《数值计算方法》课后题答案(湖南大学曾金平)_中学教育-中考.pdf

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1、优秀学习资料 欢迎下载 习题一 1设x0 相对误差为 2%，求x，4x的相对误差。解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：()()()()()()f xxf xfxxf xf x得（1）()f xx时 11()()()()*2%1%22xxxxxx；（2）4()f xx时 444()()()4()4*2%8%xxxxxx 2设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。（1）12.1x；（2）12.10 x；（3）12.100 x。解：由教材9P关于121 2.mnxa aa bbb 型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别

2、为：3，4，5 3用十进制四位浮点数计算（1）31.97+2.456+0.1352；（2）31.97+（2.456+0.1352）哪个较精确？解：（1）31.97+2.456+0.1352 21(0.3197100.2456 10)0.1352)fl fl =2(0.3443100.1352)fl =0.3457210 （2）31.97+（2.456+0.1352）21(0.319710(0.245610)flfl =21(0.3197100.2591 10)fl =0.3456210 易见 31.97+2.456+0.1352=0.345612210，故（2）的计算结果较精确。优秀学习资料

3、欢迎下载 4计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为 1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？解：设该正方形的边长为x，面积为2()f xx，由()()()()()()f xxf xfxxf xf x 解得()()()()f xf xxxfx=2()()22f x xf xxx=0.5%5下面计算y的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x，（A）11121xyxx，（B）22(12)(1)xyxx；（2）已知1x，（A）211()yxxxxx，（B）11yxxxx；（3）已知1x，（A）22sin xyx，（B）1 cos 2xyx；（4）（A）980y ，（B）1980y 解：当两个

4、同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。故在设计算法时应尽量避免上述情况发生。（1）（A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。（2）（B）中两个相近数相减，而（A）中避免了这种情况。故（A）算得准确些。（3）（A）中2sin x使得误差增大，而（B）中避免了这种情况发生。故（B）算得准确些。（4）（A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。6用消元法求解线性代数方程组 1515121210102xxxx 假定使用十进制三位浮点数计算，问结果

5、是否可靠？解：使用十进制三位浮点数计算该方程则方程组变为 1161612111120.100 100.100 100.100 10(1)0.100 100.100 100.200 10(2)xxxx（1）-（2）得1 61 62.1 0 1 0.1 0 1 0 x，即12.1 0 1 0 x，把2x的值代入（1）得1.0 0 x；面各数都是经过四舍五入得到的近似数即误差不超过最后一位的半个单位试指出他们各有几位有效数字解由教材关于型数的有效数字的结论易得上面三个数的有效数字位数分别为用十进制四位浮点数计算哪个较精确解易见故的计算为多少解设该正方形的边长为面积为由解得下面计算的公式哪个算得准确些

6、为什么已知已知已知解当两个同异号相近数相减加时相对误差可能很大会严重丧失有效数字当两个数相乘除时大因子小除数可能使积商的绝对值误差增大许减而中避免了这种情况故算得准确些中使得误差增大而中避免了这种情况发生故算得准确些中两个相近数相减而中避免了这种情况故算得准确些用消元法求解线性代数方程组假定使用十进制三位浮点数计算问结果是否可靠解使用十优秀学习资料 欢迎下载 把2x的值代入（2）得110.100 10 x 解1110.100 1020.000 10 xx 不满足（2）式，解1110.100 1020.100 10 xx 不满足（1）式，故在十进制三位浮点数解该方程用消元法计算结果不可靠。7计算

7、函数32()331f xxxx和()(3)3)12.19g xxxxx在处的函数值（采用十进制三位浮点数计算）。哪个结果较正确？解：110657.010480.0310219.010480.0)19.2(1111f 110657.010144.010105.0122 =10.16710 )19.2(g110219.0)310219.0)81.0(11 110219.010123.011=10.16910 即1()0.167 10f x，1()0.169 10g x 而当2.19x 时32331xxx的精确值为 1.6852，故()g x的算法较正确。8按照公式计算下面的和值（取十进制三位浮点数

8、计算）：（1）6113ii；(2)1613ii。解：（1）623456111111113333333ii=0.3330.1110.0370.0120.0040.001 489.0 （2）165432611111113333333ii=0.0010.0040.0120.0370.1110.333 489.0 9已知三角形面积1sin2SabC，其中02C。证明：()()()()SabC。证明：由自变量的误差对函数值的影响公式：1212112(,)(,)()(,)ninniinixf x xxf x xxxf x xxx。得(,)(,)(,)(,)()()()(,)(,)(,)aS a b CbS

9、 a b CCS a b CS a b CabCS a b CaS a b CbS a b CC面各数都是经过四舍五入得到的近似数即误差不超过最后一位的半个单位试指出他们各有几位有效数字解由教材关于型数的有效数字的结论易得上面三个数的有效数字位数分别为用十进制四位浮点数计算哪个较精确解易见故的计算为多少解设该正方形的边长为面积为由解得下面计算的公式哪个算得准确些为什么已知已知已知解当两个同异号相近数相减加时相对误差可能很大会严重丧失有效数字当两个数相乘除时大因子小除数可能使积商的绝对值误差增大许减而中避免了这种情况故算得准确些中使得误差增大而中避免了这种情况发生故算得准确些中两个相近数相减而中

10、避免了这种情况故算得准确些用消元法求解线性代数方程组假定使用十进制三位浮点数计算问结果是否可靠解使用十优秀学习资料 欢迎下载()sin()sin()cos()sinsinsinabCSbCaaCbabCCabCabCabC =()()()CabCtgC ()()()abC（当02C 时，CtgC），命题得证。面各数都是经过四舍五入得到的近似数即误差不超过最后一位的半个单位试指出他们各有几位有效数字解由教材关于型数的有效数字的结论易得上面三个数的有效数字位数分别为用十进制四位浮点数计算哪个较精确解易见故的计算为多少解设该正方形的边长为面积为由解得下面计算的公式哪个算得准确些为什么已知已知已知解当

11、两个同异号相近数相减加时相对误差可能很大会严重丧失有效数字当两个数相乘除时大因子小除数可能使积商的绝对值误差增大许减而中避免了这种情况故算得准确些中使得误差增大而中避免了这种情况发生故算得准确些中两个相近数相减而中避免了这种情况故算得准确些用消元法求解线性代数方程组假定使用十进制三位浮点数计算问结果是否可靠解使用十优秀学习资料 欢迎下载 习题二 1找出下列方程在0 x 附近的含根区间。（1）cos0 xx；（2）3cos0 xx；（3）sin()0 xxe；（4）20 xxe；解：（1）设()c o sf xxx，则(0)1f，(1)-0.4597f ，由()f x的连续性知在 1,0 x内，

12、()f x=0 有根。同题（1）的方法可得：（2），（3），（4）的零点附近的含根区间分别为0,1；0,2；0,1 2用二分法求方程sin10 xx 在 0,2内的根的近似值并分析误差。解：令()sinfxxx，则有(0)1f，(2)0.81860f，()sincos0fxxxx，0,2x 所以函数()f x在 0，2上严格单调增且有唯一实根x。本题中求根使得误差不超过410，则由误差估计式 12|kkabx，所需迭代次数k满足4110202k，即取28.13k便可，因此取14k。用二分法计算结果列表如下：k ka kb kx)(kxf 0 0 2 1-0.1585 1 1 2 1.5 0.4

13、962 2 1 1.5 1.25 0.1862 3 1 1.25 1.125 0.015051 4 1 1.125 1.0625-0.0718 5 1.0625 1.125 1.09375-0.02835 6 1.09375 1.125 1.109375-0.00664 7 1.109375 1.125 1.1171875 0.004208 8 1.109375 1.1171875 1.11328125-0.001216 9 1.11328125 1.1171875 1.115234375 0.001496 10 1.11328125 1.115234375 1.1142578125 0.00

14、1398 11 1.11328125 1.1142578125 1.11376953125-0.000538 面各数都是经过四舍五入得到的近似数即误差不超过最后一位的半个单位试指出他们各有几位有效数字解由教材关于型数的有效数字的结论易得上面三个数的有效数字位数分别为用十进制四位浮点数计算哪个较精确解易见故的计算为多少解设该正方形的边长为面积为由解得下面计算的公式哪个算得准确些为什么已知已知已知解当两个同异号相近数相减加时相对误差可能很大会严重丧失有效数字当两个数相乘除时大因子小除数可能使积商的绝对值误差增大许减而中避免了这种情况故算得准确些中使得误差增大而中避免了这种情况发生故算得准确些中两个

15、相近数相减而中避免了这种情况故算得准确些用消元法求解线性代数方程组假定使用十进制三位浮点数计算问结果是否可靠解使用十优秀学习资料 欢迎下载 12 1.11376953125 1.1142578125 1.114013671875-0.000199 13 1.114013671875 1.1142578125 1.1141357421875-0.0000297 14 1.1141357421875 1.1142578125 1.11419677734375 0.000055 由上表可知原方程的根7343751.1141967714x 该问题得精确解为08711.11415714，故实际误差为00

16、00396.0 3判断用等价方程()xx建立的求解的非线性方程32()10f xxx 在 1.5 附近的根的简单迭代法1()kkxx的收敛性，其中（A）2()1 1/xx；（B）32()1xx；（C）1()1xx 解：取 1.5 附近区间1.3,1.6来考察。（A）21()1xx，显然当0 x 时，()x单调递减，而(1.3)1.59171596，(1.6)1.390625，因此，当1.3,1.6x时，()1.3,1.6x。又当1.3,1.6x时，3322()0.9211.3xx，由迭代法收敛定理，对任意初值1.3,1.6x，迭代格式1211kkxx，(0,1,2,)k 收敛。（B）132()

17、(1)xx，则(1.3)1.390755416，(1.6)1.526921344，22312()03(1)xxx(0)x，所以当1.3,1.6x时，()1.3,1.6x。又当1.3,1.6x时，222233221.6()0.552133(1)(1 1.3)xxx，由迭代法收敛定理，对任意初值1.3,1.6x，迭代格式1231(1)kkxx，(0,1,2,)k 收敛。（C）1()1xx，由于当1.3,1.6x时，有 面各数都是经过四舍五入得到的近似数即误差不超过最后一位的半个单位试指出他们各有几位有效数字解由教材关于型数的有效数字的结论易得上面三个数的有效数字位数分别为用十进制四位浮点数计算哪个

18、较精确解易见故的计算为多少解设该正方形的边长为面积为由解得下面计算的公式哪个算得准确些为什么已知已知已知解当两个同异号相近数相减加时相对误差可能很大会严重丧失有效数字当两个数相乘除时大因子小除数可能使积商的绝对值误差增大许减而中避免了这种情况故算得准确些中使得误差增大而中避免了这种情况发生故算得准确些中两个相近数相减而中避免了这种情况故算得准确些用消元法求解线性代数方程组假定使用十进制三位浮点数计算问结果是否可靠解使用十优秀学习资料 欢迎下载 332211()1.07582870612(1)2(1.61)xx，所以对任意初值1.3,1.6x（原方程的根除外），迭代格式111kkxx (0,1,

19、2,k 发散。4确定()xx的简单迭代法1()kkxx的收敛区间,a b。如果收敛，试估计使精度达到410时所需的迭代次数并进行计算。（A）22()3xexx；（B）25()2xx；（C）sincos()2xxx 解：（A）方程为0322xxex，设xxexfx32)(2，则01)0(f，0-0.8987)5.0(f，故有根区间为 5.0,0，题中22()3xexx，3333.0|302|32|)(|0eexxx 故迭代公式22()3xexx 在含根区间 5.0,0内收敛。（B）方程为05223 xx，设52)(23xxxf，则0-1.875)5.2(f，04)3(f，故有根区间为 3,5.2

20、，题中25()2xx，10.64|5.210|10|)(|33xx 故迭代公式25()2xx在含根区间 3,5.2内收敛。（C）方程为02cossinxxx，设xxxxf2cossin)(，则01)0(f，0-0.6182)1(f，故有含根区间 1,0，题中sincos()2xxx，15.0|20sin0cos|2sincos|)(|xxx 5对下点列用埃特金方法加速。面各数都是经过四舍五入得到的近似数即误差不超过最后一位的半个单位试指出他们各有几位有效数字解由教材关于型数的有效数字的结论易得上面三个数的有效数字位数分别为用十进制四位浮点数计算哪个较精确解易见故的计算为多少解设该正方形的边长为

21、面积为由解得下面计算的公式哪个算得准确些为什么已知已知已知解当两个同异号相近数相减加时相对误差可能很大会严重丧失有效数字当两个数相乘除时大因子小除数可能使积商的绝对值误差增大许减而中避免了这种情况故算得准确些中使得误差增大而中避免了这种情况发生故算得准确些中两个相近数相减而中避免了这种情况故算得准确些用消元法求解线性代数方程组假定使用十进制三位浮点数计算问结果是否可靠解使用十优秀学习资料 欢迎下载 01234560.54030,0.87758,0.94496,0.96891,0.98007,0.98614,0.98981.xxxxxxx 解：由埃特金加速公式kkkkkkkxxxxxxx1221

22、2)(计算，结果列下表：k kx k kx 0 0.54030 0 0.96178128343831 1 0.87758 1 0.98211751784481 2 0.94496 2 0.98980773260360 3 0.96891 4 0.98007 5 0.98614 6 0.98981 6令初值01x，分别用牛顿迭代法，双点弦割法和单点弦割法求解方程2()60f xx 的解。解：牛顿迭代法 02)1(f，02)2(f，满足0)1()1(ff，由牛顿迭代法的收敛条件知当取初值为01x 时迭代法收敛。牛顿迭代格式为：kkkkkkkkkxxxxxxfxfxx3226)()(21 k kx

23、0 1 1 3.5 2 2.60714285714286 3 2.45425636007828 4 2.44949437160697 5 2.44948974278755 6 2.44948974278318 面各数都是经过四舍五入得到的近似数即误差不超过最后一位的半个单位试指出他们各有几位有效数字解由教材关于型数的有效数字的结论易得上面三个数的有效数字位数分别为用十进制四位浮点数计算哪个较精确解易见故的计算为多少解设该正方形的边长为面积为由解得下面计算的公式哪个算得准确些为什么已知已知已知解当两个同异号相近数相减加时相对误差可能很大会严重丧失有效数字当两个数相乘除时大因子小除数可能使积商的绝

24、对值误差增大许减而中避免了这种情况故算得准确些中使得误差增大而中避免了这种情况发生故算得准确些中两个相近数相减而中避免了这种情况故算得准确些用消元法求解线性代数方程组假定使用十进制三位浮点数计算问结果是否可靠解使用十优秀学习资料 欢迎下载 7 2.44948974278318 在第 6 部迭代后，迭代点得小数点后 14 位已无变化，故可取2783182.449489746x 双点弦割法 双点弦割法迭代格式为：kkkkkkkkkkkxxxxxxxfxfxfxx111116)()()()(k kx 0 1 1 3.5 2 2.11111111111111 3 2.38613861386139 4

25、2.45425636007828 5 2.44942735725712 6 2.44948968214144 7 2.44948974278395 8 2.44948974278318 9 2.44948974278318 在第 8 部迭代后，迭代点得小数点后 14 位已无变化。双点弦割法 双点弦割法迭代格式为：kkkkkkkxxxxxxxfxfxfxx000016)()()()(k kx 0 1 1 3.5 2 2.11111111111111 3 2.60714285714286 4 2.38613861386139 5 2.47660818713450 6 2.4381833473507

26、2 7 2.45425636007828 8 2.44748955456412 9 2.45033071771908 10 2.44913644779691 11 2.44963821399228 面各数都是经过四舍五入得到的近似数即误差不超过最后一位的半个单位试指出他们各有几位有效数字解由教材关于型数的有效数字的结论易得上面三个数的有效数字位数分别为用十进制四位浮点数计算哪个较精确解易见故的计算为多少解设该正方形的边长为面积为由解得下面计算的公式哪个算得准确些为什么已知已知已知解当两个同异号相近数相减加时相对误差可能很大会严重丧失有效数字当两个数相乘除时大因子小除数可能使积商的绝对值误差增大

27、许减而中避免了这种情况故算得准确些中使得误差增大而中避免了这种情况发生故算得准确些中两个相近数相减而中避免了这种情况故算得准确些用消元法求解线性代数方程组假定使用十进制三位浮点数计算问结果是否可靠解使用十优秀学习资料 欢迎下载 12 2.44942735725712 13 2.44951595791130 14 2.44947872716250 15 2.44949437160696 16 2.44948779773504 17 2.44949056010085 18 2.44948939934302 19 2.44948988709816 20 2.44948968214143 21 2.4

28、4948976826509 22 2.44948973207557 23 2.44948974728256 24 2.44948974089252 25 2.44948974357764 26 2.44948974244934 27 2.44948974292346 28 2.44948974272423 29 2.44948974280795 30 2.44948974277277 31 2.44948974278755 32 2.44948974278134 31k以后，迭代点得小数点后 11 位已无变化，因收敛速度较慢，故只精确到小数点后 11 位 7建立利用方程30 xc 求3(0)c

29、 c 的 Newton 迭代格式，并讨论算法的收敛性。解：牛顿迭代格式为：23231323)()(kkkkkkkkkxcxxcxxxfxfxx 令cxxf3)(，因为当0 x时，03)(2 xxf，06)(xxf，故对于任何满足0)(30cxxf，即30cx 的初值0 x，上述 Newton 迭代产生的迭代序列收敛于3c。8建立利用方程20cxx求3(0)c c 的 Newton 迭代格式，并讨论算法的收敛性。面各数都是经过四舍五入得到的近似数即误差不超过最后一位的半个单位试指出他们各有几位有效数字解由教材关于型数的有效数字的结论易得上面三个数的有效数字位数分别为用十进制四位浮点数计算哪个较精

30、确解易见故的计算为多少解设该正方形的边长为面积为由解得下面计算的公式哪个算得准确些为什么已知已知已知解当两个同异号相近数相减加时相对误差可能很大会严重丧失有效数字当两个数相乘除时大因子小除数可能使积商的绝对值误差增大许减而中避免了这种情况故算得准确些中使得误差增大而中避免了这种情况发生故算得准确些中两个相近数相减而中避免了这种情况故算得准确些用消元法求解线性代数方程组假定使用十进制三位浮点数计算问结果是否可靠解使用十优秀学习资料 欢迎下载 解：牛顿迭代格式为：cxcxxcxcxxxfxfxxkkkkkkk2321)()(3321 令2()cf xxx，因为当0 x时，021)(3xcxf，06

31、)(4xcxf 故对于任何满足0)(30cxxf，即300cx 的初值0 x，上述 Newton 迭代产生的迭代序列收敛于3c。9判断用 Newton 迭代求解方程()()f xsign xx的收敛性。解：由xxxf)()0()0(xx，)(i当0 x时，xxf)(，021)(xxf，041)(3xxf，要使 Newton 迭代法收敛对于初值0 x，需满足0)(00 xxf，显然这样得初值是不存在的，故当0 x时，Newton迭代法不收敛。)(ii当0 x时，同上的分析方法可得，初值也不存在的，故当0 x时，Newton 迭代法也不收敛。所以用 Newton 迭代求解方程()()f xsign

32、 xx不收敛。10写出求解方程1()10f xx 的 Newton 迭代格式并判断以下情形的收敛性。（1）0020 xx或；（2）0020 xx或；（3）002x。解：牛顿迭代格式为：2212111)()(kkkkkkkkkxxxxxxfxfxx),2,1,0(k kxxxxxkkkk20221)1()1(211),2,1,0(k 面各数都是经过四舍五入得到的近似数即误差不超过最后一位的半个单位试指出他们各有几位有效数字解由教材关于型数的有效数字的结论易得上面三个数的有效数字位数分别为用十进制四位浮点数计算哪个较精确解易见故的计算为多少解设该正方形的边长为面积为由解得下面计算的公式哪个算得准确

33、些为什么已知已知已知解当两个同异号相近数相减加时相对误差可能很大会严重丧失有效数字当两个数相乘除时大因子小除数可能使积商的绝对值误差增大许减而中避免了这种情况故算得准确些中使得误差增大而中避免了这种情况发生故算得准确些中两个相近数相减而中避免了这种情况故算得准确些用消元法求解线性代数方程组假定使用十进制三位浮点数计算问结果是否可靠解使用十优秀学习资料 欢迎下载 解之得：)1(1 20kxxk（1）当0020 xx或时，1|1|0 x，kxk20)1(lim，故迭代序列kx不收敛；（2）当0020 xx或时，1|1|0 x，0limkkx，迭代序列kx收敛，但不收敛于方程的解；（3）当200 x

34、时，1|1|0 x，从而0)1(lim20kxk，1limkkx，迭代序列kx收敛，且收敛于方程的解。11求分别用下列迭代格式求解方程()0mxf xx e时的收敛阶。（1）Newton 迭代格式1()()kkkkf xxxfx；（2）迭代格式1()()kkkkf xxxmfx。解：显然0m，否则()0mxf xx e没意义。易知 Newton 迭代格式1()()kkkkf xxxfx收敛于0，又（1）211()(1)()mxkkkkkkmmxkkf xmxxx exxxfxmxx emx mmxmxmxxmxxmxxkkkkkkkkkkk11lim0)1(0limlim21 Newton 迭

35、代格式1()()kkkkf xxxfx的收敛阶为1p（2）迭代格式21()()kkkkkkf xxxxmfxmx mxmxxmxxxkkkkkkkkk11lim)0(0lim)(lim2221 迭代格式1()()kkkkf xxxmfx的收敛阶为2p 12当初值取为下列各值时，用下山 Newton 迭代求解方程组303xx 是否收敛？若收敛，收敛于哪一个根？（1）01.5x （2）00.5x 面各数都是经过四舍五入得到的近似数即误差不超过最后一位的半个单位试指出他们各有几位有效数字解由教材关于型数的有效数字的结论易得上面三个数的有效数字位数分别为用十进制四位浮点数计算哪个较精确解易见故的计算为

36、多少解设该正方形的边长为面积为由解得下面计算的公式哪个算得准确些为什么已知已知已知解当两个同异号相近数相减加时相对误差可能很大会严重丧失有效数字当两个数相乘除时大因子小除数可能使积商的绝对值误差增大许减而中避免了这种情况故算得准确些中使得误差增大而中避免了这种情况发生故算得准确些中两个相近数相减而中避免了这种情况故算得准确些用消元法求解线性代数方程组假定使用十进制三位浮点数计算问结果是否可靠解使用十优秀学习资料 欢迎下载 解：由下山 Newton 迭代格式13)()(231kkkkkkkkkxxxxxfxfxx 面各数都是经过四舍五入得到的近似数即误差不超过最后一位的半个单位试指出他们各有几位

37、有效数字解由教材关于型数的有效数字的结论易得上面三个数的有效数字位数分别为用十进制四位浮点数计算哪个较精确解易见故的计算为多少解设该正方形的边长为面积为由解得下面计算的公式哪个算得准确些为什么已知已知已知解当两个同异号相近数相减加时相对误差可能很大会严重丧失有效数字当两个数相乘除时大因子小除数可能使积商的绝对值误差增大许减而中避免了这种情况故算得准确些中使得误差增大而中避免了这种情况发生故算得准确些中两个相近数相减而中避免了这种情况故算得准确些用消元法求解线性代数方程组假定使用十进制三位浮点数计算问结果是否可靠解使用十优秀学习资料 欢迎下载 习题三 11 分别用高斯消元法和列选主元法解方程组（

38、精确到小数点后四位）：1231231230.26410.17350.86420.75210.94110.01750.14630.63100.86410.42430.07110.2501xxxxxxxxx 解：高斯消元法：0.26410.17350.86420.7521|0.94110.01750.14630.63100.86410.42430.0710.2501A b=0.2641 0.1735 0.8642 -0.7521 0 -0.6358 -2.9332 3.3111 0 0.1434 2.8986 -2.2107 0.2641 0.1735 0.8642 -0.7521 0 -0.63

39、58 -2.9332 3.3111 0 0 2.2372 -1.4640 T(0.7315,-2.1889,-0.6544)x 高斯列选主元消元法 0.26410.17350.86420.7521|0.94110.01750.14630.63100.86410.42430.0710.2501A b 0.94110.01750.14630.63100.26410.17350.86420.75210.86410.42430.0710.2501 0.9411 -0.0175 0.1463 0.6310 0 0.1784 0.8231 -0.9292 0 -0.4404 0.2054 0.82950.

40、94110.01750.14630.6310 0 -0.4404 0.2054 0.8295 0 0.1784 0.8231 -0.9292 0.9411 -0.0175 0.1463 0.6310 0 -0.4404 0.2054 0.8295 0 0 0.9064 -0.5931 x=0.7315,-2.1889,-0.6544 T 2分别用高斯消元法和列选主元法解方程组 面各数都是经过四舍五入得到的近似数即误差不超过最后一位的半个单位试指出他们各有几位有效数字解由教材关于型数的有效数字的结论易得上面三个数的有效数字位数分别为用十进制四位浮点数计算哪个较精确解易见故的计算为多少解设该正方形

41、的边长为面积为由解得下面计算的公式哪个算得准确些为什么已知已知已知解当两个同异号相近数相减加时相对误差可能很大会严重丧失有效数字当两个数相乘除时大因子小除数可能使积商的绝对值误差增大许减而中避免了这种情况故算得准确些中使得误差增大而中避免了这种情况发生故算得准确些中两个相近数相减而中避免了这种情况故算得准确些用消元法求解线性代数方程组假定使用十进制三位浮点数计算问结果是否可靠解使用十优秀学习资料 欢迎下载 12121.1335.2816.414,24.141.21022.93xxxx 解：高斯消元法 1.1330 5.2810 6.4140A|b24.14 -1.210 22.93=1.133

42、0 5.2810 6.4140 0 -113.7284 -113.7284(1,1)Tx 列选主元法 1.1330 5.2810 6.4140A|b24.14 -1.210 22.9324.14 -1.210 22.931.1330 5.2810 6.4140 24.1400 -1.2100 22.9300 0 5.3378 5.3378(1,1)Tx 3.方程组 Ax=b 经过一次 Gauss 消元后,系数矩阵 A=(1),1niji ja,变为(1)11(2)*0aA,其中(2)A=(2),2niji ja为(n-1)(n-1)矩阵.其元素为(2)ija=(1)ija-(1)(1)11ij

43、a a/(1)11a,i j 2,3,n.证明下面结论:（1）当 A 对称正定时,(2)A也对称正定;（2）当 A 对角占优时,(2)A也对角占优.证明:（1）因为 A 对称,所以(1)(1)i jjiaa;(2)ija=(1)ija-(1)(1)11ija a/(1)11a=(1)(1)(1)(1)1111/jijiaa aa=(2)jia 故(2)A对称;A 正定,(1)110a，又 (1)11(2)*0aA=1L A 面各数都是经过四舍五入得到的近似数即误差不超过最后一位的半个单位试指出他们各有几位有效数字解由教材关于型数的有效数字的结论易得上面三个数的有效数字位数分别为用十进制四位浮点

44、数计算哪个较精确解易见故的计算为多少解设该正方形的边长为面积为由解得下面计算的公式哪个算得准确些为什么已知已知已知解当两个同异号相近数相减加时相对误差可能很大会严重丧失有效数字当两个数相乘除时大因子小除数可能使积商的绝对值误差增大许减而中避免了这种情况故算得准确些中使得误差增大而中避免了这种情况发生故算得准确些中两个相近数相减而中避免了这种情况故算得准确些用消元法求解线性代数方程组假定使用十进制三位浮点数计算问结果是否可靠解使用十优秀学习资料 欢迎下载 其中:(1)21(1)111(1)1(1)11101naaLaa 显然,1L非奇异;对任何 x 0,有:10L x A 正定,1111()0T

45、TTL xA L xxL AL x，11TL AL正定;又:11TL AL=(1)11(2)00aA 而 (1)110a 故(2)A正定;(1)当 A 对角占优时,(1)(1)|niiijijaa (2)(2)|ni ii jijaa(1)(1)(1)(1)(1)(1)111 1111 1,2|/|/|niiiiijijij jaaaaaaaa (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)11111111(1),2111|niiiiijijij ja aa aa aa aa (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)11111111(1),2111|(|)niiiiijijij ja

46、 aa aa aa aa (1)(1)(1)(1)(1)1111(1),2,1111|(|)|nniiijijij jij jaaaa aa (1)(1)(1)(1)(1)1111(1),2,1111|(|)|nniiijijij jij jaaaaaa (1)(1)(1)(1)(1)11111(1),2111|(|)|niiijiij jaaaaaa (1)(1)11(1),1111|nijij jaaa0 故 (2)A对角占优 面各数都是经过四舍五入得到的近似数即误差不超过最后一位的半个单位试指出他们各有几位有效数字解由教材关于型数的有效数字的结论易得上面三个数的有效数字位数分别为用十进制

47、四位浮点数计算哪个较精确解易见故的计算为多少解设该正方形的边长为面积为由解得下面计算的公式哪个算得准确些为什么已知已知已知解当两个同异号相近数相减加时相对误差可能很大会严重丧失有效数字当两个数相乘除时大因子小除数可能使积商的绝对值误差增大许减而中避免了这种情况故算得准确些中使得误差增大而中避免了这种情况发生故算得准确些中两个相近数相减而中避免了这种情况故算得准确些用消元法求解线性代数方程组假定使用十进制三位浮点数计算问结果是否可靠解使用十优秀学习资料 欢迎下载 4.证明(1)两个单位上(下)三角形矩阵的乘积仍为单位上(下)三角形矩阵;(2)两个上(下)三角形矩阵的乘积仍为上(下)三角形矩阵.证

48、明:(1)不妨考虑证单位下三角矩阵,单位上三角矩阵证明方法相同 设 AB=C 其中:001;1;(),ijn ni ji jjijiAjiBjiCcajibji，当 ij 时 当i=j时，11niiikkiiiiikca ba b 1niijikkjikkjkkjca ba b当ij 时，所以,C 为单位上三角矩阵(2)证明方法类似(1)5证明单位上(下)三角形矩阵的逆矩阵仍为单位上(下)三角形矩阵;非奇异上(下)三角形矩阵的逆矩阵仍为非奇异的上(下)三角形矩阵;证明:6.用矩阵的三角分解求解下列线形代数方程组（1）123422351121242532713230 xxxx 面各数都是经过四舍

49、五入得到的近似数即误差不超过最后一位的半个单位试指出他们各有几位有效数字解由教材关于型数的有效数字的结论易得上面三个数的有效数字位数分别为用十进制四位浮点数计算哪个较精确解易见故的计算为多少解设该正方形的边长为面积为由解得下面计算的公式哪个算得准确些为什么已知已知已知解当两个同异号相近数相减加时相对误差可能很大会严重丧失有效数字当两个数相乘除时大因子小除数可能使积商的绝对值误差增大许减而中避免了这种情况故算得准确些中使得误差增大而中避免了这种情况发生故算得准确些中两个相近数相减而中避免了这种情况故算得准确些用消元法求解线性代数方程组假定使用十进制三位浮点数计算问结果是否可靠解使用十优秀学习资料

50、 欢迎下载 解：111213112112L (0)X22355112233223U 172923y 2121x （2）1234123421491610182764441 1681256190 xxxx 解：1111311761L 1234261262424U 281824y 11 11x （3）123481362718252361166268148276298447418684490134xxxx 解：94103582617L 2826157y 4321x （4）123442.42312.2802.45.4445.816.928245.217.4522.95735.87.4519.6650.9