《平行四边形性质与判定的应用中位线定理》_中学教育-中学学案.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 三角形中位线定理的探索及其判定 一、说教材 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。(地位与关系)三角形中位线定理的探索及其判定，属于平行四边形性质定理与判定定理的应用，因而，在教材中这部分知识被安排在平行四边形性质与判定之后。但从研究方法的角度而言，三角形中位线定理的研究较平行四边形的性质与判定有很大的不同。后者，我们主要是利用三角形及其全等来研究平行四边形，而前者，则主要是利用我们学习的平行四边形去研究三角形中的有关问题。(作用)三角形中位线定理涉及到了线段的位置关系，也涉及到了数量关系，特别是倍长关系，由于这些特殊性，使得其应用极其

2、广泛。同时，中位线定理证明过程中所涉及到的思考问题的方法对于相关类型的题目的解答具有启发意义。二、教材的设计思想 教材中关于三角形中位线定理的叙述大致思路如下：首先，给出三角形中位线的定义，辨别出中位线与中线之间的区别；其次，引导学生，提出猜想，讨论中位线与底边的位置关系与数量关系；最后，引导学生，证明猜想，得出中位线定理。三、教学目的以及重难点 教学目的：掌握三角形中位线定理及其应用。难点：理解中位线定理的证明过程 四、教学过程 回顾知识，引出问题 师：前几节课，我们学习了平行四边形的性质定理与判定定理，大家还记得当时我们的结论是如何得出来的，比如说平行四边形的性质：对角线相互平分，这是如何

3、得到的？生：通过证三角形全等得到的。师：还比如说：我们知道两组对边相互平行的四边形是平行四边形，这是根学习必备 欢迎下载 据平行四边形的定义得到的判定定理。而还有一些判定定理：如对角线相互平分的四边形是平行四边形，这个判定定理是如何得出的，大家还记得吗？生：记得，通过证三角形全等，得到内错角相等，然后得到对应边相互平行，得出是平行四边形。师：那么，我们就会发现，关于平行四边形的性质定理、判定定理的得出，都是利用三角形的性质，特别是三角形全等。也就是说，我们是利用三角形及其性质来研究平行四边形的性质。生：是的。师：那么，反过来，我们能否利用平行四边形的一些性质来研究三角形的一些问题？生：应该是可

4、以的。但不确定。师：今天，我们的主要内容就是来利用平行四边形的性质来研究三角形的某些问题，三角形的中位线定理的探索与证明。首先，我们来了解什么是三角形的中位线。师：如图，在ABC中，D、E是 AB、AC的中点，连接 DE，像 DE这样的，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。那么像这些的线段，ABC中还有几条。生：还有两条，去 BC的中点 F，这样，DF、EF都是三角形的中位线。师：那就是说，一个三角形的中位线有三条，大家还记得三角形的中线吗？二者之间有区别吗？生：有，连接 CD或者 EB，这是三角形的中线，与三角形的中位线是有区别的。探索思考，解决问题 第三边并且等于第三边的一半地位与

5、关系三角形中位线定理的探索及其判定属于平行四边形性质定理与判定定理的应用因而在教材中这部分知识被安排在平行四边形性质与判定之后但从研究方法的角度而言三角形中位线定理的研究利用我们学习的平行四边形去研究三角形中的有关问题作用三角形中位线定理涉及到了线段的位置关系也涉及到了数量关系特别是倍长关系由于这些特殊性使得其应用极其广泛同时中位线定理证明过程中所涉及到的思考问题的方法给出三角形中位线的定义辨别出中位线与中线之间的区别其次引导学生提出猜想讨论中位线与底边的位置关系与数量关系最后引导学生证明猜想得出中位线定理三教学目的以及重难点教学目的掌握三角形中位线定理及其应用难点理学习必备 欢迎下载 师：了

6、解了三角形的中位线，那么就回到我们今天的主题，三角形的中位线定理。大家还是看这个图形，观察一下图形中 DE与 BC，二者之间是否存在什么样的关系？大家讨论一下。生 1：线段 DE与 BC，很可能平行。生 2：线段 DE与 BC，不相等，可能 BC是 ED的两倍 师：这些都有可能，现在大家先思考一下，线段之间的存在哪几种关系？生：线段之间相等，线段之间的平行、线段之间的垂直，线段之间的倍数关系，等等(学生的各种答案)师：大家的答案，各式各样，都是对的，但都不完整。这说明大家思考问题的方法还存在问题。解决这个问题，大家首先要明确，线段之间的关系存在几大类？大家知道吗？生：线段之间的关系大致分为两大

7、类：位置关系，与数量关系。(或老师给出)师：是的，那么大家之前的回答就可以归为这两种关系。回到我们的主题，中位线 DE，与底边 BC之间的关系就共计有哪两种？生：数量关系：DE可能等于二分之一的 BC；位置关系：DE BC 师：这是大家的猜测，我们用符号标记为：DE平行且等于 1/2BC，这都是大家根据图形的特性来猜测的，需要证明，中位线是否真的存在这样的性质。生：对的。师：好了，为了明确我们思考的方向，我将上述问题表述出来，也就是说我们要证明这样一个命题：如图，在ABC中，D、E是 AB、AC的中点，连接 DE，则 DE平行且等于 1/2BC。现在主题就变成了：证明三角形中位线的性质。关键是

8、如何证明？第三边并且等于第三边的一半地位与关系三角形中位线定理的探索及其判定属于平行四边形性质定理与判定定理的应用因而在教材中这部分知识被安排在平行四边形性质与判定之后但从研究方法的角度而言三角形中位线定理的研究利用我们学习的平行四边形去研究三角形中的有关问题作用三角形中位线定理涉及到了线段的位置关系也涉及到了数量关系特别是倍长关系由于这些特殊性使得其应用极其广泛同时中位线定理证明过程中所涉及到的思考问题的方法给出三角形中位线的定义辨别出中位线与中线之间的区别其次引导学生提出猜想讨论中位线与底边的位置关系与数量关系最后引导学生证明猜想得出中位线定理三教学目的以及重难点教学目的掌握三角形中位线定

9、理及其应用难点理学习必备 欢迎下载 生：-师：既然不知道怎么证明，那我们先分析分析，大家看这个结论：DE 平行且等于 1/2BC，这个结论可以分为：数量关系：DE 1/2BC；位置关系：DE BC。大家觉得我们在证明过程中是否应该有一先后顺序？生：这是可能的，我们可以先证DE 1/2BC 或者 DE BC。师：那么，到底哪个好证明一些呢？大家先看如果要证明 DE BC，如何证明.生：可以证明同位角相等，或者同旁内角互补。师：对的，这是我们七年级所学内容。但是接下来，又如何证明角相等呢？生：不知如何下手。师：通过上述的一段分析，我们发现，先证明 DE BC，看似简单，但无从下手。那我们，就需要回

10、到证明：DE 1/2BC。大家以前证明过类似具有相同结论的命题没有？生：好像有过，但是记不起来了。貌似证明过。师：好的，大家能说说，这个结论是什么？生：不是很明显吗？就是要证明 DE是 BC的二分之一。师：是的，或者也可以说是证明 BC是 DE的两倍，BC=2DE。(学生肯定)，但是我们所学习的几何知识中，现在还很少涉及证明一个线段是另一个线段的两倍或二分之一。我们只学过证明两线段相等。大家知道哪些关于线段相等的证明?生：全等三角形的对应边相等，三角形中两底角相等，则两腰相等。平行四边形的对应边相等。师：对的，如何将这些性质定理用上去，是解决问题的关键。大家觉得证明BC=2DE 或 DE 1/

11、2BC，能否可以看出要证明线段相等？你们能否将 2DE或 1/2BC看出一条线段。第三边并且等于第三边的一半地位与关系三角形中位线定理的探索及其判定属于平行四边形性质定理与判定定理的应用因而在教材中这部分知识被安排在平行四边形性质与判定之后但从研究方法的角度而言三角形中位线定理的研究利用我们学习的平行四边形去研究三角形中的有关问题作用三角形中位线定理涉及到了线段的位置关系也涉及到了数量关系特别是倍长关系由于这些特殊性使得其应用极其广泛同时中位线定理证明过程中所涉及到的思考问题的方法给出三角形中位线的定义辨别出中位线与中线之间的区别其次引导学生提出猜想讨论中位线与底边的位置关系与数量关系最后引导

12、学生证明猜想得出中位线定理三教学目的以及重难点教学目的掌握三角形中位线定理及其应用难点理学习必备 欢迎下载 生：可以，2DE可以看出将 DE倍长后的线段，1/2BC 可以看作是取 BC边中点后得到的一线段。师：这就是说，为了利用三角形的全等、平行四边形的性质，我们需要将DE倍长，即作辅助线，延长DE使得 DF等于 DE，或者是取 BC的中点 E(这种方法可让学生自己课后做)，作了辅助线之后，我们的结论就变成了证明：EF=BC，上述的作法是有好处的，这样我们就可以利用所学的知识。很显然，通过观察图形，我们可以发现图中EF与 BC类似于四边形的两个对边，可以利用平行四边形的对边相等。这样，我们的图

13、中就需要有四边形，那么如何才能得到？生：就需要连接BF，构成四边形 BFEC。师：也就说说，如果我们能证明四边形 BFEC是平行四边形，那么 EF=BC。那么，我们现在的目标就变成了什么？生：证明四边形BFEC是平行四边形，师：现在，到了这一步就好求了，平行四边形的判定定理我们是知道的，根据图中情况，只有一种可能，即一组对边平行且相等，即 BF平行且等于 CE，那么我们的目标又变了，是什么？生：证明 BF平行且等于 CE。师：如何考虑这个问题，观察图形，可知：BF与 CE显然分别是 DFB与DEA的两边，现在又要证明 BF且CE，大家能不能想到什么定理？生：全等三角形的对应边相等。师：对的，如

14、果能够证明DFB DEA，问题也就解决啦，那么DFB与DEA全等嘛？大家找一下条件。生：全等，SAS，AD=DB，DE=DF，ADE=BDF。师：但是，只是证明了 BFCE，那么 BFCE？生：DFB DEA，内错角相等，AE EB也出来了。第三边并且等于第三边的一半地位与关系三角形中位线定理的探索及其判定属于平行四边形性质定理与判定定理的应用因而在教材中这部分知识被安排在平行四边形性质与判定之后但从研究方法的角度而言三角形中位线定理的研究利用我们学习的平行四边形去研究三角形中的有关问题作用三角形中位线定理涉及到了线段的位置关系也涉及到了数量关系特别是倍长关系由于这些特殊性使得其应用极其广泛同

15、时中位线定理证明过程中所涉及到的思考问题的方法给出三角形中位线的定义辨别出中位线与中线之间的区别其次引导学生提出猜想讨论中位线与底边的位置关系与数量关系最后引导学生证明猜想得出中位线定理三教学目的以及重难点教学目的掌握三角形中位线定理及其应用难点理学习必备 欢迎下载-师：刚刚证明 BF且CE，我们利用的是三角形全等，我们还能否利用其他定理？大家想想有没有其他的具有相似结论的定理？生：“平行四边形的对应边相等且平行”师：那你们能否利用这个性质定理，为了利用这个定理，你需要一个四边形，那么需要做什么？生：需要连接 AF、BE，这样就得到四边形 AFBE。师：如果，我们能够证明 AFBE是平行四边形

16、，那么 BF且CE就是显然的。那么，回忆平行四边形的判定定理？在这里应该选用哪种方法？生：观察图形可知，很显然，选择对角线相互平分是最好的选择。师：对的，图中，最明显的就是对角线 AD=DB，FD=DE，直接就可以得到 AFBE是平行四边形。经过了上述的分析，我们就证明 DE平行且等于 1/2BC。现在我们一起在黑板上板书一下。-师：上述证明的命题就是三角形的中位线定理。下面大家来作一下练习。巩固练习，发展思维 例 1：如图，已知，AB=4，DBAB，EA AB，DB=3，EA=6，又点 M 时 DE的中点，求 BM。例 2,：如果，ABC中，AB=10，AC=7，AD平行BAC，CMAD，且

17、 N 是BC的中点，求 MN 的长度。可以总结一下：三角形中位线定理的应用。五、教学反思 -第三边并且等于第三边的一半地位与关系三角形中位线定理的探索及其判定属于平行四边形性质定理与判定定理的应用因而在教材中这部分知识被安排在平行四边形性质与判定之后但从研究方法的角度而言三角形中位线定理的研究利用我们学习的平行四边形去研究三角形中的有关问题作用三角形中位线定理涉及到了线段的位置关系也涉及到了数量关系特别是倍长关系由于这些特殊性使得其应用极其广泛同时中位线定理证明过程中所涉及到的思考问题的方法给出三角形中位线的定义辨别出中位线与中线之间的区别其次引导学生提出猜想讨论中位线与底边的位置关系与数量关

18、系最后引导学生证明猜想得出中位线定理三教学目的以及重难点教学目的掌握三角形中位线定理及其应用难点理学习必备 欢迎下载 第三边并且等于第三边的一半地位与关系三角形中位线定理的探索及其判定属于平行四边形性质定理与判定定理的应用因而在教材中这部分知识被安排在平行四边形性质与判定之后但从研究方法的角度而言三角形中位线定理的研究利用我们学习的平行四边形去研究三角形中的有关问题作用三角形中位线定理涉及到了线段的位置关系也涉及到了数量关系特别是倍长关系由于这些特殊性使得其应用极其广泛同时中位线定理证明过程中所涉及到的思考问题的方法给出三角形中位线的定义辨别出中位线与中线之间的区别其次引导学生提出猜想讨论中位线与底边的位置关系与数量关系最后引导学生证明猜想得出中位线定理三教学目的以及重难点教学目的掌握三角形中位线定理及其应用难点理