2022年山东省泰安市岱岳区、高新区中考数学一模试卷（解析版）.pdf

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1、2022年山东省泰安市岱岳区、高新区中考数学一模试卷一、选 择 题（本大题共12小题，满 分 4 8 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题选对得4 分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记0 分）。1.卜 3|的相反数是（）A.-3B.3C.1D.-332.下列运算中，正确的是（）A.a6-a3=a2B.2-2=-4C.D.3。+2/=5。23.如图，AB/CD,A尸交 C)于点 E,K BEAF,ZAEC=40,则为()C.130D.1404.实验中学选择10名青少年志愿者参加读书日活动，年龄如表所示：这 10名志愿者年龄的众数和中位数分别是（）年龄12131415人数23

2、41A.14,13 B.14,14 C.14,13.5 D.13,145.华为某型号手机经过2 次降价后的价格是2 次降价前价格的单，则每次降价的百分比是25（）A.10%B.15%C.20%D.25%6.如图，A 8是 的 直 径，。为上一点，过俞上一点T 作。的切线T C,且 TC_L4 0 于点C.若ND4B=58,求/A T C 的度数是（）A.51B.58C.61D.587.图 1是 2002年世界数学大会（/CM）的会徽，其主体图案（如图2）是由四个全等的直角三角形组成的四边形.若N 43C=a,A B=,则 CO的 长 为（）图1A.sina-cosaC.cosa-sinas i

3、n a cos ClD.-cos C I.sinQ8.若关于无的不等式4x+机2 0 有且仅有两个负整数解，则根的取值范围是（）A.8店12B.8m 12C.8 “12D.8平分/A C 8,若 C=4百，N C A B=75,则 4 8 的 长 是（）C.8D.411.如图，在 Rt/XABC中，C C为斜边AB的中线，过点。作。EJ_AC于点E,延长。E 至点 F,使 E F=D E,连接 AF,CF,点 G 在线段 C F ,连接 EG,且NCDE+NEGC=180,FG=2,G C=3.下列结论：DE=BC；四边形DBCF是平行四边形;EF=EG；BC=2娓.其中正确结论的个数是（）C

4、.3个D.4个1 2 .如图，A点 坐 标（0,4）,8为 x轴上一动点，将线段AB绕点3顺时针旋转9 0 ,得到B C,连 接 OC,则B在运动过程中，线段OC的最小值是（）二、填 空 题（本大题共6 小题，满 分 24分，只要求写最后结果，每小题填对得4 分）1 3 .第 2 4 届奥林匹克冬季运动会于2 0 2 2 年 2月 4号至2 0 号在北京举行，在中国已经有3亿人参与了冰雪运动.根据预测，中国冬季运动的市场价值在2 0 2 5 年将会达到1 5 0 0 亿美元，这也会给全世界的冬季运动带来巨大的推动作用.1 5 0 0 亿美元用科学记数法表示是 美元.1 4 .计 算（TT-3）

5、0-|-3 -3|-2 c o s 3 0 =.1 5 .如图，Z AB C 内接于。，/8=6 0 ,点 E在直径CD的延长线上，A E切。0于点A,且 AE=AC,A C=6,阴影部分的面积是E1 6 .如图，反比例函数？=区(Z 0)的图象与直线A 8交于点A(2,4),直线A B与 x轴交于点8 (4,0),过点B作 x 轴的垂线8 C,交反比例函数的图象于点C,在平面内存在点。，使得以A,B,C,D四点为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标是1 7 .如图，在四边形 AB C。中，AB LB C,AD1AC,AD=AC,ZB AD=05,点 E 和点下分别是A C和 C 的中点，连

6、接B E,EF,B F,若 8=8,则aBEF的面积是1 8 .2 2 如图，AB C 中，Z B=4 5 ,8 C=4,8C边上的高A O=1,点 小、。卜 吊 分别在边 A。、AC.C D k,且四边形丹QiHQ为正方形，点 2、。2、4 2 分别在边。冉卜C Q i、C H y上，且 四 边 形P2Q2H汨I为正方形，按此规律操作下去，则 线 段C Q2O22的长度三、解答题(本大题共7小题，满 分 7 8 分，解答应写出必要得文字说明、证明过程或推演步骤)1 9 .先化简，再求值：(f +2)/第 L,其中x的 值 从 不 等 式 组 的 整x+2x X2-4 12X-10)x的图象经

7、过点b(1)求“和上的值;(2)将线段A 3向右平移m个单位长度(机 0),得到对应线段C D,连接A C、B D.如图2,当?=3时，过。作轴于点F,交反比例函数图象于点E,求E点的坐标；在线段A B运动过程中，连接B C,若 B C D是等腰三角形，求所有满足条件的机的值.2 2 .北京冬奥会、冬残奥会期间，大批的大学生志愿者参与服务工作，为双奥的成功举办做出巨大贡献.同时，“绿色办奥”是北京冬奥会、冬残奥会四大办奥理念之一.期间，节能与清洁能源车辆占全部赛事保障车辆的8 4.9%,为历届冬奥会最高.冬奥会开幕式当天，北京大学组织本校全体参与开幕式活动的志愿者统一乘车去国家体育场鸟巢，若单

8、独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配2 2座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位.(1)计划调配36座新能源客车多少辆？北京大学共有多少名志愿者？(2)若同时调配36座和2 2座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？2 3.如图，将矩形A B C。绕着点8逆时针旋转得到矩形G B E凡 使点C恰好落到线段A O上的E点处，连接C E,连接C G交8 E于点”.(1)求证：C E 平分N B E D；(2)取8 c的中点“，连接M/f,求证：MH/B G-,24.如图，在平面直角坐标系x O y中，是等腰直角三角形，N B A C=9

9、0。，A(l,0),B(0,2),二次函数y=f+以-2的图象经过C点.(1)求二次函数的解析式；(2)若 点P是抛物线的一个动点且在x轴的下方，则当点P运动至何处时，恰好使4P B C的面积等于A A B C的面积的两倍.(3)若 点。是抛物线上的一个动点，则当点。运动至何处时，恰好使N Q A C=4 5?请你求出此时的Q点坐标.2 5.如图，点尸是菱形A B C O的对角线B O上一点，连 结C P并延长，交40于E,交B 4的延长线于点F.(1)求证：PEPFPC1.(2)如图2,连接4 C交B D于。，连接O E,若C E J _ 8C,求证：AP O C AAE C.(3)P E=

10、-1,0 E=T，求 的长及菱形的边长.BBF图I性1 2参考答案一、选 择 题（本大题共1 2小题，满 分4 8分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记0分）。I.卜 31的相反数是（）A.-3 B.3 C.D.-3 3【分析】根据绝对值定义得出I-3|=3,再根据相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数作答.解：；|-3|=3,3的相反数是-3.故选：A.2.下列运算中，正确的是（）A.a6-7-a3=a2 B.2-2=-4 C.D.3a+2a2=5a2【分析】直接利用同底数事的除法运算法则以及二次根式的除法运算法则、合并同

11、类项法则分别判断得出答案.解:A.a a3=a 故此选项不合题意；A 2-2=J,故此选项不合题意；4C.巫.后=近,故此选项符合题意；D.3a+2a2,无法合并，故此选项不合题意.故选：C.3.如图，AB/CD,AF 交 C D 于点 E,月.ZAEC=40,则为（）.A.40 B.50 C.130 D.140【分析】由平行线的性质可求解N A 的度数，N D E B=N B,利用垂线的定义可求解NAEB=90,再根据平角的定义的性质可求解.解：AB/C D,：.Z A E C=Z A,Z D E B=Z B,；/AE C=4 0 ,=4 0 ,JB ELAF,：.ZAEB=9 0,V Z

12、C A E+Z A E B+Z D E B=1 80 ,:.NDEB=9 0 -ZA=9 00-4 0 =5 0 ,ZB=5 0 .故选：B.4 .实验中学选择1 0 名青少年志愿者参加读书日活动，年龄如表所示：这 1 0 名志愿者年龄的众数和中位数分别是（）年龄1 21 31 41 5人数2341A.1 4,1 3 B.1 4,1 4 C.1 4,1 3.5 D.1 3,1 4【分析】根据中位数、众数的意义求解即可.解：这 1 0 名志愿者年龄出现次数最多的是1 4,因此众数是1 4,将 这 1 0 名志愿者年龄从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为电支=1 3.5,因此中位数是1 3.

13、5,故选：C.5 .华为某型号手机经过2次降价后的价格是2次降价前价格的学，则每次降价的百分比是25（）A.1 0%B.1 5%C.2 0%D.2 5%【分析】设每次降价的百分比是X,利用经过两次降价后的价格=原价X （1 -每次降价的百分比）2,即可得出关于X的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论.解：设每次降价的百分比是X,依题意得：（17）笑，25解得：x i =0.2 =2 0%,X 2=1.8（不合题意，舍去）.故选：c.6.如图，A 8 是。的直径，。为。0上一点，过 B D 上一点了作。的切线7 c且A O于 点 C.若N D 4 B=5 8 ,求N A TO的度数是（

14、）RA.5 1 B.5 8 C.61 D.5 8【分析】连接O T,根据切线的性质可得O T J _ C T,结合已知条件即可求出/A TC的度数.解：如图，连接。丁，C T 为。的切线，：.OT CTfv r c i AC,:.OT/AC9：.Z D A T=Z O T Af；OA=OT,：.Z O A T=Z O T Af：.Z D A T=Z O A T=DAB=29,2v r c i AC,A ZACT=90,A Z A T C=90 -2 9=61 ,故选C.7.图 1 是 2 0 0 2 年世界数学大会（/C M）的会徽，其主体图案（如图2）是由四个全等的直角三角形组成的四边形.若

15、NABC=a,A B=,则 C的 长 为（）图 1A.sina-cosa图2B.-s in。cosaD.-cosCl s in。C.cosa-sina【分析】在 RtaABC中，利用锐角三角函数的的定义求出AC,8 c 的长，即可解答.解：ZAC B=9 0 ,Z AB C=a,AB=,AC=4Bsina=sina,B C=AB cosacosa,由题意得：AC=B D=tana,:.C D=B D -BC=sina-cosa.故选：A.8.若关于x 的不等式4x+,0 有且仅有两个负整数解，则，的取值范围是（）A.8mW12 B.8Vm12 C,8（，后 12 D.8W/0有且仅有两个负整数

16、解，一定是-1 和-2,根据题意得：-3 -W-2,4解 得:8?为斜边AB的中线，过点。作 QEJ_AC于点E,延长O E至点 尸,使E F=D E,连接AF,CF,点 G 在线段C F上，连接EG,且/C Z)E+/EG C=180,FG=2,G C=3.下列结论：D E=B C；2四边形D B C F是平行四边形；E F=E G；B C=2疾.其中正确结论的个数是()【分析】证出O E是aA B C 的中位线，则。E=4B C；正确；证出 /=8 C,则四边形D B C F是平行四边形；正确；由直角三角形斜边上的中线性质得出8=争 8=8。，贝 lj C f=C D,得出 N C FE=

17、N C D E,证N C D E=N E G F,则N C PE=N E G F,得出 EF=E G,正确；作尸 G 于，由等腰三角形的性质得出FH=G H=FG=1,证：;s A C E H,则 累=兽，求出E H=2,由勾股定理的E F=心 进而得出B C=2娓,(4)CH EH正确.【解答】解；CO为斜边A8的中线，:AD=BD,V ZACB=90,：.BCLACfVDE1AC,J.DE/BC,JO E是ABC的中位线，：.AE=CE,DE=-BC；正确；EF=DE,:DF=BC,.四边形。3c尸是平行四边形；正确；:CFBD,CF=BD,NAC8=90,C。为斜边4 8的中线，：.CD

18、=AB=BD,2:CF=CD,:/CFE=/CDE,NCOE+NEGC=180,ZEGF+ZEGC=180,：.4CDE=4EGF,:/CFE=/EGF,:EF=EG,正确；作于H,如图所示：则 NE4尸=NC E=90，/HEF+NEFH=NHEF+NCEH=90。：.ZEFH=ZCEHt C77=GC+G”=3+1=4,FH=GH=FG=2:EFHs/CEH,E H =F H，C H-E H，：.EH2=CHXFH=4X1=4,：.EH=2,EF=VFH2+EH2=V l2+22=V 5，:.BC=2DE=2EF=2娓,正确；故选：D.1 2.如 图，A点 坐 标（0,4）,B为x轴上一动

19、点，将线段4 8绕点8顺时针旋转9 0 ,得到8 C,连接。C,则8在运动过程中，线段O C的最小值是（）【分析】设B （m，0）,作C O L x轴于点。，然后通过A B O丝2 C。得出8。和C Z）,再根据勾股定理得出O C关于机的函数关系，在根据函数的性质去顶O C的最小值.解：设8 （加，0）,则。8=|刑，,：ZABO+ZBAO=90,NABO+NCBD=90,ZBAO=ZCBD,在A B。于 B C D中，Z A 0 B=Z B D C=9 0o0,对称轴为x=-2,.当x=0 时，。(最小，最小为1 6,.OC 最小为4,当忘0 时，-8，”+1 6=2 (%-2)2+8,V2

20、0,对称轴为x=2,.当x=0 时，O G最小，最小为1 6,；.O C 最小为4.故选：A.二、填空题(本大题共6 小题，满分24分，只要求写最后结果，每小题填对得4 分)1 3 .第 2 4 届奥林匹克冬季运动会于2 0 2 2 年 2月 4号至2 0 号在北京举行，在中国已经有3亿人参与了冰雪运动.根据预测，中国冬季运动的市场价值在2 0 2 5 年将会达到1 5 0 0 亿美元，这也会给全世界的冬季运动带来巨大的推动作用.1 5 0 0 亿美元用科学记数法表示是 1.5 X 1 0 美元.【分析】科学记数法的表示形式为“X 1 0 的形式，其 中 l W|a|1 0,n为 整 数.确

21、定n的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值2 1 0 时，是正整数，当原数绝对值=x,根据正方形的性质可得A O Q i H”所以 A O C s a C H i a，然后求得其相似比，同理求得C”Q 和C H 2 Q 2 的相似比是件，相（7 和 CH的相似比是（皋2,依此类推：AOC和C H 2 0 2 0 Q 2 0 2 0 的相似比是。）2 0 2 2,进而可得结果.O解：Y B C 边上的高 A O=1,N 8=45 ,：.B D=,：.D C=B C-B D=4-1=3,VA D D C,AAC=VA D2-K:D2=VIO设

22、P Q=x,则 AP 1=A D-P Q=1-%,P Q=H Q=H D=P D=x,四边形P QiHQ为正方形，：.AD/QiHi,：.z M O C s z X C H Q,.AD _ DC Q H-而一x解得3=3-x，_33:.PQ=HxQ=HD=PD=-,4x 3 4：./ADC和C F Q 的相似比是多，4.同理：C M Q和 的 相 似 比 是 伊.4O C和C2 Q的相似比是（言）2,依此类推：0 g w,的整 2 x-l 0 瓜-1 40 解得：X-4,解得：故不等式组的解集为：-4;:共单l ox（1）根据图中信息求出=1 0 0 ,n=35；（2）请你帮助他们将这两个统计

23、图补全；（3）根据抽样调查的结果，请估算全校2 0 0 0 名学生中，大约有多少人最认可“微信”这一新生事物？（4）已知A、8 两位同学都最认可“微信”，C 同学最认可“支付宝”，力同学最认可“网购”.从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率.【分析】（1）由共享单车人数及其百分比求得总人数加，用支付宝人数除以总人数可得其百分比”的值；（2）总人数乘以网购人数的百分比可得其人数，用微信人数除以总人数求得其百分比即可补全两个图形；（3）总人数乘以样本中微信人数所占百分比可得答案；（4）列表得出所有等可能结果，从中找到这两位同学最认可的新生事物不

24、一样的结果数,根据概率公式计算可得.解：（1）.被调查的总人数，”=1 0+1 0%=1 0 0 人，.支付宝的人数所占百分比=寻X 1 0 0%=3 5%,即”=35,100故答案为：1 0 0、35；(2)网购人数为1 0 0 X 1 5%=1 5人，微信对应的百分比为自X 1 0 0%=40%,100补全图形如下：共单10/(3)估算全校2 0 0 0名学生中，最认可“微信”这一新生事物的人数为2 0 0 0 X 40%=80 0(人)；答：大约有80 0人最认可“微信”这一新生事物.(4)列表如下:ABcDAA.BA CA DBA.BB、CB DCA、CB-CC.PDA、DB、Dc、D

25、共 有1 2种等可能情况，这两位同学最认可的新生事物不一样的有1 0种；所以这两位同学最认可的新生事物不一样的概率为=?.12 62 1.如 图1,点A(0,8)、点8(2,a)在直线y=-2 x+6上，反比例函数y=K (x 0)X的图象经过点B.(1)求a和A:的值；(2)将线段A B向右平移，个单位长度(相0),得到对应线段C Q,连接AC、B D.如图2,当m=3时，过。作 F，x轴于点凡 交反比例函数图象于点E,求E点的坐标；在线段A B运动过程中，连接B C,若 BCO是等腰三角形，求所有满足条件的m的值.【分析】(1)把点A坐标代入直线A 8的解析式中，求出m求出点B坐标，再将点

26、3坐标代入反比例函数解析式中求出公(2)确定出点。(5,4),得到求出点E坐标；先表示出点C,O坐标，再分三种情况：当B C=C。时，判断出点8在A C的垂直平分线上，即可得出结论，当时，表示出8C,用 建 立 方 程 求 解 即 可 得 出结论，当时，=AB,根据勾股定理计算即可.解：(1)；点 A (0,8)在直线 y=-2 x+b 上，-2 X 0+匕=8,.,.b=S,直线A B的解析式为y=-2 x+8,将 点8(2,a)代入直线A 8的解析式y=-2 x+8中，得-2 X 2+8=a,；.a=4,：.B(2,4),将B (2,4)代入反比例函数解析式y=K (x 0)中，得 仁 孙

27、=2 X 4=8；x(2)由(1)知，8(2,4),%=8,.反比例函数解析式为y=&，x当朋=3时，将线段A 8向右平移3个单位长度，得到对应线段C D,：.D(2+3,4),B P D(5,4),QF Lx轴于点F,交反比例函数丫=3的图象于点E,X：.E(5,当；5如图，将线段AB向右平移机个单位长度(%0),得到对应线段CD:.C D=AB,A C=B D=m,VA(0,8),B(2,4),AC(jn,8),D(机+2,4),当 8C=CO 时，B C=A Bf二点B在线段AC的垂直平分线上，.m=2 X 2=4f当 时，B(2,4),C(加，8),(m-2)2+(8-4)2，(I U

28、-2)2 +(8-4)2=M.*.771=5,当 B D=A B=C D 时，m=A B=y j22+4=2/5,综上所述，BCD是等腰三角形，满足条件的，的值为4 或 5 或 2遍.图22 2.北京冬奥会、冬残奥会期间，大批的大学生志愿者参与服务工作，为双奥的成功举办做出巨大贡献.同时，“绿色办奥”是北京冬奥会、冬残奥会四大办奥理念之一.期间，节能与清洁能源车辆占全部赛事保障车辆的84.9%,为历届冬奥会最高.冬奥会开幕式当天，北京大学组织本校全体参与开幕式活动的志愿者统一乘车去国家体育场鸟巢，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2 人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4

29、 辆，并空出2 个座位.(1)计划调配36座新能源客车多少辆？北京大学共有多少名志愿者？(2)若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？【分析】（1）设计划调配3 6 座新能源客车x辆，北京大学共有y名志愿者，则需调配2 2 座新能源客车（x+4）辆，根 据“若单独调配3 6 座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配2 2 座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位”，列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）设需调配3 6 座客车机辆，2 2 座客车辆，根据调配的车辆正好每人有座且每车不空座，列出?，的二元一次方程，结合机，”均为非

30、负整数，即可得出结论.解：（1）设计划调配3 6 座新能源客车x辆，北京大学共有y名志愿者，则需调配2 2 座新能源客车（x+4）辆，依题意，得:36x+2=y22(x+4)2=y解得:x=67=218)答:计划调配3 6 座新能源客车6辆，北京大学共有21 8 名志愿者.（2）设需调配3 6 座客车机辆，22座客车辆，依题意，得：36m+22n=218,.n=-1-0-9-1-8-m,11又 均 为 非 负 整 数，产，I n=5答:需调配3 6 座客车3 辆，22座客车5辆.23.如图，将矩形A B C D绕着点B逆时针旋转得到矩形G B E F,使点C恰好落到线段A D上的 E点处，连接

31、C E,连接CG交 8E于点（1）求证：CE 平分N B E D；（2）取 B C的 中 点 连 接 何，求证：MH/B G；（3）若 B C=2 A B=4,求 C G 的长.BM【分析】（1）根据旋转的性质得到C B=C E,求得N B E C=N B C E,根据平行线的性质得到NBCE=NEC,可证得结论；（2）过 点 C 作 B E 的垂线C N,根据角平分线的性质得到C N=B G,求 得 C G=B Q,根据全等三角形的性质得到C H=G H,根据三角形的中位线定理即可得到结论；（3）过点G 作 BC的垂线G R,解直角三角形即可得到结论.【解答】（1）证明：将矩形A8C。绕着点

32、8 逆时针旋转得到矩形G B EF,使 点 C 恰好落到线段AO上的E 点处，：.BE=BC,二 NBEC=NBCE,SAD/BC,：.NBCE=ZDEC,：.NBEC=/D EC,；.CE 平分 N8E；（2）证明：过点C 作 CNLBE于 N,如图：:CE 平分 NBED,CD A.DE,CNLBE,：.CD=CN,：.BG=AB=CD=CN,:NBHG=NNHC,NGBH=/CNH=90,BG=CN,:A B H G安 ANHC(A 4 S),：.G H=C H,即点”是 C G 中点，,点M 是 BC中点，.M”是aB C G 的中位线，.,.MH/BG；(3)解：过点C 作 CN_L

33、8E于 N,过 G 作 GRJ_BC于 R,如图:L _ _ JU-、R B MVBC=2AB=4,:.B G=A B=C D=C N=2,：.C N=B C,2：.NNB C=30 ,；NGB E=9 0 ,：.Z G B R=6 0Q,：.B R=B G l,G R=MBR=M，在 RtZ GRC 中，CG=MGR2+CR2=7 (V 3 )2+(l+4)2=2V 7，.CG的长为2 4.如图，在平面直角坐标系xO)，中，A8C是等腰直角三角形，ZB AC=9 Q,A(1,0),B(0,2),二次 函 数)=/+云-2的图象经过C点.(1)求二次函数的解析式；(2)若 点P是抛物线的一个动

34、点且在x轴的下方，则当点P运动至何处时，恰好使4P B C的面积等于AABC的面积的两倍.(3)若 点Q是抛物线上的一个动点，则当点。运动至何处时，恰好使/Q4C=45?请你求出此时的。点坐标.【分析】(1)首先构造全等三角形aAOB丝C D 4,求 出 点C的坐标；然后利用点C的坐标求出抛物线的解析式；(2)过点尸作尸Hy 轴交BC于点，设直线BC的解析式为y=m r+,由待定系数法求出直线BC的解析式，设 P(x,/-2 x-2),则 H(x,-y x+2),表示出P H,由三角形面积公式求出x 的值，则可得出答案；(3)作8 关于AC的对称点为N,连接C N,作/C A N 的角平分线A

35、H 交 CN于点交抛物线于点Q,由等腰直角三角形的性质求出直线A H的解析式，则可求出答案；如图，同理可得，当AH 平分/胡(？时，射线A”与抛物线交点。满足NQAC=45.求出AH的解析式即可.解：(1)如图所示，过点C 作 CO Lx轴于点。则NC4O+/AC)=90.NOBA+NOA8=90,ZOAB+ZCAD=90,，ZOAB=NACD,ZOBA=ZCAD.,在AOB 与CD4 中,ZA OB=ZA C D,A B=A C ，NOB A:N C A DA/AOB/C DA(A S A).：.C D=OA=lf AD=OB=2,：.OD=OA+AD=39：.C(3,1).，点C (3,1

36、)在抛物线y=/+x-2上，/.1 =9+3/?-2,解得：b=-2.抛物线的解析式为：W-2 x-2.(2)YA (1,0),B(0,2),AB=A Cf:AB=F+22=J,过点P作P H/y轴交B C于点、H,设直线B C的解析式为y=/n r+，3 m+n=l1 *3 ,n=2直线B C的 解 析 式 为 尸-申+2,o设 尸(x,x2-2x -2),则 H(x,-米叶2),i RPH=-x+2-N+2x+2=-J+x+4,3 31 R:SBC=F(-x2+-x+4)X3=5,2 3整理得，3 f-5 x-2=0,o 1.X1=2,X 2=-，3当 x=2 时,y=-2,当X=时，y=

37、-，3 9：.P(2,-2)或 尸(-上，一 红)，3 9即当点P运动至坐标为(2,-2)或(，-中时，M BC的面积等于aA B C 的o y面积的两倍；(3)如图，作 3 关于A C 的对称点为M连 接 C M 作NCAN的角平分线A 交 CN于点”，交抛物线于点。，：.ZQAC=45 ,A B=A C=A N9 :B(0,2),A(1,0),：.N(2,-2),.AC=4N,4 平分 N CAN,:.C H=NH,V C(3,1),直线A H的解析式为y=-（不合题意，舍去），如图，同理可得，当A H平分N B A C时，射线4 H与抛物线交点。满足NQ A C=4 5 .二直线A H的

38、解析式为y=3 x -3,y=3x-39y=x、2x-2综合以上可得，点Q的坐标为（&Y叵，上 叵）或6 1 8z 5+721-29+3收、-7225.如图，点P是菱形A 8 C D的对角线8 0上一点，连 结C P并延长，交4。于E,交8 4的延长线于点F.(1)求证：PEPF=PC1.（2）如图2,连接4 c交8。于O,连接。,若 C E L B C,求证：P OC s a A E C.(3)P=-|,0E=通,求 EF的长及菱形的边长.图 1图2【分析】由菱形的性质得到/AOP=NCOP,AD=CD,C D/A B,然后得到4PD会CP。，进而得到NPAO=NPCD,A P=P C,再结

39、合 COAB 得到最后得证 A PESF P A,由相似三角形的性质可得出结论；(2)先由CEJ_BC得到C E L4O,然后由点。是 AC的中点得到。4、OC、AC的长度，可证明POCs/viEC；(3)利用相似三角形的性质求得PC的长度，可求出EF的长，然后证明进而得到E。与 E 4的比值，再根据比值设QE和 E 4的长，最后利用口)(?的三边关系求得菱形的边长.【解答】(1)证明：二 四边形A8C力是菱形，/.ZADP=ZCDP,AD=CD,CD/AB,：DP=DP,丝CTO(SAS),：.PA=PC,NPAD=NPCD,:CDaAB,：.NPCD=NF,二=ZPAD,：NEPA=NAP

40、F,：.4PEs尸pa,.AP _ PE,PFPA:.PE*PF=PA2,：.PE*PF=PC1(2)证明：二 四边形ABC。是菱形,J.BC/AD,点。是 AC 的中点，NPOC=90,TCE1.BC,；CE_LAD,：.OA=OC=OE,NAEC=90,NAEC=/POC,9：ZPCO=ZACEf:POCsAAEC：解：:POCs/xAEC,.Q C _PC ，E C A CVs x5+x解得：或x=-4（舍），R Q RPC=,E C=P+PC=+=4,2 2 2PE，PF=PO,&PF=(3)2,2 2CDAB,ECDE2+CE2=CD2,/.（3。）2+42=（5。）2,解得：4=1,：.CD=59:.E F*,菱形的边长为5.