第二十八章锐角三角函数_中学教育-中考.pdf

《第二十八章锐角三角函数_中学教育-中考.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二十八章锐角三角函数_中学教育-中考.pdf（28页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、学习必备 欢迎下载 第 28 章：锐角三角函数 一、基础知识 1.定义：如图在ABC中，C为直角，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作 sinA；sinA=asinAc 把锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作 cosA；cosbAc 把锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作 tanA。tanaAb 把锐角A的邻边与对边的比叫做A的余切，记作 cosA。cosbAa 2、三角函数值（1）特殊角的三角函数值 角度 三角函数 0 30 45 60 90 sinA 0 12 22 32 1 cosA 1 32 22 12 0 tanA 0 33 1 3 不存在（2）锐角三角函数值的性质

2、。锐角三角函数的大小比较：在900A时，随着A的增大，正弦值越来越大，而余弦值越来越小.即：Asin是增函数，Acos减函数。1锐角三角函数值都是正数。2当角度在 090 间变化时:正弦、正切值随着角度的增大而增大；余弦、余切随着角度的增大而减小。3、同角、互余角的三角函数关系：1、同角三角函数关系：1cossin22AA.sintancos；coscotsin；tancot1 2、互余锐角的三角函数关系：)90cos(cossinABA，)90sin(sincosABA。解直角三角形:由直角三角形中除直角以外的两个已知元素（其中至少有一条边），求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。直角三

3、角形的可解条件及解直角三角形的基本类型 学习必备 欢迎下载 已知条件 解法 一条边和一个锐角 斜边 c 和锐角 A B=90-A，a=csinA，b=ccosA，s=c2sinAcosA 直角边a 和锐角A B=90-A，b=acotA，csinaA，21cot2saA 两条边 两条直角边 a 和b 22cab，由tanaAb，求角 A，B=90-A，S=12ab 直角边a 和斜边c 22bca，由sinaAc，求 角 A，B=90-A，S=12a22ca 知识梳理：二、精典例题 第一部分：锐角三角函数的运算 一、直角三角形中锐角的正弦、余弦的概念与表达式：例 1：如图所示，则 EEDDcos

4、,sin,cos,sin。考点透视 本例主要是考查锐角三角函数的概念 参考答案sinD=3 1313，cosD=2 1313，sinE=2 1313，cosE=3 1313。例 2：在ABCRt中，如果各边长度都扩大 4 倍，则锐角A的正弦值和余弦值（）（A）都没有变化 （B）都扩大 4 倍（C）都缩小 4 倍 （D）不能确定 考点透视 本例主要是考查锐角三角函数的定义和性质，通过计算可以知道正弦值和余弦值，只与直角三角形中锐角的大小有关。参考答案.故应选 A.例 3：已知：A为锐角，并且5sin12A，则Acos的值为 .考点透视 本例主要是考查锐角三角函数的定义。作把锐角的邻边与斜边的比叫

5、做的余弦记作把锐角的对边与邻边的比叫做的正切记作把锐角的邻边与对边的比叫做的余切记作三角函数值特殊角的三角函数值角度三角函数不存在锐角三角函数值的性质锐角三角函数的大小比较时随正切值随着角度的增大而增大余弦余切随着角度的增大而减小同角互余角的三角函数关系同角三角函数关系互余锐角的三角函数关系解直角三角形由直角三角形中除直角以外的两个已知元素其中至少有一条边求出所有未知元素的过角边和锐角学习必备欢迎下载解法两条边两条直角边和直角边和斜边知识梳理由由求角求角二精典例题第一部分锐角三角函数的运算一直角三角形中锐角的正弦余弦的概念与表达式例如图所示则考点透视本例主要是考查锐角三角函学习必备 欢迎下载

6、参考答案 12cos13A 例 4：（08 年密云一模）6正方形网格中，AOB如图放置，则 tanAOB 的值为 55 2 55 12 2 考点透视 本例主要是考查锐角三角函数的定义 参考答案 D 例 5：.某地有一居民楼,窗户朝南,窗户的高度为 hm,此地一年中的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小为 a,夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大为(如图 1-15-23.小明想为自己家的窗户设计一个直角三角形遮阳篷 BCD.要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光,又能最大限制地使冬天温暖的阳光射入室内.小明查阅了有关资料,获得了所在地区和 的相应数据:=24 36,=7330,小明又

7、得窗户的高 AB=1.65m.若同时满足下面两个条件,(1)当太阳光与地面的夹角为时,要想使太阳光刚好全部射入室内;(2)当太阳光与地面的夹角为时,要想使太阳光刚好不射入室内,请你借助下面的图形(如图),帮助小明算一算,遮阳篷 BCD 中,BC 和 CD 的长各是多少?(精确到 0.01m)以下数据供计算中选用 sin2436=0.416 cos2436=0.909 tan2436=0.458 cot2436=2.184 sin7330=0.959 cos7330=0.284 tan7330=3.376 cot7330=0.296 考点透视 本例主要是考查数形结合，构建直角三角形，再应用转化思

8、想，使已知角得到转化，即可求得 BC、CD的长 参考答案.解:在 RtBCD 中,tanCDB=,CDB=,BC=CD tanCDB=CD tan.在 RtACD 中,tanCDA=,CDA=,AC=CD tanCDA=CD tan AB=AC-BC=CD tan-CDtan=CD(tan-tan).A B O 作把锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦记作把锐角的对边与邻边的比叫做的正切记作把锐角的邻边与对边的比叫做的余切记作三角函数值特殊角的三角函数值角度三角函数不存在锐角三角函数值的性质锐角三角函数的大小比较时随正切值随着角度的增大而增大余弦余切随着角度的增大而减小同角互余角的三角函数关系同角三

9、角函数关系互余锐角的三角函数关系解直角三角形由直角三角形中除直角以外的两个已知元素其中至少有一条边求出所有未知元素的过角边和锐角学习必备欢迎下载解法两条边两条直角边和直角边和斜边知识梳理由由求角求角二精典例题第一部分锐角三角函数的运算一直角三角形中锐角的正弦余弦的概念与表达式例如图所示则考点透视本例主要是考查锐角三角函学习必备 欢迎下载 CD=0.57(m).BC=CD tanCDB0.570.4580.26(m).答:BC 的长约为 0.26m,CD 的长约为 0.57m.说明 求解时应特别注意发挥数形结合的作用.例 6：已知 2+3是方程01sin52xx的一个根，求cos的值（为锐角）.

10、考点透视这是一道一元二次方程与三角函数相结合的综合题，应注意运用分析法、综合法，寻求解题途径 参考答案 13cos5。二、特殊角的正弦余弦值：例 7：求下列各式的值：（1）02026045cossin；（2）0000030454906045cossinsinsincos.考点透视 本例主要是考查特殊角的三角函数值，注意 sin90=1。参考答案（1）34，（2）-2 例 8：（08 年顺义一模）19已知：如图，正方形ABCD中，点E为AD边的中点，连结CE 求ACEsin和ACEtan的值 考点透视 本例主要是考查角的三角函数值的定义及在四边形中应用。解：过点E作ACEF 于点F，四边形ABC

11、D是正方形，ACDBAD,90,90平分BAD，DCAD 45CAD，ADAC2 E是AD中点，ADDEAE211 分 设xDEAE，则xDCAD2，xAC22，xCE5 在 RtAEF 中，xCADAEEF22sin，xEFAF222 分 xxxAFACCF22322223 分 1010522sinxxCEEFACE，4 分 EDCBAFABCDE作把锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦记作把锐角的对边与邻边的比叫做的正切记作把锐角的邻边与对边的比叫做的余切记作三角函数值特殊角的三角函数值角度三角函数不存在锐角三角函数值的性质锐角三角函数的大小比较时随正切值随着角度的增大而增大余弦余切随着角度的增

12、大而减小同角互余角的三角函数关系同角三角函数关系互余锐角的三角函数关系解直角三角形由直角三角形中除直角以外的两个已知元素其中至少有一条边求出所有未知元素的过角边和锐角学习必备欢迎下载解法两条边两条直角边和直角边和斜边知识梳理由由求角求角二精典例题第一部分锐角三角函数的运算一直角三角形中锐角的正弦余弦的概念与表达式例如图所示则考点透视本例主要是考查锐角三角函学习必备 欢迎下载 3122322t a nxxCFEFACE5 分 三、解直角三角形 例 9（08 年平谷二模）19如图，在某区某建筑物 AC上，挂着“抗震救灾，众志成城”的宣传条幅 BC，小明站在点 F处，看条幅顶端 B，测得仰角为30.

13、再往条幅方向前行 20 米到达点 E处，看条幅顶端 B，测得仰角为60，求宣传条幅 BC的长.(小明的身高不计，结果精确到 1 米;可能用到的数据41.12,73.13）考点透视 主要考察解直角三角形中仰角俯角的应用 解：19 解：依题意F=30，BEC=60.FBE=BEC-F=60-30=30.EF=EB=20.在 RtBEC中BCE=90,sin BEC=BECB.BEBECsinCB=sin60 20=10317.答：宣传条幅 BC的长约为 17 米.例 10 一艘船向正东方先航行，上午 10 点在灯塔的西南方向k海里处，到下午 2 点时航行到灯塔的东偏南 60的方向，画出船的航行方位

14、图，并求出船的航行速度 考点透视 主要考察解直角三角形中方向角的应用 解：如图，依题意，灯塔位于P点，船丛A 点向东航行，12 点到达C点，且有 PBAC，A45，BPC30；于是，在ABP中，有 ABPBAP cos45 k k2222.在PBC中，又有 BCPB tan30 663322kk，所以 ACkkk66236622.可知船的航行速度为 2462346623v 第二部分：锐角三角函数的应用 N P A B C 作把锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦记作把锐角的对边与邻边的比叫做的正切记作把锐角的邻边与对边的比叫做的余切记作三角函数值特殊角的三角函数值角度三角函数不存在锐角三角函数值的性

15、质锐角三角函数的大小比较时随正切值随着角度的增大而增大余弦余切随着角度的增大而减小同角互余角的三角函数关系同角三角函数关系互余锐角的三角函数关系解直角三角形由直角三角形中除直角以外的两个已知元素其中至少有一条边求出所有未知元素的过角边和锐角学习必备欢迎下载解法两条边两条直角边和直角边和斜边知识梳理由由求角求角二精典例题第一部分锐角三角函数的运算一直角三角形中锐角的正弦余弦的概念与表达式例如图所示则考点透视本例主要是考查锐角三角函学习必备 欢迎下载 3045EDCBA一、锐角三角函数的应用 例 1 1如图所示，设 A城气象台测得台风中心在 A 城正西方向 600km的 B处，正以每小时 200k

16、m的速度沿北偏东 60的 BF方向移动，距台风中心 500km 的范围内是受台风影响的区域 （1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若 A城受到这次台风的影响，那么 A城遭受这次台风的影响有多长时间？(08 年门头沟二模)18如图，小明想测量塔 BC 的高度他在楼底 A 处测得塔顶 B 的 仰角为60；爬到楼顶 D 处测得大楼 AD 的高度为 18 米，同时测得 塔顶 B 的仰角为30，求塔 BC 的高度 考点透视 主要考察解直角三角形中仰角俯角的应用 解:设 BE=x 米在 RtBDE 中，tan30BEDE，33xDE DE=3x 四边形 ACED 是矩形，AC=DE=3x，CE=

17、AD=18 在 RtABC 中，tan60BCAC，1833xx x=9 BC=BE+CE=9+18=27(米)例 2（08 年平谷一模）17如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行，请你根据图中数据计算回答：小敏身高 1.78 米，她乘电梯会有碰头危险吗？姚明身高 2.29 米，他乘电梯会有碰头危险吗？（可能用到的参考数值：sin 270.45，cos 270.89，tan 270.51）考点透视 主要考察解直角三角形中仰角俯角的应用 解：作CDAC交AB于D,则27CAB 1 分 在RtACD中，CDACtanCAB 2 分 40.51204（米）3 分 所以小敏不会有

18、碰头危险，姚明则会有碰头危险 4 分 二、综合问题 例 3（08 年顺义二模）20一座建于若干年前的水库大坝的横断面为梯形 ABCD，如图所示，其中背水面为 AB，现准备对大坝背水面进行整修，将坡角由 45改为 30，若测量得 AB=20 米，求整修后需占用地面的宽度 BE 的长（精确到 0.1 米，参考数据：21.414,31.732,62.449）考点透视 主要考察解直角三角形中坡度、坡脚、坡距的应用 解：过点 A作 AFBC，垂足为 F在 RtABF 中，ABF=45，AB=20，二楼 一楼 4m A 4m 4m B 27 C 作把锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦记作把锐角的对边与邻边的比

19、叫做的正切记作把锐角的邻边与对边的比叫做的余切记作三角函数值特殊角的三角函数值角度三角函数不存在锐角三角函数值的性质锐角三角函数的大小比较时随正切值随着角度的增大而增大余弦余切随着角度的增大而减小同角互余角的三角函数关系同角三角函数关系互余锐角的三角函数关系解直角三角形由直角三角形中除直角以外的两个已知元素其中至少有一条边求出所有未知元素的过角边和锐角学习必备欢迎下载解法两条边两条直角边和直角边和斜边知识梳理由由求角求角二精典例题第一部分锐角三角函数的运算一直角三角形中锐角的正弦余弦的概念与表达式例如图所示则考点透视本例主要是考查锐角三角函学习必备 欢迎下载 DCBAF3045EDCBA2si

20、n452010 22AFAB 10 2BFAF在 RtAEF 中，EAF=90-E=90-30=60tan6010 2310 6EFAF 10 610 210(62)10(2.4491.414)10.4BEEFBF（米）答：整修后需占用地面的宽度 BE 的长约为10.4米 例 4 18.已知：如图 5，梯形 ABCD 中，ADBC，ADC=120，AD=5，CD=6，tanB=3，求：梯形 ABCD 的面积。考点透视：解直角三角形在四边形中的应用，解此类问题通常是构建直角三角形，然后利用解直角三角形解答。解：过 D 做 DMBC 于 M，过 A 做 ANBC 于 N 则DMC=ANB=90 四

21、边形 ANMD 为矩形 AD=MN=5 等腰梯形 ABCD，ADBC，AB=CD，ADC=120 DCB=60 AN=DM，在 RtCDM,CDM=30,CD=6 CM=3,DM=33 在 RtABN,tanB=3=BNAN设 AN=3k,BN=k DM=AN=33 k=3 S梯形ABCD=29339233)3535(2)(DMBCAD 注：关于解直角三角形的实际应用，体现在生活中的方方面面，在此我们不再一一列举，关键是同学们掌握这种处理实际问题的思路，达到举一反三的效果，不管题目背景如何变化，但它万变不离其宗，只要我们有了这种方法，任何问题都可以迎刃而解 三适时训练（一）精心选一选 1（08

22、 年通州一模）7.如图,AB 是O 的直径,CD 是弦,且 CDAB,若 BC=8,AC=6,则 sin ABD 的值为 A.43 B.34 C.45 D.35 2已知 RtABC中，C=90，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（）AsinB=23 BcosB=23 CtanB=23 DtanB=32 作把锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦记作把锐角的对边与邻边的比叫做的正切记作把锐角的邻边与对边的比叫做的余切记作三角函数值特殊角的三角函数值角度三角函数不存在锐角三角函数值的性质锐角三角函数的大小比较时随正切值随着角度的增大而增大余弦余切随着角度的增大而减小同角互余角的三角函数关系同角三

23、角函数关系互余锐角的三角函数关系解直角三角形由直角三角形中除直角以外的两个已知元素其中至少有一条边求出所有未知元素的过角边和锐角学习必备欢迎下载解法两条边两条直角边和直角边和斜边知识梳理由由求角求角二精典例题第一部分锐角三角函数的运算一直角三角形中锐角的正弦余弦的概念与表达式例如图所示则考点透视本例主要是考查锐角三角函学习必备 欢迎下载 ABC3点（-sin60，cos60）关于 y 轴对称的点的坐标是（）A（32，12）B（-32，12）C （-32，-12）D（-12，-32）4每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣 某同学站在离旗杆 12 米远的地方，当国旗升起到旗

24、杆顶时，他测得视线的仰角为 30，若这位同学的目高 1.6 米，则旗杆的高度约为（）A6.9 米 B 8.5 米 C 10.3 米 D12.0 米 5 某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时，光线与地面成 80，房屋朝南的窗子高 AB=1.8m；要在窗子外面上方安装一个水平挡光板 AC，使午间光线不能直接射入室内（如 图 6 所示），那么挡光板 AC的宽度应为（）A1.8tan80 m B1.8cos80 m C 1.8sin80m D1.8cot80 m 6如图,测量人员在山脚 A 处测得山顶 B 的仰角为 45,沿着倾角为 30的山坡前进 1 000m 到达 D 处,在 D 处测得山顶 B

25、 的仰角为 60,则山的高 BC 大约是(精确到 0.01)().A.1 366.00m;B.1 482.12m;C.1 295.93m;D.1 508.21m 7 如图 5 所示，在 300m高的峭壁上测得一塔的塔顶与塔基的俯角分别为 30 和 60，则塔高 CD为（）A200m B180m C150m D100m 8、（08 年西城二模）.在Rt ABC中,90C,sinA=35,则 cosB=（）.A.53 B.45 C.34 D.35 9、（07 年昌平一模）5.三角形在正方形网格中的位置如图所示，则 cosa 的值是（）A.B.C.D.10、（07年 昌 平 二 模）7 已 知 在A

26、BC中，A、B都 是 锐 角，231sincos022AB，则C的度数是 30 45 60 90 11、（07 年朝阳一模）7在 RtABC 中，C=90，sinA=54，则 tanB 的值为 A34 B43 C53 D54 12、.如图,测量队为了测量某地区山顶 P 的海拔高度,选 M 点作为观测点,从 M 点测量山顶 P 的仰角(视线在水平线上方,与水平线所夹的角)为30,在比例尺为1:50 000 的该地区等高线地形图上,量得这两点的图上距离为6cm,则山顶 P 的海拔高度为()作把锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦记作把锐角的对边与邻边的比叫做的正切记作把锐角的邻边与对边的比叫做的余切记作

27、三角函数值特殊角的三角函数值角度三角函数不存在锐角三角函数值的性质锐角三角函数的大小比较时随正切值随着角度的增大而增大余弦余切随着角度的增大而减小同角互余角的三角函数关系同角三角函数关系互余锐角的三角函数关系解直角三角形由直角三角形中除直角以外的两个已知元素其中至少有一条边求出所有未知元素的过角边和锐角学习必备欢迎下载解法两条边两条直角边和直角边和斜边知识梳理由由求角求角二精典例题第一部分锐角三角函数的运算一直角三角形中锐角的正弦余弦的概念与表达式例如图所示则考点透视本例主要是考查锐角三角函学习必备 欢迎下载 A.1 732m;B.1 982m;C.3 000m;D.3 250m 13（07

28、年海淀二模）6.某资料中曾记载了一种计算地球与月球之间的距离的方法：如图 2，假设赤道上一点 D 在 AB 上，ACB 为直角，可以测量 A 的度数，则 AB 等于（）A.cosACA B.cos AAC C.sinACA D.sin AAC 14（07 年怀柔一模）7、根据右图中的信息，经过估算，下列数值与 tan值最接近的是 A、0.43 B、0.26 C、0.90 D、223 15（07 年怀柔二模）7、一架飞机在 800 米的高度观察到底面上一导航灯的俯角为，则此时飞机与该导航灯的距离是 A、800sin米 B、800cos米 C、800tg米 D、800ctg米 （二）细心填一填 1

29、6(08 年宣武一模)10、如图，在ABC中，C=90，AB=10，sinA=45，则BC的长为 。答案：（8）17计算 2sin30-2cos60+tan45=_答案：1 18在ABC中，若 BC=2，AB=7，AC=3，则 cosA=_答案：23 19如图 2 所示，太阳光线与地面成 60角，一棵倾斜的大树与地面成 30角，这时测得大树在地面上的影子约为 10 米，则大树的高约为_米（保留两个有效数字，21.41，31.73）答案：17 米 20李小同叔叔下岗后想自主创业搞大棚蔬菜种植，需要修一个如图 3 所示的育苗棚，棚宽a=3m，棚顶与地面所成的角约为 30，长 b=9m，则覆盖在顶上

30、的塑料薄膜至少需_m2 答案：18 3米 21（07 年延庆二模）3.在ABC 中，A和B都是锐角，且21sinA，22cosB，则ABC三个角的大小关系是 。答案：CBA 三、认真答一答 22如图,在ABC 中,AD 是 BC 边上的高,tanB=cosDAC.(1)求证:AC=BD;(2)若 sinC=,BC=12,求 AD 的长.答案.(1)证明:在 RtABD 和 RtADC 中,tanB=,cosDAC=,又 tanB=cosDAC,=,AC=BD.作把锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦记作把锐角的对边与邻边的比叫做的正切记作把锐角的邻边与对边的比叫做的余切记作三角函数值特殊角的三角函数

31、值角度三角函数不存在锐角三角函数值的性质锐角三角函数的大小比较时随正切值随着角度的增大而增大余弦余切随着角度的增大而减小同角互余角的三角函数关系同角三角函数关系互余锐角的三角函数关系解直角三角形由直角三角形中除直角以外的两个已知元素其中至少有一条边求出所有未知元素的过角边和锐角学习必备欢迎下载解法两条边两条直角边和直角边和斜边知识梳理由由求角求角二精典例题第一部分锐角三角函数的运算一直角三角形中锐角的正弦余弦的概念与表达式例如图所示则考点透视本例主要是考查锐角三角函学习必备 欢迎下载(2)解:在 RtADC 中,由 sinC=,可设 AD=12k,则 AC=13k,由勾股定理,得 CD=5k,

32、又由(1)知 BD=AC=13k,13k+5k=12,解得 k=,AD=8.23.已知,如图,A、B、C 三个村庄在一条东南走向的公路沿线上,AB=2km.在 B 村的正北方向有一个 D 村,测得DAB=45,DCB=28,今将ACD 区域进行规划,除其中面积为 0.5km2的水塘外,准备把剩余的一半作为绿化用地,试求绿化用地的面积.(结果精确到 0.1km2,sin28=0.469 5,cos28=0.882 9,tan28=0.531 7,cos28=1.880 7)答案:在RtABD 中,ABD=90,DAB=45,ADB=45,BD=AB=2km.在RtBCD 中,cotBCD=,DC

33、B=28,BC=BD.cot BCD=2cot28 3.75(km).SACD=ACBD5.76(km2).S 绿地2.6km2.答:绿化用地的面积约为 2.6km2.24我市某区为提高某段海堤的防海潮能力,计划将长 96m 的一堤段(原海堤的横断面如图中的梯形 ABCD)的堤面加宽1.6m,背水坡度由原来的1:1 改成1:2,已知原背水坡长AD=8.0m,求完成这一工程所需的土方,要求保留两个有效数字.(注:坡度=坡面与水平面夹角的正切值;提供数据:)答案:如图,作 EGFB 于 G,DHFB 于 H,记堤高为 h,则 EG=DH=h.由 tanDAH=1:1=1,得DAH=45.h=DH=

34、ADsin DAH=8sin45=8,AH=DH=,由 tanF=EG:FG=1:2,得 FG=2EG=2h=,作把锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦记作把锐角的对边与邻边的比叫做的正切记作把锐角的邻边与对边的比叫做的余切记作三角函数值特殊角的三角函数值角度三角函数不存在锐角三角函数值的性质锐角三角函数的大小比较时随正切值随着角度的增大而增大余弦余切随着角度的增大而减小同角互余角的三角函数关系同角三角函数关系互余锐角的三角函数关系解直角三角形由直角三角形中除直角以外的两个已知元素其中至少有一条边求出所有未知元素的过角边和锐角学习必备欢迎下载解法两条边两条直角边和直角边和斜边知识梳理由由求角求角二精

35、典例题第一部分锐角三角函数的运算一直角三角形中锐角的正弦余弦的概念与表达式例如图所示则考点透视本例主要是考查锐角三角函学习必备 欢迎下载 EFDCBA FA=FH-AH=(FG+GH)-AH=(+ED)-=+1.6,海堤断面增加的面积 S 梯形 FADE=(ED+FA)h6.41.41+1625.0(m2)工程所需土方=96S 梯形 FADE9625.0=2 400=2.4103(m3).答:完成这工程约需土方 2.4103m3.25（08 年延庆一模）18如图 7，等腰梯形 ABCD 中，ADBC，AB=CD，ACB=45，翻折梯形 ABCD，使点 C 重合于点 A，折痕分别交边 CD、BC

36、 于点 F、E，若 AD=3，BC=12，求：（1）CE 的长；（2）BAE 的正切值 答案：翻折梯形 ABCD ACE=EAC=45，AE=EC AEB=AEC=90 1 分 过 D 做 DMBC 交 BC 于 M，则DMB=90 四边形 AEMD 为矩形 AD=ME=3 等腰梯形 ABCD，ADBC，AB=CD ABC=DCB AE=DM，2 分 在ABE 和DMC AEB=DMC=90 AB=CD AE=DM ABEDMC BE=CM BE=CM=(12-3)2=4.5 3 分 CE=7.5 4 分 在BAE 中，tanBAE=535.75.4CEBEAEBE5 分 26（08 年通州二

37、模）22.（本小题满分 4 分）一筑路工程需要测量某河段的宽度.如图，一测量员在河边的 A处测得对岸岸边的一根标杆 B 在它的正北方向，测量员从 A点开始沿岸边向正东方向前进 100 米到达点C处，测得68 ACB.（1）求所测之处的河宽（.48.268tan,37.068cos,93.068sin）；（2）除(1)的测量方案外，请你再设计一种测量河宽的方案，并在图中画出图形.22（1）在BACRt中，68 ACB，24848.210068tanACAB（米）图 7 作把锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦记作把锐角的对边与邻边的比叫做的正切记作把锐角的邻边与对边的比叫做的余切记作三角函数值特殊角的

38、三角函数值角度三角函数不存在锐角三角函数值的性质锐角三角函数的大小比较时随正切值随着角度的增大而增大余弦余切随着角度的增大而减小同角互余角的三角函数关系同角三角函数关系互余锐角的三角函数关系解直角三角形由直角三角形中除直角以外的两个已知元素其中至少有一条边求出所有未知元素的过角边和锐角学习必备欢迎下载解法两条边两条直角边和直角边和斜边知识梳理由由求角求角二精典例题第一部分锐角三角函数的运算一直角三角形中锐角的正弦余弦的概念与表达式例如图所示则考点透视本例主要是考查锐角三角函学习必备 欢迎下载 答案：所测之处的河宽约为 248 米（2）表述无误，从所画出的图形中可以看出是利用三角形全等、三角形相

39、似、解直角三角形的知识来解决问题的，只要正确即得满分.27（09 年海淀一模）19、如图，已知 AB 为O 的弦，C 为O 上一点，C=BAD，且 BDAB 于 B.（1）求证：AD 是O 的切线；（2）若O 的半径为 3，AB=4，求 AD 的长.答案（1）证明:如图,连接 AO 并延长交O 于点 E,连接 BE,则ABE=90.EAB+E=90.1 分 E=C,C=BAD，EAB+BAD=90.AD 是O 的切线.2 分（2）解：由（1）可知ABE=90.AE=2AO=6,AB=4,5222ABAEBE.3 分 E=C=BAD,BDAB,.coscosEBAD 4 分 .AEBEADAB.

40、6524AD即 5512AD.5 分 28（08 年昌平区二模）18北京的 6 月绿树成荫花成海，周末小明约了几个同到户外活动当他们来到一座小亭子时，一位同学提议测量一下小亭子的高度，大家很高兴于是设计出了这样一个测量方案：小明在小亭子和一棵小树的正中间点 A 的位置，观测小亭子顶端 B 的仰角BAC60，观测小树尖 D 的仰角DAE45已知小树高 DE=2 米请你也参与到这个活动中来，帮他们求出小亭子高 BC 的长(结果精确到0.1 41.12，73.13)答案解：根据题意得：C=E=90.在 RtADE 中，DAE=45，E=90,D=DAE=45.DE=2,AE=DE=2.1 分 A为

41、CE 的中点,AC=AE=2.2 分 在 RtACB 中，BAC=60，C=90,3tanACBCBAC.3 分 BC=32.4 分 BC21.733.5.答：小亭子高约为 3.5 米.5 分 EDACB A B C D E ABCDOEABCDO作把锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦记作把锐角的对边与邻边的比叫做的正切记作把锐角的邻边与对边的比叫做的余切记作三角函数值特殊角的三角函数值角度三角函数不存在锐角三角函数值的性质锐角三角函数的大小比较时随正切值随着角度的增大而增大余弦余切随着角度的增大而减小同角互余角的三角函数关系同角三角函数关系互余锐角的三角函数关系解直角三角形由直角三角形中除直角以

42、外的两个已知元素其中至少有一条边求出所有未知元素的过角边和锐角学习必备欢迎下载解法两条边两条直角边和直角边和斜边知识梳理由由求角求角二精典例题第一部分锐角三角函数的运算一直角三角形中锐角的正弦余弦的概念与表达式例如图所示则考点透视本例主要是考查锐角三角函学习必备 欢迎下载 29如图，AB 是O 的直径，AC 是弦，点 D 是BC的中点，DPAC,垂足为点 P.（1）求证：PD 是O 的切线.（2）若 AC=6,cosA=35，求 PD 的长.答案.（1）证明：如图：连接 OD，AD.D 为弧 BC 的中点，弧 CD=弧 BD.1122PAB .122BOD ，PABBOD.PADO.1 分 D

43、PAP，P=90.ODP=P=90.即 ODPD.点 D 在O 上，PD 是O 的切线.2 分（2）连结 CB 交 OD 于点 E.AB 为O 直径，ACB=ECP=90.ODP=P=90，四边形 PCED 为矩形.PD=CE，CED=90.3 分 ODCB.EB=CE.4 分 在 Rt ABC 中，ACB =90，cosA=ABAC.AC=6,cosA=53，AB=10.BC=8.CE=PD=21 BC=4.5 分 30已知：如图，AB 为O 的直径，AC、BC 为弦，点 P 为 上 一点，AB=10，ACBC=34（1）当点 P 与点 C 关于直线 AB 对称时（如图），求 PC 长；（2

44、）当点 P 为 的中点时（如图），求 PC 长 得分 得分 DBOCAP12PACOBDE作把锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦记作把锐角的对边与邻边的比叫做的正切记作把锐角的邻边与对边的比叫做的余切记作三角函数值特殊角的三角函数值角度三角函数不存在锐角三角函数值的性质锐角三角函数的大小比较时随正切值随着角度的增大而增大余弦余切随着角度的增大而减小同角互余角的三角函数关系同角三角函数关系互余锐角的三角函数关系解直角三角形由直角三角形中除直角以外的两个已知元素其中至少有一条边求出所有未知元素的过角边和锐角学习必备欢迎下载解法两条边两条直角边和直角边和斜边知识梳理由由求角求角二精典例题第一部分锐角三角

45、函数的运算一直角三角形中锐角的正弦余弦的概念与表达式例如图所示则考点透视本例主要是考查锐角三角函学习必备 欢迎下载 答案：(1)在O 中，如图AB 是直径，ACB90点 P 与点 C 关于 AB 对称,PCAB，且 CDDP由三角形面积得：BCACABCD AB10，4:3BC:AC，由勾股定理求得AC6，BC8 CD8.41086 PC2CD6.9(2)过点 B 作 BEPC 于点 E，连结 PB 由(1)得 AC6，BC8点 P 为 的中点，ACPBCP45在 RtBEC 中，可求得 CEBE24 AP，ACBBEC90，tanP=anAEPBEACBC 238246BCBEACEPPCC

46、EEP272324 31（08 年大兴区一模）如图，某人在A处测得电视塔尖点C的仰角为60，沿山坡向上走到P处，测得点C的仰角为45，已知100OA 米，山坡坡度为12（即1tan2PAB）且点 O、A、B 在同一条直线上求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P到 OB 的距离（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号形式）.答案解：由题意知，OBCO，过 P 作 PEOB 于点 E，PFCO 于点 F，1 分 FOE=OEP=PFO=90 PFOE 为矩形.PF=OE，FO=PE.在 RtAOC 中，AO=100，CAO=60，CO=AOtan60=1003（米）2 分 tanPAB=21AEPE

47、设 PE=x,AE=2x.3 分 PF=OE=OA+AE=100+2x PE=OF=x FC=OCOF=x3100 在 RtPCF 中，由题意知CPF=45，作把锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦记作把锐角的对边与邻边的比叫做的正切记作把锐角的邻边与对边的比叫做的余切记作三角函数值特殊角的三角函数值角度三角函数不存在锐角三角函数值的性质锐角三角函数的大小比较时随正切值随着角度的增大而增大余弦余切随着角度的增大而减小同角互余角的三角函数关系同角三角函数关系互余锐角的三角函数关系解直角三角形由直角三角形中除直角以外的两个已知元素其中至少有一条边求出所有未知元素的过角边和锐角学习必备欢迎下载解法两条边两

48、条直角边和直角边和斜边知识梳理由由求角求角二精典例题第一部分锐角三角函数的运算一直角三角形中锐角的正弦余弦的概念与表达式例如图所示则考点透视本例主要是考查锐角三角函学习必备 欢迎下载 FC=PF.4 分 xx31002100，解得3)13(100 x（米）.答：电视塔 OC 高为3100米，点 P 到 OB 距离为3)13(100米5 分 32.如图，O 的直径 AB交弦 CD 于点 M，且 M 是 CD 的中点.过点 B 作 BE CD，交 AC 的延长线于点 E.连接 BC（1）求证：BE 为O 的切线；（2）如果 CD=6，tanBCD=21，求O 的直径的长 答案（1）证明：AB 是O

49、 的直径，M 是 CD 的中点，CDAB.1 分 AMC90.BECD，AMCABE.ABE90，即 ABBE.又B 是O 上的点，BE 是O 的切线.2 分（2）M 是 CD 的中点，CD=6，CM=12CD=3.在 RtBCM 中，tanBCD=BMCM=12,3BM=12,BM=32.3 分 又AB是O 的直径，ACB90.CMAB于 M，RtAMCRtCMB.AMCMCMBM,2CMAM BM.2332AM.AM=6.4 分 AB=AM+BM=6+32=152.5 分 即：O 的直径的长为152.EBMDCOA作把锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦记作把锐角的对边与邻边的比叫做的正切记作把

50、锐角的邻边与对边的比叫做的余切记作三角函数值特殊角的三角函数值角度三角函数不存在锐角三角函数值的性质锐角三角函数的大小比较时随正切值随着角度的增大而增大余弦余切随着角度的增大而减小同角互余角的三角函数关系同角三角函数关系互余锐角的三角函数关系解直角三角形由直角三角形中除直角以外的两个已知元素其中至少有一条边求出所有未知元素的过角边和锐角学习必备欢迎下载解法两条边两条直角边和直角边和斜边知识梳理由由求角求角二精典例题第一部分锐角三角函数的运算一直角三角形中锐角的正弦余弦的概念与表达式例如图所示则考点透视本例主要是考查锐角三角函学习必备 欢迎下载 33（08 年大兴区二模）17.如图,电线杆AB直