第四节--空间曲线及其方程_高等教育-实验设计.pdf

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1、精品资料 欢迎下载 第四节 空间曲线及其方程 一 空间曲线的一般方程 曲面,0F x y z 和,0G x y z 的交线C可表示为,0,0.F x y zG x y z 它称为空间曲线C的一般方程.例 1 方程组221,236xyxz 表示何曲线?解 221xy表示母线平行于z轴的圆柱面,其准线是xy面上的圆221xy.236xz表示一个母线平行于y的柱面,其准线是xz面上的直线236xz,因而236xz在空间表示一个平面.221,236xyxz 是上述圆柱面和平面的交线.例 2 方程组222222,22zaxyaaxy 表示何曲线?解 精品资料 欢迎下载 二 空间曲线的参数方程 ,xx t

2、yy tzz t 叫做空间曲线的参数方程，t称为参数.例 3 若空间一点M在圆柱面222xya上以角速度绕z轴旋转,同时又以线速度v沿着平行于z轴的正方向上升(和v均为常数),则点M的轨迹叫做螺旋线.试建立其参数方程.OtAMaaxy 解 设t为时间.当0t 时,设M位于x轴上的,0,0A a处.经过时间t,M由A运动到,M x y z.记M在xy面上的投影为,0Mx y,则 方程例方程组表示何曲线解表示母线平行于轴的圆柱面其准线是面上的圆表示一个母线平行于的柱面其准线是面上的直线因而柱面和平面的交线在空间表示一个平面是上述圆表示何曲线例方程组解精品资料欢迎下载二空间曲线的参轴的正方向上升和均

3、为常数则点的轨迹叫做螺旋线试建立其参数方程解设为时间当时设位于轴上的处经过时间由运动到记在面上的投影为则精品资料欢迎下载于是螺旋线的参数方程为注若设则该方程变为为常数而是参数这说明曲线母线垂直于平面的柱面称为曲线关于平面的投影柱面和的交线称为在上的投影曲线或投影设有空间曲线由此消去得关于面的投影柱面于是在面上的投影曲线为精品资料欢迎下载同理若由消去则得关于面的投影柱面和在面上的投影若精品资料 欢迎下载 coscos,sinsin,.xOMAOMatyOMAOMatzM Mvt 于是,螺旋线的参数方程为 cos,sin,.xatyatzvt 注 若设t,则该方程变为 cos,sin,.xayaz

4、b 这里,vb为常数,而是参数.这说明曲线的参数方程不唯一,参数的选择也不唯一.曲面的参数方程(删)三 空间曲线在坐标面上的投影 以空间曲线C为准线且母线垂直于平面的柱面S称为曲线C关于平面的投影柱面.S和的交线C称为C在上的投影曲线或投影.设有空间曲线.,0,:,0.F x y zCG x y z 由此消去z,得C关于xy面的投影柱面 :,0SP x y.于是,C在xy面上的投影曲线为 ,0,:0.P x yCz 方程例方程组表示何曲线解表示母线平行于轴的圆柱面其准线是面上的圆表示一个母线平行于的柱面其准线是面上的直线因而柱面和平面的交线在空间表示一个平面是上述圆表示何曲线例方程组解精品资料

5、欢迎下载二空间曲线的参轴的正方向上升和均为常数则点的轨迹叫做螺旋线试建立其参数方程解设为时间当时设位于轴上的处经过时间由运动到记在面上的投影为则精品资料欢迎下载于是螺旋线的参数方程为注若设则该方程变为为常数而是参数这说明曲线母线垂直于平面的柱面称为曲线关于平面的投影柱面和的交线称为在上的投影曲线或投影设有空间曲线由此消去得关于面的投影柱面于是在面上的投影曲线为精品资料欢迎下载同理若由消去则得关于面的投影柱面和在面上的投影若精品资料 欢迎下载 同理,若由,0,:,0F x y zCG x y z消去x,则得C关于yz面的投影柱面 :,0TQ y z 和C在yz面上的投影 ,0,:0.Q y zC

6、x 若由,0,:,0F x y zCG x y z消去y,则得C关于xz面的投影柱面 :,0UR x z 和C在xz面上的投影 ,0,:0.R x zCy 例 4 求曲线 2222221,:111xyzCxyz 在xy面上的投影曲线.解 用第一式减去第二式,得 1yz.于是,1zy.代入2221xyz,得 方程例方程组表示何曲线解表示母线平行于轴的圆柱面其准线是面上的圆表示一个母线平行于的柱面其准线是面上的直线因而柱面和平面的交线在空间表示一个平面是上述圆表示何曲线例方程组解精品资料欢迎下载二空间曲线的参轴的正方向上升和均为常数则点的轨迹叫做螺旋线试建立其参数方程解设为时间当时设位于轴上的处经

7、过时间由运动到记在面上的投影为则精品资料欢迎下载于是螺旋线的参数方程为注若设则该方程变为为常数而是参数这说明曲线母线垂直于平面的柱面称为曲线关于平面的投影柱面和的交线称为在上的投影曲线或投影设有空间曲线由此消去得关于面的投影柱面于是在面上的投影曲线为精品资料欢迎下载同理若由消去则得关于面的投影柱面和在面上的投影若精品资料 欢迎下载 22220 xyy,从而所求的投影方程为 22220,0.xyyz 注 1 2222221,:111 xyzCxyz是球面2221xyz和 222111 xyz的交线,因而C是一个圆.注 2 1 yz是曲线C向yz面的投影柱面(平面),它是C所在的平面.方程例方程组

8、表示何曲线解表示母线平行于轴的圆柱面其准线是面上的圆表示一个母线平行于的柱面其准线是面上的直线因而柱面和平面的交线在空间表示一个平面是上述圆表示何曲线例方程组解精品资料欢迎下载二空间曲线的参轴的正方向上升和均为常数则点的轨迹叫做螺旋线试建立其参数方程解设为时间当时设位于轴上的处经过时间由运动到记在面上的投影为则精品资料欢迎下载于是螺旋线的参数方程为注若设则该方程变为为常数而是参数这说明曲线母线垂直于平面的柱面称为曲线关于平面的投影柱面和的交线称为在上的投影曲线或投影设有空间曲线由此消去得关于面的投影柱面于是在面上的投影曲线为精品资料欢迎下载同理若由消去则得关于面的投影柱面和在面上的投影若精品资

9、料 欢迎下载 注3 22220 xyy是C向xy面的投影柱面,即221211124yx(椭圆柱面).于是,投影曲线为22121,11240yxz(椭圆).方程例方程组表示何曲线解表示母线平行于轴的圆柱面其准线是面上的圆表示一个母线平行于的柱面其准线是面上的直线因而柱面和平面的交线在空间表示一个平面是上述圆表示何曲线例方程组解精品资料欢迎下载二空间曲线的参轴的正方向上升和均为常数则点的轨迹叫做螺旋线试建立其参数方程解设为时间当时设位于轴上的处经过时间由运动到记在面上的投影为则精品资料欢迎下载于是螺旋线的参数方程为注若设则该方程变为为常数而是参数这说明曲线母线垂直于平面的柱面称为曲线关于平面的投影

10、柱面和的交线称为在上的投影曲线或投影设有空间曲线由此消去得关于面的投影柱面于是在面上的投影曲线为精品资料欢迎下载同理若由消去则得关于面的投影柱面和在面上的投影若精品资料 欢迎下载 x212y12214112121 例 5 设一个立体由上半球面224zxy 和锥面223zxy所围成，求它在xy面上的投影.方程例方程组表示何曲线解表示母线平行于轴的圆柱面其准线是面上的圆表示一个母线平行于的柱面其准线是面上的直线因而柱面和平面的交线在空间表示一个平面是上述圆表示何曲线例方程组解精品资料欢迎下载二空间曲线的参轴的正方向上升和均为常数则点的轨迹叫做螺旋线试建立其参数方程解设为时间当时设位于轴上的处经过时

11、间由运动到记在面上的投影为则精品资料欢迎下载于是螺旋线的参数方程为注若设则该方程变为为常数而是参数这说明曲线母线垂直于平面的柱面称为曲线关于平面的投影柱面和的交线称为在上的投影曲线或投影设有空间曲线由此消去得关于面的投影柱面于是在面上的投影曲线为精品资料欢迎下载同理若由消去则得关于面的投影柱面和在面上的投影若精品资料 欢迎下载 解 224zxy 和223zxy的交线为22224,:3.zxyCzxy 消去z,得221xy,它是从C向xy面所作的投影柱面(圆柱面).C在xy面上的投影曲线为221,:0.xyCz(xy面上的单位圆).所求立体在xy面上的投影即该圆的内部.方程例方程组表示何曲线解表

12、示母线平行于轴的圆柱面其准线是面上的圆表示一个母线平行于的柱面其准线是面上的直线因而柱面和平面的交线在空间表示一个平面是上述圆表示何曲线例方程组解精品资料欢迎下载二空间曲线的参轴的正方向上升和均为常数则点的轨迹叫做螺旋线试建立其参数方程解设为时间当时设位于轴上的处经过时间由运动到记在面上的投影为则精品资料欢迎下载于是螺旋线的参数方程为注若设则该方程变为为常数而是参数这说明曲线母线垂直于平面的柱面称为曲线关于平面的投影柱面和的交线称为在上的投影曲线或投影设有空间曲线由此消去得关于面的投影柱面于是在面上的投影曲线为精品资料欢迎下载同理若由消去则得关于面的投影柱面和在面上的投影若精品资料 欢迎下载

13、作业 P.324 1(1),(2),2,3,4,7,8 提示 2(2)作图后易理解.3 由已知的方程组分别消去x和y即可.4 由已知方程消去z.7 参照例 2.2220zaxy 表上半球面222zaxy 和平面0z 所围的半球体的内部,22xyax表圆柱体220 xyax的内部.方程例方程组表示何曲线解表示母线平行于轴的圆柱面其准线是面上的圆表示一个母线平行于的柱面其准线是面上的直线因而柱面和平面的交线在空间表示一个平面是上述圆表示何曲线例方程组解精品资料欢迎下载二空间曲线的参轴的正方向上升和均为常数则点的轨迹叫做螺旋线试建立其参数方程解设为时间当时设位于轴上的处经过时间由运动到记在面上的投影为则精品资料欢迎下载于是螺旋线的参数方程为注若设则该方程变为为常数而是参数这说明曲线母线垂直于平面的柱面称为曲线关于平面的投影柱面和的交线称为在上的投影曲线或投影设有空间曲线由此消去得关于面的投影柱面于是在面上的投影曲线为精品资料欢迎下载同理若由消去则得关于面的投影柱面和在面上的投影若