成考专升本高等数学(二)重点及解析.docx

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1、成考专升本高等数学(二)重点及解析成考专升本高等数学(二)重点及解析 本文关键词：专升本，高等数学，成考，解析，重点成考专升本高等数学(二)重点及解析 本文简介：高等数学（二）重点学问及解析、函数、极限一、基本初等函数(又称简洁函数)：（1）常值函数：（2）幂函数：（3）指数函数：(0,（4）对数函数：(0,（5）三角函数：，（6）反三角函数：，二、复合函数：要会推断一个复合函数是由哪几个简洁函数复合而成的。例如：是由，这两个个简洁函数复合而成成考专升本高等数学(二)重点及解析 本文内容：高等数学（二）重点学问及解析、函数、极限一、基本初等函数(又称简洁函数)：（1）常值函数：（2）幂函数：（

2、3）指数函数：(0,（4）对数函数：(0,（5）三角函数：，（6）反三角函数：，二、复合函数：要会推断一个复合函数是由哪几个简洁函数复合而成的。例如：是由，这两个个简洁函数复合而成.例如：是由，和这三个简洁函数复合而成.该部分是后面求导的关键！三、极限的计算1、利用函数连续性求极限（代入法）：对于一般的极限式（即非未定式），只要将代入到函数表达式中，函数值即是极限值，即。留意：（1）常数极限等于他本身，与自变量的改变趋势无关，即。（2）该方法的运用前提是当的时候，而时则不能用此方法。例1：，例2：例3：（非特别角的三角函数值不用计算出来）2、未定式极限的运算法（1）对于未定式：分子、分母提取公

3、因式，然后消去公因式后，将代入后函数值即是极限值。例1：计算.未定式，提取公因式解：原式=例2：计算.未定式，提取公因式解：原式=（2）对于未定式：分子、分母同时除以未知量的最高次幂，然后利用无穷大的倒数是无穷小的这一关系进行计算。例1：计算未定式，分子分母同时除以n解：原式无穷大倒数是无穷小例2：计算.未定式，分子分母同除以解：原式=无穷大倒数是无穷小，因此分子是0分母是23、利用等价无穷小的代换求极限（1）定义：设和是同一改变过程中的两个无穷小，假如=1，称与是等价无穷小，记作.（2）定理：设、均为无穷小，又，且存在则=或（3）常用的等价无穷小代换：当时，,例1：当时，2，例2：极限=用2

4、等价代换例3：极限=用等价代换、一元函数的微分学一、导数的表示符号（1）函数在点处的导数记作：，或（2）函数在区间（a,b）内的导数记作：，或二、求导公式（必需熟记）（1）（C为常数）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）例：1、=2、3、=4、5、6、三、导数的四则运算运算公式（设U，V是关于X的函数，求解时把已知题目中的函数代入公式中的U和V即可，代入后用导数公式求解.）（1）（2）特殊地（为常数）（3）例1：已知函数，求.解：=例2：已知函数，求和.解：=所以=（留意：lne=1,ln1=0）例3：已知函数，求.解：=四、复合函数的求导1、方法一：例如求复合函数的导数.（1）首先推断

5、该复合函数是由哪几个简洁函数复合而成的.如由和这两个简洁函数复合而成（2）用导数公式求出每个简洁函数的导数.即=，=2（3）每个简洁函数导数的乘积即为复合函数的导数；留意中间变量要用原变量替代回去.=2=22、方法二（干脆求导法）：复合函数的导数等于构成该复合函数的简洁函数导数的乘积。假如对导数公式熟识，对复合函数的过程清晰，可以不必写出中间变量而干脆对复合函数从外往里求导.例1：设函数，求.解：=例2：设函数，求.解：=留意：一个复合函数求几次导，取决于它由几个简洁函数复合而成。五、高阶导数1、二阶导数记作：，或我们把二阶和二阶以上的导数称为高阶导数.2、求法：（1）二阶导数就是对一阶导数再

6、求一次导（2）三阶导数就是对一阶导数求两次导，对二阶导求一次导例1：已知，求.解：=，=例2：已知，求.解：=，=2=4即=六、微分的求法：（1）求出函数的导数.（2）再乘以即可.即.例1：已知，求.解：=例2：设函数，求.解：=、二元函数的微分学一、多元函数的定义：由两个或两个以上的自变量所构成的函数，称为多元函数。其自变量的改变范围称为定义域，通常记作。例如：二元函数通常记作：，二、二元函数的偏导数1、偏导数的表示方法：（1）设二元函数，则函数在区域D内对和对的偏导数记为：，；，（2）设二元函数，则函数在点处对和对的偏导数记为：，；，；2、偏导数的求法（1）对求偏导时，只要将看成是常量，将

7、看成是变量，干脆对求导即可.（2）对求偏导时，只要将看成是常量，将看成是变量，干脆对求导即可.假如要求函数在点处的偏导数，只要求出上述偏导函数后将和代入即可.例1：已知函数，求和.解：=，=例2：已知函数，求和.解：=，=三、全微分1、全微分公式：函数在点处全微分公式为：2、全微分求法：（1）、先求出两个一阶偏导数和.（2）、然后代入上述公式即可.例1：设函数，求.解：=，=例2：设函数，求.解：=，=四、二阶偏导的表示方法和求法：（1）=两次都对求偏导（2）=先对求偏导，再对求偏导（3）=先对求偏导，再对求偏导（4）=两次都对求偏导可见二元函数的二阶偏导共四种，它们都是的函数。在求二阶偏导的

8、时候肯定要留意对变量的求导次序（写在符号前面的变量先求偏导）.例1：设函数，求，和.解：=，=得=，=，=，=例2：设函数，求，.解：=得=，=、一元函数的积分学一、原函数的定义：设是区间I上的一个可导函数，对于区间I上的随意一点，都有，则称是在区间I上的一个原函数.例1：，因此是的一个原函数，是的导数.由于，可见只要函数有一个原函数，那么他的原函数就有无穷多个.例2：设的一个原函数为，求.解：因为是的一个原函数，即=，所以=.得=（注：）二、不定积分（一）、定义：我们把的全部原函数称为在区间I上的不定积分，记作：（其中）留意：不定积分是原函数的的全体，因此计算结果常数C勿忘！（二）、不定积分

9、的性质12（其中为常数）（三）、基本积分公式（和导数公式一样，必需熟记）12（k为常数）3456789例1：例2：（利用换元法，设）又如：（四）、不定积分的计算1、干脆积分法：对被积函数进行恒等变形，并用积分性质和积分公式进行积分的方法。例1：=例2：2、凑微分法（1）适用前提：假如被积函数是两个函数相乘（或相除）或者被积函数是复合函数（通常为较为简洁的复合函数）的状况，此时可以考虑用凑微分法。（2）凑微分法解法步骤1凑微分2换元3干脆积分法4反换元例1：求不定积分解：原式=（1.凑微分）将凑成=（2.换元）将换元成=（3.干脆积分法）求出的不定积分=（4.反换元）再用反换元例2：求不定积分解

10、：原式=（1.凑微分）将凑成=（2.换元）将换元成=（3.干脆积分法）求出的不定积分=（4.反换元）再用反换元例3：求不定积分解：原式=（1.凑微分）将凑成=（2.换元）将换元成=（3.干脆积分法）求出的不定积分=（4.反换元）再用反换元留意：凑微分时要留意凑完微分后前后变量要统一！假如能娴熟驾驭换元过程，此时就可以不必写出中间变量，而干脆进行积分。例4：=（将凑成）例5：=（将凑成）3、分部积分法三、定积分（一）、定积分的定义：由曲边梯形的面积引出定义公式A=（A为曲边梯形的面积）其中为被积函数，为积分区间，为积分下限，为积分上限。用定积分所要留意的事项：1、因为定积分是曲边梯形的面积，因此

11、定积分的值肯定是一个常数，所以对定积分求导，导数值必为零。例：，2、当a=b时，=0因定积分上限ba，当ba时，=例：，（二）、定积分的计算1、变上限积分的计算（1）定义：积分上限为变量时的定积分称为变上限积分，变上限积分是上限的函数，记作（2）变上限积分的导数：将代入到即可例1：设，则.例2：2、牛顿莱布尼茨公式（1）公式：假如是连续函数在上的一个原函数，则有=（2）由公式可知：连续函数在上定积分，就是的一个原函数在上的增量（上限值减下限值）。而连续函数的不定积分，就是的全体原函数（原函数后面加常数C）。可见定积分和不定积分的计算都是围绕求原函数进行的。例1：求定积分解：原式=例2：求定积分（将凑成）解：原式=例3：求定积分（将凑成）解：原式=留意：用凑微分法计算定积分时，在换元时，由于引入了新的变量，故原变量的积分限要更换成新变量的积分限;如不想更换积分限，可省略换元步骤。3、分部积分法附表：几个特别角的三角函数值角度三角-不存在不存在不存在不存在不存在不存在12第17页 共17页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页