绝对值的三角不等式典型例题1_中学教育-中学学案.pdf

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1、-word.zl-1.4绝对值三角不等式 教学目标：1.理解绝对值的定义，理解不等式根本性质的推导过程；2.掌握定理 1 的两种证明思路及其几何意义；3.理解绝对值三角不等式；4.会用绝对值不等式解决一些简单问题。教学重点：定理 1 的证明及几何意义。教学难点：换元思想的渗透。教学过程：一、引入：证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的根本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：1baba 2baba 3baba 4)0(bbaba 请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？实际上，性质baba和)0(bbaba可以从正负数和零的乘法、除

2、法法那么直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明baba对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。现在请同学们讨论一个问题：设a为实数，a和a哪个大？显然aa，当且仅当0a时等号成立即在0a时，等号成立。在0a时，等号不成立。同样，.aa当且仅当0a时，等号成立。含有绝对值的不等式的证明中，常常利用aa、aa及绝对值的和的-word.zl-性质。二、典型例题：例 1、证明 1baba，2baba。证明1如果,0 ba那么.baba所以.bababa 如果,0 ba那么).(baba所以babababa)()(2 根据 1 的结果，有bbabba，就是

3、，abba。所以，baba。例 2、证明 bababa。例 3、证明 cbcaba。思考：如何利用数轴给出例 3 的几何解释？设 A，B，C 为数轴上的 3 个点，分别表示数 a，b，c，那么线段.CBACAB当且仅当 C 在 A，B 之间时，等号成立。这就是上面的例 3。特别的，取 c0 即C 为原点，就得到例 2 的后半局部。探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式baba的几何解释？定理 1 如果,a bR,那么baba.在上面不等式中,用向量,a b分别替换实数,a b,那么当,a b不共线时,由向量加法三角形法那么:向量,a b,ab构成三角形,因此有a+ba+b 其几何意义是什么？

4、含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例 2 和例 3 的结果来证明。意义理解绝对值三角不等式会用绝对值不等式解决一些简单问题教学重点定理的证明及几何意义教学难点换元思想的渗透教学过程一引入证明一个含有绝对值的不等式成立除了要应用一般不等式的根本性质之外经常还要用到关于绝以从正负数和零的乘法除法法那么直接推出而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出因只要能够证明对于任意实数都成立即可我们将在下面的例题中研究它的证明现在请同学们讨论一个问题设为实数和哪个大显然当且仅当时等号和的性质二典型例题例证明证明如果那么所以如果那么所以根据的结果有就是所以例证明例证明思考如何利

5、用数轴给出例的几何解释设为数轴上的个点分别表示数那么线段当且仅当在之间时等号成立这就是上面的例特别的取即为原-word.zl-例 4、2,2cbycax，求证.)()(cbayx 证明)()()()(byaxbayxbyax 1 2,2cbycax，cccbyax22 2 由1，2得：cbayx)()(例 5、.6,4ayax 求证：ayx 32。证明 6,4ayax，23,22ayax，由例 1 及上式，aaayxyx223232。注意：在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向一样的不等式。四、稳固性练习：1、.2,2cbBcaA求证：cbaBA)()

6、(。2、.6,4cbycax求证：cbayx3232。作业：习题 1.2 2、3、5 1.4绝对值三角不等式学案 预习目标：1.理解绝对值的定义，理解不等式根本性质的推导过程；2.了解定理 1 的两种证明思路及其几何意义;3.理解绝对值三角不等式。预习内容：1绝对值的定义：aR，|a 2.绝对值的几何意义：10.实数a的绝对值|a，表示数轴上坐标为a的点 A 意义理解绝对值三角不等式会用绝对值不等式解决一些简单问题教学重点定理的证明及几何意义教学难点换元思想的渗透教学过程一引入证明一个含有绝对值的不等式成立除了要应用一般不等式的根本性质之外经常还要用到关于绝以从正负数和零的乘法除法法那么直接推

7、出而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出因只要能够证明对于任意实数都成立即可我们将在下面的例题中研究它的证明现在请同学们讨论一个问题设为实数和哪个大显然当且仅当时等号和的性质二典型例题例证明证明如果那么所以如果那么所以根据的结果有就是所以例证明例证明思考如何利用数轴给出例的几何解释设为数轴上的个点分别表示数那么线段当且仅当在之间时等号成立这就是上面的例特别的取即为原-word.zl-20.两个实数,a b，它们在数轴上对应的点分别为,A B，那么|ab的几何意义是 3.定理 1 的内容是什么？其证法有几种？4.假设实数,a b分别换成向量,a b定理 1 还成立吗？5、定理 2 是怎么利用定理

8、 1 证明的？探究学习：1、绝对值的定义的应用 例 1 设函数()14f xxx 1解不等式()2f x；2求函数()yf x的最值 2.绝对值三角不等式：探究|a，|b，|ab之间的关系.0a b时,如以下图,容易得：|abab.0a b时,如图,容易得：|abab.0a b时,显然有：|abab.综上,得 定理 1 如果,a bR,那么|abab.当且仅当时,等号成立.在上面不等式中,用向量,a b分别替换实数,a b,那么当,a b不共线时,由向量加法三角形法那么:向量,a b,ab构成三角形,因此有|abab 它的几何意义就是:定理 1 的证明:意义理解绝对值三角不等式会用绝对值不等式

9、解决一些简单问题教学重点定理的证明及几何意义教学难点换元思想的渗透教学过程一引入证明一个含有绝对值的不等式成立除了要应用一般不等式的根本性质之外经常还要用到关于绝以从正负数和零的乘法除法法那么直接推出而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出因只要能够证明对于任意实数都成立即可我们将在下面的例题中研究它的证明现在请同学们讨论一个问题设为实数和哪个大显然当且仅当时等号和的性质二典型例题例证明证明如果那么所以如果那么所以根据的结果有就是所以例证明例证明思考如何利用数轴给出例的几何解释设为数轴上的个点分别表示数那么线段当且仅当在之间时等号成立这就是上面的例特别的取即为原-word.zl-定理 2 如果,

10、a b cR,那么|a ca bb c .当且仅当时,等号成立.3、定理应用 例 2 1,a bR证明baba，2 2,2cbycax，求证.)()(cbayx。课后练习：1.当1babaRba时，不等式、成立的充要条件是 Aab 0 Bab220 Cab 0 Dab 0 2.对任意实数x，|1|2|xxa 恒成立，那么a的取值范围是；意义理解绝对值三角不等式会用绝对值不等式解决一些简单问题教学重点定理的证明及几何意义教学难点换元思想的渗透教学过程一引入证明一个含有绝对值的不等式成立除了要应用一般不等式的根本性质之外经常还要用到关于绝以从正负数和零的乘法除法法那么直接推出而绝对值的差的性质可以

11、利用和的性质导出因只要能够证明对于任意实数都成立即可我们将在下面的例题中研究它的证明现在请同学们讨论一个问题设为实数和哪个大显然当且仅当时等号和的性质二典型例题例证明证明如果那么所以如果那么所以根据的结果有就是所以例证明例证明思考如何利用数轴给出例的几何解释设为数轴上的个点分别表示数那么线段当且仅当在之间时等号成立这就是上面的例特别的取即为原-word.zl-3.对任意实数x，|1|3|xxa 恒成立，那么a的取值范围是 4.假设关于x的不等式|4|3|xxa 的解集不是空集，那么a的取值范围是 .5方程223xxx223xxx的解集为,不等式22|xxxx的解集是 .6方程1|12|12|a

12、xx有实数解，那么a的取值范围为。7.画出不等式1yx的图形，并指出其解的范围。利用不等式的图形解不等式 1、111xx;2、.12 yx .8解不等式：1、112xx;2、112xx;3、321xx;4、.0312xx 意义理解绝对值三角不等式会用绝对值不等式解决一些简单问题教学重点定理的证明及几何意义教学难点换元思想的渗透教学过程一引入证明一个含有绝对值的不等式成立除了要应用一般不等式的根本性质之外经常还要用到关于绝以从正负数和零的乘法除法法那么直接推出而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出因只要能够证明对于任意实数都成立即可我们将在下面的例题中研究它的证明现在请同学们讨论一个问题设为实数

13、和哪个大显然当且仅当时等号和的性质二典型例题例证明证明如果那么所以如果那么所以根据的结果有就是所以例证明例证明思考如何利用数轴给出例的几何解释设为数轴上的个点分别表示数那么线段当且仅当在之间时等号成立这就是上面的例特别的取即为原-word.zl-.9 1、.6,4ayax 求证：ayx 32。2、.6,4cbycax求证：cbayx3232。3、.3,3,3scCsbBsaA 求证：scbaCBA)()(意义理解绝对值三角不等式会用绝对值不等式解决一些简单问题教学重点定理的证明及几何意义教学难点换元思想的渗透教学过程一引入证明一个含有绝对值的不等式成立除了要应用一般不等式的根本性质之外经常还要

14、用到关于绝以从正负数和零的乘法除法法那么直接推出而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出因只要能够证明对于任意实数都成立即可我们将在下面的例题中研究它的证明现在请同学们讨论一个问题设为实数和哪个大显然当且仅当时等号和的性质二典型例题例证明证明如果那么所以如果那么所以根据的结果有就是所以例证明例证明思考如何利用数轴给出例的几何解释设为数轴上的个点分别表示数那么线段当且仅当在之间时等号成立这就是上面的例特别的取即为原-word.zl-.101、.,ayax求证：.axy 2、.0,cychx求证：.hyx 意义理解绝对值三角不等式会用绝对值不等式解决一些简单问题教学重点定理的证明及几何意义教学难点换

15、元思想的渗透教学过程一引入证明一个含有绝对值的不等式成立除了要应用一般不等式的根本性质之外经常还要用到关于绝以从正负数和零的乘法除法法那么直接推出而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出因只要能够证明对于任意实数都成立即可我们将在下面的例题中研究它的证明现在请同学们讨论一个问题设为实数和哪个大显然当且仅当时等号和的性质二典型例题例证明证明如果那么所以如果那么所以根据的结果有就是所以例证明例证明思考如何利用数轴给出例的几何解释设为数轴上的个点分别表示数那么线段当且仅当在之间时等号成立这就是上面的例特别的取即为原-word.zl-参考答案:课后练习 1.B.2、a3 3、a4 4、a7 5、-3 x

16、=-2或 x=0 x2 6、-3=a-1 7、先考虑不等式在平面直角坐标系内第一象限的情况。在第一象限内不等式等价于：0 x，0y，1yx.其图形是由第一象限中直线xy 1下方的点所组成。同样可画出二、三、四象限的情况。从而得到不等式1yx的图形是以原点 O 为中心，四个等点分别在坐标轴上的正方形。不等式解的范围一目了然。意义理解绝对值三角不等式会用绝对值不等式解决一些简单问题教学重点定理的证明及几何意义教学难点换元思想的渗透教学过程一引入证明一个含有绝对值的不等式成立除了要应用一般不等式的根本性质之外经常还要用到关于绝以从正负数和零的乘法除法法那么直接推出而绝对值的差的性质可以利用和的性质导

17、出因只要能够证明对于任意实数都成立即可我们将在下面的例题中研究它的证明现在请同学们讨论一个问题设为实数和哪个大显然当且仅当时等号和的性质二典型例题例证明证明如果那么所以如果那么所以根据的结果有就是所以例证明例证明思考如何利用数轴给出例的几何解释设为数轴上的个点分别表示数那么线段当且仅当在之间时等号成立这就是上面的例特别的取即为原-word.zl-探究：利用不等式的图形解不等式 1.111xx;2.12 yx 答案：1、-0.5x0.5 2.为一菱形区域。8、1、0 x-1/2 3、x0 4、x-2.9 1、.6,4ayax 求证：ayx 32。证明 6,4ayax，23,22ayax，由例 1

18、 及上式，aaayxyx223232。2、3 解答略 10、解答略 意义理解绝对值三角不等式会用绝对值不等式解决一些简单问题教学重点定理的证明及几何意义教学难点换元思想的渗透教学过程一引入证明一个含有绝对值的不等式成立除了要应用一般不等式的根本性质之外经常还要用到关于绝以从正负数和零的乘法除法法那么直接推出而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出因只要能够证明对于任意实数都成立即可我们将在下面的例题中研究它的证明现在请同学们讨论一个问题设为实数和哪个大显然当且仅当时等号和的性质二典型例题例证明证明如果那么所以如果那么所以根据的结果有就是所以例证明例证明思考如何利用数轴给出例的几何解释设为数轴上的个点分别表示数那么线段当且仅当在之间时等号成立这就是上面的例特别的取即为原