微分的概念、性质及应用_高等教育-微积分.pdf

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1、 第 二 章 第 6 节：函数的微分 教学目的：掌握微分的定义，了解微分的运算法则，会计算函数的微分，会利用微分作近似计算 教学重点：微分的计算 教学难点：微分的定义，利用微分作近似计算 教学内容：1.微分的定义 计算函数增量 00 xfxxfy是我们非常关心的。一般说来函数的增量的计算是比较复杂的，我们希望寻求计算函数增量的近似计算方法。先分析一个具体问题，一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由0 x变到xx0（图 2-1），问此薄片的面积改变了多少？设此薄片的边长为x，面积为A，则A是x的函数：2xA。薄片受温度变化的影响时面积的改变量，可以看成是当自变量x自0 x取得增量x时，函数

2、A相应的增量A，即 2020202xxxxxxA。从上式可以看出，A分成两部分，第一部分Ax 02是A的线性函数，即图中带有斜线的两个矩形面积之和，而第二部分2x在图中是带有交叉斜线的小正方形的面积，当0 x时，第二部分2x是比x高阶的无穷小，即 xx02。由此可见，如果边长改变很微小，即x很小时，面积的改变量A可近似地用第一部分来代替。一般地，如果函数 xfy 满足一定条件，则函数的增量y可表示为 xxAy0，其中A是不依赖于x的常数，因此xA是x的线性函数，且它与y之差 图 2-1 欢迎下载 2 xxAy0，是比x高阶的无穷小。所以，当0A，且x很小时，我们就可近似地用xA来代替y。定义

3、设函数 xfy 在某区间内有定义，xx0及 x0在这区间内，如果函数的增量 00 xfxxfy 可表示为 xxAy0，其中A是不依赖于x的常数，而x0是比x高阶的无穷小，那么称函数 xfy 在点0 x是可微的，而xA叫做函数 xfy 在点0 x相应于自变量增量x的微分，记作dy，即 xAdy。定理 1 函数 xf在点0 x可微的充分必要条件是函数 xf在点0 x可导，且当 xf在点0 x可微时，其微分一定是 xxfdy0。设函数 xfy 在点0 x可微，则按定义有式成立。式两边除以x，得 xxAxy0。于是，当0 x时，由上式就得到 00limxfxyAx。因此，如果函数 xf在点0 x可微，

4、则 xf在点0 x也一定可导（即0 xf 存在），且0 xfA。反之，如果 xfy 在点0 x可导，即 00limxfxyx 存在，根据极限与无穷小的关系，上式可写成 0 xfxy，其中0（当0 x）。由此又有 xxxfy0。学重点微分的计算教学难点微分的定义利用微分作近似计算教学内容微分的定义计算函数增量是我们非常关心的一般说来函数的增量的计算是比较复杂的我们希望寻求计算函数增量的近似计算方法先分析一个具体问题一块正方形金温度变化的影响时面积的改变量可以看成是当自变量自取得增量时函数相应的增量图即从上式可以看出分成两部分第一部分是的线性函数即图中带有斜线的两个形面积之和而第二部分在图中是带有

5、交叉斜线的小正方形的面积当时第地如果函数满足一定条件则函数的增量可表示为其中是不依赖于的常数因此是的线性函数且它与之差欢迎下载是比高阶的无穷小所以当且很小时我们就可近似地用来代替定义设函数在某区间内有定义及在这区间内如果函数的增量可 欢迎下载 3 因xx0，且不依赖于x，故上式相当于式，所以 xf在点0 x也是可微的。由此可见，函数 xf在点0 x可微的充分必要条件是函数 xf在点0 x可导，且当 xf在点0 x可微时，其微分一定是 xxfdy0。例 1 设xeyxcos，求dy 解：xexedxdyxxsincos dxxxedyx)sin(cos 微分在近似计算中的应用：在00 xf的条件

6、下，以微分xxfdy0近似代替增量 00 xfxxfy时，相对误差当0 x时趋于零。因此，在x很小时，有精确度较好的近似等式 dyy。即 xxfxfxxf000 或xxfxfxf)()()(00 特别地，当xx,00很小时，有xffxf)()()(00 （3）（3）式是计算零点附近的函数值 当x很小时，有下列近似计算公式：xnxn111 xx sin xtgx xex 1 xx )ln(1 例 证明：xnxn111。（当x很小时）令 nxxf 1)(因为nxnffxn111010011|)()()(由xffxf)()()(00 学重点微分的计算教学难点微分的定义利用微分作近似计算教学内容微分的

7、定义计算函数增量是我们非常关心的一般说来函数的增量的计算是比较复杂的我们希望寻求计算函数增量的近似计算方法先分析一个具体问题一块正方形金温度变化的影响时面积的改变量可以看成是当自变量自取得增量时函数相应的增量图即从上式可以看出分成两部分第一部分是的线性函数即图中带有斜线的两个形面积之和而第二部分在图中是带有交叉斜线的小正方形的面积当时第地如果函数满足一定条件则函数的增量可表示为其中是不依赖于的常数因此是的线性函数且它与之差欢迎下载是比高阶的无穷小所以当且很小时我们就可近似地用来代替定义设函数在某区间内有定义及在这区间内如果函数的增量可 欢迎下载 4 故，当x很小时，xnxn111 例 2 一个

8、充好气的气体，4rm，升空后，因外面气压降低，气球半径r增大了 10cm，求体积增加了多少？解：因为334rV 所以xrxrdvV23434)()(.32201041434m 例 3 求24.的近似值 解 设xxf)(,取2040.,xx，则 414242124)()()(.ffxxfx 所以 0524244424.).)()(.ff 或者：0520505012050120501424.).(.).(.2.微分的几何意义 为了对微分有比较直观的了解，我们来说明微分的几何意义。在直角坐标系中，函数 xfy 的图形是一条曲线。对于某一固定的0 x值，曲线上有一个确定点00yxM，当自变量x有微小增

9、量x时，就得到曲线上另一点yyxxN00，.从图 2-2可知：xMQ，yQN。过 M点作曲线的切线,它的倾角为，则 0tanxfxMQQP，即 QPdy。由此可见，当y是曲线 xfy 上的 M点的纵坐标的增量时，dy就是曲线的切线上 M图 2-2 学重点微分的计算教学难点微分的定义利用微分作近似计算教学内容微分的定义计算函数增量是我们非常关心的一般说来函数的增量的计算是比较复杂的我们希望寻求计算函数增量的近似计算方法先分析一个具体问题一块正方形金温度变化的影响时面积的改变量可以看成是当自变量自取得增量时函数相应的增量图即从上式可以看出分成两部分第一部分是的线性函数即图中带有斜线的两个形面积之和

10、而第二部分在图中是带有交叉斜线的小正方形的面积当时第地如果函数满足一定条件则函数的增量可表示为其中是不依赖于的常数因此是的线性函数且它与之差欢迎下载是比高阶的无穷小所以当且很小时我们就可近似地用来代替定义设函数在某区间内有定义及在这区间内如果函数的增量可 欢迎下载 5 点的纵坐标的相应增量。当x很小时，dyy 比x小得多。因此在点M的邻近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。3.微分运算法则及微分公式表 由 dxxfdy，很容易得到微分的运算法则及微分公式表（当vu、都可导）：dvduvud，CduCud，udvvduvud，2vudvvduvud。微分公式表：dxxxd1，xdxxdcossi

11、n，xdxxdsincos，xdxxd2sectan，xdxxd2csccot，xdxxxdtansecsec，xdxxxdcotcsccsc，adxaadxxln，dxeedxx，dxaxxdaln1log，dxxxd1ln，dxxxd211arcsin，dxxxd211arccos，学重点微分的计算教学难点微分的定义利用微分作近似计算教学内容微分的定义计算函数增量是我们非常关心的一般说来函数的增量的计算是比较复杂的我们希望寻求计算函数增量的近似计算方法先分析一个具体问题一块正方形金温度变化的影响时面积的改变量可以看成是当自变量自取得增量时函数相应的增量图即从上式可以看出分成两部分第一部分是

12、的线性函数即图中带有斜线的两个形面积之和而第二部分在图中是带有交叉斜线的小正方形的面积当时第地如果函数满足一定条件则函数的增量可表示为其中是不依赖于的常数因此是的线性函数且它与之差欢迎下载是比高阶的无穷小所以当且很小时我们就可近似地用来代替定义设函数在某区间内有定义及在这区间内如果函数的增量可 欢迎下载 6 dxxxd211arctan，dxxxarcd211cot。注：上述公式必须记牢，对以后学习积分学很有好处，而且上述公式要从右向左背。例如：xddxx21，xddxx112，baxdadx1，xxdaadxaln1。4.复合函数微分法则 与复合函数的 求导法则相应的复合函数的微分法则可推导

13、如下：设 ufy 及 xu都可导，则复合函数 xfy的微分为 dxxufdxydyx。由于 dudxx，所以，复合函数 xfy的微分公式也可以写成 duufdy或duydyu。由此可见，无论u是自变量还是另一个变量的可微函数，微分形式 duufdy保持不变。这一性质称为微分形式不变性。这性质表示，当变换自变量时（即设u为另一变量的任一可微函数时），微分形式 duufdy并不改变。例 4 求yexsin的微分 解 xdxexdeeddyxxxcossin)(sinsinsin 自我训练：（1）xey 1ln，求dy。（2）xaxy22ln，求0 xdy。（3）有一半径为R的铁球，镀上 0.01c

14、m 厚的银，问大约用多少体积的银。小结：本节讲述了微分的定义，练习了微分的运算和利用微分作近似计算 希望大家熟记微分公式，为以后学习积分大好基础 学重点微分的计算教学难点微分的定义利用微分作近似计算教学内容微分的定义计算函数增量是我们非常关心的一般说来函数的增量的计算是比较复杂的我们希望寻求计算函数增量的近似计算方法先分析一个具体问题一块正方形金温度变化的影响时面积的改变量可以看成是当自变量自取得增量时函数相应的增量图即从上式可以看出分成两部分第一部分是的线性函数即图中带有斜线的两个形面积之和而第二部分在图中是带有交叉斜线的小正方形的面积当时第地如果函数满足一定条件则函数的增量可表示为其中是不依赖于的常数因此是的线性函数且它与之差欢迎下载是比高阶的无穷小所以当且很小时我们就可近似地用来代替定义设函数在某区间内有定义及在这区间内如果函数的增量可