在平面 内的射影，(通常由垂直法找射影)构造直线 l 与平面 所成角对应的直角三角形，通过解该直角三角形而求得直线与平面所成的角 三、二面角及求法(1)定义：在二面角的棱上任取一点，分别在二面角的两个面内作棱的垂线，则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角，且定义平面角的大小为该二面角的大小(2)取值范围：规定二面角的取值范围为0，(3)求法：定义法：分别在二面角的两个面内作棱的垂线，则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角 学习必备 欢迎下载 练习提升

3、 1如图，E、F 分别是三棱锥 PABC 的棱 AP、BC 的中点，PC10，AB6，EF7，则异面直线 AB与 PC 所成的角为 ()A30 B45 C60 D90 答案：C 2.已知长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC4，CC12，则直线 BC1和平面 DBB1D1所成的角的正弦值为()A.32 B.52 C.105 D.1010 答案：C 3.如图，在边长为 1 的菱形 ABCD 中，ABC60，将菱形沿对角线 AC 折起，使折起后 BD1，则二面角 BACD 的余弦值为 ()A.13 B.12 C.2 23 D.32 答案：A 4在正方体 ABCDA1B1C1D1中，B1C 与

4、对角面 DD1B1B 所成角的大小是 ()A15 B30 C45 D60 答案：B 5如图，ABCDA1B1C1D1是长方体，AA1a，BAB1B1A1C130，则 AB 与 A1C1所成的角为_，AA1与 B1C 所成的角为_ 答案：030，045 6.在正方体 ABCDA1B1C1D1中，(1)直线 A1B 与平面 ABCD 所成的角是_；(2)直线 A1B 与平面 ABC1D1所成的角是_；(3)直线 A1B 与平面 AB1C1D 所成的角是_ 答案 (1)45 (2)30 (3)90 7设直线与平面所成角的大小范围为集合 P，二面角的平面角大小范围为集合 Q，异面直线所成角的大小范围为

5、集合 R，则 P、Q、R的关系为()面直线的平行线所成的锐角或直角称为两异面直线所成的角取值范围若是异面直线和所成的角则其取值范围是当时称异面直线和垂直记为求法平移法将两异面直线中的一条或两条平移至某特殊点后构造三角形通过解该三角形而求其角为若与相交则与在内的射影所成的锐角为直线与平面所成的角取值范围设是直线与平面所成的角则的取值范围是求法定义法探寻直线在平面内的射影通常由垂直法找射影构造直线与平面所成角对应的直角三角形通过解该直角三角则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角且定义平面角的大小为该二面角的大小取值范围规定二面角的取值范围为求法定义法分别在二面角的两个面内作棱的垂线则这两垂线所成的

6、角称为该二面角的平面角学习必备欢迎下载练习学习必备 欢迎下载 ARPQ BRPQ CPRQ DRPQ 答案：B 8设ABC 和DBC 所在两平面互相垂直，且 ABBCBDa，CBACBD120，则 AD 与平面 BCD 所成角的大小为()A30 B45 C60 D75 解析：作 AO CB 交 CB 的延长线于 O，连接 OD，则 OD 即为 AD 在平面 BCD 内的射影，ADO 即为 AD 与平面 BCD 所成的角 AOOD32a，ADO45.答案：B 9.如图，AB 是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点(不同于 A、B)且 PAAC，则二面角 PBCA的大小为 ()A60

7、B30 C45 D15 答案 C 10如图，已知四棱锥 PABCD 的底面是正方形，PA平面 ABCD，且 PAAD，则平面PAB与平面 PCD 所成的二面角的度数为()A90 B60 C45 D30 解析：AB CD，面PAB 与平面 PCD 的交线 l 必为过 P 点与 AB平行的直线 PA平面 ABCD，PA AB，PA CD，又 CD AD，DC平面 PAD，DC PD，面直线的平行线所成的锐角或直角称为两异面直线所成的角取值范围若是异面直线和所成的角则其取值范围是当时称异面直线和垂直记为求法平移法将两异面直线中的一条或两条平移至某特殊点后构造三角形通过解该三角形而求其角为若与相交则与

8、在内的射影所成的锐角为直线与平面所成的角取值范围设是直线与平面所成的角则的取值范围是求法定义法探寻直线在平面内的射影通常由垂直法找射影构造直线与平面所成角对应的直角三角形通过解该直角三角则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角且定义平面角的大小为该二面角的大小取值范围规定二面角的取值范围为求法定义法分别在二面角的两个面内作棱的垂线则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角学习必备欢迎下载练习学习必备 欢迎下载 PA l，PD l，即 APD 为所求二面角的平面角，APD45.答案：C 11把正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角，对于下列结论：ACBD；ADC 是正三角形；AB 与 CD 成

9、 60 角；AB 与平面 BCD 成 60 角 则其中正确结论的个数是()A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 解析：取 BD 的中点 O，则 BD OC，BD OA，得 BD平面 AOC，BD AC，正确；cosADCcos45 cos45 12，ADC60，ADDC，ADC 是正三角形，正确；AB 与 CD 成 60 角，正确；AB与平面 BCD 成角 ABO45，错误 答案：C 12如图所示的正方体 ABCDA1B1C1D1中，过顶点 B、D、C1作截面，则二面角 BDC1C 的平面角的余弦值是_ 解析：取 C1D 的中点 O，连接 BO、CO，则 BO C1D，CO C1D，BOC

10、是二面角 BDC1C 的平面角 设正方体的棱长为 1，则 CO22，BDC1为正三角形，OB62，且 BC1，cos BOCOB2OC2BC22OB OC33.答案：33 13如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABBCAA1，ABC90，点 E、F 分别是棱AB、BB1的中点则直线 EF 和 BC1所成的角是()A45 B60 C90 D120 面直线的平行线所成的锐角或直角称为两异面直线所成的角取值范围若是异面直线和所成的角则其取值范围是当时称异面直线和垂直记为求法平移法将两异面直线中的一条或两条平移至某特殊点后构造三角形通过解该三角形而求其角为若与相交则与在内的射影所成的锐角为直线与

11、平面所成的角取值范围设是直线与平面所成的角则的取值范围是求法定义法探寻直线在平面内的射影通常由垂直法找射影构造直线与平面所成角对应的直角三角形通过解该直角三角则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角且定义平面角的大小为该二面角的大小取值范围规定二面角的取值范围为求法定义法分别在二面角的两个面内作棱的垂线则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角学习必备欢迎下载练习学习必备 欢迎下载 解析：取 B1C1的中点 G，A1B1的中点 H，连结 FG、BG、HG、EH，则 FG BC1，且EFG 或其补角就是所求的角，利用余弦定理可求得 cos EFG12，故所求角为 60.答案：B 14如图，将 RtAB

12、C 沿斜边上的高 AD 折成 120 的二面角 CADC，若直角边 AB4 3，AC4 6，则二面角 ABCD 的正切值为()A.2 B.22 C.24 D1 解析：CDC120，过 D 作 DE BC于 E，连结 AE，则 AED 即为所求又知 AD平面 BCD，AD4 2，在 BCD 中，由余弦定理求得 BC4 3，再由面积公式 S BCD12BC DE12 BD CD sin60 知 DE4，tan AEDADDE 2.答案：A 点评：考查二面角的知识，余弦定理及三角形的边角计算如何作出二面角的平面角是解决此类问题的关键 15在矩形 ABCD 中，AB3，AD4，PA平面 ABCD，PA

13、4 35，那么二面角 ABDP的度数是()A30 B45 C60 D75 解析：如右图所示，过 A作 AE BD，垂足为 E，连结 PE，则 PE BD(三垂线定理)，故 PEA 为二面角 PBDA的平面角 在 Rt BAD 中，AEAB ADBD125.在 Rt PAE中，tan PEAPAAE33，PEA30.面直线的平行线所成的锐角或直角称为两异面直线所成的角取值范围若是异面直线和所成的角则其取值范围是当时称异面直线和垂直记为求法平移法将两异面直线中的一条或两条平移至某特殊点后构造三角形通过解该三角形而求其角为若与相交则与在内的射影所成的锐角为直线与平面所成的角取值范围设是直线与平面所成

14、的角则的取值范围是求法定义法探寻直线在平面内的射影通常由垂直法找射影构造直线与平面所成角对应的直角三角形通过解该直角三角则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角且定义平面角的大小为该二面角的大小取值范围规定二面角的取值范围为求法定义法分别在二面角的两个面内作棱的垂线则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角学习必备欢迎下载练习学习必备 欢迎下载 答案：A 16正四棱锥 PABCD 的两个侧面 PAB 与 PCD 互相垂直，则相邻两个侧面所成二面角的平面角为()A60 B90 C120 D150 解析：如图，作 BE PC，连结 DE.PDCPBC，DE PC DEB 就是二面角 DPCB 的平面角，

15、O 为 DB 的中点，OEB12 DEB，又面 PAB面 PCD，PO12AB，在 Rt POC 中，OC22AB，所以 PC32AB.OE12AB22AB32AB66AB.tan OEB22AB66AB 3，OEB3，DEB23.答案：C 17.如图，在四棱锥 VABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为 5的等腰三角形，则二面角 VABC 的度数是_ 面直线的平行线所成的锐角或直角称为两异面直线所成的角取值范围若是异面直线和所成的角则其取值范围是当时称异面直线和垂直记为求法平移法将两异面直线中的一条或两条平移至某特殊点后构造三角形通过解该三角形而求其角为

16、若与相交则与在内的射影所成的锐角为直线与平面所成的角取值范围设是直线与平面所成的角则的取值范围是求法定义法探寻直线在平面内的射影通常由垂直法找射影构造直线与平面所成角对应的直角三角形通过解该直角三角则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角且定义平面角的大小为该二面角的大小取值范围规定二面角的取值范围为求法定义法分别在二面角的两个面内作棱的垂线则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角学习必备欢迎下载练习学习必备 欢迎下载 答案 60 18如图，直角梯形 ABCD 中，ABCD，DAB2，点 M、N 分别在 AB，CD 上，且MNAB，MCCB，BC2，MB4，现将梯形 ABCD 沿 MN 折起，使平

17、面 AMND 与平面MNCB 垂直(如图)(1)求证：AB平面 DNC；(2)当 DN32时，求二面角 DBCN 的大小 解：(1)证明：MB NC，MB 平面 DNC，NC平面 DNC，MB平面 DNC.同理 MA平面 DNC，又 MAMBM，且 MA、MB平面 MAB.平面 MAB平面 NCDAB平面MABAB平面 DNC.(2)过 N 作 NH BC 交 BC 延长线于 H，平面 AMND平面MNCB，DN MN，DN平面 MBCN，从而 DH BC，DHN 为二面角 DBCN 的平面角 由 MB4，BC2，MCB90 知 MBC60，CN42cos60 3，NH3sin60 3 32.

18、由条件知：tanNHDDNNH33，NHD30.19.如图，已知在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA平面 ABCD，PAAD1，AB2，E、F 分别是 AB、PD 的中点(1)求证：AF平面 PEC；面直线的平行线所成的锐角或直角称为两异面直线所成的角取值范围若是异面直线和所成的角则其取值范围是当时称异面直线和垂直记为求法平移法将两异面直线中的一条或两条平移至某特殊点后构造三角形通过解该三角形而求其角为若与相交则与在内的射影所成的锐角为直线与平面所成的角取值范围设是直线与平面所成的角则的取值范围是求法定义法探寻直线在平面内的射影通常由垂直法找射影构造直线与平面所成角对应的直角

19、三角形通过解该直角三角则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角且定义平面角的大小为该二面角的大小取值范围规定二面角的取值范围为求法定义法分别在二面角的两个面内作棱的垂线则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角学习必备欢迎下载练习学习必备 欢迎下载(2)求 PC 与平面 ABCD 所成的角的正切值；(3)求二面角 PECD 的正切值 解：(1)证明：如图，取 PC 的中点 O，连接 OF、OE，则 FO DC，且 FO12DC，FO AE，又 E 是 AB的中点，且 ABDC，FOAE.四边形AEOF 是平行四边形，AF OE.又 OE平面 PEC，AF 平面 PEC，AF平面 PEC.(2)如图，

20、连接 AC，PA平面 ABCD，PCA 是直线 PC 与平面 ABCD 所成的角 在 Rt PAC 中，tan PCAPAAC 1555，即直线 PC 与平面 ABCD 所成的角的正切值为55.(3)如图，作 AM CE，交 CE 的延长线于 M.连接 PM，由三垂线定理得 PM CE，PMA 是二面角 PECD 的平面角 面直线的平行线所成的锐角或直角称为两异面直线所成的角取值范围若是异面直线和所成的角则其取值范围是当时称异面直线和垂直记为求法平移法将两异面直线中的一条或两条平移至某特殊点后构造三角形通过解该三角形而求其角为若与相交则与在内的射影所成的锐角为直线与平面所成的角取值范围设是直线

21、与平面所成的角则的取值范围是求法定义法探寻直线在平面内的射影通常由垂直法找射影构造直线与平面所成角对应的直角三角形通过解该直角三角则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角且定义平面角的大小为该二面角的大小取值范围规定二面角的取值范围为求法定义法分别在二面角的两个面内作棱的垂线则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角学习必备欢迎下载练习学习必备 欢迎下载 由 AMECBE 可得 AM22，tan PMAPAAM 2.二面角PECD 的正切值为 2.20.如图所示，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，BCD60，E 是 CD 的中点，PA底面 ABCD，PA 3.(1)证明：平

22、面 PBE平面 PAB；(2)求二面角 ABEP 的大小 (1)证明 如图所示,连接 BD,由 ABCD 是菱形且BCD60 知，BCD 是等边三角形 因为 E 是 CD 的中点，所以 BECD.又 ABCD，所以 BEAB.又因为 PA平面 ABCD，BE平面 ABCD，所以 PABE.而 PAABA，因此 BE平面 PAB.又 BE平面 PBE，所以平面 PBE平面 PAB.(2)解 由(1)知，BE平面 PAB，PB平面 PAB，所以 PBBE.又 ABBE，所以PBA 是二面角 ABEP 的平面角 在 RtPAB中，tanPBAPAAB 3，则PBA60.故二面角 ABEP 的大小是

23、60.面直线的平行线所成的锐角或直角称为两异面直线所成的角取值范围若是异面直线和所成的角则其取值范围是当时称异面直线和垂直记为求法平移法将两异面直线中的一条或两条平移至某特殊点后构造三角形通过解该三角形而求其角为若与相交则与在内的射影所成的锐角为直线与平面所成的角取值范围设是直线与平面所成的角则的取值范围是求法定义法探寻直线在平面内的射影通常由垂直法找射影构造直线与平面所成角对应的直角三角形通过解该直角三角则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角且定义平面角的大小为该二面角的大小取值范围规定二面角的取值范围为求法定义法分别在二面角的两个面内作棱的垂线则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角学习必备

24、欢迎下载练习学习必备 欢迎下载 21已知平面 外两点 A、B 到平面 的距离分别为 1 和 2，A、B 两点在 内的射影之间距离为 3，求直线 AB和平面 所成的角 解(1)如图(1)，当 A、B 位于平面 同侧时，由点 A、B 分别向平面 作垂线，垂足分别为A1、B1，则 AA11，BB12，B1A1 3.过点 A作 AHBB1于 H，则 AB和 所成角即为HAB.而 tanBAH21333.BAH30.(2)如图(2)，当 A、B 位于平面 异侧时，经 A、B 分别作 AA1 于 A1，BB1 于 B1，AB C，则 A1B1为 AB在平面 上的射影，BCB1或ACA1为 AB与平面 所成

25、角 BCB1ACA1，BB1AA1B1CCA12，B1C2CA1，而 B1CCA1 3，B1C2 33.tanBCB1BB1B1C22 33 3，BCB160，AB 与 所成角为 60.综合(1)、(2)可知：AB与平面 所成角为 30 或 60.22.如图，在三棱锥 PABC 中，PA底面 ABC，BCA90，点 D、E 分别在棱 PB、PC上，且 DEBC.(1)求证：BC 平面 PAC.(2)是否存在点 E 使得二面角 ADEP 为直二面角？并说明理由 (1)证明 PA底面 ABC，PABC.又BCA90，ACBC.又ACPAA，面直线的平行线所成的锐角或直角称为两异面直线所成的角取值范

26、围若是异面直线和所成的角则其取值范围是当时称异面直线和垂直记为求法平移法将两异面直线中的一条或两条平移至某特殊点后构造三角形通过解该三角形而求其角为若与相交则与在内的射影所成的锐角为直线与平面所成的角取值范围设是直线与平面所成的角则的取值范围是求法定义法探寻直线在平面内的射影通常由垂直法找射影构造直线与平面所成角对应的直角三角形通过解该直角三角则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角且定义平面角的大小为该二面角的大小取值范围规定二面角的取值范围为求法定义法分别在二面角的两个面内作棱的垂线则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角学习必备欢迎下载练习学习必备 欢迎下载 BC平面 PAC.(2)解 DE

27、BC，又由(1)知，BC平面 PAC，DE平面 PAC.又AE平面 PAC，PE平面 PAC，DEAE，DEPE.AEP 为二面角 ADEP 的平面角 PA底面 ABC，PAAC，PAC90.在棱 PC 上存在一点 E，使得 AEPC.这时AEP90，故存在点 E，使得二面角 ADEP 为直二面角 面直线的平行线所成的锐角或直角称为两异面直线所成的角取值范围若是异面直线和所成的角则其取值范围是当时称异面直线和垂直记为求法平移法将两异面直线中的一条或两条平移至某特殊点后构造三角形通过解该三角形而求其角为若与相交则与在内的射影所成的锐角为直线与平面所成的角取值范围设是直线与平面所成的角则的取值范围是求法定义法探寻直线在平面内的射影通常由垂直法找射影构造直线与平面所成角对应的直角三角形通过解该直角三角则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角且定义平面角的大小为该二面角的大小取值范围规定二面角的取值范围为求法定义法分别在二面角的两个面内作棱的垂线则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角学习必备欢迎下载练习