巧求图形的面积和周长-教师版_小学教育-小学课件.pdf

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1、.-优选 巧求图形的面积和周长 第一部分：知识介绍 巧求图形的面积和周长的方法：1、平移法 2、差不变 3、旋转法 4、图形的切割拼 第二部分：例题精讲【例 1】下图中标出的数表示每边长，单位是厘米它的周长是多少厘米【考点】巧求图形的周长。【解析】长方形的长 5+6=11(厘米)，宽 1+3=4(厘米)，周长(11+4)2=30(厘米)。【答案】30 厘米【例 2】有 9 个小长方形，它们的长和宽分别相等，用这 9 个小长方形拼成的大长方形(如 图)的面积是 45 平方厘米，求这个大长方形的周长。【考点】巧求图形的周长【解析】从图上可以知道，小长方形的长的 4 倍等于宽的 5 倍，所以长是宽的

2、 5 4 1.25 倍。.-优选 每个小长方形的面积为 45 9 5 平方厘米，所以 1.25 宽 宽 5，所以宽为 2 厘米，长为 2.5 厘米。大长方形的周长为(2.5 4 2 2.5)2 29 厘米。【答案】29 厘米【例 3】如右图，计算这个格点三角形的面积。【考点】巧求图形的面积【解析】这个三角形是处在长是 6、宽是 4 的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，如下右图（b），这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角 三角形面积,就是所要求的三角形面积。矩形面积是 6 4=24；直角三角形的面 积是：6 2 2 6；直角三角形的面积是：4 2 2=4；直角三角形的

3、面积 是：4 2 2=4；所求三角形的面积是：24-（6 4 4）=10（面积单位）。【答案】10【例 4】如右图，ABFE 和 CDEF 都是矩形，AB 的长是 4 厘米，BC 的长是 3 厘米，那么图 中阴影部分的面积是平方厘米【考点】巧求图形的面积、一半模型 A BCDEF【解析】图中阴影部分的面积等于长方形 ABCD 面积的一半，即 4 3 2 6(平方厘米)。分例题精讲例下图中标出的数表示每边长单位是厘米它的周长是多少厘米考点巧求图形的周长解析长方形的长厘米宽厘米周长厘米答案厘米例有个小长方形它们的长和宽分别相等用这个小长方形拼成的大长方形如图的面积是平方厘 优选每个小长方形的面积为

4、平方厘米所以宽宽所以宽为厘米长为厘米大长方形的周长为厘米答案厘米例如右图计算这个格点三角形的面积考点巧求图形的面积解析这个三角形是处在长是宽是的矩形内除此之外还有其他三个直角三角 矩形面积是直角三角形的面积是直角三角形的面积是直角三角形的面积是所求三角形的面积是面积单位答案例如右图和都是矩形的长是厘米的长是厘米那么图中阴影部分的面积是平方厘米考点巧求图形的面积一半模型解析图中阴影.-优选【答案】10【例 5】(2005 年口试真题)右图中甲的面积比乙的面积大 _ 平方厘米。【考点】巧求图形的面积 乙甲6厘米8厘米4厘米【解析】甲的面积 白色三角形的面积(8 6)2 24(平方厘米)，乙的面积

5、白色三角形的面积(8 4)2 16(平方厘米)，所以，甲的面积 乙的面积 24 16 8(平方厘米)。【答案】8 平方厘米【例 6】用四个相同的长方形拼成一个面积为 2100cm 的大正方形，每个长方形的周长是多 少平方厘米？【考点】巧求图形的周长【解析】引导学生思考所求题目的关键是什么。本题的关键是找长方形的长和宽。根据 10 10 100 知这个大正方形的边长是 10 cm，即长加宽是 10 cm，长方形的周长是：10 2 20(cm)。【答案】20 厘米【例 7】如图所示的四边形的面积等于多少？ODCBA1313121213131212【考点】巧求图形的面积 分例题精讲例下图中标出的数表

6、示每边长单位是厘米它的周长是多少厘米考点巧求图形的周长解析长方形的长厘米宽厘米周长厘米答案厘米例有个小长方形它们的长和宽分别相等用这个小长方形拼成的大长方形如图的面积是平方厘 优选每个小长方形的面积为平方厘米所以宽宽所以宽为厘米长为厘米大长方形的周长为厘米答案厘米例如右图计算这个格点三角形的面积考点巧求图形的面积解析这个三角形是处在长是宽是的矩形内除此之外还有其他三个直角三角 矩形面积是直角三角形的面积是直角三角形的面积是直角三角形的面积是所求三角形的面积是面积单位答案例如右图和都是矩形的长是厘米的长是厘米那么图中阴影部分的面积是平方厘米考点巧求图形的面积一半模型解析图中阴影.-优选【解析】题

7、目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积。我们 可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形 OAB 绕顶点 O 逆时针旋转，使长 为 13 的两条边重合，此时三角形 OAB 将旋转到三角形 OCD 的位置。这样，通过 旋转后所得到的新图形是一个边长为 12 的正方形，且这个正方形的面积就是原来 四边形的面积 12 12=144。ODCBA1313121213131212【答案】144【例 8】如图，平行四边形 ABCD周长为 75 厘米 以 BC 为底时高是 14 厘米；以 CD 为底时 高是 16 厘米.求平行四边形 ABCD的面积。【考点】巧求图形的面积【解析】这个

8、图形可以看作是一个等腰直角三角形 ADE，切掉一个等腰直角三角形 BCE。因为角 A 是 45，角 D 是 90，角 E 是 180-45-90 45，所以 ADE是等 腰直角三角形，BCE也是等腰直角三角形。四边形 ABCD的面积，是这两个等腰直 角三角形面积之差，即 7 7 2-3 3 2 20。【答案】20【例 9】如图，平行四边形 ABCD周长为 75 厘米 以 BC 为底时高是 14 厘米；以 CD 为底时 高是 16 厘米求平行四边形 ABCD的面积。分例题精讲例下图中标出的数表示每边长单位是厘米它的周长是多少厘米考点巧求图形的周长解析长方形的长厘米宽厘米周长厘米答案厘米例有个小长

9、方形它们的长和宽分别相等用这个小长方形拼成的大长方形如图的面积是平方厘 优选每个小长方形的面积为平方厘米所以宽宽所以宽为厘米长为厘米大长方形的周长为厘米答案厘米例如右图计算这个格点三角形的面积考点巧求图形的面积解析这个三角形是处在长是宽是的矩形内除此之外还有其他三个直角三角 矩形面积是直角三角形的面积是直角三角形的面积是直角三角形的面积是所求三角形的面积是面积单位答案例如右图和都是矩形的长是厘米的长是厘米那么图中阴影部分的面积是平方厘米考点巧求图形的面积一半模型解析图中阴影.-优选【考点】等积变形【解析】因为平行四边形面积等于底与对应高的积，所以有 14 BC=16 CD，即 BC：CD=8：

10、7，而 2(BC+CD)=75，所以 BC=20，以 BC 为底，对应高为 14，20 14=280，所以平行四边形 ABCD的面积为 280 平方厘米。【答案】280 平方厘米【例 10】图中外侧的四边形是一边长为 10 厘米的正方形，求阴影部分的面积。【考点】巧求图形的面积【解析】如下图所示，所以阴影部分在图中为四边形 EFGH。设阴影部分面积为“阴”平方 厘米，正方形内的其他部分面积设为“空”平方厘米。DGH、HMG的面积相等，GCF与 GPF的面积相等，FBE与 EOF的面积相等，HAE与 HNE的面积相 等。阴一空=2 3=6，阴+空=lO 10=100。阴=(6+100)2=53，

11、即阴影部分的面积 为 53 平方厘米。【答案】53 平方厘米【例 11】（2011 年口试真题）如图所示，四个等腰直角三角形和一个正方形，已知正方形 分例题精讲例下图中标出的数表示每边长单位是厘米它的周长是多少厘米考点巧求图形的周长解析长方形的长厘米宽厘米周长厘米答案厘米例有个小长方形它们的长和宽分别相等用这个小长方形拼成的大长方形如图的面积是平方厘 优选每个小长方形的面积为平方厘米所以宽宽所以宽为厘米长为厘米大长方形的周长为厘米答案厘米例如右图计算这个格点三角形的面积考点巧求图形的面积解析这个三角形是处在长是宽是的矩形内除此之外还有其他三个直角三角 矩形面积是直角三角形的面积是直角三角形的面

12、积是直角三角形的面积是所求三角形的面积是面积单位答案例如右图和都是矩形的长是厘米的长是厘米那么图中阴影部分的面积是平方厘米考点巧求图形的面积一半模型解析图中阴影.-优选 的面积是 4 平方厘米，长方形 ABCD的面积是多少平方厘米？【考点】图形的切割拼【解析】取 AB、CD AE的中点，BC 的三等分点进行连接，可以把长方形分割成如下图所示，由于取得点都是等分点，分割后 7 个小正方形的面积都是 4 平方厘米，10 个小等 腰直角三角形的面积都是 2 平方厘米，可以看出长方形 ABCD 的面积等于：7 4+10 2=48（平方厘米）。【答案】48 平方厘米【例 12】如何把一个长 20 厘米、

13、宽 12 厘米的长方形切成两块，拼成一个长 16 厘米、宽 15 厘米的新长方形。【考点】图形的切割拼【解析】因为原长方形比新长方形的长多 4 厘米，新长方形比原长方形的宽多 3 厘米，因此 我们把原长方形分成 20 个长 4 厘米，宽 3 厘米的小长方形。因为新长方形的长为 16 厘米，所以原长方形的长应减少一个小长方形，而新长方形的宽为 15 厘米，所 以原长方形的宽应增加一个小长方形。可以沿对角线的方向，把它切成 k 阶梯状的 两块，并使他们的形状和大小完全相同，然后把它们相互错位交在一起，即白色部 分往上爬了一个台阶，这样便拼成了一个新的长方形。具体操作中可按下图中的粗 线把长方形分两

14、成块，一移一错一对，便可得到如图所示的长为 16 厘米，宽为 15 分例题精讲例下图中标出的数表示每边长单位是厘米它的周长是多少厘米考点巧求图形的周长解析长方形的长厘米宽厘米周长厘米答案厘米例有个小长方形它们的长和宽分别相等用这个小长方形拼成的大长方形如图的面积是平方厘 优选每个小长方形的面积为平方厘米所以宽宽所以宽为厘米长为厘米大长方形的周长为厘米答案厘米例如右图计算这个格点三角形的面积考点巧求图形的面积解析这个三角形是处在长是宽是的矩形内除此之外还有其他三个直角三角 矩形面积是直角三角形的面积是直角三角形的面积是直角三角形的面积是所求三角形的面积是面积单位答案例如右图和都是矩形的长是厘米的

15、长是厘米那么图中阴影部分的面积是平方厘米考点巧求图形的面积一半模型解析图中阴影.-优选 厘米的新长方形【答案】见上图 第三部分：课堂检测【检测 1】如图，长方形 ABCD的面积是 56 平方厘米，点 E、F、G 分别是长方形 ABCD边上 的中点，H 为 AD边上的任意一点，求阴影部分的面积。GH F E DC BA【考点】图形的切割拼【解析】如右图，连接 BH、HC，由 E、F、G 分别为 AB、BC、CD 三边的中点有 AE=EB、BF=FC、CG=CD。因此 S1=S2，S3=S4，S5=S6,而阴影部分面积=S2+S3+S6，空白部分面积=S1+S4+S5。所以阴影部分面积与空白部分面

16、积相等，均为长方形的一半，即阴影部 分面积为 28。【答案】28【检测 2】右图中，矩形 ABCD 的边 AB 为 4 厘米，BC 为 6 厘米，三角形 ABF 比三角形 EDF 的面积大 9 平方厘米，求 ED 的长。【考点】巧求图形的面积 分例题精讲例下图中标出的数表示每边长单位是厘米它的周长是多少厘米考点巧求图形的周长解析长方形的长厘米宽厘米周长厘米答案厘米例有个小长方形它们的长和宽分别相等用这个小长方形拼成的大长方形如图的面积是平方厘 优选每个小长方形的面积为平方厘米所以宽宽所以宽为厘米长为厘米大长方形的周长为厘米答案厘米例如右图计算这个格点三角形的面积考点巧求图形的面积解析这个三角形

17、是处在长是宽是的矩形内除此之外还有其他三个直角三角 矩形面积是直角三角形的面积是直角三角形的面积是直角三角形的面积是所求三角形的面积是面积单位答案例如右图和都是矩形的长是厘米的长是厘米那么图中阴影部分的面积是平方厘米考点巧求图形的面积一半模型解析图中阴影.-优选 ABCDEF【解析】(4 6 9)6 2 5 EC(厘米)，1 ED EC DC(厘米)。【答案】1 厘米【检测 3】如图，两个等腰直角三角形重叠在一起，阴影部分为重叠部分，求阴影部分的 面积。【考点】用图形的切、割、拼巧求图形的面积【解析】三角形 ICF的面积是 2 2 2=2（平方厘米），三角形 BDH的面积是 5 5 2=12.

18、5（平方厘米），三角形 BFG的面积是 12 6 2=36（平方厘米），所以阴影部分的 面积是 36-12.5-2=21.5（平方厘米）。【答案】21.5 平方厘米【检测 4】一个正三角形形状的土地上有四棵大树(如右图所示)，现要把这块正三角形的土地分成和它形状相同的四小块，并且要求每块地中都要有一棵大树。应怎样分【考点】图形的切割拼【解析】分例题精讲例下图中标出的数表示每边长单位是厘米它的周长是多少厘米考点巧求图形的周长解析长方形的长厘米宽厘米周长厘米答案厘米例有个小长方形它们的长和宽分别相等用这个小长方形拼成的大长方形如图的面积是平方厘 优选每个小长方形的面积为平方厘米所以宽宽所以宽为厘米

19、长为厘米大长方形的周长为厘米答案厘米例如右图计算这个格点三角形的面积考点巧求图形的面积解析这个三角形是处在长是宽是的矩形内除此之外还有其他三个直角三角 矩形面积是直角三角形的面积是直角三角形的面积是直角三角形的面积是所求三角形的面积是面积单位答案例如右图和都是矩形的长是厘米的长是厘米那么图中阴影部分的面积是平方厘米考点巧求图形的面积一半模型解析图中阴影.-优选【答案】见上图 第四部分：家庭作业【作业 1】如下图正方形操场边长 100 米，一只蚂蚁沿甲地走了一圈，另一只蚂蚁沿乙地走 了一圈，谁走的路长？它们各走了多少米？【考点】线段平移法、巧求图形的周长【解析】我们分别求甲、乙的周长。甲的周长可

20、转化为长方形周长（如图），即为（100+50+30）2=360（米）。再求乙的周长。乙的周长等于长方形周长加上 2 个 30 米，即为（100+50）2+30 2=360（米）。所以它俩走的一样长。【答案】一样长【作业 2】右图是一个方格网，计算阴影部分的面积。分例题精讲例下图中标出的数表示每边长单位是厘米它的周长是多少厘米考点巧求图形的周长解析长方形的长厘米宽厘米周长厘米答案厘米例有个小长方形它们的长和宽分别相等用这个小长方形拼成的大长方形如图的面积是平方厘 优选每个小长方形的面积为平方厘米所以宽宽所以宽为厘米长为厘米大长方形的周长为厘米答案厘米例如右图计算这个格点三角形的面积考点巧求图形的

21、面积解析这个三角形是处在长是宽是的矩形内除此之外还有其他三个直角三角 矩形面积是直角三角形的面积是直角三角形的面积是直角三角形的面积是所求三角形的面积是面积单位答案例如右图和都是矩形的长是厘米的长是厘米那么图中阴影部分的面积是平方厘米考点巧求图形的面积一半模型解析图中阴影.-优选【考点】图形的切割拼、巧求图形的面积【解析】把所求三角形扩展置正方形 ABCD中。这个正方形中有四个三角形：一个是要求的 AEF；另外三个分别是：ABE、FEC、DAF，它们都有一条边是水平放置的，易求它们的面积分别为 1.5cm 2，2cm 2，1.5cm 2。所以，图中阴影部分的面积为：3 3(1.5 2+2)=4

22、(cm 2)。【答案】4cm 2【作业 3】比较图 3 中的两个阴影部分 I 和 的面积，它们的大小关系 _。【考点】图形的切割拼、一半模型、巧求图形的面积【解析】I 和 的面积一样大，都是等于 6 块的一半。【答案】一样大【作业 4】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是 4 厘米，求三角形 ABC 的面积。【考点】等积变形、蝴蝶定理【解析】4 4 2=8(cm 2)。【答案】8cm 2【作业 5】如图，正六边形中，阴影部分的面积为 1平方厘米，则正六边形的面积为多少平 方厘米？分例题精讲例下图中标出的数表示每边长单位是厘米它的周长是多少厘米考点巧求图形的周长解析长方形的长厘米宽厘

23、米周长厘米答案厘米例有个小长方形它们的长和宽分别相等用这个小长方形拼成的大长方形如图的面积是平方厘 优选每个小长方形的面积为平方厘米所以宽宽所以宽为厘米长为厘米大长方形的周长为厘米答案厘米例如右图计算这个格点三角形的面积考点巧求图形的面积解析这个三角形是处在长是宽是的矩形内除此之外还有其他三个直角三角 矩形面积是直角三角形的面积是直角三角形的面积是直角三角形的面积是所求三角形的面积是面积单位答案例如右图和都是矩形的长是厘米的长是厘米那么图中阴影部分的面积是平方厘米考点巧求图形的面积一半模型解析图中阴影.-优选【考点】图形的切割拼【解析】由图易知，阴影部分的面积为整个正六边形的面积的一半。正六边

24、形的面积是 1 2=2。【答案】2【作业 6】正六边形 ABCDEF 的面积是 1 平方米，将六条边分别向两端各延长一倍，交于六 个点，组成如下图的图形，求这个图形的面积。【考点】图形的切割拼【解析】采用分割法，连接正六边形的对角线，会发现，所有的三角形面积都相同，一共有 12 个小三角形，原来正六边形的面积是 1 平方米，由 6 个小三角形组成，所以现 在的大图形的面积是：1 2=2（平方米）。【答案】2 平方米【作业 7】如图，正方形 ABCD的边长是 5，E、F 分别是 AB和 BC 的中点，求四边形 BFGE 的面积。分例题精讲例下图中标出的数表示每边长单位是厘米它的周长是多少厘米考点

25、巧求图形的周长解析长方形的长厘米宽厘米周长厘米答案厘米例有个小长方形它们的长和宽分别相等用这个小长方形拼成的大长方形如图的面积是平方厘 优选每个小长方形的面积为平方厘米所以宽宽所以宽为厘米长为厘米大长方形的周长为厘米答案厘米例如右图计算这个格点三角形的面积考点巧求图形的面积解析这个三角形是处在长是宽是的矩形内除此之外还有其他三个直角三角 矩形面积是直角三角形的面积是直角三角形的面积是直角三角形的面积是所求三角形的面积是面积单位答案例如右图和都是矩形的长是厘米的长是厘米那么图中阴影部分的面积是平方厘米考点巧求图形的面积一半模型解析图中阴影.-优选 GFEADCB【考点】图形的切割拼【解析】如下图

26、，利用割补法，原正方形面积等于 5 个小正方形面积之和，所以每个 小正方形面积是 5 5 5=5，而阴影部分面积等于 1 个小正方形面积，所以也 是 5。BCDAEFG【答案】5【作业 8】右图是一块长方形草地，长方形的长是 16，宽是 10。中间有两条道路，一条是 长方形，一条是平行四边形，它们的宽都是 2，求草地部分的面积（阴影部分）有多大？【考点】巧求图形的面积【解析】如图所示，将道路平移后的（16-2）（10-2）=112。【答案】112 分例题精讲例下图中标出的数表示每边长单位是厘米它的周长是多少厘米考点巧求图形的周长解析长方形的长厘米宽厘米周长厘米答案厘米例有个小长方形它们的长和宽

27、分别相等用这个小长方形拼成的大长方形如图的面积是平方厘 优选每个小长方形的面积为平方厘米所以宽宽所以宽为厘米长为厘米大长方形的周长为厘米答案厘米例如右图计算这个格点三角形的面积考点巧求图形的面积解析这个三角形是处在长是宽是的矩形内除此之外还有其他三个直角三角 矩形面积是直角三角形的面积是直角三角形的面积是直角三角形的面积是所求三角形的面积是面积单位答案例如右图和都是矩形的长是厘米的长是厘米那么图中阴影部分的面积是平方厘米考点巧求图形的面积一半模型解析图中阴影.-优选 课堂总结：本讲主要讲的内容是用平移法、旋转法、图形的切割拼、差不变的方法来巧算图形面积。分例题精讲例下图中标出的数表示每边长单位是厘米它的周长是多少厘米考点巧求图形的周长解析长方形的长厘米宽厘米周长厘米答案厘米例有个小长方形它们的长和宽分别相等用这个小长方形拼成的大长方形如图的面积是平方厘 优选每个小长方形的面积为平方厘米所以宽宽所以宽为厘米长为厘米大长方形的周长为厘米答案厘米例如右图计算这个格点三角形的面积考点巧求图形的面积解析这个三角形是处在长是宽是的矩形内除此之外还有其他三个直角三角 矩形面积是直角三角形的面积是直角三角形的面积是直角三角形的面积是所求三角形的面积是面积单位答案例如右图和都是矩形的长是厘米的长是厘米那么图中阴影部分的面积是平方厘米考点巧求图形的面积一半模型解析图中阴影