第八讲--三角函数同角及诱导公式经典难题复习巩固_中学教育-高考.pdf

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1、精典专题系列 第 8 讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数同角三角函数基本关系式与诱导公式 一、导入：难解的结 古罗马时代，一位预言家在一座城市内设下了一个奇特难解的结，并且预言，将来解开这个结的人必定是亚细亚的统治者。长久以来，虽然许多人勇敢尝试，但是依然无人能解开这个结。当时身为马其顿将军的亚历山大，也听说了关于这个结的预言，于是趁着驻兵这个城市之时，试着去打开这个结。亚历山大连续尝试了好几个月，用尽了各种方法都无法打开这个结，真是又急又气。有一天，他试着解开这个结又失败后，恨恨地说：“我再也不要看到这个结了。”当他强迫自己转移注意力，不再去想这个结时，忽然脑筋一转，他抽出了身上的佩剑，一

2、剑将结砍成了两半儿结打开了。大道理：勇敢地跳出思想的绳索，打开心结。过后会发现，事情实际上没有看到的和想象中的那么困难。积极一点，什么都会给你让路。二、知识点回顾：1角的有关概念 (1)从运动的角度看，角可分为正角、负角 和 零角 (2)从终边位置来看，可分为 象限角 和轴线角 (3)若 与 是终边相同的角，则 可用 表示为|k 360，kZ (或|2k，kZ )2象限角 3弧度与角度的互化 (1)1 弧度的角 长度等于 半径 的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示 (2)角 的弧度数 如果半径为 r 的圆的圆心角 所对弧的长为 l，那么角 的弧度数的绝对值是|lr 象限角

3、集合表示 第一象限角的集合 2k 2k 2 kZ 第二象限角的集合 2k 2 2k kZ 第三象限角的集合 2k 2k 32 kZ 第四象限角的集合 2k 2 2k kZ DSE 金牌化学专题系列(3)角度与弧度的换算1 180rad；1 rad(180)(4)弧长、扇形面积的公式 设扇形的弧长为 l，圆心角大小为 (rad)，半径为 r，又 lr，则扇形的面积为 S12lr12|r2 4三角函数的定义 (1)定义：设角 的终边与单位圆交于 P(x，y)，则 sin yx2y2，cos xx2y2，tan yx(x0)(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在 x轴

4、 上，余弦线的起点都是 坐标原点 ，正切线的起点都是单位圆与 x 轴正半轴的交点 (3)正弦、余弦、正切函数值的符号规律 正弦、余弦、正切函数值的符号规律可概括为“一全正，二正弦，三正切，四余弦”“一全正”是指第一象限的三个三角函数值均为正 “二正弦”是指第二象限仅正弦值为正 “三正切”是指第三象限仅正切值为正 “四余弦”是指第四象限仅余弦值为正 5同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2 cos2 1；(2)商数关系：tan sincos .6.诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2k (kZ)2 2 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变符号看象限 函数名改变符号看象限 即 k

5、2(kZ)，的三角函数值，等于 的同名函数值，前面加上一个把 看成 锐角 时原函数值的符号；2 的正弦(余弦)函数值，分别等于 的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号 三、专题训练：马时代一位预言家在一座城市内设下了一个奇特难解的结并且预言将来解开这个结的人必定是亚细亚的统治者长久以来虽然许多人勇敢尝试但是依然无人能解开这个结当时身为马其顿将军的亚历山大也听说了关于这个结的预言于是急又气有一他试着解开这个结又失败后恨恨地说我再也不要看到这个结了当他强迫自己转移注意力不再去想这个结时忽然脑筋一转他抽出了身上的佩剑一剑将结砍成了两半儿结打开了大道理勇敢地跳出思想的绳索打开心

6、结过后会发度看角可分为正角负角和零角从终边位置来看可分为象限角和轴线角若与是角度与弧度的换算弧长扇形面积的公式设扇形的弧长为圆心角大小为半径为又则扇形的面积为三角函数的定义定义设角的终边与单位圆交于则几何表示三角考点一 象限角、终边相同的角的表示【例 1】(1)如果 是第三象限的角，那么，2 的终边落在何处？(2)写出终边在直线 y 3x 上的角的集合 自主解答(1)由 是第三象限的角得 2k 322k(k Z)322k 2k.(k Z)即22k 2k(k Z)角 的终边在第二象限；由 2k 322k 得 2 4k 2 3 4k(k Z)角2 的终边在第一、二象限及 y 轴的非负半轴(2)在(

7、0，)内终边在直线 y 3x 上的角是3，终边在直线y 3x 上的角的集合为|3k，k Z 1.在 1 的条件下，判断2为第几象限角？解：2k 32 2k，2k 234 k，当 k2n 时，22n 234 2n，当 k2n1 时，32 2n 274 2n 2为第二或第四象限角 2.已知角 是第一象限角，确定 2，2的终边所在的位置 解：是第一象限的角，k2 k22(k Z)(1)k42 k4(k Z)，即 2k22 2k2(k Z)，2 的终边在第一象限或第二象限或 y 轴的非负半轴上(2)k2k4(k Z)，马时代一位预言家在一座城市内设下了一个奇特难解的结并且预言将来解开这个结的人必定是亚

8、细亚的统治者长久以来虽然许多人勇敢尝试但是依然无人能解开这个结当时身为马其顿将军的亚历山大也听说了关于这个结的预言于是急又气有一他试着解开这个结又失败后恨恨地说我再也不要看到这个结了当他强迫自己转移注意力不再去想这个结时忽然脑筋一转他抽出了身上的佩剑一剑将结砍成了两半儿结打开了大道理勇敢地跳出思想的绳索打开心结过后会发度看角可分为正角负角和零角从终边位置来看可分为象限角和轴线角若与是角度与弧度的换算弧长扇形面积的公式设扇形的弧长为圆心角大小为半径为又则扇形的面积为三角函数的定义定义设角的终边与单位圆交于则几何表示三角当 k2n(n Z)时，2n22n 4(n Z)，2的终边在第一象限 当 k2

9、n1(n Z)时，(2n1)2(2n1)4(n Z)，即 2n 22n 54(n Z)，2的终边在第三象限 综上，2的终边在第一象限或第三象限 考点二 三角函数的定义 【例 2】已知角 的终边上一点 P(3，m)(m0)，且 sin 2m4，求 cos，tan 的值 由题设知 x 3，ym，r2OP2(3)2m2，得 r3m2，从而 sin mr2m4m2 2，r3m22 2，于是 3m28，解得 m 5.当 m 5时，r2 2，x 3，cos 32 264，tan 153；当 m 5时，r2 2，x 3，cos 32 264，tan 153.(1)已知角 的终边过点 P(3cos，4cos)

10、，其中 (2，)，求 sin，cos，tan 的值(2)已知角 的终边过点 P(x，2)(x0)，且 cos 36x，求 sin，tan 的值 解：(1)(2，)，1cos 0，r9cos2 16cos2 5cos，sin 45，cos 35，tan 43.(2)P(x，2)(x0)，点P 到原点的距离 rx22，cos xx22.又 cos 36x，xx2236x.x0，x 10，r2 3.当 x 10时，P(10，2)，由三角函数的定义，得 sin 66，tan 55.当 x 10时，P(10，2)，由三角函数的定义，得 sin 66，tan 55.考点三 同角三角函数基本关系式的应用 马

11、时代一位预言家在一座城市内设下了一个奇特难解的结并且预言将来解开这个结的人必定是亚细亚的统治者长久以来虽然许多人勇敢尝试但是依然无人能解开这个结当时身为马其顿将军的亚历山大也听说了关于这个结的预言于是急又气有一他试着解开这个结又失败后恨恨地说我再也不要看到这个结了当他强迫自己转移注意力不再去想这个结时忽然脑筋一转他抽出了身上的佩剑一剑将结砍成了两半儿结打开了大道理勇敢地跳出思想的绳索打开心结过后会发度看角可分为正角负角和零角从终边位置来看可分为象限角和轴线角若与是角度与弧度的换算弧长扇形面积的公式设扇形的弧长为圆心角大小为半径为又则扇形的面积为三角函数的定义定义设角的终边与单位圆交于则几何表示

12、三角【例 3】已知 是三角形的内角，且 sin cos 15.(1)求 tan 的值；(2)把1cos2 sin2用 tan 表示出来，并求其值 自主解答(1)法一：联立方程 sin cos 15，sin2 cos2 1，由得 cos 15sin，将其代入，整理得 25sin2 5sin 120，是三角形内角，sin 45cos 35，tan 43.法二：sin cos 15，(sin cos)2(15)2，即 12sin cos 125，2sin cos 2425，(sin cos)212sin cos 124254925.sin cos 12250 且 0 0，cos 0，sin cos

13、75，由 sin cos 15sin cos 75，得 sin 45cos 35，tan 43.(2)1cos2 sin2sin2 cos2cos2 sin2sin2 cos2cos2cos2 sin2cos2tan2 11tan2 tan 43，1cos2 sin2tan2 11tan2 43211 432257.1.保持题目条件不变，求：1sin 4cos5sin 2cos；2 sin2 2sin cos 的值.解：由例题可知 tan 43 马时代一位预言家在一座城市内设下了一个奇特难解的结并且预言将来解开这个结的人必定是亚细亚的统治者长久以来虽然许多人勇敢尝试但是依然无人能解开这个结当时

14、身为马其顿将军的亚历山大也听说了关于这个结的预言于是急又气有一他试着解开这个结又失败后恨恨地说我再也不要看到这个结了当他强迫自己转移注意力不再去想这个结时忽然脑筋一转他抽出了身上的佩剑一剑将结砍成了两半儿结打开了大道理勇敢地跳出思想的绳索打开心结过后会发度看角可分为正角负角和零角从终边位置来看可分为象限角和轴线角若与是角度与弧度的换算弧长扇形面积的公式设扇形的弧长为圆心角大小为半径为又则扇形的面积为三角函数的定义定义设角的终边与单位圆交于则几何表示三角(1)sin 4cos5sin 2costan 45tan 24345 43 287.(2)sin2 2sin cos sin2 2sin co

15、ssin2 cos2tan2 2tan 1tan2169831169825.2.已知4sin 2cos3sin 5cos611，求下列各式的值：(1)5cos2sin2 2sin cos 3cos2；(2)1 4sin cos 2cos2.解：法一：由4sin 2cos3sin 5cos611得 sin 2cos.(1)5cos2sin2 2sin cos 3cos25cos24cos2 4cos2 3cos25cos25cos21；(2)14sin cos 2cos2 sin2 cos2 4sin cos 2cos2 5cos2 8cos2 2cos2 cos2 cos2sin2 cos2c

16、os24cos2 cos215.法二：由4sin 2cos3sin 5cos611得4tan 23tan 5611，解得 tan 2.于是：(1)5cos2sin2 2sin cos 3cos25tan2 2tan 35222231；(2)14sin cos 2cos2 14sin cos 2cos2sin2 cos2 sin2 4sin cos 3cos2sin2 cos2tan2 4tan 3tan2 115.考点四 利用诱导公式化简、求值 【例 4】(1)设 f()2sin cos cos 1sin2 cos32 sin22(12sin 0)，求 f(236)的值(2)化简 sin(n

17、23)cos(n 43)(nZ)=自主解答(1)f()2sin cos cos1sin2 sin cos2 2sin cos cos2sin2 sincos 12sin sin 12sin 1tan，f(236)1tan 2361tan 4 61tan6 3.马时代一位预言家在一座城市内设下了一个奇特难解的结并且预言将来解开这个结的人必定是亚细亚的统治者长久以来虽然许多人勇敢尝试但是依然无人能解开这个结当时身为马其顿将军的亚历山大也听说了关于这个结的预言于是急又气有一他试着解开这个结又失败后恨恨地说我再也不要看到这个结了当他强迫自己转移注意力不再去想这个结时忽然脑筋一转他抽出了身上的佩剑一剑将

18、结砍成了两半儿结打开了大道理勇敢地跳出思想的绳索打开心结过后会发度看角可分为正角负角和零角从终边位置来看可分为象限角和轴线角若与是角度与弧度的换算弧长扇形面积的公式设扇形的弧长为圆心角大小为半径为又则扇形的面积为三角函数的定义定义设角的终边与单位圆交于则几何表示三角(2)当 n2k(k Z)时，原式sin(2k 23)cos(2k 43)sin23cos43 sin3(cos3)32(12)34.当 n2k1(k Z)时，原式sin(2k1)23cos(2k1)43 sin(23)cos(43)sin23 cos3 sin3 cos3321234.原式34.1.化简sin k cos k1 s

19、in k1 cos k (kZ)解：当 k 为偶数 2n(n Z)时，原式sin 2n cos 2n1 sin 2n1 cos 2n sin cos sin cossin cos sin coscos cos 1；当 k 为奇数 2n1(n Z)时，原式sin 2n1 cos 2n sin 2n2 cos 2n1 sin cos sin 2 cos sin cossin cos 1.当k Z 时，原式1.2.(2010 全国卷)记 cos(80)k，那么 tan100 ()A.1k2k B1k2k C.k1k2 Dk1k2 规范解答 cos(80)cos80 k，sin80 1k2，tan80

20、 1k2k，tan100 tan80 1k2k.答案 B 四、技法巧点总结：1常见的终边相同的角的表示 角 终边的位置 角 的集合 在 x 轴的非负半轴上|2k，kZ 在 x 轴的非正半轴上|2k ，kZ 马时代一位预言家在一座城市内设下了一个奇特难解的结并且预言将来解开这个结的人必定是亚细亚的统治者长久以来虽然许多人勇敢尝试但是依然无人能解开这个结当时身为马其顿将军的亚历山大也听说了关于这个结的预言于是急又气有一他试着解开这个结又失败后恨恨地说我再也不要看到这个结了当他强迫自己转移注意力不再去想这个结时忽然脑筋一转他抽出了身上的佩剑一剑将结砍成了两半儿结打开了大道理勇敢地跳出思想的绳索打开心

21、结过后会发度看角可分为正角负角和零角从终边位置来看可分为象限角和轴线角若与是角度与弧度的换算弧长扇形面积的公式设扇形的弧长为圆心角大小为半径为又则扇形的面积为三角函数的定义定义设角的终边与单位圆交于则几何表示三角在 y 轴的非负半轴上|2k 2，kZ 在 y 轴的非正半轴上|2k 32，kZ 在 x 轴上|k，kZ 在 y 轴上|k 2，kZ 在坐标轴上|k2，kZ 2三角函数定义的拓展 已知角 终边上一点 P(x，y)，求 的三角函数值时，可先求出该点到原点的距离 r，再利用下式求解：sin yr，cos xr，tan yx，这也可看作三角函数的定义 3三角函数求值应注意的问题 (1)由一个

22、角的一个三角函数值求其他三角函数值时，要注意讨论角的范围 (2)注意公式的变形使用，弦切互化、三角代换、消元是三角代换的重要方法，要尽量减少开方运算，慎重 确定符号 4应用同角三角函数基本关系式的常见规律 (1)sin cos、sin cos 与 sin cos 的关系 (sin cos)212sin cos；(sin cos)212sin cos；(sin cos)2(sin cos)22；(sin cos)2(sin cos)24sin cos.对于 sin cos，sin cos，sin cos 这三个式子，已知其中一个式子的值，可求其余二式的值 (2)“1”的代换 在求值、化简、证明时

23、，常把 1 表示为三角函数式或特殊角的三角函数值参与运算使问题得以简化，常见的代换如下：1sin2 cos2，1tan4，1(sin cos )22sin cos .五、巩固练习：1若点 P在角23的终边上，且|OP|2，则点 P的坐标为 ()A(1，3)B(3，1)C(1，3)D(1，3)解析：设 P(x，y)，则 x2cos231，y2sin23 3，即 P(1，3)2若角的终边与角的终边关于原点对称，则 ()A B180 Ck360，kZ 马时代一位预言家在一座城市内设下了一个奇特难解的结并且预言将来解开这个结的人必定是亚细亚的统治者长久以来虽然许多人勇敢尝试但是依然无人能解开这个结当时

24、身为马其顿将军的亚历山大也听说了关于这个结的预言于是急又气有一他试着解开这个结又失败后恨恨地说我再也不要看到这个结了当他强迫自己转移注意力不再去想这个结时忽然脑筋一转他抽出了身上的佩剑一剑将结砍成了两半儿结打开了大道理勇敢地跳出思想的绳索打开心结过后会发度看角可分为正角负角和零角从终边位置来看可分为象限角和轴线角若与是角度与弧度的换算弧长扇形面积的公式设扇形的弧长为圆心角大小为半径为又则扇形的面积为三角函数的定义定义设角的终边与单位圆交于则几何表示三角Dk360180，kZ 解析：借助图形可知，若角与的终边关于原点对称，则k360180.3(2011 大连模拟)点 P从(1,0)出发，沿单位圆

25、 x2y21 顺时针方向运动23弧长到达 Q点，则 Q的坐标为 ()A(12，32)B(32，12)C(12，32)D(32，12)解析：根据题意得 Q(cos(23)，sin(23)，即 Q(12，32)4(2011南昌模拟)已知点 P(tan，cos)在第三象限，则角的终边在第_象限 解析：由题意知 tan 0，cos 0，cos 0 时，r5t，sin yr3t5t35，cos xr4t5t45，tan yx3t4t34；当 t 0 时，即 x0 部分时，sin 35，cos 45，tan 34；当角的终边在直线 3x4y0 的 x0 部分时，sin 35，cos 45，tan 34.7

26、(2011 顺义模拟)已知ABC中，tanA512，则 cosA ()A.1213 B.513 C513 D1213 解析：由 tanA512知A为钝角，cosA0，cos2012 0，cos340tan 0，解得 (4，2)(，54)答案：D 9“tan 34”是“sin 35”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析：因为 tan sincos34，sin2 cos2 1，所以 sin 35，当 sin 35时，tan 34，所以“tan34”是“sin 35”的既不充分也不必要条件 10(2011 镇江模拟)已知 tan 2，则 sin2 sin

27、 cos 2cos2()马时代一位预言家在一座城市内设下了一个奇特难解的结并且预言将来解开这个结的人必定是亚细亚的统治者长久以来虽然许多人勇敢尝试但是依然无人能解开这个结当时身为马其顿将军的亚历山大也听说了关于这个结的预言于是急又气有一他试着解开这个结又失败后恨恨地说我再也不要看到这个结了当他强迫自己转移注意力不再去想这个结时忽然脑筋一转他抽出了身上的佩剑一剑将结砍成了两半儿结打开了大道理勇敢地跳出思想的绳索打开心结过后会发度看角可分为正角负角和零角从终边位置来看可分为象限角和轴线角若与是角度与弧度的换算弧长扇形面积的公式设扇形的弧长为圆心角大小为半径为又则扇形的面积为三角函数的定义定义设角的

28、终边与单位圆交于则几何表示三角A43 B.54 C34 D.45 解析：sin2 sin cos 2cos2 sin2 sin cos 2cos2sin2 cos2 tan2 tan 2tan2 14224145.答案：D 二、填空题(共 3 小题，每小题 5 分，满分 15 分)11若角 的终边落在直线 yx 上，则sin1sin21cos2cos的值等于_ 解析：因为角 的终边落在直线 yx 上，k 34，k Z，sin，cos 的符号相反当 2k 34，即角 的终边在第二象限时，sin 0，cos 0；当 2k 74，即角 的终边在第四象限时，sin 0，cos 0.所以有sin1sin

29、21cos2cossin|cos|sin|cos0.答案：0 三、解答题(共 3 小题，满分 35 分)12设 为第四象限角，其终边上的一个点是 P(x，5)，且 cos 24x，求 sin 和 tan.解：为第四象限角，x0 rx25 cos xrxx2524x x 3 rx252 2 13已知 sin cos 15，且 0 ，求 sin cos.马时代一位预言家在一座城市内设下了一个奇特难解的结并且预言将来解开这个结的人必定是亚细亚的统治者长久以来虽然许多人勇敢尝试但是依然无人能解开这个结当时身为马其顿将军的亚历山大也听说了关于这个结的预言于是急又气有一他试着解开这个结又失败后恨恨地说我再

30、也不要看到这个结了当他强迫自己转移注意力不再去想这个结时忽然脑筋一转他抽出了身上的佩剑一剑将结砍成了两半儿结打开了大道理勇敢地跳出思想的绳索打开心结过后会发度看角可分为正角负角和零角从终边位置来看可分为象限角和轴线角若与是角度与弧度的换算弧长扇形面积的公式设扇形的弧长为圆心角大小为半径为又则扇形的面积为三角函数的定义定义设角的终边与单位圆交于则几何表示三角解：sin cos 15，两边平方得sin2 2sin cos cos2 125，即 12sin cos 125，2sin cos 2425.2 0，cos 0.sin cos sin cos 2 12sin cos 75.sin yr 52

31、 2104.tan yx 53153.14已知扇形 OAB 的圆心角 为 120，半径长为 6，(1)求AB的弧长；(2)求弓形 OAB 的面积 解：(1)120 23，r6，AB的弧长为 l2364.(2)S扇形 OAB12lr124 612，S ABO12r2 sin231262329 3，S弓形 OABS扇形 OABS ABO12 9 3.马时代一位预言家在一座城市内设下了一个奇特难解的结并且预言将来解开这个结的人必定是亚细亚的统治者长久以来虽然许多人勇敢尝试但是依然无人能解开这个结当时身为马其顿将军的亚历山大也听说了关于这个结的预言于是急又气有一他试着解开这个结又失败后恨恨地说我再也不

32、要看到这个结了当他强迫自己转移注意力不再去想这个结时忽然脑筋一转他抽出了身上的佩剑一剑将结砍成了两半儿结打开了大道理勇敢地跳出思想的绳索打开心结过后会发度看角可分为正角负角和零角从终边位置来看可分为象限角和轴线角若与是角度与弧度的换算弧长扇形面积的公式设扇形的弧长为圆心角大小为半径为又则扇形的面积为三角函数的定义定义设角的终边与单位圆交于则几何表示三角 7已知 sin(2)13，(2，0)，则 tan等于 ()A2 2 B2 2 C24 D.24 解析：sin(2)13，(2，0)cos13 sin 1cos22 23 tansincos2 2.8若 tan2，则sin3cossincos的值

33、是 ()A13 B53 C.13 D.53 解析：tan2，sin3cossincostan3tan1232113.9在ABC中，cosA13，则 sin(BC)_.解析：cosA13，0A，sinA2 23 sin(BC)sin(A)sinA2 23.10sin43cos56tan(43)_.解析：原式sin(3)cos(6)tan(3)马时代一位预言家在一座城市内设下了一个奇特难解的结并且预言将来解开这个结的人必定是亚细亚的统治者长久以来虽然许多人勇敢尝试但是依然无人能解开这个结当时身为马其顿将军的亚历山大也听说了关于这个结的预言于是急又气有一他试着解开这个结又失败后恨恨地说我再也不要看到

34、这个结了当他强迫自己转移注意力不再去想这个结时忽然脑筋一转他抽出了身上的佩剑一剑将结砍成了两半儿结打开了大道理勇敢地跳出思想的绳索打开心结过后会发度看角可分为正角负角和零角从终边位置来看可分为象限角和轴线角若与是角度与弧度的换算弧长扇形面积的公式设扇形的弧长为圆心角大小为半径为又则扇形的面积为三角函数的定义定义设角的终边与单位圆交于则几何表示三角(sin3)(cos6)(tan3)(32)(32)(3)3 34.马时代一位预言家在一座城市内设下了一个奇特难解的结并且预言将来解开这个结的人必定是亚细亚的统治者长久以来虽然许多人勇敢尝试但是依然无人能解开这个结当时身为马其顿将军的亚历山大也听说了关于这个结的预言于是急又气有一他试着解开这个结又失败后恨恨地说我再也不要看到这个结了当他强迫自己转移注意力不再去想这个结时忽然脑筋一转他抽出了身上的佩剑一剑将结砍成了两半儿结打开了大道理勇敢地跳出思想的绳索打开心结过后会发度看角可分为正角负角和零角从终边位置来看可分为象限角和轴线角若与是角度与弧度的换算弧长扇形面积的公式设扇形的弧长为圆心角大小为半径为又则扇形的面积为三角函数的定义定义设角的终边与单位圆交于则几何表示三角