广东省惠州市2022-2023学年高二上学期期末数学试题含答案解析.pdf

《广东省惠州市2022-2023学年高二上学期期末数学试题含答案解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广东省惠州市2022-2023学年高二上学期期末数学试题含答案解析.pdf（14页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、惠 州 市 2022-2023学 年 度 第 一 学 期 期 末 质 量 检 测 高 二 数 学 试 题 全 卷 满 分 150分，时 间 120分 钟.注 意 事 项：L 答 题 前，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号、座 位 号、学 校、班 级 等 考 生 信 息 填 写 在 答 题 卡 上.2.作 答 单 项 及 多 项 选 择 题 时，选 出 每 个 小 题 答 案 后，用 2 B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 信 息 点 涂 黑.如 需 改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 它 答 案，写 在 本 试 卷 上 无 效.3.非

2、 选 择 题 必 须 用 黑 色 字 迹 签 字 笔 作 答，答 案 必 须 写 在 答 题 卡 各 题 指 定 的 位 置 上,写 在 本 试 卷 上 无 效.一、单 项 选 择 题：本 题 共 8 小 题，每 小 题 满 分 5 分，共 40分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 符 合 题 目 要 求，选 对 得 5 分，选 错 得 0 分.1.过 点 P（1,3）且 平 行 于 直 线-2y+3=0 的 直 线 方 程 为（）A.2x+y-1=0 B,2x+y 5=0C.x+2y-5=0 D.x-2y+7=02.已 知 4 是 等 差 数 列，且。2+1是

3、4 和 内 的 等 差 中 项，则 的 公 差 为（）A.1B.-2C.2D.-13.棱 长 为 1 的 正 四 面 体 4 3 C D 中，则 A D-3 C 等 于（）I 1 1A.O B.C.D.-2 4 44.已 知 椭 圆 c 的 一 个 焦 点 为（1,0）,且 过 点（0,6），则 椭 圆 C 的 标 准 方 程 为。-)、厂 A.-F2232喘+与=】2 2B.三+工=14 33 45.已 知 空 间 向 量 a=（2,1,3）,则 向 量“在 坐 标 平 面 xOy上 的 投 影 向 量 是（）A.（0,2,1）B.（0,l,-3）C.（2,1,）（D.（2,0,-3）6.直

4、 线/：2wu+y-?-l=0 与 圆 一 2）2=4 交 于 4 8 两 点，则 当 弦 A 3 最 短 时 直 线/的 方 程 为（）A.x-4y+3=0 B.2x-4y-3=0C.2x+4y+l=0 D.2%-4y+3=07.已 知 直 线 4 的 方 程 是=。+/?2的 方 程 是 y=人 H 0,awb），则 下 列 图 形 中，正 确 的 是（）8.在 数 列“中，若 片=(N2,eN*,p为 常 数)，则 称 4 为“等 方 差 数 列”,下 列 是 对“等 方 差 数 列，的 判 断：若 4“是 等 方 差 数 列，则 忖 是 等 差 数 列；(一 1)不 是 等 方 差 数

5、 列；若 凡 是 等 方 差 数 列，则%“(Z w N*M为 常 数)也 是 等 方 差 数 列；若 a.既 是 等 方 差 数 列，又 是 等 差 数 列，则 该 数 列 为 常 数 列.其 中 正 确 命 题 序 号 为()A.B.C.(D D.二、多 项 选 择 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 满 分 5 分，共 2 0分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，有 多 项 符 合 题 目 要 求.全 部 选 对 得 5 分，部 分 选 对 得 2 分，有 选 错 的 得 0分.9.已 知 数 列 4 的 前 项 和 为 S”S,=/-5，则 下 列 说 法 不 正 确

6、 的 是()A.a,J为 等 差 数 列 B.a 0C.5.最 小 值 为-1 D.为 单 调 递 增 数 列 10.已 知 空 间 中 A B=(2,l,0),AC=(-l,2,l),则 下 列 结 论 正 确 的 有()A.M _ L A C B.与 A R共 线 的 单 位 向 量 是(1,1,0)C.|B O|=V H D.平 面 A B C 的 一 个 法 向 量 是(1,2,5)11.已 知 曲 线 C:三 一 汇=1,a b则 下 列 判 断 正 确 的 是()A.若。=6 0,则 C 是 圆，其 半 径 为“B.若。6 0,则 C 是 双 曲 线,其 渐 近 线 方 程 为 y

7、=纥 aC.若 一“/?(),则。是 椭 圆，其 焦 点 在 x 轴 上 D.若 a=b=l,则。是 两 条 直 线 12.2022年 4 月 16日 9 时 56分，神 舟 十 三 号 返 回 舱 成 功 着 陆，返 回 舱 是 宇 航 员 返 回 地 球 的 座舱，返 回 舱 的 轴 截 面 可 近 似 看 作 是 由 半 圆 和 半 椭 圆 组 成 的“曲 圆 如 图 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 半 圆 的 圆 心 在 坐 标 原 点，半 圆 所 在 的 圆 过 椭 圆 的 焦 点 尸（0,2）,椭 圆 的 短 轴 与 半 圆 的 直 径 重 合，下 半 圆 与 y 轴 交 于

8、点 G.若 过 原 点。的 直 线 与 上 半 椭 圆 交 于 点 A,与 下 半 圆 交 于 点 8,则（）A.椭 圆 的 长 轴 长 为 2&B.A P G 的 周 长 为 4+4及 C.线 段 A B 长 度 的 取 值 范 围 是 4,2+2及 D.面 积 的 最 大 值 是 4 0三、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0分.13.抛 物 线 V=8x的 焦 点 坐 标 为.214.已 知 双 曲 线 C：尤 2 一 匕=1经 过 点（及,2）,则 离 心 率 为.15.已 知 圆 f+y 2=4 上 有 且 仅 有 3 个 点 到 直 线/的 距 离 等

9、 于 1,请 写 出 满 足 上 述 条 件 的 一 条 直 线/方 程.（写 出 一 个 正 确 答 案 即 可）16.空 间 直 角 坐 标 系 x O y 中，过 点 P（尤 o，%*。）且 一 个 法 向 量 为 八=（。,4 c）的 平 面 a 的 方 程 为 a（x-/）+-%）+c（z-Zo）=0,过 点 P（x0,%,z）且 方 向 向 量 为 九=（#,卬）（如 卬。0）的 直 线/的 方 程 为 三 也=匕%=三 生，阅 读 上 面 材 料，并 解 决 U V W下 面 问 题：已 知 平 面 a 的 方 程 为 X-y+z+l=O,直 线/是 两 个 平 面 X y+2=

10、0 与 2xz+l=0 的 交 线，则 直 线/与 平 面。所 成 角 的 正 弦 值 为.四、解 答 题：本 题 共 6 小 题，共 7 0分.解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.17.（本 小 题 满 分 10分）己 知 数 列&“满 足 4=l,a“+i=an+2n,H G N*.（1）求 数 列 4 的 通 项 公 式；（2）设-2,求 数 列 也 的 前 项 和 S“.18.（本 小 题 满 分 12分）如 图，在 棱 长 为 2 的 正 方 体 A B C。A 耳 中，E E G 分 别 是。区 的 中 点.（2）求 E F 与 C G 所 成

11、角 的 余 弦 值.19.（本 小 题 满 分 12分）已 知 A（1,0）,8（1,0），。为 平 面 内 的 一 个 动 点，且 满 足|AC|=正 忸 C|.（1）求 点 C 的 轨 迹 方 程；（2）若 直 线/：x+y-l=0,求 直 线/被 曲 线。截 得 的 线 段 长 度.20.（本 小 题 满 分 12分）已 知 抛 物 线 C:y2=2px经 过 点 P（2,2）,A B 是 抛 物 线。上 异 于 点。的 不 同 的 两 点，其 中。为 原 点.（1）求 抛 物 线。的 方 程；（2）若 0 4,0 8,求 A O 8 面 积 的 最 小 值.21.（本 小 题 满 分

12、12分）如 图，在 多 面 体 A B C D E E 中，四 边 形 ABCZ）是 菱 形，EF/AC,EF=,ZABC=60,C EL平 面 A6CD,C E=，8=2,G 是。E 的 中 点.（1）求 证：平 面 ACG/平 面 B EF；（2）求 直 线 A O 与 平 面 A B 厂 所 成 的 角 的 正 弦 值.22.（本 小 题 满 分 12分）2 2已 知 双 曲 线 C-g=1（。b 0）的 右 焦 点 为 E（2,0）,。为 坐 标 原 点，双 曲 线 C 的 两 条 渐 近 线 的 夹 角 为（1）求 双 曲 线。的 方 程；（2）过 点 尸 作 直 线/交 C 于 P

13、,Q 两 点，在 X轴 上 是 否 存 在 定 点 M,使 为 定 值？若 存 在，求 出 定 点 M 的 坐 标 及 这 个 定 值；若 不 存 在，说 明 理 由.数 学 参 考 答 案 与 评 分 细 则 一、单 项 选 择 题：本 题 共 8 小 题，每 小 题 满 分 5 分，共 4 0分.题 号 1 2 3 4 5 6 7 8答 案 D C A B C D A A1.【解 析】设 直 线 的 方 程 为 x 2y+c=0(c#3),把 点 P(-1,3)坐 标 代 入 直 线 方 程 得 l 6+c=O,；.c=7所 以 所 求 的 直 线 方 程 为 x 2y+7=0.2.【解

14、析】设 等 差 数 列 4 的 公 差 为 d.由 已 知 条 件，得 4+4=2(4+1)，即 4+(4+3d)=2(q+d+l),解 得 d=2.3.【解 析】由 题 意 以 ARA CAZj作 为 基 底，B C=A C-A B x2 V2 4.【解 析】椭 圆 的 焦 点 在 X轴 上，故 设 其 方 程 为：斗=l(a 8 0),显 然 C=l,b=6,a bx则/=从+。2=4,故 椭 圆 方 程 为 2 二+v二 2=1.4 35.【解 析】由 题 意 可 知,6.【解 析】由 2m+-直 线/过 定 点 向 量 4在 坐 标 平 面 x Oy上 的 投 影 向 量 是(2,1,

15、0),f 1m-l=0,(2 x-l)/n+-l=0,则 令，解 得 1 2 故-1=0,i 卜=1由 f+(y 2=4,则 圆 心。(0,2),半 径/=2,当 加 JP 时，/k-弦 A 3最 短，直 线 C P的 斜 率 CP1(1=x,则 2x 4y+3二 2)7.【解 析】逐 一 判 定 即 可.对 于 A,由/1的 图 象 知 a 0,对 于 B,由/1的 图 象 知,对 于 C,由/1的 图 象 知。0,0,由 4的 图 象 知 a 0力 0,8.【解 析】4 是 等 方 差 数 列，c为 P 的 等 差 数 列；故 正 确 数 列(T)中，-,=(-1 不 正 确 l z Z-

16、2 11，则 直 线/的 斜 率 心 8=5,故 直 线/为 2 2=0.由 4 的 图 象 知。，故 A正 确；由 乙 的 图 象 知。，。0,矛 盾，故 8 错 误；由 4 的 图 象 知。乃 0,矛 盾，故 C 错 误；由 4 的 图 象 知 力 0,矛 盾，故 D 错 误.U i=P(P 为 常 数)得 到 忖 为 首 项 是，公 差)一(一 1产 7=0,所 以(1)是 等 方 差 数 列；故 数 列 a“中 的 项 列 举 出 来 是,外，“，4，”“2Z 数 列%妨 中 的 项 列 举：ak,a2k,a3k.(d+l _ a；)=(皈+2 _ ak+a2k a2k-2=P(4+1

17、-)+(。*+2-W+l)+(。2*-02-l)=切 4(“+/-=kp,即 数 列 4,J 是 等 方 差 数 列,故 正 确；数 列 4 是 等 差 数 列，=4(n2 2).-/数 列 叫 是 等 方 差 数 列，aj-a“_j=&(22),(a“+a“_)4=4,.,.当 4 H o 时，+为 常 数 列；当 4=0,数 列 叫 为 常 数 列.则 该 数 列 叫 必 为 常 数 列，故 正 确.正 确 命 题 的 是，故 A 正 确.二、多 项 选 择 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 满 分 5分，共 20分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，有 多 项 符 合

18、 题 目 要 求.全 部 选 对 得 5分，部 分 选 对 得 2 分，有 选 错 的 得 0分.题 号 9 10 1 1 12全 部 正 确 选 项 BC ACD BC BC9.【解 析】对 于 A,当 2 2 时，4=S“-S,i=2-5 一(“-I)?-5(-1)=2-6,=1时 4=S=-4 满 足 上 式，所 以 a.=2-6,eN*,所 以 an+l-an=2(n+l)-6-(2n-6)=2,所 以 4 为 等 差 数 列，故 A 正 确；对 于 3,由 上 述 过 程 可 知 a.=2-6,eN*,q=T 0,%=-2(1,2,1)=2+2=0,故 A2_L衣,A 正 确；对 于

19、 6,(1,1,0)不 是 单 位 向 量，且(1,1,0)与 A3=(2,1,0)不 共 线，8 错 误；对 于 c,B C=A e-血=(3,I,I),.W4=VH,C 正 确；对 于 D,设 防=(1,-2,5),则 加 A月=(1,2,5(2,1,0)=2 2=0,防 32=(1,2,5)(3,1,1)=3 2+5=0,所 以 a_L 血,a B C，又 A B c B C=B,所 以 平 面 A B C 的 一 个 法 向 量 是(1,一 2,5),D 正 确.X211.【解 析】对 于 A,若 a=匕 0 时，C:土 一 ay2b1转 化 为/+2=。，半 径 为 故 A 错 误；

20、对 于 B,若。人 0,当。0力 QC是 焦 点 在 x 轴 上 的 双 曲 线，当。0力 0,。是 焦 点 在 轴 上 的 双 曲 线，无 论 焦 点 在 哪 个 轴 上，令 工-汇=0,整 理 可 得 y=j2x均 是 C 的 渐 a b v a近 线，B 正 确;九 2对 于 C,若 一 av O,C:-ay2b1转 化 为 C:二+乙=1,由 于。0 可 知，C 是 a-b焦 点 在 x 轴 上 的 椭 圆，故 C 正 确；2 2对 于 D,若 a=0=l,C:二 一 上=1转 化 为/=,是 双 曲 线 不 是 两 条 直 线，故。错 a b误.12.【解 析】对 于 A,由 题 知

21、，椭 圆 中 8=c=2,得”=J 从+d=2夜,则 2。=4夜，故 A 错 误；对 于 B,由 定 义 知，A F+A G=2a=4j2,A F G 的 周 长 L=FG+4j2=4+4，5,3正 确;对 于 C,AB=。8+。A=2+。A,由 性 质 知 2 W O A W 2 血，所 以 4W A B W 2+2 0,C 正 确：对 于 D,设 A B 所 在 直 线 方 程 为 y=依，联 立，y=kxf),2 可 得/=-1-=14 8联 立 y=kx2 2 Ax+y=4可 得 岛，则 O F-82+k2+占 显 然 八，“增 所 以 当 k=0 时.，S.F 有 最 大 值 4,故

22、。错 误.三、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0分.13.（2,0）14.75 16.*14.x=Ly=Lx+y+0=Q3x+4y+5=0,.（写 出 一 个 即 可）【注】若 答 案 形 式 为：Ax+By+C=0,则 系 数 必 须 满 足：A2+B2=C2若 答 案 形 式 为：y=kx+h,则 系 数 必 须 满 足：二+1=13.【解 析】对 比 标 准 方 程 可 得 焦 点 坐 标 为（2,0）14.【解 析】双 曲 线 C:f-f=1经 过 点（、历,2）,所 以 2-&=1,解 得 川=4,所 以 双 曲 m/m线 方 程 为 尤 2?=1,所

23、 以 双 曲 线 焦 点 在 x 轴 上，a=l力=2,C=5 所 以 它 的 离 心 率 为 e-/5-15.【解 析】数 形 结 合 可 知，只 要 是 半 径 的 垂 直 平 分 线，均 满 足 题 意 要 求，lc|设 直 线 为 B），+C=0,则 由 题 可 知 圆 心（0,0）到 直 线 的 距 离 为 1,4=五 舁 宁=1,所 以 l+B?=。216.【解 析】因 为 平 面 a 的 方 程 为 x-y+z+l=0,故 其 法 向 量 可 取 为/=1,1）,平 面 x-y+2=0 的 法 向 量 可 取 为 的=（1,一 1,0）,平 面 2 x z+l=0 的 法 向 量

24、 可 取 为 八（2,0,1）,直 线/是 两 个 平 面 x y+2=0 与 2 x-z+l=0 的 交 线，设 其 方 向 向 量 为 4=（5,/应），则 n,_ 2 s _ q _ 0，令 s=l 则=0），故 设 直 线/与 平 面。所 成 的 角 为 e，6 e 0，E则 sin3=|cos（p,|=今 L=一 一 厂 2=*,故 答 案 为：也 Ipll p J 3 x&3 3四、解 答 题：共 70分.解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.17.（本 小 题 满 分 10分，第 一 小 问 5 分，第 二 小 问 5 分.）【解 析】（1）当

25、N 2,e N*时，=(-1)+(-!-4”2)+.+(。2 一 6)+4二 为=2(-1)+2(-2)+2-1+1=2(-1)+(-2)+.+1+1_ 2(T)+1(T)一 一 2因 为“=1也 满 足 上 式，a”=a2-+1(e N*)（2）=4 一 2=2-+1 2,贝|。“=一+1所 以 也 是 以 0 为 首 项，-1 为 公 差 的 等 差 数 列 故 S，伍+（）_+2 _ 2 C 1 2.1.3“=n n 2 21 8.（本 小 题 满 分 12分，第 一 小 问 7 分，第 二 小 问 5 分.）【解 法 一】（1）以。为 坐 标 原 点，D 4为 X 轴 正 方 向 建

26、立 如 图 所 示 空 间 直 角 坐 标 系则 E（O,O,1）,1（l,l,0）,C（0,2,0）所 以 CF=（1,-1,O）因 为#=1 1+0=0所 以 E户 上 C户 即 E F C F（2）由（1）知，G（2,2,l）则 CG=（2,0,l）所 以 H 硒 咐|=易 E F C G1 _ _ V15-V 3-V 5-1T所 以 E F与 C G所 成 角 的 余 弦 值 是 叵 15【解 法 二】由 题 意 得：在 R f区 亭 中 有：ED=l,DF=-BD=-yj22+22=2,2 2EF=ylED2+DF2=x/3在 R EDC 中 有：ED=1,C=2,:.EC=ED:+

27、DC、=亚 在 正 方 形 A B C D中，CF=LAC=62 在 EEC 中 有：EF2+FC2=CE2所 以 有：E F L C F（2）连 接 A E，A F,取 4 A 的 中 点“，连 接 G,O,二.四 边 形 H D E,HDCG为 平 行 四 边 形:.HDA,E,HD/CGA 蹴 CG在 Rr 4 0 E 中 有：AE=7AD；+DE=G在 Rf A A F 中 有：A,F=y/A,A2+A F2=7 6，,在 E F 中 有:C O S/A 4E2+E 尸 _ 4 尸 _(6)2+(6)2(#)2 _ 岳 2AiE-EF 2 x 6 x 6 15所 以 E F 与 C G

28、 所 成 角 的 余 弦 值 为 叵 1519.(本 小 题 满 分 12分，第 一 小 问 5 分，第 二 小 问 7 分.)【解 析】由 题 意 可 设 点 C 的 坐 标 为(,y),由|AC|=拒 忸 q 得 V(x+l)2+(y-O)2=0 X 7(x-l)2+(y-O)2,整 理 得 点 C 的 轨 迹 方 程 为 f+y2-6尤+1=0.(2)由(1)可 知，曲 线 C:(x-3y+y2=8则 圆 心 坐 标 为(3,0),半 径 为 2 c|3+0 1 1则 圆 心 到 直 线/：x+y-1=0 的 距 离 d=1,-1,Jf+i2=叵 所 以 弦 的 长 度 2,产 屋=2j

29、而=2-76直 线/被 曲 线。截 得 的 线 段 长 度 为 2指 20.(本 小 题 满 分 12分，第 一 小 问 3 分，第 二 小 问 9 分.)【解 析】(1)由 抛 物 线 C：V=2px经 过 点 P(2,2)知 4P=4,解 得，=1,则 抛 物 线 C 的 方 程 为 V=2 x；(2)【解 法 一】由 题 知，直 线 不 与 丁 轴 垂 直，设 直 线 AB:x=(y+a,x=ty+a.由,消 去 x,得 V _ 2“-2a=0,lr=2xA=4r+80.设 4（内,凹）,3（为 2，%），则 y+%=2f,y%=一 2。,2 2因 为 Q4_LQB,所 以。4.02=0

30、 即*2+乂%=0，所 以 节 2+乂 必=。解 得 乂=（舍 去）或/=一 4，所 以 一 勿=7 即。=2,所 以 直 线 A B：x=9+2,所 以 直 线 A 3 过 定 点（2,0）,s AOB=1x 2 x|yi-y21M:+必-2%=亚+关+8N2|yM+8=4当 且 仅 当 y=2,%=2或 乂=-2,必=2 时，等 号 成 立，所 以 A Q 6 面 积 的 最 小 值 为 4.【注：面 积 也 可 以 用 S 板=(、|。4冈 0 用 的 方 式 来 计 算【解 法 二】由 题 意 知 直 线 Q A,直 线 0 8 的 斜 率 均 存 在，且 不 为 0不 妨 设 直 线

31、。4方 程 为 y=依，代 入,2由 04_1_08可 得 3(242,-2。0川=dl+k。5 4。6=；网 阳=2小+公+(川 2+2卜=4当 且 仅 当 女=1时 等 号 成 立 所 以 A Q B 面 积 的 最 小 值 为 4【解 法 三】当 直 线 A 8 斜 率 不 存 在 时，则 A O 3 为 等 腰 直 角 三 角 形，此 时 5*8=4,当 直 线 A B 斜 率 存 在 时，设 直 线 AB:y=+b,由，；Y 2=_ k2xx+b 消 去，得 女.X/+2（姑 一 lx）x+0=o,=-Skb+4 0,ijt4（x1,yl）,B（x2,%），则 x1+x22(妨-1)

32、_ b2/L 中 2=正 因 为。4 _ L Q B,所 以。L o月=0 即+y%=，所 以 幼（内+）+（女 2+1卜/2+尸=0解 得 b=0（舍 去）或 6=2左，所 以 直 线 AB:y=Z（x-2）,所 以 直 线 A 3过 定 点（2,0）,综 上：A O B 面 积 的 最 小 值 为 4.2 1.（本 小 题 满 分 12分，第 一 小 问 5 分，第 二 小 问 7 分.）（1）证 明：连 接 B O交 A C于。，则。是 3。的 中 点，连 接。G，T G是 的 中 点，.OG/BE,.8Eu 平 面 5 E F,O G a 平 面 3 E F,.0G 平 面 B E F

33、；又 EFHAC,4。仁 平 面 8 F，E F u 平 面 BEF,AC/平 面 3 E F,又 A C与 0 G 相 交 于 点 O,A C,0 G u平 面 ACG,所 以 平 面 ACG/平 面 B E F.（2）【解 法 一】解：连 接。尸，因 为 四 边 形 ABCD是 菱 形，所 以 A C L 8 D,又 4 48c=60。，C D=2,所 以 ABC为 等 边 三 角 形，所 以 A C=2,又 EF=l,所 以 石 尸=0。且 瓦 7/0 C,所 以 四 边 形 O C ER为 平 行 四 边 形，所 以 OF/CE,因 为 CEJL平 面 4 B C O,所 以 O F，

34、平 面 ABCD,如 图，以。为 坐 标 原 点，分 别 以 0 C、。、。尸 为 x、y、z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系,则 A（-IQ O）,4 0,-6 0）,（0,百,0）,F（0,0,73）,4力=（1,收 0）,48=（1,-6,0）,4尸=（1,0,扬，设 面 A B F 的 法 向 量 为 防=3,C）,m AB,则 fh 1 A F依 题 意 有，m-AB=a J5/?=0th-AF=a+3c=0令 a=6，b=l,c=l,则 m=(0,1,-1),亦.AD m V3+V3 V 15所 以“卜 同 V4X V4TT 5所 以 直 线 A O与 面 A B E成 的

35、 角 的 正 弦 值 是 巫 5【解 法 二】连 接。回，因 为 四 边 形 ABCD是 菱 形，所 以 A C L 8 D,所 以 A B C 为 等 边 三 角 形，所 以 A C=2,又 EF=1,所 以 所=0 C 且 防 O C，所 以 四 边 形 O C E F 为 平 行 四 边 形，所 以 OF CE,因 为 C E L 平 面 A B C D,所 以。F_L平 面 ABCD,在 Rf FOB 中,BF=4 BO2+O F2=x/6-在 心 F O A 中，AF=y)AO2+O F2=2又.在 AB尸 中，AB=2,二.由 等 腰 三 角 形 易 计 算 得 s=巫 A B T

36、 2设 d 为 点。到 平 面 A B F 的 距 离 D-ABF F-ABD，即 有 3 s A B F-d-S ABD-FO计 算 得：d=M 55设 直 线 与 平 面 每 所 成 的 夹 角 为 氏 则 9 dDA2VI552 5所 以 直 线 A。与 面 A B F 成 的 角 的 正 弦 值 是 士.522.（本 小 题 满 分 12分，第 一 小 问 5 分，第 二 小 问 7 分.）【解 析】（1）双 曲 线 与 Q 一*v2=1的 渐 近 线 为=h尤，又。0,021,结 合 已 知 条 件 可 知 渐 近 线 的 y=2%的 倾 斜 角 为 5,a a 6则 2=也，即。=

37、麻.a 3又 行 两=2,得 a=g,6=l2所 以 双 曲 线 C 的 方 程 是 工 y2=3（2）当 直 线/不 与 x轴 重 合 时，设 直 线/的 方 程 为 x=）+2,2代 入,一 丁=,得(+2)2-3y23,即(一 3)/+4)+1=0.设 点 p(3,y),(马,%)，则 乂+必=一；A?y%=-4：-t-J t J设 点 M(m,0),)lMP MQ=(xl-m)(x2-m)+yy2=(tyl+2-m)(ty2+2-m)+y,y2=(*+1)乂 为+12 一 机)(凹+了 2)+(2 一 机)2_3)/_(3/-12ni+l 1)73令 3n?-I2 z+11=307 3),得 m=。,_ _)2此 时 MP.MQ=m 2_3=_ _.9当 直 线/与 X轴 重 合 时，则 点 P,Q 为 双 曲 线 的 两 顶 点，不 妨 设 点 尸 卜 对 于 点 G-)6 一()=-|.所 以 存 在 定 点 使 朋 2 M 0=.-3=-|为 定 值.