《概率论》期中测试题参考解答_高等教育-统计学.pdf

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1、优秀学习资料 欢迎下载 概率论期中测试题参考解答 1、（10 分）设A BC、表示三个随机事件，试用事件A BC、的运算分别表示下列各事件：(1)A不发生而BC、都发生；表示为：ABC(2)A BC、三个事件至少有一个发生；表示为：ABC；或表示为：ABCABCABCABCABCABCABC(3)A BC、三个事件至多有一个发生；表示为：ABCABCABCABC(4)A BC、恰有两个不发生；表示为：ABCCABBAC；(5)A BC、都不发生；表示为：ABC(6)A BC、三个事件不少于两个发生；表示为：ABBCAC；或表示为：ABCABCABCABC(7)A BC、同时发生；表示为：ABC

2、(8)A BC、三个事件不多于两个发生；表示为：ABC；或表示为：ABC 或表示为：ABCABCABCABCABCABCABC(9)A BC、不全发生；表示为：ABC；或表示为：ABC 优秀学习资料 欢迎下载 或表示为：ABCABCABCABCABCABCABC(10)A BC、恰有一个发生.或表示为：ABCABCABC 2、（14 分）已知()0.6,()0.3,()0.6,P AP ABP B求：(1)()P AB；(2)()P AB；(3)()P AB；(4)()P AB；(5)()P A B；(6)()P B A；(7)()P A BA.解：（1）因为0.3()()()()P ABP

3、ABP AP AB，所以有()()0.31()0.30.40.30.1P ABP AP A；（2）()()()1()()(10.6)0.10.3P ABP AP ABP AP AB （3）()()()()0.40.60.10.9P ABP AP BP AB；（4）()()1()10.90.1P ABP ABP AB ；（5）()0.11()()0.66P ABP A BP B；（6）()()0.33()()1()0.44P ABP ABP B AP AP A；（7）()()()()()()()P A BAP ABAAP A BAP BAP BP AP BA()()()()()P ABP BP

4、AP BP AB()0.11()()0.60.17P ABP AP AB 3、（8 分）一个盒子中有10个球，其中4个黑球6个红球，求下列事件的概率：(1)A=“从盒子中任取一球，这个球是黑球”；(2)B=“从盒子中任取两球，刚好一黑一红”；(3)C=“从盒子中任取两球，都是红球”；(4)D=“从盒子中任取五球，恰好有两个黑球”.发生而都发生表示为三个事件至少有一个发生表示为或表示为三个事件至多有一个发生表示为恰有两个不发生表示为都不发生表示为三个事件不少于两个发生表示为或表示为同时发生表示为三个事件不多于两个发生表示为或表示为分一个盒子中有个球其中个黑球个红球求下列事件的概率从盒子中任取一球

5、这个球是黑球从盒子中任取两球刚好一黑一红从盒子中任取两球都是红球从盒子中任取五球恰好有两个黑球优秀学习资料欢迎下载解分设甲乙丙三人同时独则且独立故有分设某批产品中甲乙丙三厂生产的产品分别占和各厂的产品的合格品率分别为现从中任取一件求恰好取到不合格品的概率取到的不合格品是由甲厂生产的概率解设任取一件产品恰为不合格品任取一件产品恰为第条流水优秀学习资料 欢迎下载 解：（1）141102()5CP AC；（2）11462108()15C CP BC；（3）262101()3CP CC；（4）234651010()21C CP CC 4、（3 分）设甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率

6、分别为1 1 2,3 2 3，求目标被命中的概率.解：设1A=“甲命中目标”；2A=“乙命中目标”；3A=“丙命中目标”；A=“目标被击中”。则123AAA，且123,A A A独立。故有，123123123()()1()1()P AP AAAP AAAP AA A 1231()()()1(1 1/3)(1 1/2)(12/3)8/9P A P A P A 5、（6 分）设某批产品中,甲、乙、丙三厂生产的产品分别占 45%、35%和 20%，各厂的产品的合格品率分别为 96%、98%、95%.现从中任取一件，(1)求恰好取到不合格品的概率；(2)取到的不合格品是由甲厂生产的概率.解：设A=“任

7、取一件产品，恰为不合格品”；iB=“任取一件产品，恰为第i条流水线生产”，i=甲，乙，丙。()0.45P B甲，()0.35P B乙，()0.20P B丙，(|)0.04P A B甲，(|)0.02P A B乙，(|)0.05P A B丙。（1）由全概率公式有：()()(|)()(|)()(|)P AP BP A BP BP A BP BP A B甲甲乙乙丙丙=0.450.04+0.350.02+0.20.05=0.035（2）由贝叶斯公式有：()()(|)0.45 0.04(|)=0.51429()()0.035P ABP BP ABP B AP AP A甲甲甲甲 发生而都发生表示为三个事件

8、至少有一个发生表示为或表示为三个事件至多有一个发生表示为恰有两个不发生表示为都不发生表示为三个事件不少于两个发生表示为或表示为同时发生表示为三个事件不多于两个发生表示为或表示为分一个盒子中有个球其中个黑球个红球求下列事件的概率从盒子中任取一球这个球是黑球从盒子中任取两球刚好一黑一红从盒子中任取两球都是红球从盒子中任取五球恰好有两个黑球优秀学习资料欢迎下载解分设甲乙丙三人同时独则且独立故有分设某批产品中甲乙丙三厂生产的产品分别占和各厂的产品的合格品率分别为现从中任取一件求恰好取到不合格品的概率取到的不合格品是由甲厂生产的概率解设任取一件产品恰为不合格品任取一件产品恰为第条流水优秀学习资料 欢迎下

9、载 6、（8 分）在电源电压不超过 200 伏,在 200240 伏和超过 240 伏三种情形下,某种电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001和0.2.假设电源电压X)25,220(2N,试求：(1)该电子元件损坏的概率；(2)在该电子元件损坏时，电源电压在 200240伏的概率.(注：7881.0)8.0()解：设A=“该电子元件损坏”；1B=“电源电压不超过 200 伏”，2B=“电源电压在 200240 伏”，3B=“电源电压超过 240 伏”。已知(|)0.1P A B1，(|)0.001P A B2，(|)0.2P A B3 200220()(200)()(0.8)25P BP X

10、 11(0.8)1 0.78810.2119 ，240220200220()(200240)()()2(0.8)10.57622525P BPX 2，240220()(240)1(240)1()1(0.8)0.211925P BP XP X 3，（1）由全概率公式有：()()(|)()(|)()(|)P AP B P A BP B P A BP B P A B112233=0.21190.1+0.57620.001+0.21190.2=0.064146（2）由贝叶斯公式有：()()(|)0.57620.001(|)=0.008983()()0.064146P ABP B P ABP B AP

11、AP A2222 7、（6 分）设在一次试验中，事件A发生的概率为p，现进行n次独立试验，试求:(1)A恰好发生两次的概率；(2)A至少发生两次的概率；(3)A至多发生两次的概率.解：设X表示n次独立试验中事件A发生的次数，易知(,)Xb n p。（1）222(2)(1)nnP XC pp；（2）2(2)(1)niin iniP XC pp；或000111(2)1(0)(1)1(1)(1)nnnnP XP XP XC ppC pp 发生而都发生表示为三个事件至少有一个发生表示为或表示为三个事件至多有一个发生表示为恰有两个不发生表示为都不发生表示为三个事件不少于两个发生表示为或表示为同时发生表示

12、为三个事件不多于两个发生表示为或表示为分一个盒子中有个球其中个黑球个红球求下列事件的概率从盒子中任取一球这个球是黑球从盒子中任取两球刚好一黑一红从盒子中任取两球都是红球从盒子中任取五球恰好有两个黑球优秀学习资料欢迎下载解分设甲乙丙三人同时独则且独立故有分设某批产品中甲乙丙三厂生产的产品分别占和各厂的产品的合格品率分别为现从中任取一件求恰好取到不合格品的概率取到的不合格品是由甲厂生产的概率解设任取一件产品恰为不合格品任取一件产品恰为第条流水优秀学习资料 欢迎下载 11(1)(1)nnpnpp ；（3）20(2)(1)iin iniP XC pp；8、（6 分）从 37 五个整数中任取三个不同的数

13、，设为123,x xx，记123min,Xx xx，求：(1)X的分布列；(2)X的分布函数；(3)24PX.解：（1）随机变量X的可能取值为：3,4,5 且有 24356(3)10CP XC；23353(4)10CP XC；22351(5)10CP XC。所以X的分布列为：X 3 4 5 P 6/10 3/10 1/10（2）分布函数036/1034()9/104515xxF xxx ；（3）(24)(3)(4)9/10PXP XP X ；9、（6 分）设随机变量X的分布函数为0,20.3,21()0.5,130.7,371,7xxF xxxx ，求：（1）X的分布列；（2）()E X；（3

14、）()Var X.解：（1）X的可能取值为分布函数()F x的间断点：-2,1,3,7；(2)(2)(1 0)0.300.3P XFF ；(1)(1)(10)0.50.30.2P XFF ；(3)(3)(30)0.70.50.2P XFF ；(7)(7)(70)1 0.70.3P XFF ；所以X的分布列为：X-2 1 3 7 发生而都发生表示为三个事件至少有一个发生表示为或表示为三个事件至多有一个发生表示为恰有两个不发生表示为都不发生表示为三个事件不少于两个发生表示为或表示为同时发生表示为三个事件不多于两个发生表示为或表示为分一个盒子中有个球其中个黑球个红球求下列事件的概率从盒子中任取一球这

15、个球是黑球从盒子中任取两球刚好一黑一红从盒子中任取两球都是红球从盒子中任取五球恰好有两个黑球优秀学习资料欢迎下载解分设甲乙丙三人同时独则且独立故有分设某批产品中甲乙丙三厂生产的产品分别占和各厂的产品的合格品率分别为现从中任取一件求恰好取到不合格品的概率取到的不合格品是由甲厂生产的概率解设任取一件产品恰为不合格品任取一件产品恰为第条流水优秀学习资料 欢迎下载 P 0.3 0.2 0.2 0.3（2）()2 0.31 0.23 0.27 0.32.3E X ；（3）22222()(2)0.310.230.270.317.9E X ；222()()()17.92.312.61Var XE XE X。

16、10、（3 分）随机变量X服从泊松分布，且(0)(1)P XP X，求(2)P X.解：因为X服从泊松分布，即()XP，故X的分布列为：()!kP Xkek，因为(0)(1)P XP X，所以有010!1!ee，得1，所以 2111(2)2!2eP Xe 11、（14 分）设随机变量X的密度函数为,03()2,3420,kxxxf xx 其它，(1)确定常数k；(2)求随机变量X的分布函数；(3)求712PX；（4）求()E X；（5）求()Var X.解：（1）由34031()(2)2xf x dxkxdxdx，16k；故,036()2,3420,xxxf xx 其他（2）X的分布函数()(

17、)()xF xP Xxf t dt，（i）当0 x 时，()()00 xxF xf t dtdt；（ii）当03x 时，200()()0612xxtxF xf t dtdtdt；发生而都发生表示为三个事件至少有一个发生表示为或表示为三个事件至多有一个发生表示为恰有两个不发生表示为都不发生表示为三个事件不少于两个发生表示为或表示为同时发生表示为三个事件不多于两个发生表示为或表示为分一个盒子中有个球其中个黑球个红球求下列事件的概率从盒子中任取一球这个球是黑球从盒子中任取两球刚好一黑一红从盒子中任取两球都是红球从盒子中任取五球恰好有两个黑球优秀学习资料欢迎下载解分设甲乙丙三人同时独则且独立故有分设某

18、批产品中甲乙丙三厂生产的产品分别占和各厂的产品的合格品率分别为现从中任取一件求恰好取到不合格品的概率取到的不合格品是由甲厂生产的概率解设任取一件产品恰为不合格品任取一件产品恰为第条流水优秀学习资料 欢迎下载（iii）当34x 时，20303()()0(2)23624xxttxF xf t dtdtdtdtx；（iv）当4x 时，034034()()0(2)0162xxttF xf t dtdtdtdtdt；故22000312()2334414xxxF xxxxx （3）773221137411()(2)26248xxPXf x dxdxdx；或2777171411()(1)2322242124

19、8PXFF 。（4）34037()()(2)623xxE Xxf x dxxdxxdx；（5）3422220337()()(2)626xxE Xx f x dxxdxxdx；22237713()()()6318Var XE XE X 。12、（3 分）设随机变量X的分布列如下，试求2YXX的分布列.X 2 1 0 1 2 P 0.3 0.2 0.1 0.3 0.1 解：因为：X 2 1 0 1 2 发生而都发生表示为三个事件至少有一个发生表示为或表示为三个事件至多有一个发生表示为恰有两个不发生表示为都不发生表示为三个事件不少于两个发生表示为或表示为同时发生表示为三个事件不多于两个发生表示为或表

20、示为分一个盒子中有个球其中个黑球个红球求下列事件的概率从盒子中任取一球这个球是黑球从盒子中任取两球刚好一黑一红从盒子中任取两球都是红球从盒子中任取五球恰好有两个黑球优秀学习资料欢迎下载解分设甲乙丙三人同时独则且独立故有分设某批产品中甲乙丙三厂生产的产品分别占和各厂的产品的合格品率分别为现从中任取一件求恰好取到不合格品的概率取到的不合格品是由甲厂生产的概率解设任取一件产品恰为不合格品任取一件产品恰为第条流水优秀学习资料 欢迎下载 P 0.3 0.2 0.1 0.3 0.1 2YXX 2 0 0 2 6 所以2YXX的分布列为：Y 0 2 6 P 0.3 0.6 0.1 13、（8 分）设随机变量

21、X的密度函数为2,03()90,Xxxfx 其它，求：（1）随机变量28YX的密度函数；（2）求()E Y；（3）求()Var Y.解：（1）分布函数法：记28YX的分布函数与密度函数分别为：()YFy，()Yfy；则有：828()()(28)()()2yYXyFyP YyPXyP Xfx dx （i）当802y，即8y 时 8822()()00yyYXFyfx dxdx；（ii）当8032y，即814y 时 88202202(8)()()0936yyYXxyFyfx dxdxdx；（iii）当832y，即14y 时 880322032()()0019yyYXxFyfx dxdxdxdx；故2

22、08(8)()81436114YyyFyyy，8814()()18YYyyfyFy 其它0 发生而都发生表示为三个事件至少有一个发生表示为或表示为三个事件至多有一个发生表示为恰有两个不发生表示为都不发生表示为三个事件不少于两个发生表示为或表示为同时发生表示为三个事件不多于两个发生表示为或表示为分一个盒子中有个球其中个黑球个红球求下列事件的概率从盒子中任取一球这个球是黑球从盒子中任取两球刚好一黑一红从盒子中任取两球都是红球从盒子中任取五球恰好有两个黑球优秀学习资料欢迎下载解分设甲乙丙三人同时独则且独立故有分设某批产品中甲乙丙三厂生产的产品分别占和各厂的产品的合格品率分别为现从中任取一件求恰好取到

23、不合格品的概率取到的不合格品是由甲厂生产的概率解设任取一件产品恰为不合格品任取一件产品恰为第条流水优秀学习资料 欢迎下载 公式法：因为()28yg xx在(,)上严格递增；其反函数为8()2yxh y，且1()2h y，故有：()|()|0()3()0XYfh yh yh yfy其它 28 1880481492221800yyyy 其它其它（2）302()()29XE Xxfx dxxxdx；()(28)2()82 2812E YEXE X ；（3）322202()()99XE Xx fx dxxxdx；222()()()925Var XE XE X；()(28)(2)4()4 1248Var

24、 YVarXVarXVar X 。14、（5 分）设X为非负连续型随机变量且数学期望存在，证明：0 x，()()1E XP Xxx.证明：记X的密度函数为()p x，则0 x 有 0()()()1()xxxP Xxp t dtp t dtp t dt 1()xtp t dtx 1()1()1()1tE Xp t dttp t dtxxx 发生而都发生表示为三个事件至少有一个发生表示为或表示为三个事件至多有一个发生表示为恰有两个不发生表示为都不发生表示为三个事件不少于两个发生表示为或表示为同时发生表示为三个事件不多于两个发生表示为或表示为分一个盒子中有个球其中个黑球个红球求下列事件的概率从盒子中任取一球这个球是黑球从盒子中任取两球刚好一黑一红从盒子中任取两球都是红球从盒子中任取五球恰好有两个黑球优秀学习资料欢迎下载解分设甲乙丙三人同时独则且独立故有分设某批产品中甲乙丙三厂生产的产品分别占和各厂的产品的合格品率分别为现从中任取一件求恰好取到不合格品的概率取到的不合格品是由甲厂生产的概率解设任取一件产品恰为不合格品任取一件产品恰为第条流水