第三章教案两条直线的交点坐标两点间的距离_中学教育-高考英语.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 两条直线的交点坐标、两点间的距离 一、新知学习 A两条直线的交点坐标 已知直线1111:0lAxB yC，2222:0lA xB yC 结论 1 如果两条直线1l和2l相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是方程组1112220,0AxB yCA xB yC的解 结论 2 反之，如果这两个二元一次方程只有一组公共解，那么以这组解为坐标的点必是直线1l和2l的交点 结论 3 用代数方法求两条直线的交点坐标，只需写出这两条直线的方程，然后联立求解 B一般式条件下两直线相交、重合、平行与垂直的条件 设直线1111:0lAxB yC，2222:0lA xB yC，则有 结

2、论 1 直线1l、2l相交的条件为12210ABA B或112222(,0)ABA BAB 结论 2 直线1l、2l重合的充要条件为122112210,0,ABA BBCB C或122112210,0,ABA BACAC或 111222222(,0)ABCA B CABC 结论 3 直线1l、2l平行的充要条件为122112210,0ABA BBCB C或122112210,0.ABA BACAC或 111222222(,0)ABCA B CABC 结论 4 直线1l、2l垂直的充要条件为12120AAB B 结论 1、2、3 的证明：将两条直线方程联立，得方程组1112220,0.AxB y

3、CA xB yC 消去y，整理得12211221()ABA B xBCB C 将方程组消去x，整理得12211221()()ABA B yACAC 则（）直线1l，2l相交当且仅当方程组有唯一解，当且仅当方程或方程有唯一解，当且仅当12210ABA B或112222(,0)ABA BAB 学习必备 欢迎下载（）直线1l，2l重合当且仅当方程组有无穷多解，当且仅当方程或方程有无穷多解，当且仅当122112210,0ABA BBCB C或122112210,0,ABA BACAC或111222222(,0)ABCA B CABC（）直线1l，2l平行当且仅当方程组无解，当且仅当方程与方程同时无解，

4、当且仅当122112210,0ABA BBCB C或122112210,0,ABA BACAC或111222222(,0)ABCA B CABC（）此情况不能用方程组讨论，需利用直线的方向向量或法向量讨论 分别取直线1l，2l的方向向量11(,)BAa，22(,)BAb，则直线1l，2l垂直当且仅当12121212()()0B BAAAAB Ba b C斜截式条件下两直线的相交、重合、平行与垂直的条件 设两条直线111:lyk xb，222:lyk xb，倾斜角分别是1，2，则 结论 1 直线1l、2l相交的充要条件为12kk或12 结论 2 直线1l、2l重合的充要条件为1212=,kkbb

5、或1212=,.bb 结论 3 直线1l、2l平行的充要条件为1212=,kkbb或1212=,.bb 结论 4 直线1l、2l垂直的充要条件为121k k 或12|90 D两点间的距离公式 条件：点111(,)P x y，222(,)P xy 结论：12|PP 222121()()xxyy 特例：（1）点(,)P x y到原点O的距离|OP 22xy（2）当12PPx轴时，12|PP 21|yy（3）当12PPy轴时，12|PP 21|xx 二、知识迁移 A概念理解 1判断题：和相交由于交点同时在这两条直线上交点的坐标一定是方程组的解结论反之如果这两个二元一次方程只有一组公共解那么以这组解为

6、坐标的点必是直线和的交点结论用代数方法求两条直线的交点坐标只需写出这两条直线的方程然后要条件为或或结论直线平行的充要条件为或或结论直线垂直的充要条件为结论的证明将两条直线方程联立得方程组消去整理得将方程组消去整理得则直线相交当且仅当方程组有唯一解当且仅当方程或方程有唯一解当且仅当或学习必方程组无解当且仅当方程与方程同时无解当且仅当或或此情况不能用方程组讨论需利用直线的方向向量或法向量讨论分别取直线的方向向量则直线垂直当且仅当斜截式条件下两直线的相交重合平行与垂直的条件设两条直线倾斜角分学习必备 欢迎下载（1）若点(,)A a b在直线:0l AxByC 上，则点A的坐标一定适合直线l的方程（2

7、）若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解（3）当A，B两点的连线与坐标轴平行或垂直时，两点间的距离公式不适用 结果：（1）正确（2）正确（3）错误 2口答：（1）若点(1,)Ab是直线2310 xy 上一点，则b （2）若直线210 xy 与直线40 xy 的交点为(,)a b，则ab （3）点(3,4)M 到坐标原点的距离|OM 结果：（1）1（2）4（3）5 3思考：（1）若两直线的方程组成的二元一次方程组有解，则两直线是否相交于一点？（2）若两条直线中有一条斜率存在，另一条斜率不存在，则这两条直线相交吗？结果：（1）不一定两条直线是否相交，取决于联立两直线方程

8、所得方程组是否有唯一解若方程组有无穷多解，则两直线重合（2）相交因为两直线仅有三种位置关系：平行、相交、重合，而此处一条线率存在，另一条不存在，显然不能平行或重合，故一定相交 4写出满足下列条件的直线的点斜式方程：（1）下列直线中，与直线340 xy 相交的直线为 A30 xy B1123yx C143yx D23xy（2）若直线0 xya 与x轴相交于点M的横坐标为 3，则a 结果：（1）D（2）3 5思考：当A，B两点在坐标轴上时，利用两点间的距离公式求|AB还适用吗？解：适用因为两点间的距离公式适用于平面内任意两点 6（1）求下列两点间的距离：（）(2,5)A，(2,5)B （）(3,4

9、)A，(2,1)B（）(0,0)A，(3,4)B（2）已知ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的坐标系，证明1|2AMBC B与两条直线交点有关的问题 例 （1）若直线21yxk 与直线122yx 的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是 A62k B106k C5122k D12k （2）过1:351 0 0lxy 和2:10lxy 的交点，且平行于3:250lxy 的直线方程为 和相交由于交点同时在这两条直线上交点的坐标一定是方程组的解结论反之如果这两个二元一次方程只有一组公共解那么以这组解为坐标的点必是直线和的交点结论用代数方法求两条直线的交点坐标只需写出这两条直线的方程然后

10、要条件为或或结论直线平行的充要条件为或或结论直线垂直的充要条件为结论的证明将两条直线方程联立得方程组消去整理得将方程组消去整理得则直线相交当且仅当方程组有唯一解当且仅当方程或方程有唯一解当且仅当或学习必方程组无解当且仅当方程与方程同时无解当且仅当或或此情况不能用方程组讨论需利用直线的方向向量或法向量讨论分别取直线的方向向量则直线垂直当且仅当斜截式条件下两直线的相交重合平行与垂直的条件设两条直线倾斜角分学习必备 欢迎下载（3）求经过点(2,3)且经过1:340lxy 与2:5260lxy 的交点的直线方程 解：（1）C（2）21208xy（3）联立340,5260,xyxy 得2,2.xy 所以

11、1l，2l的交点为(2,2)由两点式可得：所求直线方程为322322yx，即4100 xy 变式 求经过两直线1:240lxy 和2:20lxy 的交点P，且与直线3:3450lxy 垂直的直线l的方程 解：解方程组240,20 xyxy 得两直线交点(0,2)P，因为直线3l的斜率为34，所以直线l的斜率为43 所以直线l的方程为42(0)3yx ，即4360 xy C距离公式应用 例 （1）已知点(,4)M x 与点(2,3)N间的距离为7 2，则x的值为 （2）已知点(,5)x关于点(1,)y的对称点为(2,3)，则点(,)P x y到原点O的距离为 （3）已知(3,4)A，(2,3)B

12、，在x轴上找一点P，使|PAPB，并求|PA的值 解：（1）9 或5（2）17（3）设点P的坐标为(,0)x，则有222|(3)(04)625PAxxx，222|(2)(03)47PBxxx 由|PAPB得2262547xxxx，解得95x 即所求点P的坐标为9(,0)5且2292 109|(3)(04)55PA 变式 1 已知(3,4)A，(2,3)B，在y轴上找一点P，使|PAPB，并求|PA的值 解：设点P的坐标为(0,)y，则有222|3(4)825PAyyy，222|(2)(3)613PByyy 由|PAPB得22825613yyyy，解得6y 即所求点P的坐标为(0,6)且22|3

13、(64)13PA 变式 2 在平面直角坐标系中，已知ABC的三个顶点为(1,4)A，(4,0)B，(3,1)C，试判断三角形的形状 解：由两点间距离公式得，22|(14)(40)5AB，22|(43)(01)5 2BC ，22|(13)(41)5AC 所以|ABAC，且222|ABACBC，故三角形为等腰直角三角形 D由直线的位置关系求参数值或范围 例 （1）已知直线1:2(1)40lxmy 与直线2:320lmxy （）若1l2l，求m的值（）若12ll，求m的值 和相交由于交点同时在这两条直线上交点的坐标一定是方程组的解结论反之如果这两个二元一次方程只有一组公共解那么以这组解为坐标的点必是

14、直线和的交点结论用代数方法求两条直线的交点坐标只需写出这两条直线的方程然后要条件为或或结论直线平行的充要条件为或或结论直线垂直的充要条件为结论的证明将两条直线方程联立得方程组消去整理得将方程组消去整理得则直线相交当且仅当方程组有唯一解当且仅当方程或方程有唯一解当且仅当或学习必方程组无解当且仅当方程与方程同时无解当且仅当或或此情况不能用方程组讨论需利用直线的方向向量或法向量讨论分别取直线的方向向量则直线垂直当且仅当斜截式条件下两直线的相交重合平行与垂直的条件设两条直线倾斜角分学习必备 欢迎下载（2）结果：（1）（）（）（2）（）3m 或2m （）35m 变式 （1）（2）已知直线1:310lax

15、y，直线2:(2)0lxaya（）若12ll，求实数a的值（）若1l2l，求实数a的值 结果：（1）（）（）（2）（）32a （）3a E解析法证明平面几何问题 例 （1）ABC中，D是BC边上的任意一点（D与B，C不重合），且22|ABADBDDC求证：ABC为等腰三角形 （2）已知等腰梯形ABCD中，ABCD，试建立适当的直角坐标系，证明：|ACBD 证明：（1）作AOBC，垂足为O，以BC边所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系 设(0,)Ah，(,0)B b，(,0)C c，(,0)D d已知22|ABADBDDC，则由两点间距离公式得2222()()bhdhdb cd

16、，化简得()()()()db bddb cd 因为点D与B，C不重合，所以0db，于是bdcd ，即bc 所以|OBOC，于是|ABAC，即ABC为等腰三角形（2）以下底AB所在直线为x轴，以AB的中点为坐标原点建立平面直角坐标系 设(,0)Aa，(,)C b c，由等腰梯形的性质可知：(,0)B a，(,)Db c，则 2222|()(0)()ACbacabc，2222|()(0)()BDabcabc，所以|BDAC 变式 1 ABD和BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，用解析法证明：|AECD 解：以B为坐标原点，取AC所在的直线为x轴，以垂直于AC且经过B点的直线为y轴，建立平面直角

17、坐标系 设ABD和BCE的边长分别为a和c，则(,0)Aa，3(,)22ccE，(,0)C c，3(,)22aaD，则 22223|()(0)22ccAEaaacc，22223|()(0)22aaCDcaacc，所以|AECD 变式 2 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和 证明：如图，以顶点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，有(0,0)A B O D x y A C B O D x y A C y(,)D b c(,)C ab c 和相交由于交点同时在这两条直线上交点的坐标一定是方程组的解结论反之如果这两个二元一次方程只有一组公共解那么以这组解为坐标的点必是直线

18、和的交点结论用代数方法求两条直线的交点坐标只需写出这两条直线的方程然后要条件为或或结论直线平行的充要条件为或或结论直线垂直的充要条件为结论的证明将两条直线方程联立得方程组消去整理得将方程组消去整理得则直线相交当且仅当方程组有唯一解当且仅当方程或方程有唯一解当且仅当或学习必方程组无解当且仅当方程与方程同时无解当且仅当或或此情况不能用方程组讨论需利用直线的方向向量或法向量讨论分别取直线的方向向量则直线垂直当且仅当斜截式条件下两直线的相交重合平行与垂直的条件设两条直线倾斜角分学习必备 欢迎下载 设(,0)B a，(,)D b c，由平行四边形的性质的点C的坐标为(,)ab c因为 22|ABa，22

19、|CDa，222|ADbc，222|BCbc，222|()ACabc，222|()BDbac，所以2222222|2()ABCDADBCabc，22222|2()ACBDabc，所以222222|ABCDADBCACBD 因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和 和相交由于交点同时在这两条直线上交点的坐标一定是方程组的解结论反之如果这两个二元一次方程只有一组公共解那么以这组解为坐标的点必是直线和的交点结论用代数方法求两条直线的交点坐标只需写出这两条直线的方程然后要条件为或或结论直线平行的充要条件为或或结论直线垂直的充要条件为结论的证明将两条直线方程联立得方程组消去整理得将方程组消去整理得则直线相交当且仅当方程组有唯一解当且仅当方程或方程有唯一解当且仅当或学习必方程组无解当且仅当方程与方程同时无解当且仅当或或此情况不能用方程组讨论需利用直线的方向向量或法向量讨论分别取直线的方向向量则直线垂直当且仅当斜截式条件下两直线的相交重合平行与垂直的条件设两条直线倾斜角分