平行线的证明_中学教育-初中教育.pdf

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1、.-.可修编.平行线的证明 1、平行线的判断 公理：同位角相等，两直线平行 定理：同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行 推理：平行于同一直线的两直线平行；垂直于同一直线的两直线平行 2、平行线的特征 公理：两直线平行，同位角相等 定理：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补 典题精炼 1、定义与命题【例 1】下列语句是命题的是（）A作直线 AB的垂线 B在线段 AB上取点 C C同旁内角互补 D垂线段最短吗？【变式练习 1】下列语句不是命题的是（）A相等的角不是对顶角 B两直线平行，内错角相等 C两点之间线段最短 D过点 O 作线段 MN 的垂线【变式练习 2】下列说法中

2、，错误的是（）A所有的定义都是命题 B所有的定理都是命题 C所有的公理都是命题 D所有的命题都是定理【例 2】下列命题中，属于假命题的是（）A若 a c，b c，则 a b B若 a b，b c，则 a c C若 a c，b c，则 a b D若 a c，b a，则 b c【变式练习 1】“一次函数 y=kx-2，当 k0 时，y 随 x 的增大而增大”是一个 _命题（填“真”或“假”）【变式练习 2】下列命题为假命题的是（）A三角形三个内角的和等于 180 B三角形两边之和大于第三边 C三角形两边的平方和等于第三边的平方 D三角形的面积等于一条边的长与该边上的高的乘积的一半【例 3】命题“垂

3、直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（）A垂直 B两条直线 C同一条直线 D两条直线垂直于同一条直线【变式练习 1】把“同旁内角互补，两直线平行”写成“如果，那么”.-.可修编.【变式练习 2】在 ABC和 DEF中，A=D，CM、FN分别是 AB、DE边上的中线，再从以下三个条件 AB=DE，AC=DF，CM=FN中任取两个条件做为条件，另一个条件做为结论，能构成一个真命题，那么题设可以是，结论是（只填序号）【例 4】对于命题“如果 1+2=90，那么 1 2”，能说明它是假命题的反例是（）A 1=50，2=40 B 1=50，2=50 C 1=2=45 D 1=40，2=40【变式练

4、习 1】证明命题“若 x（1-x）=0，则 x=0”是假命题的反例是【变式练习 2】用反证法证明命题：如果 AB CD，AB EF，那么 CD EF 证明的第一步应是（）A假设 CD EF B假设 CD 不平行于 EF C假设 AB EF D假设 AB不平行于 EF【例 5】下列说法正确的是（）A命题一定是正确的 B不正确 的判断就不是命题 C真命题都是公理 D定理都是真命题【变式练习 1】“两点之间线段最短”是 _（填“定义”或“公理”或“定理”）【变式练习 2】“两条直线相交成直角，就叫做两条直线相互垂直”这句子是（）A定义 B命题 C公理 D定理 2、平行线的判定和性质【例 1】（201

5、3 年 XXXX）如图，直线 l1、l2被直线 l3、l4所截，下列条件，不能判断直线 l1 l2的是（）A 1=3 B 5=4 C 5+3=180 D 4+2=180【变式练习 1】（2013 年 XXXX）如图，在下列条件中，能判断 AD BC 的是（）A DAC=BCAB DCB+ABC=180 C ABD=BDCD BAC=ACD【变式练习 2】如图，给出了过直线外一点画已知直线的平行线的方法，其依据是（）平行于同一直线的两直线平行垂直于同一直线的两直线平行平行线的特征公理两直线平行同位角相等定理两直线平行内错角相等两直线平行同旁内角互补典题精炼定义与命题例下列语句是命题的是作直线的垂

6、线在线段上取点同旁内 等过点作线段的垂线变式练习下列说法中错误的是所有的定义都是命题所有的公理都是命题所有的定理都是命题所有的命题都是定理例下列命题中属于假命题的是若则若则若则若则变式练习一次函数当时随的增大而增大是一个命题 和等于第三边的平方三角形的面积等于一条边的长与该边上的高的乘积的一半例命题垂直于同一条直线的两条直线互相平行的题设是垂直同一条直线两条直线两条直线垂直于同一条直线变式练习把同旁内角互补两直线平行写成如果.-.可修编.A同位角相等，两直线平行 B内错角相等，两直线平行 C同旁内角互补，两直线平行 D两直线平行，同位角相等【变式练习 3】学习了平行线后，小敏想出了过己知直线外

7、一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一 X 半透明的纸得到的（如图（1）（4），从图中可知，小敏画平行线的依据有（）两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行 A B C D【例 2】（2013 年 XXXX）如图，直线 l1 l2，若 1=140，2=70，则 3 的度数是（）A 60 B 65 C 70 D 80【变式练习 1】如图，把矩形 ABCD沿直线 EF折叠，若 1=20，则 2=（）A 20 B 40 C 70 D 80【变式练习 2】如图，将一副三角板和一 X 对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含

8、30角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含 45角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则 1 的度数是（）A 14 B 15 C 20 D 30 平行于同一直线的两直线平行垂直于同一直线的两直线平行平行线的特征公理两直线平行同位角相等定理两直线平行内错角相等两直线平行同旁内角互补典题精炼定义与命题例下列语句是命题的是作直线的垂线在线段上取点同旁内 等过点作线段的垂线变式练习下列说法中错误的是所有的定义都是命题所有的公理都是命题所有的定理都是命题所有的命题都是定理例下列命题中属于假命题的是若则若则若则若则变式练习一次函数当时随的增大而增大是一个命题 和等于第三边的平方三角形的面积等于一条边的长与

9、该边上的高的乘积的一半例命题垂直于同一条直线的两条直线互相平行的题设是垂直同一条直线两条直线两条直线垂直于同一条直线变式练习把同旁内角互补两直线平行写成如果.-.可修编.【例 3】如图，已知直线 l1 l2 l3 l4，相邻两条平行直线间的距离都是 1，如果正方形 ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则正方形 ABCD的面积是【变式练习 1】如图，若 AB CD EF GH，OAB=AOG=108，AO OE，CO OG，则 OCD+OEF=（这里 OCD，OEF均小于 180）【变式练习 2】已知射线 AB 射线 CD，点 E、F 分别在射线 AB、CD 上（1）如图 1，点 P 在线段 E

10、F上，若 A=25，APC=70 时，则 C=；（2）如图 1，若点 P 在线段 EF上运动（不包括 E、F 两点），则 A、APC、C 之间的等量关系 是，证明你的结论；（3）如图 2，若点 P 在射线 FE上运动（不包括线段 EF），则 A、APC、C 之间的等量关系 是；如图 3，若点 P 在射线 EF上运动（不包括线段 EF），则 A、APC、C 之间的等量关系是【变式练习 3】如图，直线 AC BD，连接 AB，直线 AC，BD 及线段 AB把平面分成、四个部分，规定：线上各点不属于任何部分当动点 P 落在某个部分时，连接 PA，PB，构成 PAC，APB，PBD 三个角（提示：有公

11、共端点的两条重合的射线所组成的角是 0角）（1）当动点 P 落在第部分时，求证：APB=PAC+PBD；（2）当动点 P 落在第部分时，APB=PAC+PBD 是否成立？（直接回答成立或不成立）（3）当动点 P 落在第部分时，全面探究 PAC，APB，PBD 之间的关系，并写出动点 P 的具体位置和相应的结论选择其中一种结论加以证明 3、三角形内角和定理 平行于同一直线的两直线平行垂直于同一直线的两直线平行平行线的特征公理两直线平行同位角相等定理两直线平行内错角相等两直线平行同旁内角互补典题精炼定义与命题例下列语句是命题的是作直线的垂线在线段上取点同旁内 等过点作线段的垂线变式练习下列说法中错

12、误的是所有的定义都是命题所有的公理都是命题所有的定理都是命题所有的命题都是定理例下列命题中属于假命题的是若则若则若则若则变式练习一次函数当时随的增大而增大是一个命题 和等于第三边的平方三角形的面积等于一条边的长与该边上的高的乘积的一半例命题垂直于同一条直线的两条直线互相平行的题设是垂直同一条直线两条直线两条直线垂直于同一条直线变式练习把同旁内角互补两直线平行写成如果.-.可修编.【例 1】（2013 年 XXXX）在 ABC中，A=20，B=60，则 ABC的形状是（）A等边三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D钝角三角形【变式练习 1】如图，AE是 ABC的角平分线，AD BC 于点 D，若

13、 BAC=128，C=36，则 DAE的度数是（）A 10 B 12 C 15 D 18【变式练习 2】如图，AB AC，CD、BE分别是 ABC的角平分线，AG BC，AG BG，下列结论：BAG=2 ABF；BA平分 CBG；ABG=ACB；CFB=135 其中正确的结论是（）A B C D【变式练习 3】如图所示是 D，E，F，G 四点在 ABC边上的位置 根据图中的符号和数据，求 x+y 的值（）A 110 B 120 C 160 D 165【例 2】一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则的度数是（）A 165 B 120 C 150 D 135【变式练习 1】如图所示，l1

14、l2，则下列式子中值为 180的是（）A B C D【变式练习 2】如图，已知 ABC中，B=E=40，BAE=60，且 AD平分 BAE（1）求证：BD=DE；平行于同一直线的两直线平行垂直于同一直线的两直线平行平行线的特征公理两直线平行同位角相等定理两直线平行内错角相等两直线平行同旁内角互补典题精炼定义与命题例下列语句是命题的是作直线的垂线在线段上取点同旁内 等过点作线段的垂线变式练习下列说法中错误的是所有的定义都是命题所有的公理都是命题所有的定理都是命题所有的命题都是定理例下列命题中属于假命题的是若则若则若则若则变式练习一次函数当时随的增大而增大是一个命题 和等于第三边的平方三角形的面积

15、等于一条边的长与该边上的高的乘积的一半例命题垂直于同一条直线的两条直线互相平行的题设是垂直同一条直线两条直线两条直线垂直于同一条直线变式练习把同旁内角互补两直线平行写成如果.-.可修编.（2）若 AB=CD，求 ACD的大小【例 3】如 图：ABC与 ACG 的 平 分 线 交 于 F1；F1BC 与 F1CG 的 平 分 线 交 于 F2；F2BC与 F2CG 的 平 分 线 交 于 F3；如 此 下 去，探 究 Fn 与 A 的 关 系（n 为 自 然 数）【变式练习 1】已知 ABC中，BAC=100（1）若 ABC和 ACB的角平分线交于点 O，如图 1 所示，试求 BOC的大小；（2

16、）若 ABC和 ACB的三等分线（即将一个角平均分成三等分的射线）相交于 O，O1，如图 2 所示，试求 BOC的大小；（3）如此类推，若 ABC和 ACB的 n 等分线自下而上依次相交于 O，O1，O2，如图 3 所示，试探求BOC的大小与 n 的关系，并判断当 BOC=170 时，是几等分线的交线所成的角【变式练习 2】如图，在 ABC中，AD平分 BAC，P 为线段 AD上的一个动点，PE AD交直线 BC 于点 E（1）若 B=35，ACB=85，求 E 的度数；（2）当 P 点在线段 AD上运动时，猜想 E 与 B、ACB的数量关系，写出结论无需证明 平行于同一直线的两直线平行垂直于

17、同一直线的两直线平行平行线的特征公理两直线平行同位角相等定理两直线平行内错角相等两直线平行同旁内角互补典题精炼定义与命题例下列语句是命题的是作直线的垂线在线段上取点同旁内 等过点作线段的垂线变式练习下列说法中错误的是所有的定义都是命题所有的公理都是命题所有的定理都是命题所有的命题都是定理例下列命题中属于假命题的是若则若则若则若则变式练习一次函数当时随的增大而增大是一个命题 和等于第三边的平方三角形的面积等于一条边的长与该边上的高的乘积的一半例命题垂直于同一条直线的两条直线互相平行的题设是垂直同一条直线两条直线两条直线垂直于同一条直线变式练习把同旁内角互补两直线平行写成如果.-.可修编.4、培优

18、训练【例 1】认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题 探究 1：如图 1，在 ABC中，O 是 ABC与 ACB的平分线 BO 和 CO 的交点，分析发现 BOC=90+21 A，理由如下：BO 和 CO 分别是 ABC，ACB的角平分线 1+2=21（ABC+ACB）=21（180-A）=90-21 A BOC=180-（1+2）=180-（90-21 A）=90+21 A（1）探究 2：如图 2 中，O 是 ABC与外角 ACD的平分线 BO 和 CO 的交点，试分析 BOC与 A 有怎样的关系？请说明理由（2）探究 3：如图 3 中，O 是外角 DBC与外角

19、 ECB的平分线 BO 和 CO 的交点，则 BOC与 A 有怎样的关系？（直接写出结论）（3）拓展：如图 4，在四边形 ABCD中，O 是 ABC与 DCB的平分线 BO 和 CO 的交点，则 BOC与 A+D 有怎样的关系？（直接写出结论）（4）运用：如图 5，五边形 ABCDE 中，BCD、EDC的外角分别是 FCD、GDC，CP、DP 分别平分FCD和 GDC且相交于点 P，若 A=140，B=120，E=90，则 CPD=度 平行于同一直线的两直线平行垂直于同一直线的两直线平行平行线的特征公理两直线平行同位角相等定理两直线平行内错角相等两直线平行同旁内角互补典题精炼定义与命题例下列语

20、句是命题的是作直线的垂线在线段上取点同旁内 等过点作线段的垂线变式练习下列说法中错误的是所有的定义都是命题所有的公理都是命题所有的定理都是命题所有的命题都是定理例下列命题中属于假命题的是若则若则若则若则变式练习一次函数当时随的增大而增大是一个命题 和等于第三边的平方三角形的面积等于一条边的长与该边上的高的乘积的一半例命题垂直于同一条直线的两条直线互相平行的题设是垂直同一条直线两条直线两条直线垂直于同一条直线变式练习把同旁内角互补两直线平行写成如果.-.可修编.【例 2】如图，AOB=90，点 C、D 分别在射线 OA、OB 上，CE是 ACD的平分线，CE的反向延长线与CDO的平分线交于点 F

21、（1）当 OCD=50（图 1），试求 F（2）当 C、D 在射线 OA、OB 上任意移动时（不与点 O 重合）（图 2），F 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出 F【例 3】如图 1，直线 MN 与直线 AB、CD 分别交于点 E、F，1 与 2 互补（1）试判断直线 AB与直线 CD 的位置关系，并说明理由；（2）如图 2，BEF与 EFD的角平分线交于点 P，EP 与 CD 交于点 G，点 H 是 MN 上一点，且 GH EG，求证：PF GH；（3）如图 3，在（2）的条件下，连接 PH，K 是 GH上一点使 PHK=HPK，作 PQ 平分 EPK，问 HPQ的大小是否

22、发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由 平行于同一直线的两直线平行垂直于同一直线的两直线平行平行线的特征公理两直线平行同位角相等定理两直线平行内错角相等两直线平行同旁内角互补典题精炼定义与命题例下列语句是命题的是作直线的垂线在线段上取点同旁内 等过点作线段的垂线变式练习下列说法中错误的是所有的定义都是命题所有的公理都是命题所有的定理都是命题所有的命题都是定理例下列命题中属于假命题的是若则若则若则若则变式练习一次函数当时随的增大而增大是一个命题 和等于第三边的平方三角形的面积等于一条边的长与该边上的高的乘积的一半例命题垂直于同一条直线的两条直线互相平行的题设是垂直同一条直线两条直线两条直

23、线垂直于同一条直线变式练习把同旁内角互补两直线平行写成如果.-.可修编.【例 4】如图，A、B 两点同时从原点 O 出发，点 A 以每秒 x 个单位长度沿 x 轴的负方向运动，点 B 以每秒y 个单位长度沿 y 轴的正方向运动（1）若|x+2y 5|+|2x y|=0，试分别求出 1 秒钟后 A、B 两点的坐标；（2）设 BAO的邻补角和 ABO的邻补角的平分线相交于点 P，问：点 A、B 在运动的过程中，P 的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；（3）如图，延长 BA至 E，在 ABO的内部作射线 BF交 x 轴于点 C，若 EAC、FCA、ABC的平分线相

24、交于点 G，过点 G 作 BE的垂线，垂足为 H，试问 AGH和 BGC的大小关系如何？请写出你的结论并说明理由 平行于同一直线的两直线平行垂直于同一直线的两直线平行平行线的特征公理两直线平行同位角相等定理两直线平行内错角相等两直线平行同旁内角互补典题精炼定义与命题例下列语句是命题的是作直线的垂线在线段上取点同旁内 等过点作线段的垂线变式练习下列说法中错误的是所有的定义都是命题所有的公理都是命题所有的定理都是命题所有的命题都是定理例下列命题中属于假命题的是若则若则若则若则变式练习一次函数当时随的增大而增大是一个命题 和等于第三边的平方三角形的面积等于一条边的长与该边上的高的乘积的一半例命题垂直于同一条直线的两条直线互相平行的题设是垂直同一条直线两条直线两条直线垂直于同一条直线变式练习把同旁内角互补两直线平行写成如果