巧用补形法解平面几何题_中学教育-竞赛题.pdf

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1、.-.word.zl 巧用补形法解平面几何题 王立文王兴林 补形法就是根据题设的条件和图形，经过观察、分析和联想，运用添加辅助线的方法，将其拓展为围更广的、其特征更明显、更为熟悉的几何图形，从而沟通条件和结论之间的联系下面就补形法，谈谈它在解平面几何题中的应用 一、补成直角三角形 例 1 如图 1，四边形 ABCD 中，A=60，B=D=90，CD=1，AB=2，求BC、AD 的长。解：延长 BC 交 AD 的延长线于 E。A=60，B=90，E=30 在 CED 中，CDE=ADC=90，CD=1，.-.word.zl CE=2CD=2，DE=。在 AEB 中，同理有：AE=2AB=4，。B

2、C=BE EC=2 2，AD=AE DE=4。二、补成等腰三角形 例 2：如图 2，ABC 中，ABC 的平分线交 AC 于 E，CD BE 于D，求证：BE=ED。证明：延长 BA 交 CD 的延长线于 F。易证 BCF 是等腰三角形 ASA。，方法将其拓展为围更广的其特征更明显更为熟悉的几何图形从而沟通条件和结论之间的联系下面就补形法谈谈它在解平面几何题中的应用一补成直角三角形例如图四边形中求的长解延长交的延长线于在中在中同理有二补成等腰三角 边形有求这个五边形的面积简解延长相交于延长相交于易知为等边三角形五边形等边三角形等边三角形四补成平行四边形例如图六边形中假设且求的长解延长交于点延长

3、交于点是等边三角形同理可得是等边三角形四边形为平行四边 垂线垂足为那么四边形为矩形由及含角的直角三角形的性质又六补成正方形例在中求的面积解如图作关于对称的延长交于那么四边形是正方形设知正方形的边长等于在中解得七补成圆形例如图在四边形中求对角线的长解以为圆心长.-.word.zl。作 DG CA 交 BF 于点 G。，BE=ED。三、补成等边三角形 例 3 如图 3，凸五边形 ABCDE，有 A=B=120，EA=AB=BC=2，CD=DE=4，求这个五边形的面积。简解 延长 DE、BA 相交于 K，延长 DC、AB 相交于 M。易知 DKM 为等边三角形。S五边形 ABCDE=S等边三角形 D

4、KM 2S等边三角形 AKE=方法将其拓展为围更广的其特征更明显更为熟悉的几何图形从而沟通条件和结论之间的联系下面就补形法谈谈它在解平面几何题中的应用一补成直角三角形例如图四边形中求的长解延长交的延长线于在中在中同理有二补成等腰三角 边形有求这个五边形的面积简解延长相交于延长相交于易知为等边三角形五边形等边三角形等边三角形四补成平行四边形例如图六边形中假设且求的长解延长交于点延长交于点是等边三角形同理可得是等边三角形四边形为平行四边 垂线垂足为那么四边形为矩形由及含角的直角三角形的性质又六补成正方形例在中求的面积解如图作关于对称的延长交于那么四边形是正方形设知正方形的边长等于在中解得七补成圆形

5、例如图在四边形中求对角线的长解以为圆心长.-.word.zl 四、补成平行四边形 例 4 如图 4，六边形 ABCDEF 中，假设 A=B=C=D=E=F=120，且 AB+BC=11，AF CD=3，求 BC+DE 的长。解：延长 FA、CB 交于点 P，延长 CD、FE 交于点 Q。A=B=120，PAB=PBA=60，P=60，ABP 是等边三角形。同理可得：DEQ 是等边三角形。P=Q=60。C=F=120，四边形 PCQF 为平行四边形。PF=CQ。方法将其拓展为围更广的其特征更明显更为熟悉的几何图形从而沟通条件和结论之间的联系下面就补形法谈谈它在解平面几何题中的应用一补成直角三角形

6、例如图四边形中求的长解延长交的延长线于在中在中同理有二补成等腰三角 边形有求这个五边形的面积简解延长相交于延长相交于易知为等边三角形五边形等边三角形等边三角形四补成平行四边形例如图六边形中假设且求的长解延长交于点延长交于点是等边三角形同理可得是等边三角形四边形为平行四边 垂线垂足为那么四边形为矩形由及含角的直角三角形的性质又六补成正方形例在中求的面积解如图作关于对称的延长交于那么四边形是正方形设知正方形的边长等于在中解得七补成圆形例如图在四边形中求对角线的长解以为圆心长.-.word.zl 于是 PA+AF=CD+DQ，AF CD=DQ PA=DE AB。AF CD=3，DE AB=3。AB+

7、BC=11，BC+DE=14。五、补成矩形 例 5 如图 5，在四边形 ABCD 中，BCD=CDA=120，BC=5，CD=4，DA=6，求 AB 的长。解：过 D 作 BC 延长线的垂线，垂足为 M，过点 A 作 MD 延长线的垂线，垂足为 N，过 B 作 NA 延长线的垂线，垂足为 P，那么四边形 PBMN 为矩形。由及含 30角的直角三角形的性质。又 CM=2，DM=，AN=3，。AP=5+2 3=4。方法将其拓展为围更广的其特征更明显更为熟悉的几何图形从而沟通条件和结论之间的联系下面就补形法谈谈它在解平面几何题中的应用一补成直角三角形例如图四边形中求的长解延长交的延长线于在中在中同理

8、有二补成等腰三角 边形有求这个五边形的面积简解延长相交于延长相交于易知为等边三角形五边形等边三角形等边三角形四补成平行四边形例如图六边形中假设且求的长解延长交于点延长交于点是等边三角形同理可得是等边三角形四边形为平行四边 垂线垂足为那么四边形为矩形由及含角的直角三角形的性质又六补成正方形例在中求的面积解如图作关于对称的延长交于那么四边形是正方形设知正方形的边长等于在中解得七补成圆形例如图在四边形中求对角线的长解以为圆心长.-.word.zl BP=DM=DN=。六、补成正方形 例 6 在 ABC 中，AD BC，BAC=45，BD=2cm，CD=3cm，求 ABC 的面积。解：如图 6，作 A

9、BD，ACD 关于 AB、AC 对称的 ABE、ACH，延长 FB、HC 交于 F，那么四边形 AHFE 是正方形。设 AD=x，知正方形的边长等于 x，CF=HF CH=x 3，BF=EF BE=x 2。在 Rt BCF 中，解得 x=6。S ABC=AD 方法将其拓展为围更广的其特征更明显更为熟悉的几何图形从而沟通条件和结论之间的联系下面就补形法谈谈它在解平面几何题中的应用一补成直角三角形例如图四边形中求的长解延长交的延长线于在中在中同理有二补成等腰三角 边形有求这个五边形的面积简解延长相交于延长相交于易知为等边三角形五边形等边三角形等边三角形四补成平行四边形例如图六边形中假设且求的长解延

10、长交于点延长交于点是等边三角形同理可得是等边三角形四边形为平行四边 垂线垂足为那么四边形为矩形由及含角的直角三角形的性质又六补成正方形例在中求的面积解如图作关于对称的延长交于那么四边形是正方形设知正方形的边长等于在中解得七补成圆形例如图在四边形中求对角线的长解以为圆心长.-.word.zl 七、补成圆形 例 7：如图 7，在四边形 ABCD 中，AB DC，AB=AC=AD=3，BC=2，求对角线 BD 的长。解：以 A 为圆心，AB 长为半径作 A。AB=AC=AD=3，C、D 两点也在 A 上。延长 BA 交 A 于 E，那么 BE=2AB=6。AB DC，。DE=BC=2。方法将其拓展为

11、围更广的其特征更明显更为熟悉的几何图形从而沟通条件和结论之间的联系下面就补形法谈谈它在解平面几何题中的应用一补成直角三角形例如图四边形中求的长解延长交的延长线于在中在中同理有二补成等腰三角 边形有求这个五边形的面积简解延长相交于延长相交于易知为等边三角形五边形等边三角形等边三角形四补成平行四边形例如图六边形中假设且求的长解延长交于点延长交于点是等边三角形同理可得是等边三角形四边形为平行四边 垂线垂足为那么四边形为矩形由及含角的直角三角形的性质又六补成正方形例在中求的面积解如图作关于对称的延长交于那么四边形是正方形设知正方形的边长等于在中解得七补成圆形例如图在四边形中求对角线的长解以为圆心长.-

12、.word.zl 又 BE 为 A 的直径，BDE=90。BD=。年级 初中 学科 数学 版本 期数 容标题 巧用补形法解平面几何题 分类索引号 G.622.46 分类索引描述 辅导与自学 主题词 巧用补形法解平面几何题 栏目名称 学法指导 供稿教师 审稿教师 方法将其拓展为围更广的其特征更明显更为熟悉的几何图形从而沟通条件和结论之间的联系下面就补形法谈谈它在解平面几何题中的应用一补成直角三角形例如图四边形中求的长解延长交的延长线于在中在中同理有二补成等腰三角 边形有求这个五边形的面积简解延长相交于延长相交于易知为等边三角形五边形等边三角形等边三角形四补成平行四边形例如图六边形中假设且求的长解延长交于点延长交于点是等边三角形同理可得是等边三角形四边形为平行四边 垂线垂足为那么四边形为矩形由及含角的直角三角形的性质又六补成正方形例在中求的面积解如图作关于对称的延长交于那么四边形是正方形设知正方形的边长等于在中解得七补成圆形例如图在四边形中求对角线的长解以为圆心长