[初二数学]全等三角形_中学教育-初中教育.pdf

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1、 解答题（共 30 小题）1（2010 顺义区）已知：如图，AB=AC，点 D 是 BC 的中点，AB 平分DAE，AEBE，垂足为 E 求证：AD=AE 2（2010 十堰）如图，ABC 中，AB=AC，BDAC，CEAB求证：BD=CE 3（2008 台州）CD 经过BCA 顶点 C 的一条直线，CA=CB E，F 分别是直线 CD 上两点，且BEC=CFA=（1）若直线 CD 经过BCA 的内部，且 E，F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题：如图 1，若BCA=90 ，=90，则 BE _ CF；EF _|BEAF|（填“”，“”或“=”）；如图 2，若 0 BCA180，请添加一个

2、关于与BCA 关系的条件 _，使 中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立（2）如图 3，若直线 CD 经过BCA 的外部，=BCA，请提出 EF，BE，AF 三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）4（2007 绍兴）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图 1，己知四边形 ABCD 中，AC 平分DAB，DAB=60 ，B 与D 互补，求证：AB+AD=AC小敏反复探索，不得其解她想，若将四边形 ABCD 特殊化，看如何解决该问题（1）特殊情况入手添加条件：“B=D”，如图 2，可证 AB+AD=AC；（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图

3、 3，过 C 点分别作 AB、AD 的垂线，垂足分别为 E、F（请你补全证明）5（2005 内江）如图，将等腰直角三角形 ABC 的直角顶点置于直线 l 上，且过 A，B 两点分别作直线 l 的垂线，垂足分别为 D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程 6（2002 呼和浩特）如图，ABC 中，ACB=90 ，AC=BC，AE 是 BC 边上的中线，过 C 作 CFAE，垂足为 F，过 B 作 BDBC 交 CF 的延长线于 D（1）求证：AE=CD；（2）若 AC=12cm，求 BD 的长 7把两个含有 45 角的大小不同的直角三角板如图放置，点 D 在 BC 上，连接

4、 BE，AD，AD 的延长线交 BE 于点F 说明：AFBE 8如图，在ABC 中，AB=AC，DE 是过点 A 的直线，BDDE 于 D，CEDE 于点 E；（1）若 B、C 在 DE 的同侧（如图所示）且 AD=CE求证：ABAC；两点且若直线经过的内部且在射线上请解决下面两个问题如图若则填或如图若请添加一个关于与关系的条件使中的两个结论仍然成立并证明两个结论成立如图若直线经过的外部请提出三条线段数量关系的合理猜想不要求证明绍兴课特殊化看如何解决该问题特殊情况入手添加条件如图可证请你完成此证明解决原来问题受到的启发在原问题中添加辅助线如图过点分别作的垂线垂足分别为请你补全证明内江如图将等腰

5、直角三角形的直角顶点置于直线上且过两点分中线过作垂足为过作交的延长线于求证若求的长把两个含有角的大小不同的直角三角板如图放置点在上连接的延长线交于点说明如图在中是过点的直线于于点若在的同侧如图所示且求证若在的两侧如图所示其他条件不变与仍垂直吗（2）若 B、C 在 DE 的两侧（如图所示），其他条件不变，AB 与 AC 仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由 9如图，ABC 中，ABC=BAC=45 ，点 P 在 AB 上，ADCP，BECP，垂足分别为 D，E，已知 DC=2，求 BE 的长 10如图，已知在ABC 中，AB=AC，BAC=90 ，分别过 B、C 向过 A 的直线作垂线，

6、垂足分别为 E、F（1）如图 过 A 的直线与斜边 BC 不相交时，求证：EF=BE+CF；（2）如图 过 A 的直线与斜边 BC 相交时，其他条件不变，若 BE=10，CF=3，求：FE 长 11如图，已知 AB=AC，BDAC 于 D，CEAB 于 E，BD、CE 相交于 F，请说明 BE=CD 12如图 1，OA=2，OB=4，以 A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰 RtABC（1）求 C 点的坐标；（2）如图 2，P 为 y 轴负半轴上一个动点，当 P 点向 y 轴负半轴向下运动时，以 P 为顶点，PA 为腰作等腰 RtAPD，过 D 作 DEx 轴于 E 点，求 OPDE 的值

7、 两点且若直线经过的内部且在射线上请解决下面两个问题如图若则填或如图若请添加一个关于与关系的条件使中的两个结论仍然成立并证明两个结论成立如图若直线经过的外部请提出三条线段数量关系的合理猜想不要求证明绍兴课特殊化看如何解决该问题特殊情况入手添加条件如图可证请你完成此证明解决原来问题受到的启发在原问题中添加辅助线如图过点分别作的垂线垂足分别为请你补全证明内江如图将等腰直角三角形的直角顶点置于直线上且过两点分中线过作垂足为过作交的延长线于求证若求的长把两个含有角的大小不同的直角三角板如图放置点在上连接的延长线交于点说明如图在中是过点的直线于于点若在的同侧如图所示且求证若在的两侧如图所示其他条件不变与

8、仍垂直吗 13如图，等腰直角ACB，ACB=90 ，CA=CB 操作：如图 1，过点 A 任作一条直线（不经过点 C 和点 B）交 BC 所在直线于点 D，过点 B 作 BFAD 交 AD 于点F，交 AC 所在直线于点 E，连接 DE （1）猜想CDE 的形状；（2）请你利用图 2、图 3 作与上述位置不同的直线，然后按上述方法操作画出相应的图形；（3）在经历（2）之后，若你认为（1）中的结论是成立的，请你利用图 2 加以证明；若你认为不成立，请你利用其中一图说明理由 14如图，A=B=90，E 是 AB 上的一点，且 AE=BC，1=2（1）RtADE 与 RtBEC 全等吗？并说明理由；

9、（2）CDE 是不是直角三角形？并说明理由 15（2012 珠海）如图，把正方形 ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转 45 得到正方形 A B CD（此时，点 B 落在对角线 AC 上，点 A 落在 CD 的延长线上），A B 交 AD 于点 E，连接 AA、CE 求证：（1）ADA CDE；（2）直线 CE 是线段 AA 的垂直平分线 两点且若直线经过的内部且在射线上请解决下面两个问题如图若则填或如图若请添加一个关于与关系的条件使中的两个结论仍然成立并证明两个结论成立如图若直线经过的外部请提出三条线段数量关系的合理猜想不要求证明绍兴课特殊化看如何解决该问题特殊情况入手添加条件如图可证请你完

10、成此证明解决原来问题受到的启发在原问题中添加辅助线如图过点分别作的垂线垂足分别为请你补全证明内江如图将等腰直角三角形的直角顶点置于直线上且过两点分中线过作垂足为过作交的延长线于求证若求的长把两个含有角的大小不同的直角三角板如图放置点在上连接的延长线交于点说明如图在中是过点的直线于于点若在的同侧如图所示且求证若在的两侧如图所示其他条件不变与仍垂直吗 16（2012 镇江）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，E 是 AB 的中点，连接 DE 并延长交 CB 的延长线于点 F，点 G 在边 BC 上，且GDF=ADF（1）求证：ADEBFE；（2）连接 EG，判断 EG 与 DF 的位置关系并说

11、明理由 17（2012 岳阳）（1）操作发现：如图，D 是等边ABC 边 BA 上一动点（点 D 与点 B 不重合），连接 DC，以DC 为边在 BC 上方作等边DCF，连接 AF你能发现线段 AF 与 BD 之间的数量关系吗？并证明你发现的结论（2）类比猜想：如图，当动点 D 运动至等边ABC 边 BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想 AF 与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？（3）深入探究：如图，当动点 D 在等边ABC 边 BA 上运动时（点 D 与点 B 不重合）连接 DC，以 DC 为边在 BC 上方、下方分别作等边DCF 和等边DCF，连接 AF、BF，探究 AF、BF

12、 与 AB 有何数量关系？并证明你探究的结论 如图，当动点 D 在等边边 BA 的延长线上运动时，其他作法与图 相同，中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论 18（2012 扬州）如图，在四边形 ABCD 中，AB=BC，ABC=CDA=90，BEAD，垂足为 E求证：BE=DE 19（2012 烟台）（1）问题探究 两点且若直线经过的内部且在射线上请解决下面两个问题如图若则填或如图若请添加一个关于与关系的条件使中的两个结论仍然成立并证明两个结论成立如图若直线经过的外部请提出三条线段数量关系的合理猜想不要求证明绍兴课特殊化看如何解决该问题特殊情况入手添加条件如图可证请你

13、完成此证明解决原来问题受到的启发在原问题中添加辅助线如图过点分别作的垂线垂足分别为请你补全证明内江如图将等腰直角三角形的直角顶点置于直线上且过两点分中线过作垂足为过作交的延长线于求证若求的长把两个含有角的大小不同的直角三角板如图放置点在上连接的延长线交于点说明如图在中是过点的直线于于点若在的同侧如图所示且求证若在的两侧如图所示其他条件不变与仍垂直吗如图 1，分别以ABC 的边 AC 与边 BC 为边，向ABC 外作正方形 ACD1E1和正方形 BCD2E2，过点 C 作直线 KH交直线 AB 于点 H，使AHK=ACD1作 D1MKH，D2NKH，垂足分别为点 M，N试探究线段 D1M 与线段

14、D2N 的数量关系，并加以证明（2）拓展延伸 如图 2，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点 C 作直线 K1H1，K2H2，分别交直线 AB 于点 H1，H2，使AH1K1=BH2K2=ACD1作 D1MK1H1，D2NK2H2，垂足分别为点 M，ND1M=D2N 是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由 如图 3，若将 中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变D1M=D2N 是否仍成立？（要求：在图 3 中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明）20（2012 襄阳）如图，在ABC 中，AB=AC，ADBC 于点 D，将ADC 绕点 A 顺时针旋转，使 AC 与

15、AB 重合，点 D 落在点 E 处，AE 的延长线交 CB 的延长线于点 M，EB 的延长线交 AD 的延长线于点 N 求证：AM=AN 21（2012 泰安）如图，在ABC 中，ABC=45 ，CDAB，BEAC，垂足分别为 D，E，F 为 BC 中点，BE与 DF，DC 分别交于点 G，H，ABE=CBE（1）线段 BH 与 AC 相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；（2）求证：BG2GE2=EA2 22（2012 沈阳）已知，如图，MON=60 ，点 A，B 为射线 OM，ON 上的动点（点 A，B 不与点 O 重合），且 AB=4，在MON 的内部，AOB 的外部有一点 P，且

16、 AP=BP，APB=120 （1）求 AP 的长；（2）求证：点 P 在MON 的平分线上 两点且若直线经过的内部且在射线上请解决下面两个问题如图若则填或如图若请添加一个关于与关系的条件使中的两个结论仍然成立并证明两个结论成立如图若直线经过的外部请提出三条线段数量关系的合理猜想不要求证明绍兴课特殊化看如何解决该问题特殊情况入手添加条件如图可证请你完成此证明解决原来问题受到的启发在原问题中添加辅助线如图过点分别作的垂线垂足分别为请你补全证明内江如图将等腰直角三角形的直角顶点置于直线上且过两点分中线过作垂足为过作交的延长线于求证若求的长把两个含有角的大小不同的直角三角板如图放置点在上连接的延长线

17、交于点说明如图在中是过点的直线于于点若在的同侧如图所示且求证若在的两侧如图所示其他条件不变与仍垂直吗（3）如图，点 C，D，E，F 分别是四边形 AOBP 的边 AO，OB，BP，PA 的中点，连接 CD，DE，EF，FC，OP 当 ABOP 时，请直接写出四边形 CDEF 的周长的值；若四边形 CDEF 的周长用 t 表示，请直接写出 t 的取值范围 23（2012 山西）问题情境：将一副直角三角板（RtABC 和 RtDEF）按图 1 所示的方式摆放，其中ACB=90，CA=CB，FDE=90，O 是 AB 的中点，点 D 与点 O 重合，DFAC 于点 M，DEBC 于点 N，试判断线段

18、 OM与 ON 的数量关系，并说明理由 探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法：解：OM=ON，证明如下：连接 CO，则 CO 是 AB 边上中线，CA=CB，CO 是ACB 的角平分线（依据 1）OMAC，ONBC，OM=ON （依据 2）反思交流：（1）上述证明过程中的“依据 1”和“依据 2”分别是指：依据 1：_ 依据 2：_ （2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程 拓展延伸：（3）将图 1 中的 RtDEF 沿着射线 BA 的方向平移至如图 2 所示的位置，使点 D 落在 BA 的延长线上，FD 的延长线与 CA 的延长线垂直相交于点 M，BC 的延长线与 DE 垂直相

19、交于点 N，连接 OM、ON，试判断线段 OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程 24（2012 南充）在 RtPOQ 中，OP=OQ=4，M 是 PQ 的中点，把一三角尺的直角顶点放在点 M 处，以 M 为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与POQ 的两直角边分别交于点 A、B（1）求证：MA=MB；（2）连接 AB，探究：在旋转三角尺的过程中，AOB 的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由 两点且若直线经过的内部且在射线上请解决下面两个问题如图若则填或如图若请添加一个关于与关系的条件使中的两个结论仍然成立并证明两个结论成立如图若直线经过的外部请提出三条线

20、段数量关系的合理猜想不要求证明绍兴课特殊化看如何解决该问题特殊情况入手添加条件如图可证请你完成此证明解决原来问题受到的启发在原问题中添加辅助线如图过点分别作的垂线垂足分别为请你补全证明内江如图将等腰直角三角形的直角顶点置于直线上且过两点分中线过作垂足为过作交的延长线于求证若求的长把两个含有角的大小不同的直角三角板如图放置点在上连接的延长线交于点说明如图在中是过点的直线于于点若在的同侧如图所示且求证若在的两侧如图所示其他条件不变与仍垂直吗 25（2012 泸州）如图，ABC 是等边三角形，D 是 AB 边上的一点，以 CD 为边作等边三角形 CDE，使点 E、A在直线 DC 的同侧，连接 AE

21、求证：AEBC 26（2012 阜新）（1）如图，在ABC 和ADE 中，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE=90 当点 D 在 AC 上时，如图 1，线段 BD、CE 有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；将图 1 中的ADE 绕点 A 顺时针旋转 角（0 90），如图 2，线段 BD、CE 有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由（2）当ABC 和ADE 满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段 BD、CE 在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由 甲：AB：AC=AD：AE=1，BAC=DAE 90；乙：AB：AC=AD：AE 1，BAC=DAE=90；丙：AB：AC=A

22、D：AE 1，BAC=DAE 90 27（2012 长春）感知：如图，点 E 在正方形 ABCD 的边 BC 上，BFAE 于点 F，DGAE 于点 G，可知ADGBAF（不要求证明）拓展：如图，点 B、C 分别在MAN 的边 AM、AN 上，点 E、F 在MAN 内部的射线 AD 上，1、2 分别是ABE、CAF 的外角已知 AB=AC，1=2=BAC，求证：ABECAF 应用：如图，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，ABBC点 D 在边 BC 上，CD=2BD，点 E、F 在线段 AD 上，1=2=BAC若ABC 的面积为 9，则ABE 与CDF 的面积之和为 _ 两点且若直线经过的内

23、部且在射线上请解决下面两个问题如图若则填或如图若请添加一个关于与关系的条件使中的两个结论仍然成立并证明两个结论成立如图若直线经过的外部请提出三条线段数量关系的合理猜想不要求证明绍兴课特殊化看如何解决该问题特殊情况入手添加条件如图可证请你完成此证明解决原来问题受到的启发在原问题中添加辅助线如图过点分别作的垂线垂足分别为请你补全证明内江如图将等腰直角三角形的直角顶点置于直线上且过两点分中线过作垂足为过作交的延长线于求证若求的长把两个含有角的大小不同的直角三角板如图放置点在上连接的延长线交于点说明如图在中是过点的直线于于点若在的同侧如图所示且求证若在的两侧如图所示其他条件不变与仍垂直吗 28（201

24、1 绍兴）数学课上，李老师出示了如下框中的题目 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况 探索结论 当点 E 为 AB 的中点时，如图 1，确定线段 AE 与的 DB 大小关系 请你直接写出结论：AE _ DB（填“”，“”或“=”）（2）特例启发，解答題目 解：题目中，AE 与 DB 的大小关系是：AE _ DB（填“”，“”或“=”）理由如下：如图 2，过点 E 作 EFBC，交 AC 于点 F，（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题 在等边三角形 ABC 中，点 E 在直线 AB 上，点 D 在直线 BC 上，且 ED=EC若ABC 的边长为 1，AE=2，求 CD

25、的长（请你直接写出结果）29（2011 沈阳）已知，ABC 为等边三角形，点 D 为直线 BC 上一动点（点 D 不与 B、C 重合）以 AD 为边作菱形 ADEF，使DAF=60，连接 CF（1）如图 1，当点 D 在边 BC 上时，求证：ADB=AFC；请直接判断结论AFC=ACB+DAC 是否成立；（2）如图 2，当点 D 在边 BC 的延长线上时，其他条件不变，结论AFC=ACB+DAC 是否成立？请写出AFC、ACB、DAC 之间存在的数量关系，并写出证明过程；（3）如图 3，当点 D 在边 CB 的延长线上时，且点 A、F 分别在直线 BC 的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接

26、写出AFC、ACB、DAC 之间存在的等量关系 两点且若直线经过的内部且在射线上请解决下面两个问题如图若则填或如图若请添加一个关于与关系的条件使中的两个结论仍然成立并证明两个结论成立如图若直线经过的外部请提出三条线段数量关系的合理猜想不要求证明绍兴课特殊化看如何解决该问题特殊情况入手添加条件如图可证请你完成此证明解决原来问题受到的启发在原问题中添加辅助线如图过点分别作的垂线垂足分别为请你补全证明内江如图将等腰直角三角形的直角顶点置于直线上且过两点分中线过作垂足为过作交的延长线于求证若求的长把两个含有角的大小不同的直角三角板如图放置点在上连接的延长线交于点说明如图在中是过点的直线于于点若在的同侧

27、如图所示且求证若在的两侧如图所示其他条件不变与仍垂直吗 30（2011 山西）如图（1），RtABC 中，ACB=90 ，CDAB，垂足为 DAF 平分CAB，交 CD 于点 E，交CB 于点 F（1）求证：CE=CF（2）将图（1）中的ADE 沿 AB 向右平移到A D E 的位置，使点 E 落在 BC 边上，其它条件不变，如图（2）所示试猜想：BE 与 CF 有怎样的数量关系？请证明你的结论 两点且若直线经过的内部且在射线上请解决下面两个问题如图若则填或如图若请添加一个关于与关系的条件使中的两个结论仍然成立并证明两个结论成立如图若直线经过的外部请提出三条线段数量关系的合理猜想不要求证明绍兴

28、课特殊化看如何解决该问题特殊情况入手添加条件如图可证请你完成此证明解决原来问题受到的启发在原问题中添加辅助线如图过点分别作的垂线垂足分别为请你补全证明内江如图将等腰直角三角形的直角顶点置于直线上且过两点分中线过作垂足为过作交的延长线于求证若求的长把两个含有角的大小不同的直角三角板如图放置点在上连接的延长线交于点说明如图在中是过点的直线于于点若在的同侧如图所示且求证若在的两侧如图所示其他条件不变与仍垂直吗 参考答案与试题解析 一解答题（共 30 小题）1（2010 顺义区）已知：如图，AB=AC，点 D 是 BC 的中点，AB 平分DAE，AEBE，垂足为 E 求证：AD=AE 考点：直角三角形

29、全等的判定；全等三角形的性质。专题：证明题。分析：求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，结合本题，证ADBAEB 即可 解答：证明：AB=AC，点 D 是 BC 的中点，ADB=90，AEEB，E=ADB=90，AB 平分DAE，1=2；在ADB 和AEB 中，ADBAEB（AAS），AD=AE 点评：此题考查简单的线段相等，可以通过全等三角形来证明，要判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件 2（2010 十堰）如图，ABC 中，AB=AC，BDAC，CEAB求证：BD=CE 考点：直角三角形全等的判定；全等

30、三角形的性质。专题：证明题。分析：欲证 BD、CE 两边相等，只需证明这两边所在的ABD 与ACE 全等，这两个三角形，有一对直角相等，两点且若直线经过的内部且在射线上请解决下面两个问题如图若则填或如图若请添加一个关于与关系的条件使中的两个结论仍然成立并证明两个结论成立如图若直线经过的外部请提出三条线段数量关系的合理猜想不要求证明绍兴课特殊化看如何解决该问题特殊情况入手添加条件如图可证请你完成此证明解决原来问题受到的启发在原问题中添加辅助线如图过点分别作的垂线垂足分别为请你补全证明内江如图将等腰直角三角形的直角顶点置于直线上且过两点分中线过作垂足为过作交的延长线于求证若求的长把两个含有角的大小

31、不同的直角三角板如图放置点在上连接的延长线交于点说明如图在中是过点的直线于于点若在的同侧如图所示且求证若在的两侧如图所示其他条件不变与仍垂直吗公共角A，AB=AC，所以两三角形全等 解答：证明：BDAC，CEAB，ADB=AEC=90 在ABD 和ACE 中，ABDACE（AAS）BD=CE 点评：本题考查证明两边相等的方法，证明这两边所在的三角形全等选择要证的三角形时要结合图形及已知条件 3（2008 台州）CD 经过BCA 顶点 C 的一条直线，CA=CB E，F 分别是直线 CD 上两点，且BEC=CFA=（1）若直线 CD 经过BCA 的内部，且 E，F 在射线 CD 上，请解决下面两

32、个问题：如图 1，若BCA=90 ，=90，则 BE=CF；EF=|BEAF|（填“”，“”或“=”）；如图 2，若 0 BCA180，请添加一个关于与BCA 关系的条件 +BCA=180 ，使 中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立（2）如图 3，若直线 CD 经过BCA 的外部，=BCA，请提出 EF，BE，AF 三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）考点：直角三角形全等的判定；三角形内角和定理。专题：几何综合题。分析：由题意推出CBE=ACF，再由 AAS 定理证BCECAF，继而得答案 解答：解：（1）BCA=90 ，=90，BCE+CBE=90，BCE+ACF=90，CBE=AC

33、F，CA=CB，BEC=CFA；BCECAF，BE=CF；EF=|BEAF|所填的条件是：+BCA=180 证明：在BCE 中，CBE+BCE=180 BEC=180 BCA=180 ，CBE+BCE=BCA 又ACF+BCE=BCA，CBE=ACF，又BC=CA，BEC=CFA，BCECAF（AAS）BE=CF，CE=AF，又EF=CFCE，EF=|BEAF|两点且若直线经过的内部且在射线上请解决下面两个问题如图若则填或如图若请添加一个关于与关系的条件使中的两个结论仍然成立并证明两个结论成立如图若直线经过的外部请提出三条线段数量关系的合理猜想不要求证明绍兴课特殊化看如何解决该问题特殊情况入手

34、添加条件如图可证请你完成此证明解决原来问题受到的启发在原问题中添加辅助线如图过点分别作的垂线垂足分别为请你补全证明内江如图将等腰直角三角形的直角顶点置于直线上且过两点分中线过作垂足为过作交的延长线于求证若求的长把两个含有角的大小不同的直角三角板如图放置点在上连接的延长线交于点说明如图在中是过点的直线于于点若在的同侧如图所示且求证若在的两侧如图所示其他条件不变与仍垂直吗（2）EF=BE+AF 点评：本题综合考查全等三角形、等边三角形和四边形的有关知识注意对三角形全等，相似的综合应用 4（2007 绍兴）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图 1，己知四边形 ABCD 中，AC 平分DAB

35、，DAB=60 ，B 与D 互补，求证：AB+AD=AC小敏反复探索，不得其解她想，若将四边形 ABCD 特殊化，看如何解决该问题（1）特殊情况入手添加条件：“B=D”，如图 2，可证 AB+AD=AC；（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图 3，过 C 点分别作 AB、AD 的垂线，垂足分别为 E、F（请你补全证明）考点：直角三角形全等的判定。专题：证明题；开放型。分析：（1）如果：“B=D”，根据B 与D 互补，那么B=D=90，又因为DAC=BAC=30 ，因此我们可在直角三角形 ADC 和 ABC 中得出 AD=AB=AC，那么 AD+AB=

36、AC（2）按（1）的思路，作好辅助线后，我们只要证明三角形 CFD 和 BCD 全等即可得到（1）的条件根据AAS 可证两三角形全等，DF=BE然后按照（1）的解法进行计算即可 解答：证明：（1）B=D=90，CAD=CAB=30 ，AB=AC，AD=AB+AD=（2）由（1）知，AE+AF=AC，AC 为角平分线，CFCD，CEAB，CE=CF 而ABC 与D 互补，ABC 与CBE 也互补，D=CBE 在 RtCDF 与 RtCBE 中，RtCDFRtCBE DF=BE AB+AD=AB+（AF+FD）=（AB+BE）+AF=AE+AF=AC 点评：本题考查了直角三角形全等的判定及性质；通

37、过辅助线来构建全等三角形是解题的常用方法，也是解决本题的关键 两点且若直线经过的内部且在射线上请解决下面两个问题如图若则填或如图若请添加一个关于与关系的条件使中的两个结论仍然成立并证明两个结论成立如图若直线经过的外部请提出三条线段数量关系的合理猜想不要求证明绍兴课特殊化看如何解决该问题特殊情况入手添加条件如图可证请你完成此证明解决原来问题受到的启发在原问题中添加辅助线如图过点分别作的垂线垂足分别为请你补全证明内江如图将等腰直角三角形的直角顶点置于直线上且过两点分中线过作垂足为过作交的延长线于求证若求的长把两个含有角的大小不同的直角三角板如图放置点在上连接的延长线交于点说明如图在中是过点的直线于

38、于点若在的同侧如图所示且求证若在的两侧如图所示其他条件不变与仍垂直吗5（2005 内江）如图，将等腰直角三角形 ABC 的直角顶点置于直线 l 上，且过 A，B 两点分别作直线 l 的垂线，垂足分别为 D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程 考点：直角三角形全等的判定。专题：探究型。分析：分析图可知，全等三角形为：ACDCBE根据这两个三角形中的数量关系选择 ASA 证明全等 解答：解：全等三角形为：ACDCBE 证明如下：由题意知CAD+ACD=90 ，ACD+BCE=90，CAD=BCE 在ACD 与CBE 中，ACDCBE（AAS）点评：本题考查三角形全等的判定方

39、法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL 注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角 6（2002 呼和浩特）如图，ABC 中，ACB=90 ，AC=BC，AE 是 BC 边上的中线，过 C 作 CFAE，垂足为 F，过 B 作 BDBC 交 CF 的延长线于 D（1）求证：AE=CD；（2）若 AC=12cm，求 BD 的长 考点：直角三角形全等的判定；全等三角形的性质。专题：计算题；证明题。分析：（1）证两条线段相等，通常用全等，本题中的 AE 和 CD 分

40、别在三角形 AEC 和三角形 CDB 中，在这两个三角形中，已经有一组边相等，一组角相等了，因此只需再找一组角即可利用角角边进行解答（2）由（1）得 BD=EC=BC=AC，且 AC=12，即可求出 BD 的长 解答：（1）证明：DBBC，CFAE，DCB+D=DCB+AEC=90 D=AEC 两点且若直线经过的内部且在射线上请解决下面两个问题如图若则填或如图若请添加一个关于与关系的条件使中的两个结论仍然成立并证明两个结论成立如图若直线经过的外部请提出三条线段数量关系的合理猜想不要求证明绍兴课特殊化看如何解决该问题特殊情况入手添加条件如图可证请你完成此证明解决原来问题受到的启发在原问题中添加辅

41、助线如图过点分别作的垂线垂足分别为请你补全证明内江如图将等腰直角三角形的直角顶点置于直线上且过两点分中线过作垂足为过作交的延长线于求证若求的长把两个含有角的大小不同的直角三角板如图放置点在上连接的延长线交于点说明如图在中是过点的直线于于点若在的同侧如图所示且求证若在的两侧如图所示其他条件不变与仍垂直吗又DBC=ECA=90，且 BC=CA，DBCECA（AAS）AE=CD （2）解：由（1）得 AE=CD，AC=BC，CDBAEC（HL）BD=EC=BC=AC，且 AC=12 BD=6 点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证

42、的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件 7把两个含有 45 角的大小不同的直角三角板如图放置，点 D 在 BC 上，连接 BE，AD，AD 的延长线交 BE 于点F 说明：AFBE 考点：直角三角形全等的判定；全等三角形的性质。专题：证明题。分析：可通过全等三角形将相等的角进行转换来得出结论本题中我们可通过证明三角形 BEC 和 ACD 全等得出FBD=CAD，根据CAD+CDA=90，而BDF=ADC，因此可得出BFD=90，进而得出结论那么证明三角形 BED 和 ACD 就是解题的关键，两直角三角形中，EC=CD，BC=AC，两直角边对应相等，因此两

43、三角形就全等了 解答：证明：AFBE，理由如下：由题意可知DEC=EDC=45，CBA=CAB=45 ，EC=DC，BC=AC，又DCE=DCA=90 ，ECD 和BCA 都是等腰直角三角形，EC=DC，BC=AC，ECD=ACB=90 在BEC 和ADC 中 EC=DC，ECB=DCA，BC=AC，BECADC（SAS）EBC=DAC DAC+CDA=90，FDB=CDA，EBC+FDB=90 BFD=90，即 AFBE 点评：本题考查了全等三角形的判定，通过全等三角形来将相等的角进行适当的转换是解题的关键 8如图，在ABC 中，AB=AC，DE 是过点 A 的直线，BDDE 于 D，CED

44、E 于点 E；（1）若 B、C 在 DE 的同侧（如图所示）且 AD=CE求证：ABAC；两点且若直线经过的内部且在射线上请解决下面两个问题如图若则填或如图若请添加一个关于与关系的条件使中的两个结论仍然成立并证明两个结论成立如图若直线经过的外部请提出三条线段数量关系的合理猜想不要求证明绍兴课特殊化看如何解决该问题特殊情况入手添加条件如图可证请你完成此证明解决原来问题受到的启发在原问题中添加辅助线如图过点分别作的垂线垂足分别为请你补全证明内江如图将等腰直角三角形的直角顶点置于直线上且过两点分中线过作垂足为过作交的延长线于求证若求的长把两个含有角的大小不同的直角三角板如图放置点在上连接的延长线交于

45、点说明如图在中是过点的直线于于点若在的同侧如图所示且求证若在的两侧如图所示其他条件不变与仍垂直吗（2）若 B、C 在 DE 的两侧（如图所示），其他条件不变，AB 与 AC 仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由 考点：直角三角形全等的判定；全等三角形的性质。专题：证明题；探究型。分析：（1）由已知条件，证明 ABDACE，再利用角与角之间的关系求证BAD+CAE=90，即可证明ABAC；（2）同（1），先证 ABDACE，再利用角与角之间的关系求证BAD+CAE=90，即可证明 ABAC 解答：（1）证明：BDDE，CEDE，ADB=AEC=90，在 RtABD 和 RtACE 中，R

46、tABDRtACE DAB=EAC，DBA=ACE DAB+DBA=90，EAC+ACE=90，BAD+CAE=90 BAC=180 （BAD+CAE）=90 ABAC （2）ABAC理由如下：同（1）一样可证得 RtABDRtACE DAB=ECA，DBA=EAC，CAE+ECA=90，CAE+BAD=90 ，即BAC=90 ，ABAC 点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，借助全等三角形的性质得到相等的两点且若直线经过的内部且在射线上请解决下面两个问题如图若则填或如图若请添加一个关于与关系的条件使中的两个结论仍然成立并证明两个结论成立如图若直线经过的外部请提出

47、三条线段数量关系的合理猜想不要求证明绍兴课特殊化看如何解决该问题特殊情况入手添加条件如图可证请你完成此证明解决原来问题受到的启发在原问题中添加辅助线如图过点分别作的垂线垂足分别为请你补全证明内江如图将等腰直角三角形的直角顶点置于直线上且过两点分中线过作垂足为过作交的延长线于求证若求的长把两个含有角的大小不同的直角三角板如图放置点在上连接的延长线交于点说明如图在中是过点的直线于于点若在的同侧如图所示且求证若在的两侧如图所示其他条件不变与仍垂直吗角，然后证明垂直是经常使用的方法，注意掌握、应用 9如图，ABC 中，ABC=BAC=45 ，点 P 在 AB 上，ADCP，BECP，垂足分别为 D，E

48、，已知 DC=2，求 BE 的长 考点：直角三角形全等的判定；全等三角形的性质。分析：已知了 CD 的长，求 BE 的长，可通过证明三角形 BEC 和 ACD 全等来得出这两个三角形中已知的条件只有一组直角，根据ABC=BAC=45 ，因此ACB=90 ，AC=BC，我们发现DAC 和BCE 同为ACD的余角，因此DAC=BCE，这样就构成了三角形 ACD 和 BCE 全等的条件，两三角形全等这样就能求出 BE、CD 的关系就能得出 BE 的长 解答：解：ABC=BAC=45 ACB=90，AC=BC DAC+ACD=90，BCE+ACD=90 DAC=BCE 又ADC=CEB ACDCEB

49、BE=CD=2 点评：此题考查简单的线段相等，可以通过全等三角形来证明，等腰直角三角形在直角三角形的题目中经常出现，注意应用等角对等边来解题 10如图，已知在ABC 中，AB=AC，BAC=90 ，分别过 B、C 向过 A 的直线作垂线，垂足分别为 E、F（1）如图 过 A 的直线与斜边 BC 不相交时，求证：EF=BE+CF；（2）如图 过 A 的直线与斜边 BC 相交时，其他条件不变，若 BE=10，CF=3，求：FE 长 考点：直角三角形全等的判定；全等三角形的性质。专题：计算题；证明题。分析：此题根据已知条件容易证明BEAAFC，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论；（2）根据（1）

50、知道 BEAAFC 仍然成立，再根据对应边相等就可以求出 EF 了 解答：（1）证明：BEEA，CFAF，BAC=BEA=CFE=90，EAB+CAF=90，EBA+EAB=90，CAF=EBA，在ABE 和AFC 中，BEA=AFC=90，EBA=CAF，AB=AC，两点且若直线经过的内部且在射线上请解决下面两个问题如图若则填或如图若请添加一个关于与关系的条件使中的两个结论仍然成立并证明两个结论成立如图若直线经过的外部请提出三条线段数量关系的合理猜想不要求证明绍兴课特殊化看如何解决该问题特殊情况入手添加条件如图可证请你完成此证明解决原来问题受到的启发在原问题中添加辅助线如图过点分别作的垂线垂