第三章空间向量与立体几何导学案1_中学教育-高考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算（一）学习目标：知识目标：空间向量；相等的向量；空间向量的加减与数乘运算及运算律；能力目标：理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题 情感目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会 用联系的观点看待事物 学习重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律 学习难点：应用向量解决立体几何问题 学习方式：讨论式 学习过程：.复习 师在必修四第二章平面向量中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量

2、？向量是怎样表示的呢？生既有大小又有方向的量叫向量向量的表示方法有：用有向线段表示；用字母 a、b 等表示；用有向线段的起点与终点字母：AB 师数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下 生长度相等且方向相同的向量叫相等向量.师学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：向量的加法：向量的减法：实数与向量的积：实数 与向量 a 的积是一个向量，记作 a，其长度和方向规定如下：(1)|a|a|(2)当 0 时，a 与 a 同向；当 0 时，a 与 a 反向；当 0 时，a 0.师关于向

3、量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？生向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a b b a 加法结合律：(a b)c a（b c）数乘分配律：(a b)a b 师今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用请同学们认真阅读课本 P26 P27内容。.学习新课 师 如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量例如空间的一个平移就是一个向量那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？生 与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并

4、且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量 师由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示因此我们说空间任意两个向量是共面的 师空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？生空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：学习必备 欢迎下载 AB OA OB=a+b，OA OB AB（指向被减向量），OP a)(R 师空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律 生空间向量加法与数乘向量有如下运算律：加法交换律：a+b=b+a；加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；数乘分配律：(a+b)=a+b 师空间向量

5、加法的运算律要注意以下几点：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即：n n nA A A A A A A A A A1 1 4 3 3 2 2 1 因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量 首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量即：01 1 4 3 3 2 2 1 A A A A A A A A A An n n 两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立 因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则 例已知平行六面体 D C B A ABCD（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：；BC AB

6、；AA AD AB 21CC AD AB)(31AA AD AB 说明：平行四边形 ABCD平移向量 a 到 ABCD 的轨迹所形成的几何体，叫做 平 行六面体记作 ABCD ABCD 平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱 解：（见课本 P27）说明：由第 2 小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广.巩固练习 课本 P92 练习.小结：平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形

7、上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移 关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法.课后作业 预习课本 P92 P96，预习提纲：怎样的向量叫做共线向量？两个向量共线的充要条件是什么？空间中点在直线上的充要条件是什么？什么叫做空间直线的向量参数表示式？怎样的向量叫做共面向量？向量 p 与不共线向量 a、b 共面的充要条件是什么？空间一点 P 在平面 MAB 内的充要条件是什么？作其长度和方向规定如下学习目标知识目标空间向量相等的向量空间向量的加减与数乘运算及运算律能力目标理解空间向量的概念掌握其表示方法会用图形说明空间向量加法减法数乘向量及它们的运算律能用空间向量的

8、运算意义及 联系的观点看待事物学习重点空间向量的加减与数乘运算及运算律学习难点应用向量解决立体几何问题学习方式讨论式学习过程复习师在必修四第二章平面向量中我们学习了有关平面向量的一些知识什叫做向量向量是怎样表示的呢 满足以下运算律加法交换律加法结合律生既有大小又有方向的量叫向量向量的表示方法有数乘分配律用有向线段表示用字母等表示用有向线段的起点与终点字母师数学上所说的向量是自由向量也就是说在保持向量的方向大小的前提学习必备 欢迎下载 空间向量及其运算（2）一、学习目标：1理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；2掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式 二、学习重、难点：共

9、线、共面定理及其应用 三、学习过程：（一）复习回顾：空间向量的概念及表示；（二）新课学习：1共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。读作：a平行于b，记作：/a b 2共线向量定理：对空间任意两个向量,(0),/a b b a b 的充要条件是存在实数，使a b（唯一）推论：如果l为经过已知点A，且平行于已知向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式OP OA t AB，其中向量a叫做直线l的方向向量。在l上取AB a，则式可化为OP OA t AB 或(1)OP t OA tOB 当12t 时，

10、点P是线段AB的中点，此时1()2OP OA OB 和都叫空间直线的向量参数方程，是线段AB的中点公式 3向量与平面平行：已知平面和向量a，作OA a，如果直线OA平行于或在内，那么我们说向量a平行于平面，记作：/a 通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 说明：空间任意的两向量都是共面的 4共面向量定理：如 果 两 个 向 量,a b不 共 线，p与 向 量,a b共 面 的 充 要 条 件 是 存 在 实 数,x y使p xa yb 推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对,x y，使MP xMA yMB 或对空间任一点O，有OP OM xMA yMB 上面式叫

11、做平面MAB的向量表达式（三）例题分析：例 1已知,A B C三点不共线，对平面外任一点，满足条件1 2 25 5 5OP OA OB OC，试判断：点P与,A B C是否一定共面？解：由题意：5 2 2 OP OA OB OC，()2()2()OP OA OB OP OC OP，2 2 AP PB PC，即2 2 PA PB PC，所以，点P与,A B C共面 说明：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算【练习】：对空间任一点O和不共线的三点,A B C，问满足向量式OP xOA yOB zOC（其中1 x

12、y z）的四点,P A B C是否共面？解：(1)OP z y OA yOB zOC，()()OP OA y OB OA z OC OA，AP yAB z AC，点P与点,A B C共面 例 2已知ABCD，从平面AC外一点O引向量,OE kOAOF KOB OG kOC OH kOD，（1）求证：四点,E F G H共面；（2）平面AC/平面EG 解：（1）四边形ABCD是平行四边形，AC AB AD，EG OG OE，alPBAOO A B C D H F G E a a 作其长度和方向规定如下学习目标知识目标空间向量相等的向量空间向量的加减与数乘运算及运算律能力目标理解空间向量的概念掌握

13、其表示方法会用图形说明空间向量加法减法数乘向量及它们的运算律能用空间向量的运算意义及 联系的观点看待事物学习重点空间向量的加减与数乘运算及运算律学习难点应用向量解决立体几何问题学习方式讨论式学习过程复习师在必修四第二章平面向量中我们学习了有关平面向量的一些知识什叫做向量向量是怎样表示的呢 满足以下运算律加法交换律加法结合律生既有大小又有方向的量叫向量向量的表示方法有数乘分配律用有向线段表示用字母等表示用有向线段的起点与终点字母师数学上所说的向量是自由向量也就是说在保持向量的方向大小的前提学习必备 欢迎下载()()()k OC k OA k OC OA k AC k AB ADk OB OA O

14、D OA OF OE OH OEEF EH,E F G H共面；（2）()EF OF OE k OB OA k AB，又EG k AC，/,/EF AB EG AC 所以，平面/AC平面EG 四、练习：课本第 96 页练习第 1、2、3 题 五、小结：1共线向量定理和共面向量定理及其推论；2空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式 七、补充练习：1已知两个非零向量2 1,e e不共线，如果2 1AB e e，2 12 8 AC e e，2 13 3 AD e e，求证：,A B C D共面 2已知3 2 4,(1)8 2 a m n p b x m n yp，0 a，若/a b，求实数,

15、x y的值。3如图，,E F G H分别为正方体1AC的棱1 1 1 1 1 1 1 1,A B A D B C D C的中点，求证：（1）,E F D B四点共面；（2）平面AEF/平面BDHG 4已知,E F G H分别是空间四边形ABCD边,AB BC CD DA的中点，（1）用向量法证明：,E F G H四点共面；（2）用向量法证明：/BD平面EFGH D1 C1B1A1HGFEDCBAA B C D F E G H 作其长度和方向规定如下学习目标知识目标空间向量相等的向量空间向量的加减与数乘运算及运算律能力目标理解空间向量的概念掌握其表示方法会用图形说明空间向量加法减法数乘向量及它们

16、的运算律能用空间向量的运算意义及 联系的观点看待事物学习重点空间向量的加减与数乘运算及运算律学习难点应用向量解决立体几何问题学习方式讨论式学习过程复习师在必修四第二章平面向量中我们学习了有关平面向量的一些知识什叫做向量向量是怎样表示的呢 满足以下运算律加法交换律加法结合律生既有大小又有方向的量叫向量向量的表示方法有数乘分配律用有向线段表示用字母等表示用有向线段的起点与终点字母师数学上所说的向量是自由向量也就是说在保持向量的方向大小的前提学习必备 欢迎下载 3.1.3 空间向量的数量积（1）学习学目标：1掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2 掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的

17、数量积解决立体几何中的一些简单问题。学习重、难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。学习过程（一）复习回顾：空间向量基本定理及其推论；（二）新课学习：1空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b，在空间任取一点O，作,O A a O B b，则A O B 叫做向量a与b的夹角，记作,a b；且规定0,a b，显然有,a b b a；若,2a b，则称a与b互相垂直，记作：a b；2向量的模（长度）：设OA a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a；3向量的数量积：已知向量,a b，则|cos,a b a b 叫做,a b的数量积，记作a b，即a b|co

18、s,a b a b 已知向量AB a 和轴l，e是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A，作点B在l上的射影B，则A B 叫做向量AB在轴l上或在e上的正射影；可以证明AB 的长度|cos,|A B AB a e a e 4空间向量数量积的性质：（1）|cos,a e a a e（2）0 a b a b（3）2|a a a 5空间向量数量积运算律：（1）()()()a b a b a b（2）a b b a（交换律）（3）()a b c a b a c（分配律）（三）例题分析：例 1用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。已知：,m n是平面内的两条相交直线，直线l与平面的交点为B，

19、且,l m l n 求证：l 证明：在内作不与,m n重合的任一直线g，在,l m n g上取非零向量,l m n g，,m n相交，向量,m n不平行，由共面定理可知，存在 唯一有序实数对(,)x y，使g xm yn，l g xl m yl n，又0,0 l m l n，0 l g，l g，l g，所以，直线l垂直于平面内的任意一条直线，即得l 例 2已知空间四边形ABCD中，AB CD，AC BD，求证：AD BC 证明：（法一）()()AD BC AB BD AC AB 2AB AC BD AC AB AB BD()0 AB AC AB BD AB DC（法二）选取一组基底，设,AB

20、a AC b AD c，AB CD，()0 a c b，即a c b a，同理：a b b c，a c b c，()0 c b a，0 AD BC，即AD BC 说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明。例 3 如图，在空间四边形OABC中，8 OA，6 AB，4 AC，5 BC，45 OAC，60 OAB，求OA与BC的夹角的余弦值。解：注意：由图形知向量的夹角时易出错，如,135 OA AC 易错写成,45 OA AC 补充练习：1 已知向量a b，向量c与,a b的夹角都是60，且|1,|2,|3 a b c，试求

21、：（1）2()a b；（2）2(2)a b c；（3）(3 2)(3)a b b c A C B A B e lmnmngglO A B C 作其长度和方向规定如下学习目标知识目标空间向量相等的向量空间向量的加减与数乘运算及运算律能力目标理解空间向量的概念掌握其表示方法会用图形说明空间向量加法减法数乘向量及它们的运算律能用空间向量的运算意义及 联系的观点看待事物学习重点空间向量的加减与数乘运算及运算律学习难点应用向量解决立体几何问题学习方式讨论式学习过程复习师在必修四第二章平面向量中我们学习了有关平面向量的一些知识什叫做向量向量是怎样表示的呢 满足以下运算律加法交换律加法结合律生既有大小又有方

22、向的量叫向量向量的表示方法有数乘分配律用有向线段表示用字母等表示用有向线段的起点与终点字母师数学上所说的向量是自由向量也就是说在保持向量的方向大小的前提学习必备 欢迎下载 3.1.5 空间向量运算的坐标表示 课题 向量的坐标 教学目的要求 1理解空间向量与有序数组之间的 1-1对应关系 2掌握投影定理、分向量及方向余弦的坐标表示 主要内容与时间分配 1投影与投影定理 25 分钟 2分向量与向量的坐标 30 分钟 3模与方向余弦的坐标表示 35 分钟 重点难点 1投影定理 2分向量 3方向余弦的坐标表示 教学方法和手段 启发式教学法，使用电子教案 一、向量在轴上的投影 1几个概念(1)轴上有向线

23、段的值：设有一轴u，AB是轴u上的有向线段，如果数满足AB，且当AB与轴u同向时是正的，当AB与轴u反向时是负的，那么数叫做轴u上有向线段AB的值，记做 AB，即AB。设 e 是与u轴同方向的单位向量，则e AB(2)设 A、B、C 是 u 轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有BC AB AC(3)两向量夹角的概念：设有两个非零向量a和 b，任取空间一点 O，作a OA，b OB，规定不超过的AOB 称为向量a和 b 的夹角，记为),(b a(4)空间一点 A 在轴u上的投影：通过点 A 作轴u的垂直平面，该平面与轴u的交点A叫做点 A 在轴u上的投影。(5)向量AB在轴u上的投影：设已

24、知向量AB的起点 A 和终点 B 在轴u上的投影分别为点A和B，那么轴u上的有向线段的值 B A叫做向量AB在轴u上的投影，记做AB juPr。2投影定理 性 质 1：向 量 在 轴u上 的 投 影 等 于 向 量 的 模 乘 以 轴 与 向 量 的 夹 角的 余 弦：c o s Pr AB AB ju 性 质 2：两 个 向 量 的 和 在 轴 上 的 投 影 等 于 两 个 向 量 在 该 轴 上 的 投 影 的 和，即 2 1 2 1a a a a j j juPr Pr)(Pr 性质 3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即 a a j juPr)(Pr 二、向

25、量在坐标系上的分向量与向量的坐标 1 向量在坐标系上的分向量与向量的坐标 通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系。设 a=2 1M M是 以),(1 1 1 1z y x M为 起 点、),(2 2 2 2z y x M为 终 点 的 向 量，i、j、k 分 别 表 示 图 7 5 沿 x，y，z 轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图 7 5，并应用向量的加法规则知：)(1 2 2 1x x M M i+)(1 2y y j+)(1 2z z k 或 a=ax i+ayj+azk

26、作其长度和方向规定如下学习目标知识目标空间向量相等的向量空间向量的加减与数乘运算及运算律能力目标理解空间向量的概念掌握其表示方法会用图形说明空间向量加法减法数乘向量及它们的运算律能用空间向量的运算意义及 联系的观点看待事物学习重点空间向量的加减与数乘运算及运算律学习难点应用向量解决立体几何问题学习方式讨论式学习过程复习师在必修四第二章平面向量中我们学习了有关平面向量的一些知识什叫做向量向量是怎样表示的呢 满足以下运算律加法交换律加法结合律生既有大小又有方向的量叫向量向量的表示方法有数乘分配律用有向线段表示用字母等表示用有向线段的起点与终点字母师数学上所说的向量是自由向量也就是说在保持向量的方向

27、大小的前提学习必备 欢迎下载 上式称为向量 a 按基本单位向量的分解式。有序数组 ax、ay、az与向量 a 一一对应，向量 a 在三条坐标轴上的投影 ax、ay、az就叫做向量 a 的坐标，并记为 a ax，ay，az。上式叫做向量 a 的坐标表示式。于是，起点为),(1 1 1 1z y x M终点为),(2 2 2 2z y x M的向量可以表示为,1 2 1 2 1 2 2 1z z y y x x M M 特别地，点),(z y x M对于原点 O 的向径,z y x OM 注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。向量 a 在坐标轴上的投影是三个数 ax、ay、

28、az，向量 a 在坐标轴上的分向量是三个向量 ax i、ayj、azk.2 向量运算的坐标表示 设,z y xa a a a，,z y xb b b b即k j i az y xa a a，k j i bz y xb b b 则(1)加法：k j i b a)()()(z z y y x xb a b a b a 减法：k j i b a)()()(z z y y x xb a b a b a 乘数：k j i a)()()(z y xa a a 或,z z y y x xb a b a b a b a,z z y y x xb a b a b a b a,z y xa a a a 平行：若

29、a 0 时，向量a b/相当于a b，即,z y x z y xa a a b b b 也相当于向量的对应坐标成比例即 zzyyxxababab 三、向量的模与方向余弦的坐标表示式 设,z y xa a a a，可以用它与三个坐标轴的夹角、（均大于等于 0，小于等于）来表示它的方向，称、为非零向量 a 的方向角，见图 7 6，其余弦表示形式 cos cos cos、称为方向余弦。图 7 6 1 模 2 2 2z y xa a a a 2 方向余弦 由性质 1 知 cos coscos coscos cos2 12 12 1aaaM M aM M aM M azyx，当02 2 2 z y xa

30、 a a a时，有 2 2 22 2 22 2 2coscoscosz y xz zz y xy yz y xx xa a aa aa a aa aa a aa aaaa 任意向量的方向余弦有性质：1 cos cos cos2 2 2 作其长度和方向规定如下学习目标知识目标空间向量相等的向量空间向量的加减与数乘运算及运算律能力目标理解空间向量的概念掌握其表示方法会用图形说明空间向量加法减法数乘向量及它们的运算律能用空间向量的运算意义及 联系的观点看待事物学习重点空间向量的加减与数乘运算及运算律学习难点应用向量解决立体几何问题学习方式讨论式学习过程复习师在必修四第二章平面向量中我们学习了有关平面

31、向量的一些知识什叫做向量向量是怎样表示的呢 满足以下运算律加法交换律加法结合律生既有大小又有方向的量叫向量向量的表示方法有数乘分配律用有向线段表示用字母等表示用有向线段的起点与终点字母师数学上所说的向量是自由向量也就是说在保持向量的方向大小的前提学习必备 欢迎下载 与非零向量 a 同方向的单位向量为：cos,cos,cos,1 z y xa a aa aaa0 3 例子：已知两点 M1(2,2,2)、M2(1,3,0)，计算向量2 1M M的模、方向余弦、方向角以及与2 1M M同向的单位向量。解：2 1M M 1-2，3-2，0-2=-1，1，-2 2)2(1)1(2 2 22 1 M M

32、21cos，21cos，22cos 32，3，43 设0a为与2 1M M同向的单位向量，由于 cos,cos,cos 0a 即得 22,21,21 0a 作其长度和方向规定如下学习目标知识目标空间向量相等的向量空间向量的加减与数乘运算及运算律能力目标理解空间向量的概念掌握其表示方法会用图形说明空间向量加法减法数乘向量及它们的运算律能用空间向量的运算意义及 联系的观点看待事物学习重点空间向量的加减与数乘运算及运算律学习难点应用向量解决立体几何问题学习方式讨论式学习过程复习师在必修四第二章平面向量中我们学习了有关平面向量的一些知识什叫做向量向量是怎样表示的呢 满足以下运算律加法交换律加法结合律生既有大小又有方向的量叫向量向量的表示方法有数乘分配律用有向线段表示用字母等表示用有向线段的起点与终点字母师数学上所说的向量是自由向量也就是说在保持向量的方向大小的前提