第一讲 不等式的基本性质含有绝对值的不等式_中学教育-中学学案.pdf

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1、优秀学习资料 欢迎下载 第一讲 不等式的基本性质、含有绝对值的不等式 1 两个实数大小关系的基本事实 ab _ a b _ ab，那么 _；如果 _，那么 ab.即 ab _.(2)传递性：如果 ab，bc，那么 _即 ab，bc _.(3)可加性：如果 _，那么 a cb c.(4)可乘性：如果 ab，c0，那么 _；如果 ab，cb0，那么 an_bn(n N，n1)(6)开方：如果 ab0，那么na_nb(n N，n1)3 绝对值三角不等式(1)性质 1：|a b|_.(2)性质 2：|a|b|_.(3)性质 3：_|a b|_.4 绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a 的解

2、集 不等式 a0 a 0 a0|x|a(2)|ax b|c(c0)和|ax b|c(c0)型不等式的解法|ax b|c _；|ax b|c _.(3)|x a|x b|c 和|x a|x b|c 型不等式的解法 利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；优秀学习资料 欢迎下载 利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想 1判断下面结论是否正确(请在括号内打“”或“”)(1)|x a|x b|的几何意义是表示数轴上的点 x 到点 a，b 的距离之和()(2)不等式|a|b|a b|等号成立的条件是 ab 0.()(3)不等式

3、|a b|a|b|等号成立的条件是 ab 0.()2不等式|2x 1|x 2|0 的解集为 _ 3不等式 1|x 1|0 的解集为 _ 5(2013 福建改编)设不等式|x 2|a(a N*)的解集为 A，且32 A，12 A.则 a 的值为 _.题型一 绝对值三角不等式定理的应用 例 1“|x A|2且|y A|2”是“|x y|”(x，y，A，R)的 _条件 思维升华 对绝对值三角不等式定理的理解注意以下三点：(1)两端的等号成立的条件在解题时经常用到，特别是用此定理求函数的最大(小)值时(2)该定理可以推广为|a b c|a|b|c|，也可强化为|a|b|a b|a|b|，它们经常用于含

4、绝对值的不等式的推证(3)当 ab 0 时，|a b|a|b|；当 ab 0 时，|a b|a|b|.(1)设 a，b 是满足 ab|a b|a b|a b|a b|a|b|a b|a|b|(2)已知命题 p：|a|1，且|b|2，命题 q：|a b|3，则 p 是 q 的 _条件 题型二 含绝对值的不等式的解法 例 2(2012 课标全国改编)已知函数 f(x)|x a|x 2|.(1)当 a 3 时，不等式 f(x)3 的解集为 _；性质对称性如果那么如果那么即传递性如果那么即可加性如果那么可乘性如果那么如果那么乘方如果那么开方如果那么绝对值三角不等式性质性质性质绝对值不等式的解法含绝对值

5、的不等式与的解集不等式和型不等式的解法和型不 体现了分类讨论的思想通过构造函数利用函数的图象求解体现了函数与方程的思想判断下面结论是否正确请在括号内打或的几何意义是表示数轴上的点到点的距离之和不等式等号成立的条件是不等式等号成立的条件是不等式的解集 且是的条件思维升华对绝对值三角不等式定理的理解注意以下三点两端的等号成立的条件在解题时经常用到特别是用此定理求函数的最大值时该定理可以推广为也可强化为它们经常用于含绝对值的不等式的推证当时当时设是满足的优秀学习资料 欢迎下载(2)若 f(x)|x 4|的解集包含 1,2，则 a 的取值范围为 _ 思维升华 解绝对值不等式的基本方法：(1)利用绝对值

6、的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解(1)不等式|x 1|x 3|0 的解集是 _(2)不等式|x 3|x 2|3 的解集为 _ 题型三 含参数的绝对值不等式问题 例 3 已知不等式|x 1|x 3|a.若不等式有解，则实数 a 的取值范围为 _ 若不等式的解集为 R，则实数 a 的取值范围为 _ 若不等式的解集为，则实数 a 的取值范围为 _ 已知函数 f(x)|x a|.(1)若不等式 f(x)3 的解集为 x|1 x 5，求实数 a 的值；(

7、2)在(1)的条件下，若 f(x)f(x 5)m 对一切实数 x 恒成立，求实数 m 的取值范围 绝对值不等式的解法 性质对称性如果那么如果那么即传递性如果那么即可加性如果那么可乘性如果那么如果那么乘方如果那么开方如果那么绝对值三角不等式性质性质性质绝对值不等式的解法含绝对值的不等式与的解集不等式和型不等式的解法和型不 体现了分类讨论的思想通过构造函数利用函数的图象求解体现了函数与方程的思想判断下面结论是否正确请在括号内打或的几何意义是表示数轴上的点到点的距离之和不等式等号成立的条件是不等式等号成立的条件是不等式的解集 且是的条件思维升华对绝对值三角不等式定理的理解注意以下三点两端的等号成立的

8、条件在解题时经常用到特别是用此定理求函数的最大值时该定理可以推广为也可强化为它们经常用于含绝对值的不等式的推证当时当时设是满足的优秀学习资料 欢迎下载 典例：(5 分)不等式|x 1|x 1|3 的解集为 _ 性质对称性如果那么如果那么即传递性如果那么即可加性如果那么可乘性如果那么如果那么乘方如果那么开方如果那么绝对值三角不等式性质性质性质绝对值不等式的解法含绝对值的不等式与的解集不等式和型不等式的解法和型不 体现了分类讨论的思想通过构造函数利用函数的图象求解体现了函数与方程的思想判断下面结论是否正确请在括号内打或的几何意义是表示数轴上的点到点的距离之和不等式等号成立的条件是不等式等号成立的条

9、件是不等式的解集 且是的条件思维升华对绝对值三角不等式定理的理解注意以下三点两端的等号成立的条件在解题时经常用到特别是用此定理求函数的最大值时该定理可以推广为也可强化为它们经常用于含绝对值的不等式的推证当时当时设是满足的优秀学习资料 欢迎下载 A 组 专项基础训练 1不等式|2x 1|6 的解集为 _ 6不等式|x 1|x 2|k 的解集为 R，则实数 k 的取值范围为 _ 7 如 果关 于 x 的 不等式|x a|x 4|1 的 解 集 是 R，则 实数 a 的 取 值 范围 是_ 8(2013 重庆)若关于实数 x 的不等式|x 5|x 3|0 的解集为 _ 10若不等式|3x b|a 对

10、于一切 x R 恒成立，则实数 a 的取值范围是 _ 6对于实数 x，y，若|x 1|1，|y 2|1，则|x 2y 1|的最大值为 _ 7设函数 f(x)|x 3|x a|，如果对任意 x R，f(x)4，则 a 的取值范围是 _ 性质对称性如果那么如果那么即传递性如果那么即可加性如果那么可乘性如果那么如果那么乘方如果那么开方如果那么绝对值三角不等式性质性质性质绝对值不等式的解法含绝对值的不等式与的解集不等式和型不等式的解法和型不 体现了分类讨论的思想通过构造函数利用函数的图象求解体现了函数与方程的思想判断下面结论是否正确请在括号内打或的几何意义是表示数轴上的点到点的距离之和不等式等号成立的

11、条件是不等式等号成立的条件是不等式的解集 且是的条件思维升华对绝对值三角不等式定理的理解注意以下三点两端的等号成立的条件在解题时经常用到特别是用此定理求函数的最大值时该定理可以推广为也可强化为它们经常用于含绝对值的不等式的推证当时当时设是满足的优秀学习资料 欢迎下载 答案 基础知识自主学习 要点梳理 1 a b0 a b 0 a b0 2(1)ba ba bc ac(3)ab(4)acbc ac(6)3(1)|a|b|(2)|a b|(3)|a|b|a|b|4(1)x|axa 或 x a x|x R 且 x 0 R(2)c ax b c ax b c 或 ax b c 夯基释疑 1(1)(2)

12、(3)2 x|1x1 解析 方法一 原不等式即为|2x 1|x 2|，4x2 4x 1x2 4x 4，3x23，1x1.方法二 原不等式等价于不等式组 x 2，2x 1 x 2 0，或 12x2，2x 1 x 2 0.或 x12，2x 1 x 2 0.不等式组 无解，由 得12x1，由 得 1x12.综上得 1x1，所以原不等式的解集为 x|1x1 3(4，2)(0,2)4.(，13)(0，13)5 1 解析 因为32 A，且12 A，所以|32 2|a，且|12 2|a，解得12a32.又因为 a N*，所以 a 1.题型分类深度剖析 例 1 充分不必要 解析 若|x A|2，|y A|2，

13、则有|x y|x A A y|(x A)(A y)|x A|y A|2性质对称性如果那么如果那么即传递性如果那么即可加性如果那么可乘性如果那么如果那么乘方如果那么开方如果那么绝对值三角不等式性质性质性质绝对值不等式的解法含绝对值的不等式与的解集不等式和型不等式的解法和型不 体现了分类讨论的思想通过构造函数利用函数的图象求解体现了函数与方程的思想判断下面结论是否正确请在括号内打或的几何意义是表示数轴上的点到点的距离之和不等式等号成立的条件是不等式等号成立的条件是不等式的解集 且是的条件思维升华对绝对值三角不等式定理的理解注意以下三点两端的等号成立的条件在解题时经常用到特别是用此定理求函数的最大值

14、时该定理可以推广为也可强化为它们经常用于含绝对值的不等式的推证当时当时设是满足的优秀学习资料 欢迎下载 2.|x A|2，|y A|2是|x y|成立的充分条件 反之，若|x y|，则可以取|x A|34，|y A|4使得条件|x A|2，|y A|2得不到满足 因此，|x A|2，|y A|2是|x y|成立的充分而不必要条件 跟踪训练 1(1)(2)充分不必要 例 2(1)x|x 1 或 x 4(2)3,0 解析(1)当 a 3 时，f(x)2x 5，x 2，1，2x3，2x 5，x 3.当 x 2 时，由 f(x)3 得 2x 5 3，解得 x 1；当 2x3 时，f(x)3 无解；当

15、x 3 时，由 f(x)3 得 2x 5 3，解得 x 4.所以 f(x)3 的解集为 x|x 1 或 x 4(2)f(x)|x 4|x 4|x 2|x a|.当 x 1,2 时，|x 4|x 2|x a|4 x(2 x)|x a|2 a x 2 a.由条件得 2 a 1 且 2 a 2，即 3 a 0.故满足条件的 a 的取值范围为 3,0 跟踪训练 2(1)1，)(2)x|x 1 解析(1)方法一 不等式等价转化为|x 1|x 3|，两边平方得(x 1)2(x 3)2，解得 x 1，故不等式的解集为 1，)方法二 不等式等价转化为|x 1|x 3|，根据绝对值的几何意义可得数轴上点 x 到

16、点 1的距离大于等于到点 3 的距离，到两点距离相等时 x 1，故不等式的解集为 1，)(2)原不等式可化为 x 3，x 3 x 2 3或 3x2，x 3 x 2 3或 x 2，x 3 x 2 3，性质对称性如果那么如果那么即传递性如果那么即可加性如果那么可乘性如果那么如果那么乘方如果那么开方如果那么绝对值三角不等式性质性质性质绝对值不等式的解法含绝对值的不等式与的解集不等式和型不等式的解法和型不 体现了分类讨论的思想通过构造函数利用函数的图象求解体现了函数与方程的思想判断下面结论是否正确请在括号内打或的几何意义是表示数轴上的点到点的距离之和不等式等号成立的条件是不等式等号成立的条件是不等式的

17、解集 且是的条件思维升华对绝对值三角不等式定理的理解注意以下三点两端的等号成立的条件在解题时经常用到特别是用此定理求函数的最大值时该定理可以推广为也可强化为它们经常用于含绝对值的不等式的推证当时当时设是满足的优秀学习资料 欢迎下载 x 或 1 x2 或 x 2.不等式的解集为 x|x 1 例 3 a4 a 4 a 4 解析 由|x 1|x 3|x 1(x 3)|4.|x 3|x 1|(x 3)(x 1)|4.可得 4|x 1|x 3|4.(1)若不等式有解，则 a4；(2)若不等式的解集为 R，则 a 4；(3)若不等式解集为，则 a 4.跟踪训练 3 解 方法一(1)由 f(x)3 得|x

18、a|3，解得 a 3 x a 3.又已知不等式 f(x)3 的解集为 x|1 x 5，所以 a 3 1，a 3 5，解得 a 2.(2)当 a 2 时，f(x)|x 2|，设 g(x)f(x)f(x 5)，于是 g(x)|x 2|x 3|2x 1，x2.所以当 x5；当 3 x 2 时，g(x)5；当 x2 时，g(x)5.综上可得，g(x)的最小值为 5.从而，若 f(x)f(x 5)m，即 g(x)m 对一切实数 x 恒成立，则 m 的取值范围为(，5 方法二(1)同方法一(2)当 a 2 时，f(x)|x 2|.设 g(x)f(x)f(x 5)由|x 2|x 3|(x 2)(x 3)|5

19、(当且仅当 3 x 2 时等号成立)，得 g(x)的最小值为5.从而，若 f(x)f(x 5)m，即 g(x)m 对一切实数 x 恒成立，则 m 的取值范围为(，5 练出高分 A 组 1(1,2)2.x|x3 性质对称性如果那么如果那么即传递性如果那么即可加性如果那么可乘性如果那么如果那么乘方如果那么开方如果那么绝对值三角不等式性质性质性质绝对值不等式的解法含绝对值的不等式与的解集不等式和型不等式的解法和型不 体现了分类讨论的思想通过构造函数利用函数的图象求解体现了函数与方程的思想判断下面结论是否正确请在括号内打或的几何意义是表示数轴上的点到点的距离之和不等式等号成立的条件是不等式等号成立的条

20、件是不等式的解集 且是的条件思维升华对绝对值三角不等式定理的理解注意以下三点两端的等号成立的条件在解题时经常用到特别是用此定理求函数的最大值时该定理可以推广为也可强化为它们经常用于含绝对值的不等式的推证当时当时设是满足的优秀学习资料 欢迎下载 3 0,4 解析 由|x 2|1|1 得 1|x 2|1 1，解|x 2|0|x 2|2得 0 x 4.不等式的解集为 0,4 4.13 解析 由绝对值的几何意义知：使|x 1|x 2|1 成立的 x 值为 x 1,3，由几何概型知所求概率为 P3 13 32613.5(，1)(3，)解析 由题意知，原不等式可化为 x 2x 1 2x 46 或 1x6或

21、 x 1 x 1 2x 46，解得 x3 或 xk 恒成立 AB 3，即|x 1|x 2|3.故当 k 3 时，原不等式恒成立 7(，5 3，)解析 在数轴上，结合绝对值的几何意义可知 a 5 或 a 3.8(，8 解析|x 5|x 3|5 x|x 3|5 x x 3|8，(|x 5|x 3|)min 8，要使|x5|x 3|14 解析 根据绝对值的几何意义，去掉绝对值号后求解 当 x 12时，原不等式可化为 1 2x 2(x 1)0，整理得 30，无解 性质对称性如果那么如果那么即传递性如果那么即可加性如果那么可乘性如果那么如果那么乘方如果那么开方如果那么绝对值三角不等式性质性质性质绝对值不

22、等式的解法含绝对值的不等式与的解集不等式和型不等式的解法和型不 体现了分类讨论的思想通过构造函数利用函数的图象求解体现了函数与方程的思想判断下面结论是否正确请在括号内打或的几何意义是表示数轴上的点到点的距离之和不等式等号成立的条件是不等式等号成立的条件是不等式的解集 且是的条件思维升华对绝对值三角不等式定理的理解注意以下三点两端的等号成立的条件在解题时经常用到特别是用此定理求函数的最大值时该定理可以推广为也可强化为它们经常用于含绝对值的不等式的推证当时当时设是满足的优秀学习资料 欢迎下载 当 120，整理得 4x 10，即 x14，141 时，原不等式可化为 2x 1 2(x 1)0，整理得

23、30.此时不等式的解集为 x1.原不等式的解集为x 141 x x14.10(5,7)解析|3x b|4 4 b3x4 b3，由已知得：0b 431，3b 43 4 4 b7，5b 8 5b7.B 组 1 2 a 4 解析|x a|x 1|(x a)(x 1)|a 1|，要使|x a|x 1|3 有解，可使|a 1|3，3 a 1 3，2 a 4.2 3,5 解析|x 1|x 3|(x 1)(x 3)|4，不等式|x 1|x 3|m 1|恒成立，只需|m 1|4，即 3 m 5.3 x|2 x 5 解析|x 3|x 4|9，当 x 3 时，x 3(x 4)9，即 4 x4 时，x 3 x 4

24、9，即 4x 5.性质对称性如果那么如果那么即传递性如果那么即可加性如果那么可乘性如果那么如果那么乘方如果那么开方如果那么绝对值三角不等式性质性质性质绝对值不等式的解法含绝对值的不等式与的解集不等式和型不等式的解法和型不 体现了分类讨论的思想通过构造函数利用函数的图象求解体现了函数与方程的思想判断下面结论是否正确请在括号内打或的几何意义是表示数轴上的点到点的距离之和不等式等号成立的条件是不等式等号成立的条件是不等式的解集 且是的条件思维升华对绝对值三角不等式定理的理解注意以下三点两端的等号成立的条件在解题时经常用到特别是用此定理求函数的最大值时该定理可以推广为也可强化为它们经常用于含绝对值的不

25、等式的推证当时当时设是满足的优秀学习资料 欢迎下载 综上所述，A x|4 x 5 又 x 4t1t 6，t(0，)，x 2 4t1t 6 2，当 t12时取等号 B x|x 2，A B x|2 x 5 4(1,3)解析 要使不等式|x 1|x 3|a2 2a 1 在 R 上的解集为，则 a2 2a 1(|x 1|x3|)min.又(|x 1|x 3|)min 2，a2 2a 12，即 a2 2a 30，1aa 对于一切 x R 恒成立，则需 a2.6 5 解析|x 1|1，1 x 1 1，0 x 2.又|y 2|1，1 y 2 1，1 y 3，从而 6 2y 2.由同向不等式的可加性可得 6

26、x 2y 0，5 x 2y 1 1，|x 2y 1|的最大值为 5.7(，1 7，)解析 若 a 3，则 f(x)2|x 3|，不满足题设条件；若 a3，则 f(x)2x a 3，x a，3 a，ax3，2x a 3，x 3，f(x)的最小值为 3 a；性质对称性如果那么如果那么即传递性如果那么即可加性如果那么可乘性如果那么如果那么乘方如果那么开方如果那么绝对值三角不等式性质性质性质绝对值不等式的解法含绝对值的不等式与的解集不等式和型不等式的解法和型不 体现了分类讨论的思想通过构造函数利用函数的图象求解体现了函数与方程的思想判断下面结论是否正确请在括号内打或的几何意义是表示数轴上的点到点的距离

27、之和不等式等号成立的条件是不等式等号成立的条件是不等式的解集 且是的条件思维升华对绝对值三角不等式定理的理解注意以下三点两端的等号成立的条件在解题时经常用到特别是用此定理求函数的最大值时该定理可以推广为也可强化为它们经常用于含绝对值的不等式的推证当时当时设是满足的优秀学习资料 欢迎下载 若 a3，则 f(x)2x a 3，x 3，a 3，3xa，2x a 3，x a，f(x)的最小值为 a 3，所以对任意 x R，f(x)4 的充要条件是|a 3|4，解得 a 7 或 a 1.故 a 的取值范围为(，1 7，)性质对称性如果那么如果那么即传递性如果那么即可加性如果那么可乘性如果那么如果那么乘方如果那么开方如果那么绝对值三角不等式性质性质性质绝对值不等式的解法含绝对值的不等式与的解集不等式和型不等式的解法和型不 体现了分类讨论的思想通过构造函数利用函数的图象求解体现了函数与方程的思想判断下面结论是否正确请在括号内打或的几何意义是表示数轴上的点到点的距离之和不等式等号成立的条件是不等式等号成立的条件是不等式的解集 且是的条件思维升华对绝对值三角不等式定理的理解注意以下三点两端的等号成立的条件在解题时经常用到特别是用此定理求函数的最大值时该定理可以推广为也可强化为它们经常用于含绝对值的不等式的推证当时当时设是满足的