沪教版数学八年级秋季班-第19讲勾股定理及两点间的距离公式学案-教师版.pdf

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1、勾 股 定 理 及 两 点 间 的 距 离 公 式 内 容 分 析 本 章 节 主 要 讲 解 两 部 分 内 容,是 直 角 三 角 形 的 三 条 边 之 间 的 数 量 关 系 即 勾 股 定 理,包 括 勾 股 定 理 的 证 明、应 用 及 逆 定 理 的 证 明 和 应 用 两 方 面;二 是 两 点 间 的 距 离 公 式.难 点 是 勾 股 定 理 的 证 明 及 应 用，它 是 解 决 直 角 三 南 形 三 边 之 间 关 系 的 常 用 方 法,是 个 工 具 公 式,在 以 后 的 学 习 中 运 用 非 常 广 泛.知 识 结 构 模 块:勾 股 定 理 的 证 明

2、及 应 用 知 识 精 讲 1、勾 股 定 理:(1)直 角 三 角 形 中,两 条 直 角 边 的 平 方 和,等 于 斜 边 的 平 方.利 用 勾 股 定 理 往 往 构 造 方 程，已 达 到 解 决 问 题 的 目 的;(2)应 用 勾 股 定 理 解 决 实 际 问 题，要 注 意 分 析 题 目 的 条 件,关 注 其 中 是 否 存 在 直 角 三 角 形，如 果 存 在 直 角 三 角 形,根 据 所 给 的 三 边 条 件,建 立 方 程，从 而 解 决 问 题;如 果 问 题 中 没 有 直 角 三 角 形,可 以 通 过 添 加 辅 助 线 构 造 出 直 角 三 角

3、形,寻 求 等 量 关 系,再 根 据 勾 股 定 理 建 立 相 应 的 方 程，因 此,在 解 决 直 角 三 角 形 中 有 关 边 长 的 问 题 时,要 灵 活 的 运 用 方 程 的 思 想.例 题 解 析【例 1】(1)在 直 角 Z8C 中,ZC=90,N/=30,BC=,则 8=(2)在 直 角 48。中,ZC=90,Z/=45,48=3,则 C=【难 度】(1)2；(2)-V2.2(1)由 直 角 三 角 形 性 质 推 论 即 可 得 结 论;(2)设 C=8C=x,则 由 勾 股 定 理 可 得:X2+X2=32,解 得:x=-4 1，2二 AC=-42.2【总 结】考

4、 察 直 角 三 角 形 的 性 质 和 勾 股 定 理 的 综 合 应 用.【例 2】(1)等 边 三 角 形 的 边 长 是 3,则 此 三 角 形 的 面 积 是；(2)等 腰 三 角 形 底 边 上 的 长 为 2,腰 长 为 4,则 它 底 边 上 的 高 为【难 度】(1)-V3；(2)屈.4(1)作 出 等 边 三 角 形 的 高，则 可 得 高 为 百，则 三 角 形 的 面 积 为 2 百;(2)作 底 边 上 的 高,由 三 线 合 一 性 质 和 勾 股 定 理 可 得 底 边 上 的 高 为 后【总 结】考 察 等 腰 三 角 形 的 三 线 合 一 和 勾 股 定 理

5、 的 综 合 运 用.【例 3】(1)直 角 三 角 形 两 边 长 为 3和 4,则 此 三 角 形 第 三 边 长 为；(2)直 角 三 角 形 两 直 角 边 长 为 3和 4,则 此 三 角 形 斜 边 上 的 高 为；(3)等 腰 三 角 形 两 边 长 是 2、4,则 它 腰 上 的 高 是.【难 度】(1)5 或 V7；(2)；(3).(1)3 和 4 可 以 是 两 直 角 边 长，也 可 以 是 一 个 直 角 边 和 斜 边;(2)由 勾 股 定 理 可 得:斜 边 长 为 5,则 由 等 面 积 法 可 知：三 角 形 斜 边 上 的 高 为 号=；(3)；2、2、4 不

6、 能 构 成 三 角 形,所 以 三 角 形 的 三 边 长 为 4、4、2,作 等 腰 三 角 底 边 上 的 高，则 由 等 腰 三 角 形 三 线 合 一 性 质 和 勾 股 定 理 可 得：底 边 上 的 高 为 后,则 由 等 面 积 法 可 知:此 三 角 形 腰 上 的 高 为 叵=巫.【总 结】考 察 等 腰 三 角 形 的 性 质 和 勾 股 定 理 的 应 用,注 意 分 类 讨 论.【例 4】（1）若 直 角 三 角 形 的 三 边 长 分 别 为 N+1,N+2,N+3则 N 的 值 是；（2）如 果 直 角 三 角 形 的 三 边 长 为 连 续 偶 数,则 此 三

7、角 形 的 周 长 为【难 度】（1）2；（2）24.（1）由 题 意 有:（N+iy+（N+2）2=（N+3）2,解:=2（负 值 舍 去）；（2）可 设 直 角 三 角 形 的 三 边 长 分 别 为 2,N,+2，（N-2）2+W=（N+2）2,，N=8三 角 形 的 周 长 为 3N=24【总 结】考 察 勾 股 定 理 的 应 用.【例 5】如 图,在 直 角/8 C中,ZACB=90,ZB=60求 4 0 C 的 周 长.【难 度】4+2 后.V ZACB=90a,。是 斜 边 的 中 点，:.BD=CD=AD=-A B.2,。是 斜 边 的 中 点,BC=2,VZS=60,.,.

8、8D C 是 等 边 三 角 形，CD=B C.,.4 4c8=90,ZS=60,，N/=30,A AB=4.V BD=CD=AD=-A B,CD=2.VZJC5=90,BC=2,AB=4,2/.AC=42-22=2后,：.C A D C=AD+CD+AC=2+2+2y3=4+2 4 i【总 结】考 察 直 角 三 角 形 的 性 质 和 勾 股 定 理 的 运 用.【例 6】如 图,已 知：中，Z N C 8是 直 角,BC=15,比 C 大 9,CD丄 8 于 点,求 C O 的 长.【难 度】120设 C=x,AB=x+9,V AB-=A C2+CB2,A(X+9)2=X2+152,解

9、得:x=8120/.AC=8f 4 8=17 由 等 面 积 法 可 知 I：CD=A C-B C AB=8x5-i-l7=.17【总 结】考 察 勾 股 定 理 和 等 面 积 法 的 应 用.【例 7】已 知 已 直 角 三 角 形 的 周 长 为 4+而,斜 边 上 的 中 线 为 2,求 这 个 直 角 三 角 形 的 面 积.【难 度】52,.斜 边 上 的 中 线 为 2,所 以 斜 边 长 为 4.直 角 三 角 形 的 周 长 为 4+V正,两 直 角 边 之 和 为 病.斜 边 长 为 4,则 两 直 角 边 的 平 方 和 为 16,设 两 直 角 边 分 别 为 x,则

10、有+,解 得:孙&+2+）=5,x+y=y/26 2.直 角 三 角 形 的 面 积 为.【总 结】考 察 勾 股 定 理 和 直 角 三 角 形 性 质 的 应 用,解 题 时 注 意 方 法 的 运 用.【例 8】如 图,直 线 N 是 沿 南 北 方 向 的 一 条 公 路,某 施 工 队 在 公 路 的 点 A 测 得 北 偏 西 30的 方 向 上 有 一 栋 别 塞 C,朝 正 北 方 向 走 了 400米 到 达 点 8 后,测 得 别 墅 C 在 北 偏 門 75的 方 向 上,如 果 要 从 别 墅 C 修 一 条 通 向 的 最 短 小 路,M请 你 求 出 这 条 小 路

11、 的 长（结 果 保 留 根 号）.c 一-D【难 度】、B100+1004.E 根 据 垂 线 段 最 短,过 C 作 垂 线 的 垂 线 段 是 最 短 的.过 C 作 C。丄 M V,垂 足 为,过 8 作 8E丄 C,垂 足 为 E.A由 题 意 可 知:ZCAB=30,Z C B M=75,ZBCA=45.N在 RfAABE 中,ZCAB=30,AB=400,A BE=-AB=200.2.由 勾 股 定 理 可 得:AE=20073在 放 C8E 中,ZBCA=45,BE=200,CE=200AC=AE+CE=200V2+200在 中，ZCAB=30,AC=200+20043,，8=

12、100+100石.【总 结】考 察 勾 股 定 理 和 直 角 三 角 形 性 质 的 应 用.【例 9】如 图,公 路 A W 和 公 里 尸。在 点 尸 处 交 汇,且/Q/W=30,点 处 有 一 所 中 学,NP=160米,假 设 拖 拉 机 行 驶 时,周 围 100米 以 内 会 受 到 噪 音 的 影 响,那 么 拖 拉 机 在 上 沿 P N 方 向 行 驶 时,学 校 是 否 会 受 到 噪 音 的 影 响?请 说 明 理 由;如 果 受 影 响,已 知 拖 拉 机 的 速 度 是 18千 米/时,那 么 学 校 受 影 响 的 时 间 是 多 少 秒?【难 度】24秒.过“

13、做/8 丄 W,垂 足 为 在 N8P 中，N 0 尸 N=30,/P=160,AB=AP=802V80l00,所 以 学 校 会 受 到 噪 音 的 影 响.假 设 在 C 处 开 始 受 到 噪 音 影 响，在 处 开 始 不 受 影 响,/.CA=W0,40=100由 勾 股 定 理 可 得:CB=BD=60.受 影 响 的 路 程 为!20米=0.12千 米.学 校 受 影 响 的 时 间 为 空 x3600=24秒.18【总 结】考 察 勾 股 定 理 和 直 角 三 角 形 性 质 的 应 用，解 题 时 注 意 对 题 意 的 分 析.【例 10 如 图,矩 形/8。中,AB=8

14、,BC=4,将 矩 形 沿 c 进 行 翻 折，点。落 在 E 处,求 出 重 叠 部 分 尸 C 的 面 积.【难 度】10.V DC/AB,NDCA=NACF,：.ZACF=NCAF,二 AF=FC设 F=FC=x,则 尸 B=8-x,/BC2+BF2=CF2,42+（8-x）2=X2,解 得:x=5S&AFC=丄 C B=；X 5 X 4=10【总 结】考 察 翻 折 图 形 的 性 质 和 勾 股 定 理 的 应 用.【例 11】如 图，4 8 两 个 村 子 在 河 边 8 的 同 侧，、8 两 村 到 河 边 的 距 离 分 别 为 C=1千米,8。=3 千 米,8=3 千 米.现

15、 在 河 边。建 一 座 水 厂,建 成 后 的 水 厂,可 以 直 接 向、8 两 村 送 水,也 可 以 将 水 送 一 村 再 转 送 另 一 村.铺 设 水 管 费 用 为 每 千 米 2 万 元，试 在 河 边 C 选 择 水 厂 位 置 P 确 定 方 案,使 铺 设 水 管 费 用 最 低，并 求 出 铺 设 水 管 的 总 费 用（精 确 到 0.0 1 万 元）.【难 度】10 万 元.延 长 C 至 点 E,使 得 C E=/C,连 接 防 交 C。于 一 点,，则 此 时 铺 设 水 管 费 用 最 低.过 E 作 E C,交 8 D 延 长 线 于 F四 边 形 CEF

16、D是 长 方 形，,CE=DF=,:EF=3,BF=4,.由 勾 股 定 理 可 得:BE=5止 匕 时 AP+PB=E P+B P=B E=5 总 费 用 为 5x2=10万 元.【总 结】考 察 勾 股 定 理 在 实 际 问 题 中 的 应 用.【例 12 如 图，在 直 角/8 C 中，ZBAC=90,AB=AC,E、是 8 c 上 的 两 点,且 ZEAF=45a,求 证:BE1+CF2=EF2.【难 度】见 解 析 过 C 作 CG丄 8 C,使 CG=CE,连 接 G、FG.V ZBAC=90,AB=AC,，ZB=ZBCA=45.V C G I SC,ZACG=ZBCA=45，Z

17、ACG=ZB.：AB=AC,BE=CG,：.A AE B注 AGC：.AE=A G,ZBAE=ZCAG.：ZEAF=45,：.ZBAE+ZCAF=45,ZCAF+ZCAG=45,即 ZFAG=45,/.ZGAF=ZEAFV AF=A F,AE=A G,二 AFG m AAFE,EF=GF.在 R/AC尸 G 中,由 勾 股 定 理,可 得:GF2=C G2+CF2.又 EF=GF,CG=CE,BE2+CFEF-.【总 结】本 题 综 合 性 较 强,本 质 上 是 对 三 角 形 的 旋 转,同 时 结 合 了 勾 股 定 理 进 行 解 题.模 块 二:勾 股 定 理 的 逆 定 理 的 证

18、 明 及 应 用)知 识 精 讲 2,逆 定 理:(1)如 果 三 角 形 一 条 边 的 平 方 等 于 其 他 两 边 的 平 方 和,那 么 这 个 三 角 形 是 直 角 三 角 形;利 用 逆 定 理 来 判 断 三 角 形 是 否 为 直 角 三 角 形.(2)在 直 角 三 角 形 的 三 边 中，首 先 弄 清 楚 哪 条 边 是 斜 边,另 外 应 用 逆 定 理 时,最 大 边 的 平 方 和 等 于 较 小 两 边 的 平 方 和.例 题 解 析【例 13 下 列 命 题 中 是 假 命 题 的 是()A.在 中，若/B=N C-N 4,则 NBC是 直 角 三 角 形

19、B.在 中,若/=s+c)(6-c),则 48C是 直 角 三 角 形 C.在 N8C中,若/B：Z C：NZ=3:4:5,则/BC是 直 角 三 角 形D.力 8 c 中,若 a:b:c=5:4:3,则/8C是 直 角 三 角 形【难 度】CA 答 案 中:NB+N4=NC,且/8+/=180。-。,二。=90。,所 以 是 直 角 三 角 形;B 答 案 中:a2=b2-c2,：.a2+c2=b2,所 以 是 直 角 三 角 形;C 答 案 中:ZS=3x,Z C=4x,ZA=5x,：.3x+4x+5x=180,A x=15,Z C=75,.不 是 直 角 三 角 形;D 答 案 中:设。

20、=5相,6=4机,c=3加,V a2=b2+c2,所 以 是 直 角 三 角 形.【总 结】考 察 判 断 直 角 三 角 形 的 方 法.【例 14(1)将 直 角 三 角 形 的 三 边 都 扩 大 相 同 的 倍 数 后,得 到 的 三 角 形 是 三 角 形;(2)若 48 c 的 三 边 8、C 满 足(6)(/+2)=则 8。是 三 角 形.【难 度】(1)直 角 三 角 形；(2)等 腰 三 角 形 或 直 角 三 角 形.(1)直 角 三 角 形 的 三 边 都 扩 大 相 同 的 倍 数 后,三 边 也 满 足 勾 股 定 理,所 以 得 到 的 三 角 形 是 直 角 三

21、角 形;(2)由 题 意 有:a=b 或+=,.三 角 形 为 等 腰 三 角 形 或 直 角 三 角 形.【总 结】考 察 勾 股 定 理 的 应 用.【例 1 5(1)根 旗 杆 在 离 地 面 9 米 处 断 裂,旗 杆 顶 部 落 在 离 旗 杆 底 部 12米 处，则 旗 杆 折 断 之 前 有 多 少 米?(2)如 果 梯 子 的 底 端 离 建 筑 物 8 米,那 么 17米 长 的 梯 子 可 以 到 达 建 筑 物 的 高 度 是 _ 米,【难 度】(1)24 米;(2)15 米.(1)由 题 意 可 知:折 断 的 旗 杆 的 部 分 长 度 为,92+122=15,则 旗

22、 杆 长 为 9+15=24米；(2)由 题 意 可 得:可 达 到 建 筑 物 的 高 度 为 小-82=15.【总 结】考 察 勾 股 定 理 在 实 际 问 题 中 的 应 用.【例 16】A/18C的 三 边 分 别 为、B、C,且 满 足+50=6+泌+10c,判 断 z B c的 形 状.【难 度】见 解 析.a2+b2+c2+50=6a+Sb+0c,(a-3)2+(t-4)2+(c-5)2=0,.*.cr=3,b=4,c=5.+=2,是 直 角 三 角 形.【总 结】考 察 完 全 平 方 公 式 的 应 用 和 勾 股 定 理 逆 定 理 的 运 用.【例 17 如 图,公 路

23、 上、8 两 点 相 距 2 5千 米,C、。为 两 村 庄,0 丄 8 于 点,CBLH B 于 点 B,已 知。4=15千 米,C8=10千 米,现 要 在 公 路 8 上 建 一 车 站 E.(1)若 使 得 C、两 村 到 站 的 距 离 相 等，E 站 建 在 离 站 多 少 千 米 处?(2)若 使 得 C、两 村 到 E 站 的 距 离 和 最 小，E 站 建 在 离 4 站 多 少 千 米 处?则 此 时 的 E,满 足 C、D 两 村 到 E 站 的 距 离 和 最 小,设 E=x,BE=25-x,.*.ED2=X2+152,T2=（2 5-X）2+102,：DF=V252+

24、252=25五,Vx2+152+7（2 5-x）2+102=25痣,解 得:x=15,.*.AE=5【总 结】考 察 勾 股 定 理 的 应 用,注 意 最 小 值 的 求 法.【例 18】如 图，在 四 边 形 8CZ）中,AB=BC=2,CD=3,DA=,且/8=90,Z D A B的 度 数.【难 度】135.连 接 C：AB=BC=2,ZB=90,:.AC=亚+2?=26,ABAC=45.V AC=2/2,AD=,CD=3,：.AD+AC2=CD1,：.ADAC=90,；.ZD AB=ADAC+ABAC=135.【总 结】考 察 勾 股 定 理 及 其 逆 定 理 的 综 合 运 用.

25、【例 19 如 图,已 知 在/8 C 中,NB=9Q,AB=BC,。是 8 c 边 上 的 中 线,EF是 AD的 垂 直 平 分 线,交 A B于 点、E,交 NC于 点 凡 求 E：8 E的 值.A【难 度】5:3.p连 接 ED,.是 O 的 垂 直 平 分 线,./=、设 8=8C=2,AE=ED=x,则 BE=2-x B DV BE2+BD2=ED2,/.（2-X）2+12=X2,解 得:x=1.贝 BE=2 x=2=,4 4?.AE:BE=-:-=5:3.4 4【总 结】考 察 勾 股 定 理 和 线 段 垂 直 平 分 线 性 质 的 综 合 运 用.【例 20 如 图,48

26、C是 等 边 三 角 形,尸 是 三 角 形 内 一 点,PA=3,PB=4,PC=5,求/A P B的 度 数.【难 度】150.在 BC的 下 方 作/P8O=60。,在 8 上 截 取 一 点,使 得 BD=BP,连 接 C、PD:/ABP+4PBe=60,4DBC+/PBC=60，NABP=Z.CBD/AB=BC,ZABP=ZCBD,BD=BP:.A A B P M B D,:.CD=AP=3BAD.*ZPBD=60,BD=BP,：.ABPD 为 等 边 三 角 形,:.DP=BP=4.：DP=4 f DC=3,PC=5,二 DP2+DC2=PC2,ZPDC=90/.ZBDC=ZBDP

27、+ZPDC=1 50:ABP 空 CBD,ZAPB=ZBDC=5G0【总 结】考 察 旋 转 辅 助 线 的 作 法 和 勾 股 定 理 逆 定 理 的 应 用.【例 21 如 图,P 是 凸 四 边 形 内 一 点,过 点 P 作 从 BC、CD、的 垂 线,垂 足 分 别 为 E、F、G、H,已 知/=3,/=4,G=l,GC=5,CF=6,BF=4,&BE-AE=,求 四 边 形 8 c 的 周 长.【难 度】34.由 勾 股 定 理 可 得:AP2=AH2+PH2=AE2+PE2,BP2=BE1+PE2=BF2+PF2,CP2=PF2+CF2=CG2+PG2,尸 2=DG2+GP2=D

28、H2+PH2,等 式 相 加 后 代 入 数 据 可 得:32+8+62+1=AE2+42+52+42,整 理 得：BE2-A E2=11,Sf!(BE+AE)(B E-A E)=ll,：BE-AE=l,解 得：BE=6,AE=5.所 以 周 长 为：3+4+1+5+6+4+6+5=34.【总 结】考 察 勾 股 定 理 的 应 用,注 意 解 题 方 法 的 合 理 选 择.【例 22】已 知，如 图，在 48。中,ZACB=90,C 丄 8 于 点,设 C=b,BC=a,AB=c,CD=h.求 证:(1)c+h a+h；(2)以 a+b、c+h、。为 三 边 可 构 成 一 个 直 角 三

29、 角 形.【难 度】见 解 析.(1)由 等 面 积 可 知:ah=ch f*.*a2+b=c,a+bp=a2+lab+h2=c2+2ch,(c+h)2=c2+h2+2ch.V c2+2ch c2+h2+2ch,a 4-A)2 a+h.(2)V(C4-/7)2=C24-A24-2C/7?+=+/+2,a2+h2=c2 f ah=ch+。2=力 2+,以+6、c+、为 三 边 可 构 成 一 个 直 角 三 角 形.【总 结】考 察 勾 股 定 理 及 其 逆 定 理 的 应 用、等 面 积 法 的 综 合 应 用.模 块 三:两 点 间 的 距 离 公 式 知 识 精 讲 3、距 离 公 式:

30、如 果 平 面 内 有 两 点(七,乂)、8(，%),则、8 两 点 间 的 距 离 为:yl(xt-x2)2+(yt-y2)2.(1)当(占,)、B(X2,y2)两 点 同 在 x轴 上 或 平 行 于 x轴 的 直 线 上,则 有 必=2,AB=x-x21；(2)当(看,必)、8(,乃)两 点 同 在 轴 上 或 平 行 于 轴 的 直 线 上,则 有=,AB=yx-y2.例 题 解 析【例 2 3 I 已 知 点(2,2)、B(5,1).(1)求、8 两 点 间 的 距 离;(2)在 x轴 上 找 一 点 C,使 C=8C.【难 度】(1)710;(2)C(3,0).(1)AB=7(2-

31、5)2+(2-1)2=V10；(2)设 C(x,0),：AC=BC,：.7(2-X)2+22=7(5-X)2+12,x=3,，C(3,0).【总 结】考 察 两 点 之 间 距 离 公 式 的 应 用.【例 2 4(1)已 知/(x,3)、B(3,x+1)之 间 的 距 离 为 5,则 x 的 值 是；(2)已 知 点 尸 在 第 二、四 象 限 的 平 分 线 上，且 到。(2,-3)的 距 离 为 5,则 点 P 的 坐 标 为【难 度】(1)x=6或 1；(2)尸(6,-6)或 尸(1,-1).(1)由 题 意 有:J(x-3)2+(3-x-l)2=5,；.x=6或 1；(2)设 尸(a

32、,-a),二(a-2 F+(-a+3)2=5,二 a=6 或 1,.尸(6,-6)或 6(1,-1).【总 结】考 察 两 点 之 间 距 离 公 式 的 应 用.【例 2 5(1)以 点 4(1,2)、B(-2,-1),C(4,-1)为 顶 点 的 三 角 形 是；(2)已 知 点(0,3)、8(0,-1),N8C是 等 边 三 角 形,则 点 C 的 坐 标 是【难 度】(1)等 腰 直 角 三 角 形:(2)C(2石,1)或(7(-2 6,.(1),：AB=V32+32=35/2,BC=A/62+02=6,AC=yl32+32=372,A AB2+AC2=BC2,AB=AC,.该 三 角

33、 形 为 等 腰 直 角 三 角 形;(2)C(a,b),(3)V AB=4,：.AC=7 2+(3-fe)2=4,BC=7 2+(+1)2=4,解 得:a-2,6=1,.,.0(2 6 1)或。卜 2 5 1).【总 结】考 察 两 点 之 间 距 离 公 式 的 应 用.【例 26】已 知 直 角 坐 标 平 面 内 的 点(4,1)、B(6,3),在 坐 标 轴 上 求 点 尸，使 弘=尸 艮【难 度】尸(7,0)或 尸(0,7).当 点 P 在 x 轴 上 时,设 尸(x,0),:PA=PB,：.7(4-X)2+12=V(6-x)2+32,x=7,A P(7,0)当 点 尸 在 y 轴

34、 上 时,设 尸(0,),:PA=PB,：.7(l-y)2+42=V(3-)2+62,y=1,：.P(0,7).满 足 条 件 的 P 点 的 坐 标 为 P(7,0)或 尸(0,7).【总 结】考 察 两 点 之 间 距 离 公 式 的 应 用,由 于 点 P 在 坐 标 轴 上,注 意 分 类 讨 论.【例 27】已 知 直 角 坐 标 平 面 内 的 点 P(4,m),且 点/3到 点(-2,3)、8(-1,-2)的 距 离 相 等,求 点 尸 的 坐 标.【难 度】由 题 意 可 知:3)2+62=+2)2+52,解 得:机=,【总 结】考 察 两 点 之 间 距 离 公 式 的 应

35、用.【例 28】已 知 点(2,3)B(4,5),在 x 轴 上 是 否 存 在 点 尸,使 得/+P B 的 值 最 小?若 存 在,求 出 这 个 最 小 值;若 不 存 在，说 明 理 由.【难 度】存 在,最 小 值 为 2J万.找 出(2,3)关 于 x 轴 对 称 的 点 为 C(2,-3),连 接 8C,则 PA+P B 的 值 最 小 值 为 BC=22+82=2VF7.【总 结】考 察 两 点 之 间 距 离 公 式 的 应 用.【例 29】已 知 直 角 坐 标 平 面 内 的 点(4,-),B(6,3),在 x 轴 上 求 一 点 C,使 得 2 Z5C是 等 腰 三 角

36、 形.【难 度】c 乎，0丿 或 C(6,0)或 C(2,o).设。(x，0),当 C4=CB 时，/.J（4-x）2+图=#-x）+3?，x=百，/.C竽。);当 0=/8 时,.,（+9=归）+22,x=2 或 6,.C（6,0）或 C（2,0）；当 CB=/8时，7（6-X）2+32=+22,方 程 无 解，所 以 不 存 在.综 上,满 足 条 件 的 点 C 的 坐 标 为:C 乎,或 C（6,0）或 C（2,0）.【总 结】考 察 两 点 之 间 距 离 公 式 的 应 用,注 意 分 类 讨 论.【例 30】已 知 点（4,0）、B（2,-1）,点 C 的 坐 标 是（x,2-x

37、）,若/8 C是 等 腰 三 角 形，求 C 的 坐 标.【难 度】。弓-2 或 一 苧）或 等）或。0，-1）或。（4，-2）.由 两 点 间 距 离 公 式,可 得:AB=&4 _ 2 y+E=小,J C=7（X-4）2+（2-X）2,8C=4（一 1-2+（2/.当。=CB 时,（4-x）2+（x-2）2=/（2-x）2+（-1-2+x）2，解 得：，.呜，-1 当 C/=/8 时,即(4-x)2+(x-2)2=JP+2,解 得:x=四 或 史 巫,.学,一 学 或 学,毕;2 2 I 2 2 丿 I 2 2)当 C8=N8 时,即 而 x)2+(-l-2+x f=乔+22,解 得:x=

38、l 或 x=4,所 以 C(l,-1)或 C(4,一 2).综 上,满 足 条 件 的 c 点 的 坐 标 为:或(筈,或|告 匹,-或。,-1)或(4,-2).【总 结】本 题 主 要 考 察 两 点 之 间 距 离 公 式 及 勾 股 定 理 的 应 用,由 于 题 目 中 并 没 有 说 明 斜 边 是 哪 条 边,因 此 要 分 类 讨 论.随 堂 检 测【习 题 1】六 根 细 木 棒,她 们 的 长 度 分 别 是 2、4、6、8、10、12(单 位:cm)从 中 取 出 三 根,首 尾 顺 次 连 接 搭 成 一 个 直 角 三 角 形,则 这 些 木 棒 的 长 度 分 别 为

39、().A.2、4、8 B.4、81、0 C.6、8、10 D.8、10、1 2【难 度】C只 有 C 答 案 满 足 勾 股 定 理 逆 定 理.【总 结】考 察 勾 股 定 理 逆 定 理 的 应 用.【习 题 2】已 知 点(2,4)B(-1,-3)C(-3,-2),那 么/BC的 形 状 是()A.等 腰 三 角 形 B,直 角 三 角 形C,等 腰 直 角 三 角 形 D.以 上 都 不 是【难 度】V AB=732+72=V58,BC=-2=B AC=7s2+62=761,482+4 C 2#8 c 2,.该 三 角 形 不 是 直 角 三 角 形,也 不 是 等 腰 三 角 形.【

40、总 结】考 察 两 点 之 间 的 距 离 公 式 的 应 用.【习 题 3(1)如 果 等 腰 直 角 三 角 形 边 长 为 2,另 外 两 边 长 为:(2)如 果 直 角 三 角 形 两 边 长 为 5 和 1 2,第 三 边 长 度 为【难 度】(1)2,2五 或 忘,虚;(2)13 或 4119.两 题 目 中 的 边 长 可 能 为 两 直 角 边 或 一 条 直 角 边 和 一 条 斜 边.【总 结】考 察 勾 股 定 理 的 应 用.【习 题 4】如 图,将 长 方 形 8CZ）沿 E 折 叠,使 得 点。落 在 8 c 上 的 点 F 处,48=8,AD=10.求 EC 的

41、 长.A 尺-片】、由 翻 折 性 质，可 知:AD=AF=O,BF=I AF2-A B2=6,：.C F=B C-B F=0-6=4.设 EC=x,EF=DE=8-x I-A z-1B F CV CE2+CF2=E F2,A x2+42=（8-x）2,解 得:x=3.C=3.【总 结】考 察 勾 股 定 理 的 应 用.【习 题 5】如 图,在 四 边 形/8C。中,ABLBC,AB=9,BC=2,CD=5,D A=1 5 6.求 四 边 形 ABC D的 面 积.A-【难 度】3332.联 结 C,过 C 作 C七 丄 8丄 8C,AB=9,8 0 1 2,A AC=15.V CZ)=15

42、,AC=15,15 五,：.CD2-i-AC2=AD2,4 8 为 直 角 三 角 形.,S四 边 形 8 c)=S“B e+$2DC=；，B 8 c+5 丄 9xl2+k l 5 后 産=生.2 2 2 2【总 结】考 察 勾 股 定 理 及 其 逆 定 理 的 综 合 运 用.【习 题 6】如 图,在 Z 8C中,为 8 c 边 上 的 中 线,AB=5,AC=3,AD=2.求:4ABC的 面 积.【难 度】6.延 长 至 E,使 得。Z,联 结 CE,/BD=CD,NADB=ZCDE,DF=AD,：./XABD 纟/XCDE,AB=CE=5V AC=3,AE=4,CE=5,：.AC2+A

43、E2=CE2,：.ADAC=90,A SAADC=-AD-AC=3.A,BD-CD,.S BC 2s=6.【总 结】考 察 勾 股 定 理 逆 定 理 的 应 用 和 等 底 同 高 的 面 积 相 等 的 应 用.【习 题 7】若、B、C 是 三 角 形 的 边 长 且 关 于 x 的 方 程-2 5+6+/+2=0 有 两 个 相 等 的 实 数 根,试 判 断 这 个 三 角 形 的 形 状.【难 度】直 角 三 角 形.由 题 意 可 知:-2(a+/)4(c2+2aft)=0,.a2+b=c2.这 个 三 角 形 为 直 角 三 角 形.【总 结】考 察 勾 股 定 理 逆 定 理

44、的 应 用.【习 题 8】如 图,在 一 条 公 路 上 有 尸、0 两 个 车 站,相 距 2 7 h,、5 是 两 个 村 庄,”丄 PQ,BQ LPQ,S.A P=l5km,BQ=24km,现 在 要 在 公 路 上 建 立 一 个 商 场 使 得、8 两 个 村 庄 到 商 场 M 的 距 离 相 等,求 的 长.【难 度】PM=2.设 尸=x,MQ=2 1-x,：MA=MB,7 X2+152=応 7-x）2+242,解 得:x=20,PM=20.【总 结】考 察 勾 股 定 理 的 应 用 及 对 最 小 值 的 应 用.【习 题 9】已 知 点(-2,8)8(1,4),点 C 在

45、轴 上,使/U 8 C 为 直 角 直 角 三 角 形,求 满 足 条 件 的 点 C 的 坐 标.【难 度】C(0,6+甸 或 C(0,6 一 旬 或 0,3 或/与.设 C(O,y),则 C=,+(y_8)2,BC=yj+(y-4)2,AB=32+42=5.当 AC2+BC2=AB2 则(8-y)2+22+(4-y)2+12=32+42,解 得:y=6+sJcy=6 A/6,C(0,6+A/)或 C(0,6；当/C2+/8 2=B C2 时,则(8)2+22+32+42=(4-力 2+12,解 得:了=，当 8 C2+史=4 C2 时,则（4-y）2+/+32+42=（8）2+22,解 得

46、:=，.综 上 所 述,满 足 条 件 的 C 点 的 坐 标 为:C（0,6+遅)或 C(0,6-#)或。|。,了 或【总 结】考 察 两 点 之 间 的 距 离 公 式 的 运 用，注 意 分 类 讨 论.【习 题 10】如 图,在。8 c 中,ZACB=90,AC=BC,M 是 4 8 c内 一 点,且 AM=3,BM=,。知=2,求 8（的 度 数.【难 度】135.在 过 点 C 作 C D V C M于 点 C,在 C D上 截 取 一 点 D,使 得 C=C A/,连 接 8。NACM+NDCA=90,ACM+NBCM=90.NDCA=ZBCM：AC=BC,ZDCA=NBCM,C

47、D=CM：.AAC D W/X BCM,BM=AD=：NMCD=90,CD=CM,：.DM=141,ZCDM=45:DA=,DM=242,AM=3,：.DA2+D M2=A M2,Z.AADM=90：.AADC=NADM+ZCDM=135AAC D 注 BCM,二 ABMC=AADC=35【总 结】考 察 旋 转 辅 助 线 的 作 法 和 勾 股 定 理 逆 定 理 的 应 用.【习 题 11】若 在 4 8。中,AB=c,AC=b,BC=a,ZACB=90,则+/=，试 用 两 种 方 法 证 明.【难 度】见 解 析.方 法 一:如 图,4 C D E 妾 二 A D E,且 尻 C、。

48、在 一 条 直 线 上,联 结 E厶 CDE纟 ZADE,：.NACB=ZCED:ZECD+Z.CED=90,二 NACB+NCED=90,二 NACE=90 梯 形 ABDE 的 面 积 为:(a+b)(“+b)=2 x L a b+gc2整 理 得:a2+b2=c2.即 得 证.方 法 二、如 图,由 四 个/S C 拼 成 以 下 图 形,则 四 边 形 B C E G 和 四 边 形 A D F H 都 为 正 方 形.四 边 形 8C E G的 面 积 为 c?,.四 边 形 AD FH的 面 积 为 4 x g a b+J=+,整 理 得：a?+6 2=c 2,即 得 证.【总 结

49、】本 题 主 要 考 查 学 生 对 勾 股 定 理 的 理 解 及 通 过 几 何 说 理 方 法 说 明 定 理 的 正 确 性.课 后 作 业【作 业 1】下 列 命 题 中,正 确 的 有()个(1)腰 长 及 底 边 上 的 高 对 应 相 等 的 两 个 等 腰 三 角 形 全 等(2)有 一 直 角 边 和 斜 边 对 应 相 等 的 两 个 直 角 三 角 形 全 等(3)有 两 边 和 其 中 一 边 上 的 高 对 应 相 等 的 两 个 三 角 形 全 等 A.0 B.1 C.2 D.3【难 度】C(1)(2)正 确,(3)错 误,分 锐 角 三 角 形 和 钝 角 三

50、角 形 两 种 情 况.故 选 C.【总 结】考 察 三 角 形 全 等 的 判 定.【作 业 2】如 图,图 中 的 字 母、数 代 表 正 方 形 的 面 积，则=【难 度】22.根 据 勾 股 定 理 得 的 面 积 等 于 另 外 两 正 方 形 面 积 之 差.【总 结】考 察 勾 股 定 理 的 应 用.【作 业 3】如 图，48 c 中，斜 边 8=1,则 夕+8 C?+/c 的 值 是.【难 度】2.AB2+BC2+AC2=+=2.【总 结】考 察 勾 股 定 理 的 应 用.【作 业 4】已 知 点(3,-5),点 8 的 横 坐 标 为 3,且、8 两 点 之 间 的 距