高考重难点突破圆锥曲线50道题含详细解析1.pdf

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1、高考重难点突破圆锥曲线50道 题（1）含详细解析2 21.已知椭圆七:=十 =1（。匕 0）,不经过原点。的直线/:丁 =丘+皿 2 0）与椭圆E相a b交于不同的两点A、B,直线OA,A B,。8的斜率依次构成等比数列.（1）求，b,k的关系式；（2）若离心率0 =!且|A B|=立，当机为何值时，椭圆的焦距取得最小值？2|mf V2 12 .已知椭圆C：r+=1 3 b 0），离心率e=上，焦点耳（1,0）,心（1,0）.a b 2（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线L与椭圆C相切于点A ,过点A作关于原点。的对称点B ,过点B作B M L L,垂足为“，求面积的最大值.3 .已知4（占

2、，%）8（%，当）是抛物线V=2x上任意异于原点。的不同两点，尸是集点,直线A B与x 轴交于点（利,0）.(1)求证：xtx2=nr；（2）当。A _ L 0 8 时，求 A A O B 面积的最小值.4 .已知抛物线的方程是y?=4 x,直线/交抛物线于A,B两点.(1)若弦4J的中点为(2,2),求弦45的直线方程；(2)设 4(占，%),8(x 2 ,y2),若 乂%=-1 6.求证 4 3 过定点.5 .已知抛物线C/2 =4 y ,过点尸(2,1)引抛物线C的两条弦P A、PB,分别交抛物线C于 4、8两点，且(1)求证：直线AB过定点；(2)若点。(-2,0),求 4的的面积的最

3、小值.6 .己知抛物线C：V=2 p x 的焦点为尸，圆 d+V+Zx-BuO 与 y 轴的一个交点为4,圆的圆心为E,AMF为等边三角形.(1)求抛物线C的方程；(2)设圆与抛物线C交于U、V两点，点 P(%,%)为抛物线C上介于U、丫两点之间的一点，设抛物线C在点P处的切线与圆交于M、N两点，在圆上是否存在点Q,使得直线Q M、AN均为抛物线C的切线，若存在求出。点坐标(用看,%表示)；若不存在，请说明理由.7.如图，过点尸(1,0)作两条直线x =l 和/分别交抛物线丁=人 于 A,8和 C,。(其中A,C位于x 轴上方，/的斜率大于0),直线AC,或)交于点。.(1)求证：点。在定直线

4、上；s(2)若4 =纥，求力的最小值.,BD2 28 .已知椭圆二+2=1 3 6 0)的左、右焦点分别为(-c,0),g(c,0),且a,b,c成a b-等 比 数 列.尸(x。，%)是椭圆上一点，设该椭圆的离心率为e.(I )求e；(H )求证：|PFX|=a+er0；(H I)若点尸不与椭圆顶点重合，作P M J.X轴于M,鸟的平分线交x轴于N(,0),试 求 需 的值.y2 29.在平面直角坐标系x Oy中，已知椭圆。:三十二a b-=l(a 6 0)的短轴长为2,倾斜角为.的直线/与椭圆C相交于A,8两点，线段A B的 中 点 为 且 点”与坐标原点。连线的斜率为-2(1)求椭圆C的

5、标准方程;(2)若|A B|=g,尸是以4 5为直径的圆上的任意一点，求证：|。尸|”上 普r2 v210 .过原点。作两条相互垂直的射线，分别交椭圆C:二+=1 3 6 0)于P,。两点.cr b,(1)证明：为定值;OP2 OQ2(2)若椭圆(7:+a二 叱 八。)的长轴长为4,离 心 率 为;，过原点。作直线P。的垂昂线，垂足为。，求点。的轨迹方程.2 211.已知椭圆=+与=im b 0)的左、右焦点分别为耳，居，|月月|=2,过居的直线/与a b.椭圆C交于A,3两点，A A B F；的周长为4收(I)求椭圆C的方程;(2)取点P(g,0),过点A作 y 轴垂线7,则直线P 8 与直

6、线，”的交点是否恒在一条定直线上？若是，求该定直线的方程；若不是，请说明理由12 .已知动圆C过定点M(0,2),且在x 轴上截得的弦长为4,设该动圆圆心的轨迹为曲线C .(I )求曲线C的方程；(I I)直线4过曲线C的焦点F，与曲线C交于A、8两点，且 AA，都垂直于直线右：y =-l,垂足分别为A、用，直线/与 y 轴的交点为Q,求 证，%。一 为定值.S QAA S QBBi2 213 .如图，在平面直角坐标系x Qy 中，椭圆C:，+方=1(。0)的左、右焦点分别为片，F2,P为椭圆C上一点，且 P 心垂直于x轴，连 结 PK并延长交椭圆于另一点。，设尸2=44Q(I)若点P的坐标为

7、(1)，求椭圆C 的方程；(2)若3领从4,求椭圆C 的离心率的取值范围14.已 知 离 心 率 为 述 的 椭 圆 W +y2=l(a l),与直线/于P,。两点，记直线。户的斜3 a率为k,直线0。的斜率为自.(1)求椭圆方程；(2)若 4 网=-1,则三角形。P。的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.15.已知抛物线C:x?=2py(p 0),。是坐标原点，点 A是抛物线上一点(与坐标原点。不重合)，圆G是以线段。4 为直径的圆.(1)若点A坐标为(-2,4)求抛物线C 方程以及圆Q方程;(2)若 P =以线段O A 为直径的圆G与抛物线C 交于点B (与点O A不重

8、合)，求圆G面积 S的最小值.16.已知产为抛物线T:f=4 y 的焦点，直线/:y=f cv+2 与T相交于A,8两点.(1)若 k=1 ,求|F 4|+|F B|的值：(2)点C(-3,-2),若 NC FA =NC FB,求直线/的方程.17.如图，已知A(-l,0),8(l,0)Q、G分别为A 4 B C 的外心、重心，Q G/A B.(1)求点C 的轨迹E的方程.(2)是否存在过P(0,l)的直线Z,交曲线E与 M,N两点且满足M P =2 PN,若存在求出L的方程，若不存在请说明理由.18 .己知椭圆C:+4=1(0 力 0),且离心率e =,过椭圆一焦点且与椭圆长轴垂a b 2直

9、的弦长为2.(I )求椭圆C 的方程；(H)若斜率为2 的直线与椭圆C 交于A ,8两点，且|A B|=2,求该直线的方程.19 .已知抛物线C 的对称轴为x 轴，点尸(1,2)在抛物线C 上，4,8是抛物线C 上不同的两点，直线24,P 8 的斜率为匕，k2,满足K+&=T.(1)求抛物线的标准方程；(2)证明：直线A3 过定点；(3)当点尸到直线4 5 距离最大时，求 A R 4 B 的面积.20 .已知抛物线 0)的焦点为尸，A为 C 上位于第一象限的任意一点，过点A的直线/交C 于另一点8,交x 轴的正半轴于点 .(1)若当点A的横坐标为3,且A 0 为等边三角形，求 C 的方程；(2

10、)对 于(1)中求出的抛物线C,若点 (%,0)($；)，记点8关于x 轴的对称点为E,A E交x轴于点P,且 小,胪，求证：点 尸 的 坐 标 为 ,0),并求点P到直线A 3的距离d的取值范围.21.已知点A,8关于坐标原点。对称，|48|=6,M过点A,8且与直线x+3=0相切.(1)若A在直线x+y=0上，求M的半径；(2)是否存在定点P,使得当4运动时，|K 4|-|M P|为定值？并说明理由.22.已知抛物线C:V=4)，和动直线/:y=f ct+l .直线/交抛物线C于A,B 两 点,抛物线C在A,3处的切线的交点为N.(1)当=/5时，求以4 8为直径的圆的方程；(2)求A 4

11、8 N面积的最小值.2 223.已知桶圆C:+=l(a 6 0)的左、右焦点分别为Z，F,焦点为E的抛物线a b-D.y2=4 x的准线被椭圆C截得的弦长为点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点片，鸟到直线/:y=，nx+的距离之积为1,求证：直线/与椭圆C相切.r2 v224.设点匕，6分别为椭圆:+方=1(0 6。0)的中心为原点。，过。作两条相互垂直的射线交椭圆a-b于点P，Q.(1)证明：77二+77二 为 定 值；OP-OQYr2 2(2)若椭圆。的方程为一+2=1 ,过原点。作直线P Q的垂线，垂足为。，求|0。|.4 3/V226.已知椭圆=力 0)的左顶点为A,右焦点为尸，上

12、顶点为3,过产的a b直线/交椭圆C于P、Q.当P与B重合时，A 4/小 与A A Q F的 面 积 分 别 为 亭.爷(1)求椭圆C的方程;(2)在x轴上找一点M,当/变化时，M P MQ为定值.2 7.已知函数/(x+2)为偶函数，抛物线/*)与x 轴交于两点A ,B,|A B|=2,与 y 轴交于点(0,3),(1)求f(x)的解析式:(2)过抛物线/(x)上任意一点P作与直线/:2x+y+3=0 夹角为30。的直线，交/于点A,求|川 的最小值.2 2X J7 V2 8.在平面直角坐标系x O y 中，已知椭圆C:=1(4 匕 0),过左焦点(一百，0）的直线/与椭圆交于A,8两点，当

13、 直 线 轴 时，A B=l.(1)求椭图C 的标准方程；(2)若点P在 y 轴上，且是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，求直线A3 的方程.2 729 .设斜率不为0的直线/与抛物线f=4 y 交于A,B 两点,与椭圆 +?=1交于C,D两点，记直线O A,OB,OC ,。的斜率分别为仁，k2,k3,k4.(1)若直线/过(0,4),证明：O A A.OB；(2)求证：红&的值与直线/的斜率的大小无关.k3+k430 .已知抛物线C：V=2px(p 0)(I )若抛物线C 的焦点到准线的距离为4,点 A,8在抛物线C 上，线段AB的中点为 (3,2),求直线4 8的方程(I I)若圆C，以原

14、点。为圆心，1 为半径，直线/与C,C 分别相切，切点分别为E,F,求 的 最 小 值31.已知椭圆C：5 +=1 3 6 0)的离心率0 =立，椭圆的左焦点为月，短轴的两个端a b 2点分别为用，B),且耳4 耳与=2.(1)求 C的标准方程；(2)若过左顶点A作椭圆的两条弦4M,A N ,月 AMAV=O,求证：直线MN与x 轴的交点为定点.r2 v232.已知F是抛物线E:y2=2 px(p 0)的焦点，恰好又是双曲线C:二-4=1(。0/0)的a b右焦点，双曲线C过点(1,孝)，且其离心率为(1)求抛物线E和双曲线C的标准方程；(2)已知直线/过点尸，且与抛物线E交于4,8两点，以A

15、3 为 直 径 作 圆 设 圆 M 与y 轴交于点P,Q,求 N P M。的最大值.33.抛物线。:？2=2 2 工 5 0)的焦点是尸，直线y =2与C的交点到尸的距离等于2.(I )求抛物线C的方程；()一直线/:x =g +6 S/l,k H0)交 C于 A,8两点，其中点s,&)在曲线(x 3)2-4 y 2=8上，求证：E 4 与 用 斜率之积为定值.34 .已知抛物线C:y2=2 p x(p 0)的焦点F到准线/的距离恰好等于F到点M(0,6)的距离.(1)求抛物线C的方程；(2)过焦点厂的直线交C于 A ,8两点，点 8在准线/上的射影为E,求 A，叵 面 积 的 最小值35 .

16、椭 圆 二+4=1(。6 0)的离心率为巫，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与a b 2直线x-y+应=0相切.(1)求椭圆的方程;(2)M,N是椭圆上关于x 轴对称的两点，P 是椭圆上不同于M,N的一点，直线R 0,P N交x 轴于。(%,0)氏4,0),证明：/女 为 定 值.2 236.已知。为坐标原点，点片，月为椭圆加:与+与=1(4 匕 0)的左右焦点，点 E(S)在a h抛物线N:V=上，直线E 工与椭圆M 的一个交点为产，且 EE的中点恰为鸟.(1)求椭圆M 的标准方程；(2)过抛物线N上一点P 与抛物线N相切的直线/与椭圆M 相交于A、8两点，设 他 中点为C,直线。P 与

17、直线0C的斜率分别是尤，k2,证明：尢网为定值37 .已知月，月是椭圆C：r+a-与椭圆有且仅有两个交点，点(1)求椭圆的标准方程；从7 6一3=l(a b 0)的左、右焦点，圆+在椭圆上.(2)过 y 正半轴上一点尸的直线/与圆。相切，与椭圆C交于点A,B,若 PA =AB,求直线/的方程.38 .已知抛物线C：V=4x的准线为/,“为/上一动点，过点M 作抛物线C的切线，切点分别为A,B.(I )求证：A M 4 3 是直角三角形；(I I )x 轴上是否存在一定点P,使 A,P,B三点共线.2 23 9.已知椭圆C：5 +A =l(“0 0),左、右焦点分别为耳(-1,0),6(1,0)

18、,椭圆离心率a h为:过点尸(4,0)的直线/与椭圆C相交于A、8两点(A 在 8的左侧).2(1)求椭圆C的方程；(2)若 B是 AP 的中点，求直线/的方程；(3)若 8点关于x 轴的对称点是E,证明：直线A E与 x 轴相交于定点.2 24 0 .如 图，曲 线 C 由 上 半 椭 圆 G :与+=l(a 6 0,y.0)和 部 分 抛 物 线a b仁 2：丫 =-/+1(%0)连接而成，G，G 的公共点为A,B,其中G的离心率为三.(I)求”，8的值；(H)过点3 的直线/与G，G 分别交于P，Q(均异于点A,B),若 N P A。为钝角，求直线/的斜率的范围.2 24 1 .已知抛物

19、线V=4y,尸为其焦点，椭圆+与=1(。匕 0),耳,鸟为其左右焦点,a b离心率e =；,过 F作x 轴的平行线交椭圆于P,Q 两点，|P。|=乎.（1）求椭圆的标准方程；（2）过抛物线上一点A作切线/交椭圆于8,C两点，设/与x 轴的交点为。，BC的中点为 E,BC的中垂线交x 轴于K,A K E D,尸 O。的面积分别记为加，S2,若 星=更，且点A在第一象限，求点A的坐标.S1 4 94 2 .如图，在平面直角坐标系my中，椭 圆=+与=1 3匕 0）的左、右顶点分别为A,B,a b点（巴，3e）和 都 在 椭 圆 上，其中e 为椭圆的离心率.2（1）求桶圆的标准方程；（2）若点C是椭

20、圆上异于左、右顶点的任一点，线段BC的垂直平分线与直线8 C,AC分别交于点尸，Q,求证：OB P Q 为定值.丫2 24 3.已知椭圆E:=+马=1（。0）四个顶点中的三个是边长为2G的等边三角形的顶点.a b-（I ）求椭圆E的方程；2b2（H）设直线y =H +机与圆0:/+丁=3-相切且交椭圆E于两点M,N,求线段|M N|的最大值.4 4.过抛物线f=2 p y(p 0)外一点P 作抛物线的两条切线，切点为N,尸为抛物线的焦点，证明：(1)|PF|2=|A/F|7 V F|；(2)N P M F =ZFPN.4 5 .设椭圆C:x 2=+v2=l(a A 0)的左、右顶点分别为A，A

21、，上顶点为3,右焦点为产，a b已知直线防的倾斜角为1 2 0。，|&F|=I.(1)求椭圆C的方程；(2)设尸为椭圆c 上不同于A，4的一点，。为坐标原点，线段。4 的垂直平分线交为2于 点，过 M 且 垂 直 于 的 直 线 交 y 轴于。点，若 F P 工FQ,求直线&尸的方程.4 6 .已知椭圆C:0+马=1 3 8 0)的焦距为2 应，连接其四个顶点构成的四边形的面积a b为 2 爪.(1)求椭圆C的方程；(2)设 A,3 是 C上关于原点对称的两点，且 A,8不在x 轴上，则在x 轴上是否存在一点 使 得 直 线 M4与直线M3 的 斜 率 积 MB为定值？若存在，求出点M 的坐标

22、及定值;若不存在，请说明理由.V-2 V24 7.如图，在平面直角坐标系宜为中，6，E分别是椭圆一 T+r u i m /。)的左、右焦a b点，顶点8的坐标为(0,加，连结B 行并延长交椭圆于点A ,过点A作 x 轴的垂线交椭圆于另一点C ,连结耳C.(1)若 C A =2,C O =y n,且 B B=3 应,求椭圆的方程；(2)若椭圆的离心率为手，证明：FtC l A B.4 8 .椭 圆 C?+方=l(a b 0)过点P(后,马，左焦点为尸，P F与)，轴交于点Q,且满足尸Q +半 F Q=O.(I )求椭圆C的方程；(I I)设圆0:/+丁=1,直线/:丫 =丘+机 与圆。相切且与椭

23、圆C交于不同两点A,B,当/1 =0 4 03且/1 弓，1)时，求弦长|4 例的范围，并求当弦长|A 例最大时，直线/的方程.4 9 .椭圆乂+=1(匕0)的 离 心 率 为 赵，其任意三个顶点构成的三角形面积为夜.a h 2(1)求椭圆的方程；(2)M,N是椭圆上关于x 轴对称的两点，P是椭圆上不同于M,N的一点，直线P N分别交x 轴于D(XD,0),E(XE,0),证 明 无 4为定值.2 r2 v2 r-5 0.己知点 4(1,1),(0,-),椭圆r +4=l,3 6 0)经过点(0,拉)，F(c,0)(c 0)3 a b是椭圆的右焦点，FA F B-一.3(1)求椭圆的标准方程；

24、(2)直线4 ,4都经过A ,它们的斜率分别为，k,4分别交椭圆于C,。和 E,G.线段CD,EG的中点分别是M,N.N在直线3M上.试判断勺，网的关系.高考重难点突破圆锥曲线50道 题（1）含详细解析参考答案与试题解析一.解 答 题（共 50小题）2 21.已知椭圆片:与+5 =1（力 0）,不经过原点。的直线/:丁=履+m（左 0）与椭圆相cr b2交于不同的两点A、B,直线O A,AB,。8的斜率依次构成等比数列.（1）求a,b,k的关系式；（2）若离心率e =1且|A 8|=立，当为何值时，椭圆的焦距取得最小值？【解答】解：（1）设 4不，y j,B（X2,y2）,由直线O A,A B

25、,08的斜率依次构成等比数列，得 标=%=，中 2y=kx +m联立h2 2 ,可得（6+。2/次2+2 4 2 bm/环 一 片 6 二0,故4=(2/A m)2 -4(b2+a2k2)(a2n r-a2b2)0 ,即 b2 一病+2 2 0 ,p 2 01km c n r-crb1乂%1 +X,-=护;-+-a72 kT2 X勺 电=b；2-+-aA2k-、2-，则内=2 1 A =/大/+励(为+%)+裙,即 km(X+x2)+n r=0 ,即一2 a2k2n i2b2+a2k2+n r=0 ,又直线不经过原点，.2 工0,/.b2=crk2,即 Z?=aZ；若 e J 则 =2 c,b

26、=6 c,k2=-f2 4又 QO,得 k=,2m i l2 a1 km则“庐 二 所2 x/3-m ,31-h2+a2 k2 3I A 3 1=J l +k2 J(-m)2 4(z w2 2 c2)2 当 且 仅 当 巴=上，即机=5 时，焦距最小.3 席2 2 12.已知椭圆C:吞+=l(aG 0),离心率e =,焦点耳(-1,0),(1,0).a b 2(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线L 与椭圆C 相切于点4 ,过点A作关于原点0的对称点B ,过点5作 80，/,垂足为M,求 面 积 的 最 大 值.【解答】解：(1)因为离心率e =,，焦点尸(1,0),所以c =l,a=2 ,

27、a 2?2则6 =8，故椭圆C 的方程为土+二=1.4 3(2)设 4(%,%),B(-x0,一%),过。作 ON,直线L,由对称性可知S v,”=4 4。他,显然直线，斜率存在且不为。，设直线L,联立 2“得(3 +4 公)丁+8 公 x +4/-1 2 =0,且2 =6 4/-4(3+4 k2)(4/一=o,得产=4 川+3 ,所以x 0 =联 立-Skt2(3 +4 8)1y =xky=kx+t4k得kt即 一 仃所以ON=1 +1 IS t则AN=-4k3-4k+kt26+1)以所故A4BM面积最大值为1,当且仅当女=1时成立.3.已知4(%,凹)8(，)是抛物线V=2 x上任意异于原

28、点。的不同两点，F是集点,直线AB与x轴交于点(“?,0).(1)求证：不赴=nr；(2)当。A _ L 0 8时，求AA0 B面积的最小值.【解答】证明：(1)：设反直线方程为x =+?,代入 丁=2x 得/一 2。-27 M =0,yt+y2=-2t,(2)OA OB,.;%入2+X%=/一 2 m 二，.m =2于是 S o B=gI O M II M 一%1=；x 2 x，4 l+1 6 =2+4.4,.当，=0 时，A A O 8 的面积取最小值4.4 .已知抛物线的方程是V=4x,直线/交抛物线于A,B 两点.(1)若弦/W 的中点为(2,2),求弦AS的直线方程；(2)设 A(X

29、,y),B g,y2),若 1 6.求证 A B 过定点.【解答】解：(1)由于(2,2)在抛物线开口之内，且不在工轴上，直线/的斜率存在，设为攵，且设4为，y),B(X2,%),可得 y；4 百，苏 4 x,，两式相减可得(x -%)(y +)2)=4(X -当)，即人=丝=_ =e =i,占一匕 乂+%4则直线/的方程为y-2=x-2,BP y =x,检验直线/存在，且方程为=；(2)证明：若直线/的斜率不存在，可得x =%,代入抛物线方程y 2=4 x,可得y=2，则=一1 6，即尤=4，直线 过(4,0):若直线/的斜率存在，设为,当2=0 时-，直线/与抛物线的交点仅有一个，方程设为

30、y =Lx +，k 工。,代入抛物线的方程消去x 可得:丁-y +b=0,可得?为=，即有-1 6 =华,可得b=-4 A,直线/的方程为y =%(x-4),则直线/恒过定点(4,0).综上可得直线A 3 恒过定点(4,0).5 .已知抛物线C:V =4 y ,过点P(2,l)引抛物线C 的两条弦P A、P B,分别交抛物线C 于 A、8两点，且 E 4 _ LF 8.(1)求证：直线A B 过定点；(2)若点。(-2,0),求 的 面 积 的 最 小 值.【解答】解：(1)证明：可设以内，今)，B ,予)，P A P B,可得&抬 kP R=-,寸 7 迂 1即为M=-1,X 2 x2-z

31、玉 +2 x2+2化为王/=-2(%+/)-20,2 _犬2AB 的方程为y-工=/工。-3)，4%)-x2化为y =土 出 x-母，4 4即为 y =gX(x+2)+5,由冗=一 2,可得y =5.可得直线43恒过定点M(-2,5)；(2)由。(-2,0),A f(-2,5),可得|M O|=5,SAABD=|l x +2|+g|4+2|=X+2 _ 2 _/I，设直线AB的方程为y -5 =左(x +2),代入x2=4 y ,消去y 可得Y -4 依-弘-20=0,=1 6 二+4(8 +20)0 恒成立，玉 +/=4 Z,xx2=-8 k-20贝|J I 玉 _ 毛|=1+=)2-4 翦

32、=J1 6 公+3 2卜+8 0,贝 U S w D =6 +3 2 1+8 0=1 7 1 6(Jt+l)2+6 4.|x 8 =20,当 =-1 时上式取得等号，此 时 的 方 程 为 x+y-3 =0,则4曲的面积的最小值为20.6.已知抛物线C：V=2 p x的焦点为F,圆r：d+y Z+2 x-3=0 与 y 轴的一个交点为A,圆的圆心为E,A4EF为等边三角形.(1)求抛物线C 的方程：(2)设圆与抛物线C 交于U、丫两点，点 P(x,%)为抛物线C 上介于U、丫两点之间的一点，设抛物线C 在点尸处的切线与圆交于M、N 两点，在圆上是否存在点。，使得直线Q M、AN均为抛物线C 的

33、切线，若存在求出。点坐标(用/,%表 示)；若不存在，请说明理由.【解答】解：(1)A4F为等边三角形，原点。为 E,尸的中点，.半径|所|=2，圆:/+y2+2工 一 3=0,即为(x+iy+y 2=4,E F=p=2,，抛物线C 的方程为V=4 x.(2)设x),N&,y2),过点M,N 作抛物线C 的两条切线(异于直线MN)交于点Q,设切线Qw:Xf =f|(y-y),机：x-毛=t2(y-y2),所以抛物线C 在点P(x0,%)处的切线力程为yoy=2(xo+x),即，令t 产 费,设过点M的直线X-F=-)与抛物线C 相切，代入抛物线方程V =4x得y2-4ty+4ty1-4 x1=

34、0,=16r-16（X 不）=0,即产-W +x）=0,所以*由=x 9%+4=M，由可得4=生=_ 比,%2所以2%=4再+4，同理可得，4=生，%所以切线机：x-X =生（丁-%），机：x-3 =生（-%），Jo%联立两式消去y 可得（_ _ 2“1.2 2 _ X W ,Q%工2一%为%为 代入风：可得，y广 注-；%+,=%-,+2g%2 2%代入可得 0=2（*+2）,%联立L“N：工二 丁一毛与圆可得，（N；+4）幺+（8/+2y：）x+4x；-3y；=0,_4x（）3y _ 4x（）12x（）_ x（）（x0 3）X|-z ，升+4 4（/+1）/+18x0+2%2 8x0+8x

35、（）4x0-，y02+4 4（/+1）x0+1分别代入，、可解所 以 尸+(会”言+心皆篇支（2x（）-2）+16项）A（=4即切线QM,QN的交点。在圆上，故存在圆上一点。(土 口，-二 纹)满足QM,QN均为抛物线C 的切线；Xo+1%+17.如图，过点尸(1,0)作两条直线x=l 和/分别交抛物线y?=4x于 A,8 和 C,。(其中A,C 位于x 轴上方，/的斜率大于0),直线AC,BD交于点Q.(1)求证：点。在定直线上;(2)若 2 =职 纹，求 4的最小值.S A PBDD(,d),4因为过点P(1,O)作两条直线x =1 和/,设/:x =)+1 代入y2 =4 x 得y2-4

36、 t y-4 =0,所以c d =-4 ,由直线的两点式可得A C,8。的宜线方程,lA C:4 x-(c +2)y +2 c =0flB D:4 x-(d-2)y-2 d =0，联立消y 得c d-c +d .x =-=-1,c-d +4故点Q 在定直线x =-1 上,c2,d2C -F 1 q 1-(II)由题意可得，丝=2-/吗=_4 _APQA 2 S&PQB 2因为S g Q h=S 尸 9所以人筌二客=塞/4C2-4 =Z 0,加 邑 3,当且仅当,?=4 +4后 时 取 到；所以力的最小值为2夜+3.2 28.已知椭圆J +4 =l(a b 0)的左、右焦点分别为耳(-c,0),

37、乙(c,0),且a,b,c成a b等 比 数 列.尸(%,%)是椭圆上一点，设该椭圆的离心率为(I)求e；(II)求证：|PFt|=a +c r0；(III)若点P不与椭圆顶点重合，作尸M _Lx轴于M,乙的平分线交x轴于N(,0),试 求 需的值.【解答】解：(I)a,b,c成等比数歹i j,b1=a c=a2 c2=a。=1 一 /=e.解得6 =当 立.2一?5-1又 e e(O,l),e=-.(I I)尸(七,%)在椭圆上，.+*”=从-翠a b aI PF 1=+c)-+y；=+2 cx0+c2+(b-y=J(1 -靛)，；+2 5 +-+c =J/X；+2 c x 0 +a：=(0

38、.J PFt=a +e x0.(Il l)由题意可得点 M(x 0,0),:OM=x0.P N为 的 平 分 线，.有 Lffl l =IPK I+IP印=1叫|+|g|_ 2 a _ =2 c西r丽r 西i 一丽n -百T丽7/.|NF、|=|PFt|=e(a +ex0)=c+e1x0,.1 0 1=1 1 1-1 0 7-1 1=e2|x0|.故里=/=(叵，=三 好.0M 2 27 29.在平面直角坐标系x 0 y 中，已知椭圆C:=+二=1(。6 0)的短轴长为2,倾斜角为三a b 4的直线/与椭圆C 相交于A,8 两点，线段A B 的中点为M,且点“与坐标原点0 连线的斜率为-.2(

39、1)求椭圆。的标准方程；(2)若|A B|=g,P 是以AB 为直径的圆上的任意一点，求证：|。尸|,智W.【解答】(1)解：由已知，b=l ,设 A(X，y),B(X2,y2).,两 式 相 减 得 比 处 上 士&=-4 x-x2 X +x2 a 由已知条件知，丛 二&=砥 尸 1,2 =%=，x,-x2+x2 2：.9 即=0.a2 2椭圆C的标准方程为+/=1；2(2)证明：设/:y=x +m,1 0 ,得且不十9 二一 ,X%=3IA 止血化简得*=2.又“为 弦 的 中 点，,M(-与 与，故|0知 =2=与.即|。加|=巫.3|OP|OM|+：|A 3|,，|0尸I,平+：=2

40、3 3 3V2 V21 0.过原点。作两条相互垂直的射线，分别交椭圆C:=+2 =l(a 1 0)于 P,。两点.a-M证明：所+研 为 定 值；(2)若椭圆C:+=l(a 6 0)的长轴长为4,离心率为1,过原点。作直线尸。的垂a b 2线，垂足为。，求点。的轨迹方程.【解答】证 明：当。人分 别 在 坐 标 轴 上 时 显 然 有 溢 +册=：+当。尸，0。不在坐标轴上时，设直线OP:y =f cc,y=kx联 立 方 程 尸/,得(公-1解得/=a2b2k2a2+b2k Wk2a2+b2iW发/+人(公 +l)a2b2 用 4代 替 上 式 中 的 可 得 溢 r1焉1 1 k2a2+b

41、2 a2+k2b2 a2+b2-1-=-1-=-I OP|2 OQ|2(k2+1)a2b2(k2+1)a2b2 a2b2 J (定值);r2 2.解：由楠圆。:+=1 3 0)的长轴长为4,离心率为Lar b 2得椭圆C 的方程为工+二=1,由(1)的证明可知，i-y +-=-+-=-,4 3|OP|0|2 4 3 1 2即 1。小1。=2_ 徨 I PQ F =T_|OP|O Q 一 1 2 (|OP|OQ|)2 -1 2 二3 0)2上,则PQ2 7 7.点。的轨迹方程为f+72 21 1.已 知 椭 圆=+二=l(a 6 0)的左、右焦点分别为月，F,|斗工|=2,过心的直线/与a b椭

42、圆C 交于A,3两点，A 4B 4 的周长为4亚(1)求椭圆C 的方程；(2)取点尸弓，0),过点A作 y 轴垂线胆，则直线P 3 与直线机的交点是否恒在一条定直线上？若是，求该定直线的方程；若不是，请说明理由【解答】解：(1)由题意，2c=2,c=1 ,4a=4夜，a=y2.：./一。2=i2则椭圆C 的方程为土+丁=1；2(2)由题意可设/:x =)+l ,A(x ,y),B(X2,%)，x =ty+由九2 ,消去犬并整理，(+2)9+2 9 1=0.+y =128(1,0)是椭圆内部一点，.().7/1由根与系数的关系可得，乂+必=-；-%必=-；-1 2/+2 力/2/+2直线机的方程

43、为=弘，直线P B 的方程为y 令，X 2-2联立得：X +多电二3),2 2%又点、B*2 ,%)在直线/：X =)+1 上，二 天=优+1，将代入得：x=3+至 四 二 人,2 2%由+必=一/5,得%=一%-，将与yty2=代入到得：r+2x=2 (与f 无关).故直线机与直线P 3 的交点恒在一条定直线x =2 上.V1 2.已知动圆C 过定点M(0,2),且在x 轴上截得的弦长为4,设该动圆圆心的轨迹为曲线C.(I )求曲线C 的方程；(H)直线与过曲线C 的焦点F,与曲线C 交于A、B 两 点,且8 片都垂直于直线V2：y=-l,垂足分别为A、B,直线4 与 y轴的交点为。，求 证

44、 一 为定值.S 0 叫 S Q 8 8【解答】解：(I)设动圆圆心坐标为C(x,y),根据题意得d+（y _ 2）2 =厅+4,化简得f=4 y.(I I)设 4(占，%),8(马，%)，由题意知。的斜率一定存在，抛物线的焦点尸(0,1)设 4：y =f cr+l,则j =A x +1x2=4y.得人2 4丘一4=0.所以X/2=Y,百+%2=4%，yiy2=（烟+1）（3 +）=k2xx2+k（x1+）+1=1，X +必=女（%+9）+2 =4k2+2 ,又|A 4J=y+l,|阴|二必+1，1 4 耳 RX L/I，则 S；OAB=中。片 收 7）=（4+9）2-4*2 =叫+1 6 =

45、4S QA A,S QBBt；|%|（）|+）；出|（必+1）（必+必+心+1）1 中 2 1（4 公+4）2 21 3.如图，在平面直角坐标系x O y 中，椭圆C:二+与=1(。6 0)的左、右焦点分别为巴，a bF2,P 为椭圆C 上一点，且 P用垂直于x轴，连 结 P4 并延长交椭圆于另一点Q ,设PQ=-IQ 若 点 P 的 坐 标 为 吗，求椭圆c 的方程;(2)若 琛 取 4,求椭圆C 的离心率的取值范围【解答】解：（1）P用垂直于X 轴，且点P 的坐标为a2 /?2=c2=1 ,与+=1,解得。2 =4,从=3,cr 4b22 2椭圆C 的方程为土+匕=1；4 3（2）P用，x

46、 轴，不妨设P 在 x 轴上方，P（c,%）,%0,设 Q（x x）.尸在椭圆上，.+共=1,解 得%=贵，即 P（c,3.a b a a（一 c,0）,由 P Q =X 耳Q,得内一c =X+c）,y -=4乂，解得：王-c，y=-A-l (A-l)a(A l)a即(2+1)2 e?+(1 一 2)=(几 一 1)2,(A+2)e2=X 2,从而 e2=1-丸+2 几+23领 兑 4,1,5 3解得：.5 3幡圆C的 离 心 率 的 取 值 范 围 是,g .1 4.已 知 离 心 率 为 丝 的 椭 圆 二+y2=i（a i）,与直线/于P,。两点，记直线。尸的斜3 a率 为 直 线 0

47、Q的斜率为&.（1）求椭圆方程：（2）若勺右=-3，则三角形0P。的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.h=【解答】解：(1)由题意，e =越，解得“=3,c =2夜,a 3a2=b2+c2/.b1=a1-c2=.2二.椭圆方程为三十 9=1；9(2)设 P ,y),Q(X2,y2),当直线P Q的斜率存在时，设其方程为y=+?，联立椭圆方程可得：（9k2+l）x2+18 km x+9疗-9 =0.则 西+=费 号，百 玉9 w2-9%2+1I PQ1=Jl+%2 J（X|+）2 _4耳=+1点。到直线的距离d =I也.设I 尸0 =3黑/m在 2 （1-许trr）由左左=

48、X%=+加(1+%)+，=_ J _xx2 x1x2 9化简得：9k2=2 m2-,代入三角形面积可得4,也=|;若直线的斜率不存在，可得SA w =|.综上可得，三角形尸。的面积为定值15.已知抛物线C:x 2=2p y(p 0),。是坐标原点，点A是抛物线上一点(与坐标原点。不重合)，圆G是以线段。4为直径的圆.(1)若点A坐标为(-2,4)求抛物线C方程以及圆C,方程；(2)若P=；,以线段。4为直径的圆C与抛物线C交于点8 (与点0 A不重合)，求圆G面积S的最小值.【解答】解：(1)点4(2,4)是抛物线上一点，.4=8 p,得p=g；抛物线方程为f=y,0 A的中点坐标为(-1,2

49、),-OA=4 5,以O A 为直径的圆的方程为(x+l f +(y-2=5 ；(2)设 A5,*),则以 OA 为直径的圆 :x(x-X o)+y(y-x()2)=O.联立a F +y()，X)=0,得 x(x _%)+x2,7)=o.=yx(x-x()/0,x2+毛1+1 =0.由圆G与抛物线C交于另外的点B,二.方程2+守+1=0 有 解,则=XO2-4.O,得/2.4.且当=()时，方程f+玉/+1 =0 的解与与不相等且不为0.圆G 的面积5 =(电8)2=5 万.21 6.已 知 广 为 抛 物 线=4 y 的焦点，直线/:y=f c r +2 与T 相交于A,B两点.(1)若 k

50、=l,求|E 4|+|F B|的值；(2)点 C(-3,-2),若 NC FA =NC FB,求直线/的方程.【解答】解：(1)由抛物线T:x 2=4 y,可得F(0,l),当A =1时，直线/:y=x+2,联立|=x +2,得 尸-8)，+4=0.d =4y设 A(x ,yi),B(X2,y2),则 M +%=8 .,J E 4|+|F B|=y+5 +y2+=y+y2+=8 +2=10；(2)联立4),得 x?4A x 8 =0.y=kx +2/.x+x2=4 k 9 XyX2=-8 .不妨设A为第一象限的点，由N C F A =N。,2LZ1,I得-1 4-A-z l-=-,即(2 k2