第3讲多边形及其内角和知识点_中学教育-中学学案.pdf

《第3讲多边形及其内角和知识点_中学教育-中学学案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第3讲多边形及其内角和知识点_中学教育-中学学案.pdf（10页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、知识点大全 第 3 讲 多边形及其内角和（11.3）一、知识点总结 定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。凸多边形 分类 1：凹多边形 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。分类 2：多边形 非正多边形：1、n 边形的内角和等于 180（n-2）。多边形的定理 2、任意凸形多边形的外角和等于 360。3、n 边形的对角线条数等于 1/2 n（n-3）只用一种正多边形：3、4、6/。镶嵌 拼成 360 度的角 只用一种非正多边形（全等）：3、4。知识点一：多边形及有关概念 1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.（1）多

2、边形的一些要素：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个 n 边形有 n 个内角。外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。（2）在定义中应注意：一些线段（多边形的边数是大于等于 3 的正整数）；首尾顺次相连，二者缺一不可;理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间 多边形.2、多边形的分类:(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这 条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图

3、 1）.本章所讲的多边形都是指凸 多边形.凸多边形 凹多边形 图 1(2)多边形通常还以边数命名，多边形有 n 条边就叫做 n 边形三角形、四边形都属于多边形，其中三角 形是边数最少的多边形 知识点二：正多边形 知识点大全 各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。如正三角形、正方形、正五边 形等。正三角形 正方形 正五边形 正六边形 正十二边形 要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可.如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形 知识点三：多边形的对角线 多边形的对角线：连接多

4、边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.如图 2，BD 为四边形 ABCD 的一条对角线。要点诠释：(1)从 n 边形一个顶点可以引(n 3)条对角线，将多边形分成(n 2)个三角形。(2)n 边形共有 条对角线。证明：过一个顶点有 n 3 条对角线(n 3 的正整数)，又共有 n 个顶点，共有 n(n-3)条对角线，但过两个不相邻顶点的对角线重复了一次，凸 n 边形，共有 条对角线。知识点四：多边形的内角和公式 1.公式：边形的内角和为.2.公式的证明：证法 1：在 边形内任取一点，并把这点与各个顶点连接起来，共构成 个三角形，这 个三角形的内角和为，再减去一个周角，即得到 边形的内

5、角和为.证法 2：从 边形一个顶点作对角线，可以作 条对角线，并且 边形被分成 个三角形，这 个三角形内角和恰好是 边形的内角和，等于.证法 3：在 边形的一边上取一点与各个顶点相连，得 个三角形，边形内角和等于这 个三角形的内角和减去所取的一点处的一个平角的度数，即.要点诠释：(1)注意：以上各推导方法体现出将多边形问题转化为三角形问题来解决的基础思想。(2)内角和定理的应用：已知多边形的边数，求其内角和；已知多边形内角和，求其边数。知识点五：多边形的外角和公式 1.公式：多边形的外角和等于 360.2.多边形外角和公式的证明：多边形的每个内角和与它相邻的外角都是邻补角，所以 边形的内角和加

6、外角和为做多边形凸多边形分类凹多边形正多边形各边相等各角也相等的多边形叫做正多边形分类多边形非正多边形边形的内角和等于多边形的定理任意凸形多边形的外角和等于边形的对角线条数等于只用一种正多边形镶嵌只用一种非正多 多边形多边形的一些要素边组成多边形的各条线段叫做多边形的边顶点每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点内角多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角一个边形有个内角外角多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多 注意在同一平面内这个条件其目的是为了排除个点不共面的情况即空间多边形多边形的分类多边形可分为凸多边形和凹多边形画出多边形的任何一条边所在的直线如果整个多边形都在这条直线的同一侧则此多边

7、形为凸多边形反之为知识点大全，外角和等于.注意：n 边形的外角和恒等于 360，它与边数的多少无关。要点诠释：(1)外角和公式的应用：已知外角度数，求正多边形边数；已知正多边形边数，求外角度数.(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：n 边形的内角和等于(n 2)180(n 3，n 是正整数)，可见多边形内角和与边数 n 有关，每增加 1 条边，内角和增加 180。多边形的外角和等于 360，与边数的多少无关。知识点六：镶嵌的概念和特征 1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)。这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同。2、

8、实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于 360；相邻的多边形有公共边。3、常见的一些正多边形的镶嵌问题：(1)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为 360。(2)只用一种正多边形镶嵌地面 对于给定的某种正多边形，怎样判断它能否拼成一个平面图形，且不留一点空隙？解决问题的关键在于正多边形的内角特点。当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角 360时，就能铺成一个平面图形。事实上，正 n 边形的每一个内角为，要求 k 个正 n 边形各有一个内角拼于一点，恰好覆盖地面，这样360，由此导出 k 2，而 k 是正整数，所以 n

9、 只能取 3,4，6。因而，用相同的正多边形地砖铺地面，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用。注意：任意四边形的内角和都等于 360。所以用一批形状、大小完全相同但不规则的四边形地砖也可以铺成无空隙的地板，用任意相同的三角形也可以铺满地面。(3)用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面 用两种或两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，关键是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题。例如，用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八边形都可以作平面镶嵌，见下图：又如，用一个正三角形、两个正方形、一个正六边形结合在一起恰好能够铺满地面，因为它们的交接处

10、各角之和恰好为一个周角 360。规律方法指导 1内角和与边数成正比：边数增加，内角和增加；边数减少，内角和减少.每增加一条边，内角的和 就增加 180（反过来也成立），且多边形的内角和必须是 180的整数倍.2 多边形外角和恒等于 360，与边数的多少无关.3多边形最多有三个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形）；多边形的外角中最多有三个钝角，最少 没有钝角.4在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时，常与方程思想相结合，运用方程思想是解决本节 问题的常用方法.做多边形凸多边形分类凹多边形正多边形各边相等各角也相等的多边形叫做正多边形分类多边形非正多边形边形的内角和等于多边形的定理任意凸形多边形

11、的外角和等于边形的对角线条数等于只用一种正多边形镶嵌只用一种非正多 多边形多边形的一些要素边组成多边形的各条线段叫做多边形的边顶点每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点内角多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角一个边形有个内角外角多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多 注意在同一平面内这个条件其目的是为了排除个点不共面的情况即空间多边形多边形的分类多边形可分为凸多边形和凹多边形画出多边形的任何一条边所在的直线如果整个多边形都在这条直线的同一侧则此多边形为凸多边形反之为知识点大全 5在解决多边形的内角和问题时，通常转化为与三角形相关的角来解决.三角形是一种基本图形，是 研究复杂图形的基础，同时

12、注意转化思想在数学中的应用.二、经典例题透析 类型一：多边形内角和及外角和定理应用 1一个多边形的内角和等于它的外角和的 5 倍，它是几边形？总结升华：本题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用.只要设出边数，根据条件列出关于 的方程，求出 的值即可，这是一种常用的解题思路.举一反三：【变式 1】若一个多边形的内角和与外角和的总度数为 1800，求这个多边形的边数.【变式 2】一个多边形除了一个内角外，其余各内角和为 2750，求这个多边形的内角和是多少？【答案】设这个多边形的边数为，这个内角为，.【变式 3】一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为 1350，求这个多边形的边数。类型二

13、：多边形对角线公式的运用【变式 1】一个多边形共有 20 条对角线，则多边形的边数是（）.A 6 B 7 C 8 D 9【变式 2】一个十二边形有几条对角线。总结升华：对于一个 n 边形的对角线的条数，我们可以总结出规律 条，牢记这个公式，以后只要用相应的 n 的值代入即可求出对角线的条数，要记住这个公式只有在理解的基础之上才能记得牢。类型三：可转化为多边形内角和问题【变式 1】如图所示，1+2+3+4+5+6=_.【变式 2】如图所示，求 A B C D E F 的度数。类型四：实际应用题 4如图，一辆小汽车从 P 市出发，先到 B 市，再到 C 市，再到 A 市，最后返回 P 市，这辆小汽

14、车共转了做多边形凸多边形分类凹多边形正多边形各边相等各角也相等的多边形叫做正多边形分类多边形非正多边形边形的内角和等于多边形的定理任意凸形多边形的外角和等于边形的对角线条数等于只用一种正多边形镶嵌只用一种非正多 多边形多边形的一些要素边组成多边形的各条线段叫做多边形的边顶点每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点内角多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角一个边形有个内角外角多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多 注意在同一平面内这个条件其目的是为了排除个点不共面的情况即空间多边形多边形的分类多边形可分为凸多边形和凹多边形画出多边形的任何一条边所在的直线如果整个多边形都在这条直线的同一侧则此多边

15、形为凸多边形反之为知识点大全 多少度角？思路点拨：根据多边形的外角和定理解决.举一反三：【变式 1】如图所示，小亮从 A 点出发前进 10m，向右转 15，再前进 10m，又向右转 15，这样一直走下去，当他第一次回到出发点时，一共走了 _m.【变式 2】小华从点 A 出发向前走 10 米，向右转 36，然后继续向前走 10 米，再向右转 36，他以同样的方法继续走下去，他能回到点 A 吗？若能，当他走回点 A 时共走了多少米？若不能，写出理由。【变式 3】如图所示是某厂生产的一块模板，已知该模板的边 AB CF，CD AE.按规定 AB、CD 的延长线相交成 80角，因交点不在模板上，不便测

16、量.这时师傅告诉徒弟只需测一个角，便知道 AB、CD 的延长线的夹角是否合乎规定，你知道需测哪一个角吗？说明理由.思路点拨：本题中将 AB、CD 延长后会得到一个五边形，根据五边形内角和为540，又由 AB CF，CD AE，可知 BAE+AEF+EFC=360，从 540中减去 80再减去 360，剩下 C 的度数为 100，所以只需测 C 的度数即可，同理还可直接测 A 的度数.总结升华：本题实际上是多边形内角和的逆运算，关键在于正确添加辅助线.类型五：镶嵌问题 5分别画出用相同边长的下列正多边形组合铺满地面的设计图。(1)正方形和正八边形；(2)正三角形和正十二边形；(3)正三角形、正方

17、形和正六边形。思路点拨：只要在拼接处各多边形的内角的和能构成一个周角，那么这些多边形就能作平面镶嵌。解析：正三角形、正方形、正六边形、正八边形、正十二边形的每一个内角分别是 60、90、120、135、150。(1)因为 90 2 135 360，所以一个顶点处有 1 个正方形、2 个正八边形，如图(1)所示。(2)因为 60 2 150 360，所以一个顶点处有 1 个正三角形、2 个正十二边形，如图(2)所示。(3)因为 60 2 90 120 360，所以一个顶点处有 1 个正三角形、1 个正六边形和 2 个正方形，如图(3)所示。总结升华：用两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，实

18、质上是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题。举一反三：【变式 1】分别用形状、大小完全相同的三角形木板；四边形木板；正五边形木板；正六边形木板作平面镶嵌，其中不能镶嵌 成 地 板 的 是()A、B、C、D、解析：用同一种多边形木板铺地面，只有正三角形、四边形、正六边形的木板可以用，不能用正五边形木板，故【变式 2】用三块正多边形的木板铺地，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，其中两块木板的边数都是 8，则第三块木板的边数应是()做多边形凸多边形分类凹多边形正多边形各边相等各角也相等的多边形叫做正多边形分类多边形非正多边形边形的内角和等于多边形的定理任意凸形多边形的外角和等于边形

19、的对角线条数等于只用一种正多边形镶嵌只用一种非正多 多边形多边形的一些要素边组成多边形的各条线段叫做多边形的边顶点每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点内角多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角一个边形有个内角外角多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多 注意在同一平面内这个条件其目的是为了排除个点不共面的情况即空间多边形多边形的分类多边形可分为凸多边形和凹多边形画出多边形的任何一条边所在的直线如果整个多边形都在这条直线的同一侧则此多边形为凸多边形反之为知识点大全 A、4 B、5 C、6 D、8【答案】A（提示：先算出正八边形一个内角的度数，再乘以 2，然后用 360减去刚才得到的积，便得到第

20、三块木板一个内角的度数，进而得到第三块木板的边数）三、综合练习 一、选择题：1.一个多边形的内角和是 720,则这个多边形是()A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形 2.一个多边形的内角和比它的外角和的 3 倍少 180,这个多边形的边数是()A.5 B.6 C.7 D.8 3.若正 n 边形的一个外角为 60,则 n 的值是()A.4 B.5 C.6 D.8 4.下列角度中,不能成为多边形内角和的是()A.600 B.720 C.900 D.1080 5.若一个多边形的内角和与外角和之和是 1800,则此多边形是()A.八边形 B.十边形 C.十二边形 D.十四边形 6.下列命题：

21、多边形的外角和小于内角和,三角形的内角和等于外角和,多边形的外角和是指这个多边形所有外角之和,四边形的内角和等于它的外角和.其中正确的有()A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 7.一个多边形的边数增加 2 条，则它的内角和增加()A.180 B.90 C.360 D.540 8.过多边形的一个顶点可以作 7 条对角线，则此多边形的内角和是外角和的()A.4 倍 B.5 倍 C.6 倍 D.3 倍 9.在四边形ABCD中，A、B、C、D 的度数之比为 2343，则D 的外角等于()A.60 B.75 C.90 D.10.在各个内角都相等的多边形中，一个内角是与它相邻的一个外角的 3

22、倍，那么这个多边形的边数是()A.4 B.6 C.8 D.10 11.如图，AB CD EF,则下列各式中正确的是()A.123180 B.12390 C.12390 D.231180 12.在下列条件中：C B A 3 2 1:C:B:A B A 90 C B A 中，能确定ABC 是直角三角形的条件有().二、填空题 1.五边形的内角和等于 _度.2.若一凸多边形的内角和等于它的外角和,则它的边数是 _.3.正十五边形的每一个内角等于 _度.4.十边形的对角线有 _条.5.内角和是 1620的多边形的边数是 _.6.一个多边形的每一个外角都等于 36，那么这个多边形的内角和是.7.一个多边

23、形的内角和是外角和的 4 倍，则这个多边形是 边形.8.已知等腰梯形 ABCD 中，AD BC,若 B=31 D，则 A的外角是.9 题图 9.如图在 ABC 中，D是 ACB与 ABC 的角平分线的交点，BD的延长线交 AC于 E，且 EDC=50，则 A的度数为.10.如图，在六边形 ABCDEF 中，AF CD，AB DE，且 A=120，B=80，做多边形凸多边形分类凹多边形正多边形各边相等各角也相等的多边形叫做正多边形分类多边形非正多边形边形的内角和等于多边形的定理任意凸形多边形的外角和等于边形的对角线条数等于只用一种正多边形镶嵌只用一种非正多 多边形多边形的一些要素边组成多边形的各

24、条线段叫做多边形的边顶点每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点内角多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角一个边形有个内角外角多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多 注意在同一平面内这个条件其目的是为了排除个点不共面的情况即空间多边形多边形的分类多边形可分为凸多边形和凹多边形画出多边形的任何一条边所在的直线如果整个多边形都在这条直线的同一侧则此多边形为凸多边形反之为知识点大全 则 C 的度数是，D的度数是 10 题图 三、计算题 1.一个多边形的每一个外角都等于 45,求这个多边形的内角和.2.一个多边形的每一个内角都等于 144，求它的边数.3.如果四边形有一个角是直角，另外三个角的度数之比

25、为 2 3 4，那么这三个内角的度数分别是多少？4.一个正多边形的一个内角比相邻外角大 36，求这个正多边形的边数.5.已知多边形的内角和等于 1440，求(1)这个多边形的边数，(2)过一个顶点有几条对角线，(3)总对角线条数.6.一个多边形的外角和是内角和的72，求这个多边形的边数；7.已知一多边形的每一个内角都相等，它的外角等于内角的32，求这个多边形的边数；8.一多边形内角和为 2340，若每一个内角都相等，求每个外角的度数.9.已知四边形 ABCD 中,A:B=7:5,A-C=B,C=D-40,求各内角的度数.做多边形凸多边形分类凹多边形正多边形各边相等各角也相等的多边形叫做正多边形

26、分类多边形非正多边形边形的内角和等于多边形的定理任意凸形多边形的外角和等于边形的对角线条数等于只用一种正多边形镶嵌只用一种非正多 多边形多边形的一些要素边组成多边形的各条线段叫做多边形的边顶点每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点内角多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角一个边形有个内角外角多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多 注意在同一平面内这个条件其目的是为了排除个点不共面的情况即空间多边形多边形的分类多边形可分为凸多边形和凹多边形画出多边形的任何一条边所在的直线如果整个多边形都在这条直线的同一侧则此多边形为凸多边形反之为知识点大全 10.一个多边形,除一个内角外,其余各内角之和等于

27、1000,求这个内角及多边形的边数.11.如图,一个六边形的六个内角都是 120,AB=1,BC=CD=3,DE=2,求该六边形的周长.四、拓展练习 1.探究：（1）如图2 1 与C B 有什么关系？为什么？（2）把图ABC 沿DE折叠，得到图，填空：12_C B(填“”“”“”)，当 40 A时，C B+2 1=_.（3）如图，是由图的ABC 沿DE折叠得到的，如果 30 A，则 360 y x（C B+2 1）360,从而猜想y x 与A 的关系为.图 图 图 2.如图 1、图 2、图 3 中，点E、D分别是正ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的一边延长线和另一边反

28、向延长线上的点，且ABE 与BCD 能互相重合，BD延长线交AE于点F.（1）求图 1 中，AFB 的度数；（2）图 2 中，AFB 的度数为 _，图 3 中，AFB 的度数为 _；图 1 图 2 图 3 EFDBCA做多边形凸多边形分类凹多边形正多边形各边相等各角也相等的多边形叫做正多边形分类多边形非正多边形边形的内角和等于多边形的定理任意凸形多边形的外角和等于边形的对角线条数等于只用一种正多边形镶嵌只用一种非正多 多边形多边形的一些要素边组成多边形的各条线段叫做多边形的边顶点每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点内角多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角一个边形有个内角外角多边形的边与它的邻

29、边的延长线组成的角叫做多 注意在同一平面内这个条件其目的是为了排除个点不共面的情况即空间多边形多边形的分类多边形可分为凸多边形和凹多边形画出多边形的任何一条边所在的直线如果整个多边形都在这条直线的同一侧则此多边形为凸多边形反之为知识点大全 3（1）如图 1，有一块直角三角板 XYZ 放置在 ABC 上，恰好三角板 XYZ 的两条直角边 XY、XZ 分别经过点 B、C ABC 中，A=30，则 ABC+ACB=_，XBC+XCB=_（2）如图 2，改变直角三角板 XYZ 的位置，使三角板 XYZ 的两条直角边 XY、XZ 仍然分别经过 B、C，那么 ABX+ACX 的大小是否变化？若变化，请举例

30、说明；若不变化，请求出 ABX+ACX 的大小 4如图，A、B 两点同时从原点 O 出发，点 A 以每秒 x 个单位长度沿 x 轴的负方向运动，点 B 以每秒 y 个单位长度沿 y 轴的正方向运动（1）若|x+2y 5|+|2x y|=0，试分别求出 1 秒钟后 A、B 两点的坐标；（2）设 BAO 的邻补角和 ABO 的邻补角的平分线相交于点 P，问：点 A、B 在运动的过程中，P 的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；（3）如图，延长 BA 至 E，在 ABO 的内部作射线 BF 交 x 轴于点 C，若 EAC、FCA、ABC 的平分线相交于点 G，过点

31、G 作 BE 的垂线，垂足为 H，试问 AGH 和 BGC 的大小关系如何？请写出你的结论并说明理由 做多边形凸多边形分类凹多边形正多边形各边相等各角也相等的多边形叫做正多边形分类多边形非正多边形边形的内角和等于多边形的定理任意凸形多边形的外角和等于边形的对角线条数等于只用一种正多边形镶嵌只用一种非正多 多边形多边形的一些要素边组成多边形的各条线段叫做多边形的边顶点每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点内角多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角一个边形有个内角外角多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多 注意在同一平面内这个条件其目的是为了排除个点不共面的情况即空间多边形多边形的分类多边形可分

32、为凸多边形和凹多边形画出多边形的任何一条边所在的直线如果整个多边形都在这条直线的同一侧则此多边形为凸多边形反之为知识点大全 做多边形凸多边形分类凹多边形正多边形各边相等各角也相等的多边形叫做正多边形分类多边形非正多边形边形的内角和等于多边形的定理任意凸形多边形的外角和等于边形的对角线条数等于只用一种正多边形镶嵌只用一种非正多 多边形多边形的一些要素边组成多边形的各条线段叫做多边形的边顶点每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点内角多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角一个边形有个内角外角多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多 注意在同一平面内这个条件其目的是为了排除个点不共面的情况即空间多边形多边形的分类多边形可分为凸多边形和凹多边形画出多边形的任何一条边所在的直线如果整个多边形都在这条直线的同一侧则此多边形为凸多边形反之为