微积分公式与定积分计算练习_高等教育-微积分.pdf

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1、微积分公式与定积分计算练习（附加三角函数公式）一、基本导数公式 0c 1xx sincosxx cossinxx 2tansecxx 2cotcscxx secsectanxxx csccsccotxxx xxee lnxxaaa 1ln xx 1loglnxaxa 21arcsin1xx 21arccos1xx 21arctan1xx 21arccot1xx 1x12xx 二、导数的四则运算法则 uvuv uvu vuv 2uu vuvvv 三、高阶导数的运算法则（1）nnnu xv xu xv x （2）nncu xcux（3）nnnu axba uaxb （4）()0nnn kkknku

2、 xv xc ux vx 四、基本初等函数的 n 阶导数公式（1）!nnxn （2）nax bnax beae (3)lnnxxnaaa(4)sinsin2nnaxbaaxbn (5)coscos2nnaxbaaxbn (6)11!1nnnnanaxbaxb (7)11!ln1nnnnanaxbaxb 五、微分公式与微分运算法则 欢迎下载 2 0d c 1d xxdx sincosdxxdx cossindxxdx 2tansecdxxdx 2cotcscdxxdx secsectandxxxdx csccsccotdxxxdx xxd ee dx lnxxd aaadx 1lndxdxx 1

3、loglnxaddxxa 21arcsin1dxdxx 21arccos1dxdxx 21arctan1dxdxx 21arccot1dxdxx 六、微分运算法则 d uvdudv d cucdu d uvvduudv 2uvduudvdvv 七、基本积分公式 kdxkxc 11xx dxc lndxxcx lnxxaa dxca xxe dxec cossinxdxxc sincosxdxxc 221sectancosdxxdxxcx 221csccotsinxdxxcx 21arctan1dxxcx 21arcsin1dxxcx 八、补充积分公式 tanln cosxdxxc cotln

4、sinxdxxc secln sectanxdxxxc cscln csccotxdxxxc 2211arctanxdxcaxaa 2211ln2xadxcxaaxa 基本初等函数的阶导数公式五微分公式与微分运算法则欢迎下载六微分运算法则七基本积分公式八补充积分公式欢迎下载九下列常用凑微分公式积分型换元公式十分部积分法公式形如令形如令形如令形如令形如令形如令均可十一第十三下列常用等价无穷小关系十四三角函数公式两角和公式欢迎下载二倍角公式半角公式和差化积公式积化和差公式万能公式平方关系倒数关系商数关系十五几种常见的微分方程可分离变量的微分方程齐次微分方程一阶线性非齐次取自阴影部分的概率为山东由曲

5、线围成的封闭图形面积为设函数图象与轴围成封闭区域的面积为定积分的值为如图所示曲线和曲线围成一个叶形图阴影部分其面积是欢迎下载已知函数的定义域为且为的导函数函数的图象如图所示则 欢迎下载 3 221arcsinxdxcaax 22221lndxxxacxa 九、下列常用凑微分公式 积分型 换元公式 1f axb dxf axb d axba uaxb 11fxxdxfxd x ux 1lnlnlnfxdxfx dxx lnux xxxxf ee dxf e d e xue 1lnxxxxf aa dxf ad aa xua sincossinsinfxxdxfx dx sinux cossinc

6、oscosfxxdxfx dx cosux 2tansectantanfxxdxfx dx tanux 2cotcsccotcotfxxdxfx dx cotux 21arctanarcnarcn1fxdxftax dtaxx arctanux 21arcsinarcsinarcsin1fxdxfx dxx arcsinux 十、分部积分法公式 形如naxx e dx，令nux，axdve dx 形如sinnxxdx令nux，sindvxdx 形如cosnxxdx令nux，cosdvxdx 形如arctannxxdx，令arctanux，ndvx dx 形如lnnxxdx，令lnux，ndvx

7、 dx 形如sinaxexdx，cosaxexdx令,sin,cosaxuexx均可。十一、第二换元积分法中的三角换元公式 基本初等函数的阶导数公式五微分公式与微分运算法则欢迎下载六微分运算法则七基本积分公式八补充积分公式欢迎下载九下列常用凑微分公式积分型换元公式十分部积分法公式形如令形如令形如令形如令形如令形如令均可十一第十三下列常用等价无穷小关系十四三角函数公式两角和公式欢迎下载二倍角公式半角公式和差化积公式积化和差公式万能公式平方关系倒数关系商数关系十五几种常见的微分方程可分离变量的微分方程齐次微分方程一阶线性非齐次取自阴影部分的概率为山东由曲线围成的封闭图形面积为设函数图象与轴围成封闭

8、区域的面积为定积分的值为如图所示曲线和曲线围成一个叶形图阴影部分其面积是欢迎下载已知函数的定义域为且为的导函数函数的图象如图所示则 欢迎下载 4(1)22ax sinxat (2)22ax tanxat (3)22xa secxat【特殊角的三角函数值】（1）sin00 （2）1sin62 （3）3sin32（4）sin12 （5）sin0（1）cos01 （2）3cos62（3）1cos32（4）cos02 （5）cos1 （1）tan 00 （2）3tan63（3）tan33（4）tan2不存在（5）tan0（1）cot 0不存在（2）cot36（3）3cot33（4）cot02（5）co

9、t不存在 十二、重要公式（1）0sinlim1xxx （2）10lim 1xxxe （3）lim()1nna ao（4）lim1nnn （5）limarctan2xx （6）limtan2xarcx （7）limarccot0 xx （8）lim arccotxx （9）lim0 xxe（10）limxxe （11）0lim1xxx（12）00101101lim0nnnmmxmanmba xa xanmb xb xbnm LL （系数不为 0 的情况）十三、下列常用等价无穷小关系（0 x）sin xx:tan xx:arcsin xx:arctan xx:211 cos2xx:ln 1xx:1

10、xex:1lnxaxa:11xx:十四、三角函数公式 1.两角和公式 sin()sincoscossinABABAB sin()sincoscossinABABAB cos()coscossinsinABABAB cos()coscossinsinABABAB 基本初等函数的阶导数公式五微分公式与微分运算法则欢迎下载六微分运算法则七基本积分公式八补充积分公式欢迎下载九下列常用凑微分公式积分型换元公式十分部积分法公式形如令形如令形如令形如令形如令形如令均可十一第十三下列常用等价无穷小关系十四三角函数公式两角和公式欢迎下载二倍角公式半角公式和差化积公式积化和差公式万能公式平方关系倒数关系商数关系十

11、五几种常见的微分方程可分离变量的微分方程齐次微分方程一阶线性非齐次取自阴影部分的概率为山东由曲线围成的封闭图形面积为设函数图象与轴围成封闭区域的面积为定积分的值为如图所示曲线和曲线围成一个叶形图阴影部分其面积是欢迎下载已知函数的定义域为且为的导函数函数的图象如图所示则 欢迎下载 5 tantantan()1tantanABABAB tantantan()1tantanABABAB cotcot1cot()cotcotABABBA cotcot1cot()cotcotABABBA 2.二倍角公式 sin 22sincosAAA 2222cos 2cossin12sin2cos1AAAAA 22t

12、antan21tanAAA 3.半角公式 1cossin22AA 1coscos22AA 1 cossintan21cos1cosAAAAA 1cossincot21 cos1 cosAAAAA 4.和差化积公式 sinsin2sincos22ababab sinsin2cossin22ababab coscos2coscos22ababab coscos2sinsin22ababab sintantancoscosababab 5.积化和差公式 1sinsincoscos2ababab 1coscoscoscos2ababab 1sincossinsin2ababab 1cossinsins

13、in2ababab 6.万能公式 22tan2sin1tan2aaa 221tan2cos1tan2aaa 22tan2tan1tan2aaa 7.平方关系 22sincos1xx 22secn1xtax 22csccot1xx 8.倒数关系 tancot1xx seccos1xx csin1cs xx 9.商数关系 sintancosxxx coscotsinxxx 十五、几种常见的微分方程 基本初等函数的阶导数公式五微分公式与微分运算法则欢迎下载六微分运算法则七基本积分公式八补充积分公式欢迎下载九下列常用凑微分公式积分型换元公式十分部积分法公式形如令形如令形如令形如令形如令形如令均可十一第

14、十三下列常用等价无穷小关系十四三角函数公式两角和公式欢迎下载二倍角公式半角公式和差化积公式积化和差公式万能公式平方关系倒数关系商数关系十五几种常见的微分方程可分离变量的微分方程齐次微分方程一阶线性非齐次取自阴影部分的概率为山东由曲线围成的封闭图形面积为设函数图象与轴围成封闭区域的面积为定积分的值为如图所示曲线和曲线围成一个叶形图阴影部分其面积是欢迎下载已知函数的定义域为且为的导函数函数的图象如图所示则 欢迎下载 6 1.可分离变量的微分方程：dyf x g ydx，11220fx gy dxfx gy dy 2.齐次微分方程：dyyfdxx 3.一阶线性非齐次微分方程：dyp x yQ xdx

15、 解为：p x dxp x dxyeQ x edxc 高考定积分应用常见题型大全 一选择题（共 21 小题）1（2012福建）如图所示，在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P，则点 P 恰好取自阴影部分的概率为（）A B C D 2（2010山东）由曲线 y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）A B C D 3设 f（x）=，函数图象与 x 轴围成封闭区域的面积为（）A B C D 4定积分的值为（）A B 3+ln2 C 3ln2 D 6+ln2 5如图所示，曲线 y=x2和曲线 y=围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（）基本初等函数的阶导数公式五微分公式与微分运算法则欢迎下

16、载六微分运算法则七基本积分公式八补充积分公式欢迎下载九下列常用凑微分公式积分型换元公式十分部积分法公式形如令形如令形如令形如令形如令形如令均可十一第十三下列常用等价无穷小关系十四三角函数公式两角和公式欢迎下载二倍角公式半角公式和差化积公式积化和差公式万能公式平方关系倒数关系商数关系十五几种常见的微分方程可分离变量的微分方程齐次微分方程一阶线性非齐次取自阴影部分的概率为山东由曲线围成的封闭图形面积为设函数图象与轴围成封闭区域的面积为定积分的值为如图所示曲线和曲线围成一个叶形图阴影部分其面积是欢迎下载已知函数的定义域为且为的导函数函数的图象如图所示则 欢迎下载 7 A 1 B C D 6=（）A

17、B 2 C D 4 7已知函数 f（x）的定义域为2，4，且 f（4）=f（2）=1，f（x）为 f（x）的导函数，函数 y=f（x）的图象如图所示，则平面区域 f（2a+b）1（a0，b0）所围成的面积是（）A 2 B 4 C 5 D 8 801exdx 与01exdx 相比有关系式（）A 01exdx01exdx B 01exdx01exdx C（01exdx）2=01exdx D 01exdx=01exdx 9若 a=，b=，则 a 与 b 的关系是（）A ab B ab C a=b D a+b=0 10的值是（）A B C D 基本初等函数的阶导数公式五微分公式与微分运算法则欢迎下载六

18、微分运算法则七基本积分公式八补充积分公式欢迎下载九下列常用凑微分公式积分型换元公式十分部积分法公式形如令形如令形如令形如令形如令形如令均可十一第十三下列常用等价无穷小关系十四三角函数公式两角和公式欢迎下载二倍角公式半角公式和差化积公式积化和差公式万能公式平方关系倒数关系商数关系十五几种常见的微分方程可分离变量的微分方程齐次微分方程一阶线性非齐次取自阴影部分的概率为山东由曲线围成的封闭图形面积为设函数图象与轴围成封闭区域的面积为定积分的值为如图所示曲线和曲线围成一个叶形图阴影部分其面积是欢迎下载已知函数的定义域为且为的导函数函数的图象如图所示则 欢迎下载 8 11若 f（x）=（e 为自然对数的

19、底数），则=（）A+e2e B+e C e2+e D +e2e 12已知 f（x）=2|x|，则（）A 3 B 4 C 3.5 D 4.5 13设 f（x）=3|x1|，则22f（x）dx=（）A 7 B 8 C 7.5 D 6.5 14积分=（）A B C a2 D 2a2 15已知函数的图象与 x 轴所围成图形的面积为（）A 1/2 B 1 C 2 D 3/2 16由函数 y=cosx（0 x2）的图象与直线及 y=1 所围成的一个封闭图形的面积是（）A 4 B C D 2 17曲线 y=x3在点（1，1）处的切线与 x 轴及直线 x=1 所围成的三角形的面积为（）A B C D 18图中

20、，阴影部分的面积是（）A 16 B 18 C 20 D 22 基本初等函数的阶导数公式五微分公式与微分运算法则欢迎下载六微分运算法则七基本积分公式八补充积分公式欢迎下载九下列常用凑微分公式积分型换元公式十分部积分法公式形如令形如令形如令形如令形如令形如令均可十一第十三下列常用等价无穷小关系十四三角函数公式两角和公式欢迎下载二倍角公式半角公式和差化积公式积化和差公式万能公式平方关系倒数关系商数关系十五几种常见的微分方程可分离变量的微分方程齐次微分方程一阶线性非齐次取自阴影部分的概率为山东由曲线围成的封闭图形面积为设函数图象与轴围成封闭区域的面积为定积分的值为如图所示曲线和曲线围成一个叶形图阴影部

21、分其面积是欢迎下载已知函数的定义域为且为的导函数函数的图象如图所示则 欢迎下载 9 19如图中阴影部分的面积是（）A B C D 20曲线与坐标轴围成的面积是（）A B C D 21如图，点 P（3a，a）是反比例函 y=（k0）与O 的一个交点，图中阴影部分的面积为 10，则反比例函数的解析式为（）A y=B y=C y=D y=高考定积分应用常见题型大全（含答案）参考答案与试题解析 一选择题（共 21 小题）1（2012福建）如图所示，在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P，则点 P 恰好取自阴影部分的概率为（）A B C D 基本初等函数的阶导数公式五微分公式与微分运算法则欢迎

22、下载六微分运算法则七基本积分公式八补充积分公式欢迎下载九下列常用凑微分公式积分型换元公式十分部积分法公式形如令形如令形如令形如令形如令形如令均可十一第十三下列常用等价无穷小关系十四三角函数公式两角和公式欢迎下载二倍角公式半角公式和差化积公式积化和差公式万能公式平方关系倒数关系商数关系十五几种常见的微分方程可分离变量的微分方程齐次微分方程一阶线性非齐次取自阴影部分的概率为山东由曲线围成的封闭图形面积为设函数图象与轴围成封闭区域的面积为定积分的值为如图所示曲线和曲线围成一个叶形图阴影部分其面积是欢迎下载已知函数的定义域为且为的导函数函数的图象如图所示则 欢迎下载 10 考点：定积分在求面积中的应用

23、；几何概型501974 专题：计算题 分析：根据题意，易得正方形 OABC 的面积，观察图形可得，阴影部分由函数 y=x 与 y=围成，由定积分公式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案 解答：解：根据题意，正方形 OABC 的面积为 11=1，而阴影部分由函数 y=x 与 y=围成，其面积为01（x）dx=（）|01=，则正方形 OABC 中任取一点 P，点 P 取自阴影部分的概率为=；故选 C 点评：本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积 2（2010山东）由曲线 y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）A B C D 考点：

24、定积分在求面积中的应用501974 专题：计算题 分析：要求曲线 y=x2，y=x3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求01（x2x3）dx 即可 解答：解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1），（0，0）故积分区间是0，1 所求封闭图形的面积为01（x2x3）dx，故选 A 点评：本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积 3设 f（x）=，函数图象与 x 轴围成封闭区域的面积为（）A B C D 考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；定积分在求面积中的应用501974 专题：计算题；数形结合 分析：利用坐标系中作出函数图象的形状，通过定积分的公

25、式，分别对两部分用定积分求出其面积，再把它们相加，即可求出围成的封闭区域曲边图形的面积 解答：解：根据题意作出函数的图象：基本初等函数的阶导数公式五微分公式与微分运算法则欢迎下载六微分运算法则七基本积分公式八补充积分公式欢迎下载九下列常用凑微分公式积分型换元公式十分部积分法公式形如令形如令形如令形如令形如令形如令均可十一第十三下列常用等价无穷小关系十四三角函数公式两角和公式欢迎下载二倍角公式半角公式和差化积公式积化和差公式万能公式平方关系倒数关系商数关系十五几种常见的微分方程可分离变量的微分方程齐次微分方程一阶线性非齐次取自阴影部分的概率为山东由曲线围成的封闭图形面积为设函数图象与轴围成封闭区

26、域的面积为定积分的值为如图所示曲线和曲线围成一个叶形图阴影部分其面积是欢迎下载已知函数的定义域为且为的导函数函数的图象如图所示则 欢迎下载 11 根据定积分，得所围成的封闭区域的面积S=故选 C 点评：本题考查分段函数的图象和定积分的运用，考查积分与曲边图形面积的关系，属于中档题解题关键是找出被积函数的原函数，注意运算的准确性 4定积分的值为（）A B 3+ln2 C 3ln2 D 6+ln2 考点：定积分；微积分基本定理；定积分的简单应用501974 专题：计算题 分析：由题设条件，求出被积函数的原函数，然后根据微积分基本定理求出定积分的值即可 解答：解：=（x2+lnx）|12=（22+l

27、n2）（12+ln1）=3+ln2 故选 B 点评：本题考查求定积分，求解的关键是掌握住定积分的定义及相关函数的导数的求法，属于基础题 5如图所示，曲线 y=x2和曲线 y=围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（）基本初等函数的阶导数公式五微分公式与微分运算法则欢迎下载六微分运算法则七基本积分公式八补充积分公式欢迎下载九下列常用凑微分公式积分型换元公式十分部积分法公式形如令形如令形如令形如令形如令形如令均可十一第十三下列常用等价无穷小关系十四三角函数公式两角和公式欢迎下载二倍角公式半角公式和差化积公式积化和差公式万能公式平方关系倒数关系商数关系十五几种常见的微分方程可分离变量的微分方程齐次微分

28、方程一阶线性非齐次取自阴影部分的概率为山东由曲线围成的封闭图形面积为设函数图象与轴围成封闭区域的面积为定积分的值为如图所示曲线和曲线围成一个叶形图阴影部分其面积是欢迎下载已知函数的定义域为且为的导函数函数的图象如图所示则 欢迎下载 12 A 1 B C D 考点：定积分；定积分的简单应用501974 专题：计算题 分析：联立由曲线 y=x2和曲线 y=两个解析式求出交点坐标，然后在 x（0，1）区间上利用定积分的方法求出围成的面积即可 解答：解：联立得，解得 或，设曲线与直线围成的面积为 S，则 S=01（x2）dx=故选：C 点评：考查学生求函数交点求法的能力，利用定积分求图形面积的能力 6

29、=（）A B 2 C D 4 考点：微积分基本定理；定积分的简单应用501974 专题：计算题 分析：由于 F（x）=x2+sinx 为 f（x）=x+cosx 的一个原函数即 F（x）=f（x），根据abf（x）dx=F（x）|ab公式即可求出值 解答：解：（x2+sinx）=x+cosx，（x+cosx）dx=（x2+sinx）=2 故答案为：2 点评：此题考查学生掌握函数的求导法则，会求函数的定积分运算，是一道基础题 基本初等函数的阶导数公式五微分公式与微分运算法则欢迎下载六微分运算法则七基本积分公式八补充积分公式欢迎下载九下列常用凑微分公式积分型换元公式十分部积分法公式形如令形如令形如

30、令形如令形如令形如令均可十一第十三下列常用等价无穷小关系十四三角函数公式两角和公式欢迎下载二倍角公式半角公式和差化积公式积化和差公式万能公式平方关系倒数关系商数关系十五几种常见的微分方程可分离变量的微分方程齐次微分方程一阶线性非齐次取自阴影部分的概率为山东由曲线围成的封闭图形面积为设函数图象与轴围成封闭区域的面积为定积分的值为如图所示曲线和曲线围成一个叶形图阴影部分其面积是欢迎下载已知函数的定义域为且为的导函数函数的图象如图所示则 欢迎下载 13 7已知函数 f（x）的定义域为2，4，且 f（4）=f（2）=1，f（x）为 f（x）的导函数，函数 y=f（x）的图象如图所示，则平面区域 f（2

31、a+b）1（a0，b0）所围成的面积是（）A 2 B 4 C 5 D 8 考点：定积分的简单应用501974 分析：根据导函数的图象，分析原函数的性质或作出原函数的草图，找出 a、b 满足的条件，画出平面区域，即可求解 解答：解：由图可知2，0）上 f（x）0，函数 f（x）在2，0）上单调递减，（0，4上 f（x）0，函数 f（x）在（0，4上单调递增，故在2，4上，f（x）的最大值为 f（4）=f（2）=1，f（2a+b）1（a0，b0）表示的平面区域如图所示：故选 B 点评：本题考查了导数与函数单调性的关系，以及线性规划问题的综合应用，属于高档题 解决时要注意数形结合思想应用 801ex

32、dx 与01exdx 相比有关系式（）A 01exdx01exdx B 01exdx01exdx 基本初等函数的阶导数公式五微分公式与微分运算法则欢迎下载六微分运算法则七基本积分公式八补充积分公式欢迎下载九下列常用凑微分公式积分型换元公式十分部积分法公式形如令形如令形如令形如令形如令形如令均可十一第十三下列常用等价无穷小关系十四三角函数公式两角和公式欢迎下载二倍角公式半角公式和差化积公式积化和差公式万能公式平方关系倒数关系商数关系十五几种常见的微分方程可分离变量的微分方程齐次微分方程一阶线性非齐次取自阴影部分的概率为山东由曲线围成的封闭图形面积为设函数图象与轴围成封闭区域的面积为定积分的值为如

33、图所示曲线和曲线围成一个叶形图阴影部分其面积是欢迎下载已知函数的定义域为且为的导函数函数的图象如图所示则 欢迎下载 14 C（01exdx）2=01exdx D 01exdx=01exdx 考点：定积分的简单应用；定积分501974 专题：计算题 分析：根据积分所表示的几何意义是以直线 x=0，x=1 及函数 y=ex或 y=ex在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，只需画出函数图象观察面积大小即可 解答：解：01exdx 表示的几何意义是以直线 x=0，x=1 及函数 y=ex在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，01exdx 表示的几何意义是以直线 x=0，x=1 及函数 y=ex在图

34、象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，如图 当 0 x1 时，exxex，故有：01exdx01exdx 故选 B 点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题 9若 a=，b=，则 a 与 b 的关系是（）A ab B ab C a=b D a+b=0 考点：定积分的简单应用501974 专题：计算题 分析：a=（cosx）=（cos2）（cos）=cos2sin24.6，b=sinx=sin1sin0=sin1sin57.3 基本初等函数的阶导数公式五微分公式与微分运算法则欢迎下载六微分运算法则七基本积分公式八补充积分公式欢

35、迎下载九下列常用凑微分公式积分型换元公式十分部积分法公式形如令形如令形如令形如令形如令形如令均可十一第十三下列常用等价无穷小关系十四三角函数公式两角和公式欢迎下载二倍角公式半角公式和差化积公式积化和差公式万能公式平方关系倒数关系商数关系十五几种常见的微分方程可分离变量的微分方程齐次微分方程一阶线性非齐次取自阴影部分的概率为山东由曲线围成的封闭图形面积为设函数图象与轴围成封闭区域的面积为定积分的值为如图所示曲线和曲线围成一个叶形图阴影部分其面积是欢迎下载已知函数的定义域为且为的导函数函数的图象如图所示则 欢迎下载 15 解答：解：a=（cosx）=（cos2）（cos）=cos2cos114.6

36、=sin24.6，b=sinx=sin1sin0=sin1sin57.3，ba 故选 A 点评：本题考查定积分的应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答 10的值是（）A B C D 考点：定积分的简单应用501974 专题：计算题 分析：根据积分所表示的几何意义是以（1，0）为圆心，1 为半径第一象限内圆弧与抛物线y=x2在第一象限的部分坐标轴围成的面积，只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与 x 轴和直线 x=1 围成的图形的面积即可 解答：解；积分所表示的几何意义是以（1，0）为圆心，1 为半径第一象限内圆弧与抛物线y=x2在第一象限的部分坐标轴围成的面积，故只需求出圆的

37、面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与x轴和直线x=1 围成的图形的面积之差 即=故答案选 A 点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题 11若 f（x）=（e 为自然对数的底数），则=（）A+e2e B+e C e2+e D +e2e 考点：定积分的简单应用501974 专题：计算题 分析：由于函数为分段函数，故将积分区间分为两部分，进而分别求出相应的积分，即可得到结论 解答：解：=故选 C 基本初等函数的阶导数公式五微分公式与微分运算法则欢迎下载六微分运算法则七基本积分公式八补充积分公式欢迎下载九下列常用凑微分公式

38、积分型换元公式十分部积分法公式形如令形如令形如令形如令形如令形如令均可十一第十三下列常用等价无穷小关系十四三角函数公式两角和公式欢迎下载二倍角公式半角公式和差化积公式积化和差公式万能公式平方关系倒数关系商数关系十五几种常见的微分方程可分离变量的微分方程齐次微分方程一阶线性非齐次取自阴影部分的概率为山东由曲线围成的封闭图形面积为设函数图象与轴围成封闭区域的面积为定积分的值为如图所示曲线和曲线围成一个叶形图阴影部分其面积是欢迎下载已知函数的定义域为且为的导函数函数的图象如图所示则 欢迎下载 16 点评：本题重点考查定积分，解题的关键是将积分区间分为两部分，再分别求出相应的积分 12已知 f（x）=

39、2|x|，则（）A 3 B 4 C 3.5 D 4.5 考点：定积分的简单应用501974 专题：计算题 分析：由题意，由此可求定积分的值 解答：解：由题意，=+=2+42=3.5 故选 C 点评：本题考查定积分的计算，解题的关键是利用定积分的性质化为两个定积分的和 13设 f（x）=3|x1|，则22f（x）dx=（）A 7 B 8 C 7.5 D 6.5 考点：定积分的简单应用501974 专题：计算题 分析：22f（x）dx=22（3|x1|）dx，将22（3|x1|）dx 转化成21（2+x）dx+12（4x）dx，然后根据定积分的定义先求出被积函数的原函数，然后求解即可 解答：解：2

40、2f（x）dx=22（3|x1|）dx=21（2+x）dx+12（4x）dx=（2x+x2）|21+（4x x2）|12=7 故选 A 点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题 14积分=（）A B C a2 D 2a2 考点：定积分的简单应用；定积分501974 专题：计算题 基本初等函数的阶导数公式五微分公式与微分运算法则欢迎下载六微分运算法则七基本积分公式八补充积分公式欢迎下载九下列常用凑微分公式积分型换元公式十分部积分法公式形如令形如令形如令形如令形如令形如令均可十一第十三下列常用等价无穷小关系十四三角函数公式两角和公式欢迎下载二倍角

41、公式半角公式和差化积公式积化和差公式万能公式平方关系倒数关系商数关系十五几种常见的微分方程可分离变量的微分方程齐次微分方程一阶线性非齐次取自阴影部分的概率为山东由曲线围成的封闭图形面积为设函数图象与轴围成封闭区域的面积为定积分的值为如图所示曲线和曲线围成一个叶形图阴影部分其面积是欢迎下载已知函数的定义域为且为的导函数函数的图象如图所示则 欢迎下载 17 分析：本题利用定积分的几何意义计算定积分，即求被积函数 y=与 x 轴所围成的图形的面积，围成的图象是半个圆 解答：解：根据定积分的几何意义，则表示圆心在原点，半径为 3 的圆的上半圆的面积，故=故选 B 点评：本小题主要考查定积分、定积分的几

42、何意义、圆的面积等基础知识，考查考查数形结合思想属于基础题 15已知函数的图象与 x 轴所围成图形的面积为（）A 1/2 B 1 C 2 D 3/2 考点：定积分在求面积中的应用501974 专题：计算题 分析：根据几何图形用定积分表示出所围成的封闭图形的面积，求出函数 f（x）的积分，求出所求即可 解答：解：由题意图象与 x 轴所围成图形的面积为=（）|01+sinx =+1=故选 D 点评：本题考查定积分在求面积中的应用，求解的关键是正确利用定积分的运算规则求出定基本初等函数的阶导数公式五微分公式与微分运算法则欢迎下载六微分运算法则七基本积分公式八补充积分公式欢迎下载九下列常用凑微分公式积

43、分型换元公式十分部积分法公式形如令形如令形如令形如令形如令形如令均可十一第十三下列常用等价无穷小关系十四三角函数公式两角和公式欢迎下载二倍角公式半角公式和差化积公式积化和差公式万能公式平方关系倒数关系商数关系十五几种常见的微分方程可分离变量的微分方程齐次微分方程一阶线性非齐次取自阴影部分的概率为山东由曲线围成的封闭图形面积为设函数图象与轴围成封闭区域的面积为定积分的值为如图所示曲线和曲线围成一个叶形图阴影部分其面积是欢迎下载已知函数的定义域为且为的导函数函数的图象如图所示则 欢迎下载 18 积分的值，本题易因为对两个知识点不熟悉公式用错而导致错误，牢固掌握好基础知识很重要 16由函数 y=co

44、sx（0 x2）的图象与直线及 y=1 所围成的一个封闭图形的面积是（）A 4 B C D 2 考点：定积分在求面积中的应用501974 专题：计算题 分析：由题意可知函数 y=cosx（0 x2）的图象与直线及 y=1 所围成的一个封闭图形可利用定积分进行计算，只要求0（1cosx）dx 即可然后根据积分的运算公式进行求解即可 解答：解：由函数 y=cosx（0 x2）的图象与直线及 y=1 所围成的一个封闭图形的面积，就是：0（1cosx）dx=（xsinx）|0=故选 B 点评：本题考查余弦函数的图象，定积分，考查计算能力，解题的关键是两块封闭图形的面积之和就是上部直接积分减去下部积分

45、17曲线 y=x3在点（1，1）处的切线与 x 轴及直线 x=1 所围成的三角形的面积为（）A B C D 考点：定积分在求面积中的应用501974 专题：计算题 分析：欲求所围成的三角形的面积，先求出在点（1，1）处的切线方程，只须求出其斜率的基本初等函数的阶导数公式五微分公式与微分运算法则欢迎下载六微分运算法则七基本积分公式八补充积分公式欢迎下载九下列常用凑微分公式积分型换元公式十分部积分法公式形如令形如令形如令形如令形如令形如令均可十一第十三下列常用等价无穷小关系十四三角函数公式两角和公式欢迎下载二倍角公式半角公式和差化积公式积化和差公式万能公式平方关系倒数关系商数关系十五几种常见的微分

46、方程可分离变量的微分方程齐次微分方程一阶线性非齐次取自阴影部分的概率为山东由曲线围成的封闭图形面积为设函数图象与轴围成封闭区域的面积为定积分的值为如图所示曲线和曲线围成一个叶形图阴影部分其面积是欢迎下载已知函数的定义域为且为的导函数函数的图象如图所示则 欢迎下载 19 值即可，故要利用导数求出在 x=1 处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决 解答：解：y=x3，y=3x2，当 x=1 时，y=3 得切线的斜率为 3，所以 k=3；所以曲线在点（1，1）处的切线方程为：y1=3（x1），即 3xy2=0 令 y=o 得：x=，切线与 x 轴、直线 x=1 所围成的三

47、角形的面积为：S=（1）1=故选 B 点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，属于基础题 18图中，阴影部分的面积是（）A 16 B 18 C 20 D 22 考点：定积分在求面积中的应用501974 专题：计算题 分析：从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为（2，2），（8，4）过（2，2）作 x轴的垂线把阴影部分分为 S1，S2两部分，利用定积分的方法分别求出它们的面积并相加即可得到阴影部分的面积 解答：解：从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为（2，2），（8，4）过（2，2）作 x 轴的垂线把阴影部分分为 S1，S2两部分，分别求出它们

48、的面积 A1，A2：A1=02dx=2 dx=，A2=28dx=所以阴影部分的面积 A=A1+A2=18 故选 B 点评：本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在 x 轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基础题考查学生利用定积分求阴影面积的方法的能力 19如图中阴影部分的面积是（）基本初等函数的阶导数公式五微分公式与微分运算法则欢迎下载六微分运算法则七基本积分公式八补充积分公式欢迎下载九下列常用凑微分公式积分型换元公式十分部积分法公式形如令形如令形如令形如令形如令形如令均可十一第十三下列常用等价无穷小关系十四三角函数公式两角和公式欢迎下载二倍角公式半角

49、公式和差化积公式积化和差公式万能公式平方关系倒数关系商数关系十五几种常见的微分方程可分离变量的微分方程齐次微分方程一阶线性非齐次取自阴影部分的概率为山东由曲线围成的封闭图形面积为设函数图象与轴围成封闭区域的面积为定积分的值为如图所示曲线和曲线围成一个叶形图阴影部分其面积是欢迎下载已知函数的定义域为且为的导函数函数的图象如图所示则 欢迎下载 20 A B C D 考点：定积分在求面积中的应用501974 专题：计算题 分析：求阴影部分的面积，先要对阴影部分进行分割到三个象限内，分别对三部分进行积分求和即可 解答：解：直线 y=2x 与抛物线 y=3x2解得交点为（3，6）和（1，2）抛物线 y=

50、3x2与 x 轴负半轴交点（，0）设阴影部分面积为s，则=所以阴影部分的面积为，故选 C 点评：本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在 x 轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基础题 20曲线与坐标轴围成的面积是（）A B C D 考点：定积分在求面积中的应用501974 专题：计算题 分析：先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为 0，积分上限为，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可 解答：解：先根据题意画出图形，得到积分上限为，积分下限为 0 基本初等函数的阶导数公式五微分公式与微分运算法则欢迎下载六微分运算法