《复变函数论》试题库_中学教育-中考.pdf

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1、优秀学习资料 欢迎下载 复变函数考试试题（一）一、判断题.（正确者在括号内打，错误者在括号内打，每题 2 分）1当复数0z 时，其模为零，辐角也为零.（）2 若0z是多项式110()nnnnP za zaza(0)na 的根，则0z也()P z是的根.（）3如果函数()f z为整函数，且存在实数M，使得Re()f zM，则()f z为一常数.（）4 设函数1()f z与2()fz在区域内D解析，且在D内的一小段弧上相等，则对任意的zD，有1()f z2()fz.（）5若z 是函数()f z的可去奇点，则Re()0zs f z.（）二、填空题.（每题 2 分）123456iiiii _.2 设0

2、zxiy ，且arg,arctan22yzx ，当0,0 xy时，argarctanyx_.3函数1wz将z平面上的曲线22(1)1xy变成w平面上的曲线 _.4方程440(0)zaa的不同的根为_.5(1)ii_.6级数202(1)nnz的收敛半径为 _.7cos nz在zn（n为正整数）内零点的个数为_.8函数336()6sin(6)f zzzz的零点0z 的阶数为_.9 设a为 函 数()()()zf zz的 一 阶 极 点，且()0,()0,()0aaa，则()Re()z afzsf z_.10设a为函数()f z的m阶极点，则()Re()z afzsf z_.三、计算题（50 分）优

3、秀学习资料 欢迎下载 1设221(,)ln()2u x yxy。求(,)v x y，使得()(,)(,)f zu x yiv x y为解析函数，且满足1(1)ln22fi.其中zD（D为复平面内的区域）.（15 分）2求下列函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶）.（10 分）（1）2tan z；（5 分）（2）111zzee.（5 分）3计算下列积分.（15 分）（1）1924434(1)(2)zzdzzz （8 分），（2）201cosd （7 分）.4叙述儒歇定理并讨论方程742520zzz 在1z 内根的个数.（10 分）四、证明题 1设函数()f z在zR内解析，令()ma

4、x(),(0)zrM rf zrR。证明：()M r在区间0,)R上是一个上升函数，且若存在1r及2r（120rrR ），使12()()M rM r，则()f z 常数.（10 分）复变函数考试试题（二）二、判断题。（正确者在括号内打，错误者在括号内打，每题 2 分）1设复数111zxiy 及222zxiy，若12xx或12yy，则称1z与2z是相等的复数。（）2函数()Ref zz在复平面上处处可微。（）322sincos1zz且sin1,cos1zz。（）4设函数()f z是有界区域D内的非常数的解析函数，且在闭域DDD 上连续，则存在0M，使得对任意的zD，有()f zM。（）5若函数(

5、)f z是非常的整函数，则()f z必是有界函数。（）二、填空题。（每题 2 分）123456iiiii _。2 设0zxiy ，且arg,arctan22yzx ，当0,0 xy时，零辐角也为零若是多项式的根则也是的根如果函数为整函数且存在实数使得则为一常数设函数与在区域内解析且在内的一小段弧上相等则对任意的有若是函数的可去奇点则二填空题每题分设且当时函数将平面上的曲线变成平面上的则设为函数的阶极点则三计算题分优秀学习资料欢迎下载设求使得为解析函数且满足其中为复平面内的区域分求下列函数的奇点并确定其类型对于极点要指出它们的阶分分分计算下列积分分分分叙述儒歇定理并讨论方程在内根的个题正确者在括

6、号内打错误者在括号内打每题分设复数及若或则称与是相等的复数函数在复平面上处处可微且设函数是有界区域内的非常数的解析函数且在闭域上连续则存在使得对任意的有若函数是非常的整函数则必是有界函数二填优秀学习资料 欢迎下载 argarctanyx_。3 若已知222211()(1)(1)f zxiyxyxy，则其关于变量z的表达式为 _。4nz以z _为支点。5若ln2zi，则z _。61zdzz_。7级数2461zzz 的收敛半径为_。8cos nz在zn（n为正整数）内零点的个数为_。9若za为函数()f z的一个本质奇点，且在点a的充分小的邻域内不为零，则za是1()f z的_奇点。10设a为函数

7、()f z的n阶极点，则()Re()z afzsf z_。三、计算题（50 分）1设区域D是沿正实轴割开的z平面，求函数5wz在D内满足条件511 的单值连续解析分支在1zi 处之值。（10 分）2求下列函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶），并求它们留数。（15 分）（1）2n()1Lzf zz的各解析分支在1z 各有怎样的孤立奇点，并求这些点的留数（10分）（2）求10Reznzesz。（5 分）3计算下列积分。（15 分）（1）72322(1)(2)zzdzzz （8 分），（2）2222(0)()x dxaxa （7 分）。4叙述儒歇定理并讨论方程66100zz在1z 内根

8、的个数。（10 分）四、证明题（20 分）零辐角也为零若是多项式的根则也是的根如果函数为整函数且存在实数使得则为一常数设函数与在区域内解析且在内的一小段弧上相等则对任意的有若是函数的可去奇点则二填空题每题分设且当时函数将平面上的曲线变成平面上的则设为函数的阶极点则三计算题分优秀学习资料欢迎下载设求使得为解析函数且满足其中为复平面内的区域分求下列函数的奇点并确定其类型对于极点要指出它们的阶分分分计算下列积分分分分叙述儒歇定理并讨论方程在内根的个题正确者在括号内打错误者在括号内打每题分设复数及若或则称与是相等的复数函数在复平面上处处可微且设函数是有界区域内的非常数的解析函数且在闭域上连续则存在使得

9、对任意的有若函数是非常的整函数则必是有界函数二填优秀学习资料 欢迎下载 1讨论函数()zf ze在复平面上的解析性。（10 分）2证明：21()2!nznnCz edzinn，此处C是围绕原点的一条简单曲线。（10 分）复变函数考试试题（三）一、填空题（每题分）设(cossin)zri，则1z_ 设函数()(,)(,)f zu x yiv x y，00Auiv，000zxiy，则0lim()zzf zA的充要条件是_ 设函数()f z在单连通区域D内解析，则()f z在D内沿任意一条简单闭曲线C的积分()Cf z dz _ 设za为()f z的极点，则lim()zaf z_ 设()sinf z

10、zz，则0z 是()f z的_阶零点 设21()1f zz，则()f z在0z 的邻域内的泰勒展式为_ 设zazab ，其中,a b为正常数，则点z的轨迹曲线是_ 设sincos66zi，则z的三角表示为_ 40coszzdz_ 设2()zef zz，则()f z在0z 处的留数为_ 二、计算题 计算下列各题（分）(1)cos i；(2)ln(23)i;(3)33i 2求解方程380z （分）设22uxyxy，验证u是调和函数，并求解析函数()f zuiv，使之()1f ii （分）计算积分（10 分）(1)2()Cxiy dz，其中C是沿2yx由原点到点1zi 的曲线 零辐角也为零若是多项式

11、的根则也是的根如果函数为整函数且存在实数使得则为一常数设函数与在区域内解析且在内的一小段弧上相等则对任意的有若是函数的可去奇点则二填空题每题分设且当时函数将平面上的曲线变成平面上的则设为函数的阶极点则三计算题分优秀学习资料欢迎下载设求使得为解析函数且满足其中为复平面内的区域分求下列函数的奇点并确定其类型对于极点要指出它们的阶分分分计算下列积分分分分叙述儒歇定理并讨论方程在内根的个题正确者在括号内打错误者在括号内打每题分设复数及若或则称与是相等的复数函数在复平面上处处可微且设函数是有界区域内的非常数的解析函数且在闭域上连续则存在使得对任意的有若函数是非常的整函数则必是有界函数二填优秀学习资料 欢

12、迎下载(2)120()ixyix dz，积分路径为自原点沿虚线轴到i，再由i沿水平方向向右到1 i 试将函数1()(1)(2)f zzz分别在圆环域01z 和12z 内展开为洛朗级数（分）计算下列积分（分）(1)2252(1)zzdzz z；(2)224sin(1)zzdzzz 计算积分241xdxx（分）求下列幂级数的收敛半径（分）(1)11nnnz；(2)1(1)!nnnzn 讨论2()f zz的可导性和解析性（分）三、证明题 设函数()f z在区域D内解析，()f z为常数，证明()f z必为常数（分）试证明0azazb 的轨迹是一直线，其中a为复常数，b为实常数（分）复变函数考试试题（

13、四）一、填空题（每题分）设(cossin)zri，则nz _ 设函数()(,)(,)f zu x yiv x y，00Auiv，000zxiy，则0lim()zzf zA的充要条件_ 设函数()f z在单连通区域D内解析，则()f z在D内沿任意一条简单闭曲线C的积分()Cf z dz _ 设za为()f z的可去奇点，lim()zaf z_ 设22()(1)zf zz e，则0z 是()f z的_阶零点 设21()1f zz，则()f z在0z 的邻域内的泰勒展式为_ 设zazab ，其中,a b为正常数，则点z的轨迹曲线是_ 设sincoszi，则z的三角表示为 _ 零辐角也为零若是多项式

14、的根则也是的根如果函数为整函数且存在实数使得则为一常数设函数与在区域内解析且在内的一小段弧上相等则对任意的有若是函数的可去奇点则二填空题每题分设且当时函数将平面上的曲线变成平面上的则设为函数的阶极点则三计算题分优秀学习资料欢迎下载设求使得为解析函数且满足其中为复平面内的区域分求下列函数的奇点并确定其类型对于极点要指出它们的阶分分分计算下列积分分分分叙述儒歇定理并讨论方程在内根的个题正确者在括号内打错误者在括号内打每题分设复数及若或则称与是相等的复数函数在复平面上处处可微且设函数是有界区域内的非常数的解析函数且在闭域上连续则存在使得对任意的有若函数是非常的整函数则必是有界函数二填优秀学习资料 欢

15、迎下载 10izze dz_ 设21()sinf zzz，则()f z在0z 处的留数为_ 二、计算题 计算下列各题（分）(1)(34)Lni；(2)16ie;(3)1(1)ii 2求解方程320z （分）设2(1)uxy，验证u是调和函数，并求解析函数()f zuiv，使之(2)fi（分）计算积分120()ixyix dz，其中路径为（）自原点到点1 i的直线段；(2)自原点沿虚轴到i，再由i沿水平方向向右到1 i（10 分）试将函数1()(2)f zz在1z 的邻域内的泰勒展开式（分）计算下列积分（分）(1)22sin()2zzdzz；(2)2242(3)zzdzzz 计算积分2053co

16、sd（分）求下列幂级数的收敛半径（分）(1)1(1)nnniz；(2)21(!)nnnnzn 设3232()()f zmynx yi xlxy为复平面上的解析函数，试确定l，m，n的值（分）三、证明题 设函数()f z在区域D内解析，()f z在区域D内也解析，证明()f z必为常数（分）试证明0azazb 的轨迹是一直线，其中a为复常数，b为实常数（分）零辐角也为零若是多项式的根则也是的根如果函数为整函数且存在实数使得则为一常数设函数与在区域内解析且在内的一小段弧上相等则对任意的有若是函数的可去奇点则二填空题每题分设且当时函数将平面上的曲线变成平面上的则设为函数的阶极点则三计算题分优秀学习资料欢迎下载设求使得为解析函数且满足其中为复平面内的区域分求下列函数的奇点并确定其类型对于极点要指出它们的阶分分分计算下列积分分分分叙述儒歇定理并讨论方程在内根的个题正确者在括号内打错误者在括号内打每题分设复数及若或则称与是相等的复数函数在复平面上处处可微且设函数是有界区域内的非常数的解析函数且在闭域上连续则存在使得对任意的有若函数是非常的整函数则必是有界函数二填