必修一基本初等函数知识点讲解_中学教育-高中教育.pdf

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1、 1 基本初等函数 第一讲 幂函数 1、幂函数的定义 一般地，形如yx（xR）的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数.如11234,yxyxyx等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.注意：yx中，前面的系数为 1，且没有常数项 2、幂函数的图像（1）yx （2）12yx （3）2yx （4）1yx （5）3yx yx 2yx 3yx 12yx 1yx 定义域 R R R|0 x x|0 x x 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 在第象限单调增减性 在 第象限单调递增 在 第象限单调递增 在 第象限单调递增 在 第象限单调递增 在 第象限单调递减 定点（1，1）（1，

2、1）（1，1）（1，1）（1，1）3、幂函数的性质（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11x）；（2）0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0上是增函数特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当10时，幂函数的图象上凸；（3）0时，幂函数的图象在区间),0(上是减函数在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴 2 分数指数幂概念 有理指数幂运算性质 (0,)rsrsa aaar sQ；()(0,)rsrsaaar sQ (0,*,1)am nNn且 ()(0,0,)rrraba bab

3、rQ 第二讲 指数函数 1、指数（1）n 次方根的定义 若 xn=a，则称 x 为 a 的 n 次方根，“n”是方根的记号.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0 的奇次方根是 0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0 的偶次方根是 0，负数没有偶次方根.（2）方根的性质 当 n 为奇数时，nna=a.当 n 为偶数时，nna=|a|=).0(),0(aaaa（3）分数指数幂的意义 anm=nma（a0，m、n 都是正整数，n1）.anm=nma1=nma1（a0，m、n都是正整数，n1）.2、指数函数的定义 一般地，函数xya（a0 且a1）叫做指数函

4、数，其中x是自变量，函数的定义域为 R.说明：因为a0，x是任意一个实数时，xa是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集 R.nmnmaanmnmnmaaa1数与指数函数对数函数一样都是基本初等函数注意中前面的系数为且没有常数项幂函数的图像定义域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇在第象限单调增减在第象限单调在第象限单在第象限单在第象限单在第象限单调递减性递增调递增调递增增函数特别地当时幂时幂函数的图象上凸函数的图象下凸当时幂函数的图象在区间上是减函数在第一象限内当从右边趋向原点时图象在轴右方无限地逼近轴正半轴当趋于时图象在轴上方无限地逼近轴正半轴分数指数幂概念有理指数一个正数负数的奇次方根是一个负数的奇

5、次方根是正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数的偶次方根是负数没有偶次方根方根的性质当为奇数时当为偶数时分数指数幂的意义都是正整数都是正整数指数函数的定义一般地函 3 000,0 xxaaxax当时,等于若当时,无意义 若a0，如1(2),8xyxx1先时,对于=等等,6在实数范围内的函数值不存在.若a=1,11,xy 是一个常量，5,3,31xxxayxyy1xx为常数,象y=2-3,y=2等等,不符合(01)xyaaa且的形式,所以不是指数函数.3、指数函数的图像及其性质 Ox yOx yy=a x 11a）1y=a x(0 a1)图象特征 函数性质 a1 0a1 a1 0a1 向x轴

6、正负方向无限延伸 函数的定义域为 R 图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在x轴上方 函数的值域为 R+函数图象都过定点（0，1）0a=1 自左向右，图象逐渐上升 自左向右，图象逐渐下降 增函数 减函数 在第一象限内的图 象纵坐标都大于 1 在第一象限内的图 象纵坐标都小于 1 x0，xa1 x0，xa1 在第二象限内的图 象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图 象纵坐标都大于 1 x0，xa1 x0，xa1 （1）底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.（2）在,xa bf xa上,()=（a0 且a1）值域是(),()(),();f af bf bf a或（3）若0,xf

7、 xf xx则()1;()取遍所有正数当且仅当R;（4）对于指数函数()xf xa（a0 且a1），总有(1);fa（5）当a1 时，若1x2x，则1()f x2()f x；第三讲 对数函数 1、对数（1）对数的概念 一般地，若(0,1)xaN aa且，那么数x叫做以 a 为底 N 的对数，记作logaxN a叫做对数的底数，N 叫做真数.数与指数函数对数函数一样都是基本初等函数注意中前面的系数为且没有常数项幂函数的图像定义域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇在第象限单调增减在第象限单调在第象限单在第象限单在第象限单在第象限单调递减性递增调递增调递增增函数特别地当时幂时幂函数的图象上凸函数的图象下凸当时幂

8、函数的图象在区间上是减函数在第一象限内当从右边趋向原点时图象在轴右方无限地逼近轴正半轴当趋于时图象在轴上方无限地逼近轴正半轴分数指数幂概念有理指数一个正数负数的奇次方根是一个负数的奇次方根是正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数的偶次方根是负数没有偶次方根方根的性质当为奇数时当为偶数时分数指数幂的意义都是正整数都是正整数指数函数的定义一般地函 4 如：24416,2log 16则，读作 2 是以 4 为底，16 的对数.1242，则41log 22，读作12是以 4 为底 2 的对数.（2）指数式与对数式的关系：ab=NlogaN=b（a0，a1，N0）.两个式子表示的 a、b、N 三个数

9、之间的关系是一样的，并且可以互化.（3）对数运算性质:loga（MN）=logaM+logaN.logaNM=logaMlogaN.logaMn=nlogaM.（M0，N0，a0，a1）对数换底公式：logbN=bNaaloglog（a0，a1，b0，b1，N0）.（4）两类对数 以 10 为底的对数称为常用对数，10logN常记为lg N.以无理数 e=2.71828为底的对数称为自然对数，logeN常记为ln N.以后解题时，在没有指出对数的底的情况下，都是指常用对数，如 100 的对数等于 2，即lg1002.2、对数函数的概念 一般地，我们把函数logayx（a0 且a1）叫做对数函数

10、，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+）3、对数函数的图象及其性质 Ox yy=logx a Ox y aay=logx a11110()底数互为倒数的两个对数函数的图象关于 x 轴对称.图象的特征 函数的性质（1）图象都在y轴的右边（1）定义域是（0，+）（2）函数图象都经过（1，0）点（2）1 的对数是 0（3）从左往右看，当a1 时，图象逐渐上升，当 0a1 时，图象逐渐下降.（3）当a1 时，logxay 是增函数，当 0a1 时，logayx是减函数.（4）当a1 时，函数图象在（1，0）点右边的纵坐标都大于 0，在（1，0）点左边的纵坐标都小于 0.当 0a1 时，图（4）当a1

11、 时 x1，则logax0 数与指数函数对数函数一样都是基本初等函数注意中前面的系数为且没有常数项幂函数的图像定义域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇在第象限单调增减在第象限单调在第象限单在第象限单在第象限单在第象限单调递减性递增调递增调递增增函数特别地当时幂时幂函数的图象上凸函数的图象下凸当时幂函数的图象在区间上是减函数在第一象限内当从右边趋向原点时图象在轴右方无限地逼近轴正半轴当趋于时图象在轴上方无限地逼近轴正半轴分数指数幂概念有理指数一个正数负数的奇次方根是一个负数的奇次方根是正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数的偶次方根是负数没有偶次方根方根的性质当为奇数时当为偶数时分数指数幂的意义都是正整

12、数都是正整数指数函数的定义一般地函 5 象正好相反，在（1，0）点右边的纵坐标都小于 0，在（1，0）点左边的纵坐标都大于 0.0 x1，logax0 当 0a1 时 x1，则logax0 0 x1，logax0 由上述表格可知，对数函数的性质如下 a1 0a1 性 质（1）定义域（0，+）；（2）值域 R；（3）过点（1，0），即当x=1，y=0；（4）在（0，+）上是增函数 在（0，+）是上减函数 数与指数函数对数函数一样都是基本初等函数注意中前面的系数为且没有常数项幂函数的图像定义域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇在第象限单调增减在第象限单调在第象限单在第象限单在第象限单在第象限单调递减性递增调递增调递增增函数特别地当时幂时幂函数的图象上凸函数的图象下凸当时幂函数的图象在区间上是减函数在第一象限内当从右边趋向原点时图象在轴右方无限地逼近轴正半轴当趋于时图象在轴上方无限地逼近轴正半轴分数指数幂概念有理指数一个正数负数的奇次方根是一个负数的奇次方根是正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数的偶次方根是负数没有偶次方根方根的性质当为奇数时当为偶数时分数指数幂的意义都是正整数都是正整数指数函数的定义一般地函