常用积分公式_高等教育-微积分.pdf

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1、常用积分公式表例题和点评 d k x kx c(k为常数)11d(1)1x x x c 特别，21 1dx cx x,322d3x x x c,1d 2 x x cx 1d ln|x x cx dlnxxaa x ca,特别，e d ex xx c sin d cos x x x c cos d sin x x x c 221d csc d cotsinx x x x cx 221d sec d tancosx x x x cx 2 21d arcsin(0)xx c aaa x,特别，21d arcsin1x x cx 2 21 1d arctan(0)xx c aa x a a,特别，21

2、d arctan1x x cx 2 21 1d ln(0)2a xx c aa x a a x 或 2 21 1d ln(0)2x ax c ax a a x a tan d ln cos x x x c cot d ln sin x x x c ln csc cot1csc d dln tan sin2x x cx x xxc x ln sec tan1sec d dln tan cos2 4x x cx x xxc x(0)2 22 21d=lnax x x a cx a 欢迎下载 131 2(0)2 2 2 2d=arcsin2 2a a x xa x x a x ca 2(0)2 2

3、2 2 2 2d=ln2 2a x ax a x x a x x a c 2 22 2sin cose sin d esin cose cos d eax axax axa bx b bxbx x ca bb bx a bxbx x ca b 12 2 2 2 2 1 21 2 3d()2(1)()2(1)n nn nx nx ca x n a a x n a（递推公式）跟我做练习(一般情形下，都是先做恒等变换或用某一个积分法，最后套用某一个积分公式)例 24 含根式 2ax bx c的积分 2 24 5 d(2)1d(2)x x x x x 套用公式 2 22 1(2)1 ln(2)(2)1

4、2 2xx x x 2 214 5 d(2 4)4 4 5 d2x x x x x x x x 2 2 214 5 d(4 5)2 4 5 d2x x x x x x x(请你写出答案)2 21 1d d(2)4 5(2)1x xx x x 2 ln 2(2)1 x x 套用公式 2 21(2 4)4d d24 5 4 5x xx xx x x x 22 21 d(4 5)12 d24 5 4 5x xxx x x x(请你写出答案)2 2 25 4 d 3(2)d(2)x x x x x 22 23 2 2arcsin 3(2)2 3 2x xx 套用公式 2 215 4 d(4 2)4 5

5、 4 d2x x x x x x x x 换或用某一个积分法最后套用某一个积分公式例含根式的积分套用公式请你写出答案套用公式请你写出答案套用公式欢迎下载请你写出答案套用公式请你写出答案例求原函数解因为所以令为待定常数从恒等式两端分子相等可得方程 分公式类似地右端的第二个积分为所以见下注注根据则因此例求关于见例解令半角替换则于是点评求初等函数的原函数的方法虽然也有一定的规律但不像求它们的微分或导数的导数或微分可以用一个构造性的公那样规范化这是因为 算结果有可能越出被积函数所属的函数类譬如有理函数的原函数可能不再是有理函数初等函数的原函数可能是非初等函数这就像正数的差有可能是负数整数的商有可能是分

6、数一样有的初等函数尽管很简单可是它的原函数不能表示成 欢迎下载 132 2 2 215 4 d(5 4)2 5 4 d2x x x x x x x(请你写出答案)2 2 2d d(2)5 4 3(2)x xx x x 2arcsin3x 套用公式 2 2(4 2)4 dd 125 4 5 4x xx xx x x x 22 21 d(5 4)d225 4 5 4x x xx x x x(请你写出答案)例 25 求原函数41d1xx.解 因为)2 1)(2 1()2()1(2)2 1(12 2 2 2 2 2 4 2 4x x x x x x x x x x 所以令 42 2112 1 2 1A

7、x B Cx Dxx x x x 为待定常数）D C B A,(2 22 2()(2 1)()(2 1)2 1 2 1Ax B x x Cx D x xx x x x 从恒等式 1)1 2)()1 2)(2 2 x x D x C x x B Ax(两端分子相等)，可得方程组（三次项系数）（二次项系数）（一次项系数）常数项00 2 20 2 2)(1C AD C B AD C B AD B 解这个方程组(在草纸上做)，得21,2 21,21,2 21 D C B A.因此，41d1xx 2 21 1 1 12 22 2 2 2d d2 1 2 1x xx xx x x x 右端的第一个积分为

8、2 2 2 21 11(2 2)2 1(2 2)d 1 122 2d d d42 1 4 2 2 1 4 2 2 1 2 1xx x xx x xx x x x x x x x 换或用某一个积分法最后套用某一个积分公式例含根式的积分套用公式请你写出答案套用公式请你写出答案套用公式欢迎下载请你写出答案套用公式请你写出答案例求原函数解因为所以令为待定常数从恒等式两端分子相等可得方程 分公式类似地右端的第二个积分为所以见下注注根据则因此例求关于见例解令半角替换则于是点评求初等函数的原函数的方法虽然也有一定的规律但不像求它们的微分或导数的导数或微分可以用一个构造性的公那样规范化这是因为 算结果有可能越

9、出被积函数所属的函数类譬如有理函数的原函数可能不再是有理函数初等函数的原函数可能是非初等函数这就像正数的差有可能是负数整数的商有可能是分数一样有的初等函数尽管很简单可是它的原函数不能表示成 欢迎下载 133 22221 d(2 1)1 1d44 2 2 12 122x xxx xx(套用积分公式)21 1ln(2 1)arctan(2 1)4 2 2 2x x x 类似地，右端的第二个积分为 221 11 122 2d ln(2 1)arctan(2 1)2 1 4 2 2 2xx x x xx x 所以 41d1xx 221 2 1 1 1ln arctan(2 1)arctan(2 1)4

10、 2 2 1 2 2 2 2x xx xx x 22 21 2 1 1 2ln arctan1 4 2 2 1 2 2x x xx x x（见下注）【注】根据tan tantan()1 tan tan,则 2 2(2 1)(2 1)2 2 2tan arctan(2 1)arctan(2 1)2(1)1 1(2 1)(2 1)x x x xx xx x x x 因此,22arctan(2 1)arctan(2 1)arctan1xx xx 例 26 求d(0 1)1 cosxx.【关于d(0 1)1 cosxx，见例 17】解 令tan2xt(半角替换)，则 2 2 22 22 2cos co

11、s sin 2cos 1 1 12 2 2sec 1 tan2 2x x xxx x 2211tt 22d d(2arctan)d1x t tt 于是，2 2 22d 1 2 dd 21 1 cos 1(1)(1)11x ttt x t tt 22 d111tt 22 1arctan11t c 2 22 1arctan tan21 1xc【点评】求初等函数的原函数的方法虽然也有一定的规律，但不像求它们的微分或导数那样规范化.这是因为从根本上说，函数()y y x 的导数或微分可以用一个“构造性”的公式 换或用某一个积分法最后套用某一个积分公式例含根式的积分套用公式请你写出答案套用公式请你写出答

12、案套用公式欢迎下载请你写出答案套用公式请你写出答案例求原函数解因为所以令为待定常数从恒等式两端分子相等可得方程 分公式类似地右端的第二个积分为所以见下注注根据则因此例求关于见例解令半角替换则于是点评求初等函数的原函数的方法虽然也有一定的规律但不像求它们的微分或导数的导数或微分可以用一个构造性的公那样规范化这是因为 算结果有可能越出被积函数所属的函数类譬如有理函数的原函数可能不再是有理函数初等函数的原函数可能是非初等函数这就像正数的差有可能是负数整数的商有可能是分数一样有的初等函数尽管很简单可是它的原函数不能表示成 欢迎下载 134 0()()()limhy x h y xy xh 或d()d

13、y y x x 确定下来，可是在原函数的定义中并没有给出求原函数的方法.积分法作为微分法的逆运算，其运算结果有可能越出被积函数所属的函数类.譬如，有理函数的原函数可能不再是有理函数，初等函数的原函数可能是非初等函数(这就像正数的差有可能是负数、整数的商有可能是分数一样).有的初等函数尽管很简单，可是它的原函数不能表示成初等函数，譬如 21 e sine d,d,d,dlnxxxx x x xx x x 等 都不能表示成初等函数.因此，一般说来求初等函数的原函数要比求它们的微分或导数困难得多.我们用上面那些方法能够求出原函数的函数，只是初等函数中的很小一部分.尽管如此，我们毕竟可以求出足够多函数

14、的原函数，而这些正好是应用中经常遇到的函数.因此，读者能够看懂前面那些例题并能够基本完成各节后的练习就足够了.换或用某一个积分法最后套用某一个积分公式例含根式的积分套用公式请你写出答案套用公式请你写出答案套用公式欢迎下载请你写出答案套用公式请你写出答案例求原函数解因为所以令为待定常数从恒等式两端分子相等可得方程 分公式类似地右端的第二个积分为所以见下注注根据则因此例求关于见例解令半角替换则于是点评求初等函数的原函数的方法虽然也有一定的规律但不像求它们的微分或导数的导数或微分可以用一个构造性的公那样规范化这是因为 算结果有可能越出被积函数所属的函数类譬如有理函数的原函数可能不再是有理函数初等函数的原函数可能是非初等函数这就像正数的差有可能是负数整数的商有可能是分数一样有的初等函数尽管很简单可是它的原函数不能表示成